1平面圖
在拓撲圖理論中， 1平面圖是可以在歐幾里得平面中繪製的圖形，以使每個邊緣最多具有一個越過的一個邊緣，在該平面上都具有一個額外的邊緣。如果以這種方式繪製了1平面圖，即平面圖的最自然概括之一，則該圖稱為圖形的1平面圖或1平面嵌入。
染色
1平面圖最初是由Ringel（1965）研究的，後者表明它們最多可以塗上七種顏色。後來，在最壞的情況下，為這些圖形上色所需的精確顏色數量為六。完整的圖k 6的示例（即1平面）表明，1平面圖有時可能需要六種顏色。但是，證明六種顏色總是足夠的證據更加複雜。
林德爾的動機是試圖解決平面圖的總顏色的變化，其中一個同時為平面圖的頂點和麵上色以使得沒有兩個相鄰的頂點具有相同的顏色，沒有兩個相鄰的面孔具有相同的顏色顏色，沒有彼此相鄰的頂點和麵部具有相同的顏色。顯然，可以使用八種顏色將四種顏色定理應用於給定的圖形及其雙重圖，並使用兩種不同的四種顏色組合來完成。但是，通過形成一個具有給定平面圖的每個頂點或面頂的輔助圖，可以獲得更少的顏色，並且當兩個輔助圖頂點與給定平面圖的相鄰特徵相對應時，兩個輔助圖頂點相鄰。輔助圖的頂點著色對應於原始平面圖的頂點顏色。該輔助圖是1平面，從中可以用六種顏色解決林格爾的頂點臉色的著色問題。圖k 6不能以這種方式形成為輔助圖，但是頂點面著色問題有時也需要六種顏色。例如，如果要塗色的平面圖是三角形的棱鏡，則其11個頂點和麵需要六種顏色，因為沒有三個顏色可以給出單個顏色。
邊緣密度
每個具有N頂點的1平面圖最多具有4個N -8邊。更強烈的是，每個1平面圖最多都有n -2個交叉點。從每個邊緣上卸下一個邊緣的一個邊緣留下一個平面圖，最多可以具有3 n -6個邊緣，在原始1平面圖中，4 n -8綁定在其邊緣的數量上。但是，與平面圖不同（給定頂點集上的所有最大平面圖具有與彼此相同的邊緣數量），存在最大的1個平面圖（在保留1平面性時無法添加其他邊緣的圖形）明顯少於4 n - 8邊。 4 n -8的界限在1平面圖中最大可能的邊數數量可用於證明七個頂點上的完整圖k 7不是1平面，因為此圖具有21個邊緣，在這種情況下為4 n -8 = 20 <21。
如果1平面圖完全具有4 n -8邊，則可以是最佳的1平面圖。在最佳1平面圖的1平面嵌入中，未縫製的邊緣必然形成四邊形（每個臉部都是四邊形的多面體圖）。每個四邊形都通過將兩個對角線添加到其每個四邊形的面上，從而產生最佳的1平面圖。因此，每個最佳1平面圖都是歐拉（Eulerian）（其所有頂點均勻），該圖中的最小程度為六個，每個最佳1平面圖具有至少八個準確的六個頂點。此外，每個最佳的1平面圖都是4 vertex相互聯繫的，並且在這樣的圖中，每個4個vertex cut是基礎四邊形中的分離循環。
具有筆直的1平面圖的圖（即，每個邊緣用線段表示的圖紙，其中每個線段在最多另一個邊緣都交叉）具有4 n -9的略微更緊密的結合在最大邊緣數量上，通過無限的許多圖實現。
完整的多部分圖
已知的1平面完整圖，完整的兩部分圖和更普遍的完整多部分圖的完整分類是已知的。 k 2， n的每個完整的兩分圖都是1平面（甚至是平面），就像k 1,1， n的每個完整三方圖一樣。除了這些無限的示例外，唯一完整的多部分圖是k 6 ， k 1,1,6,6 ， k 1,1,2,3 ， k 2,2,2,2 ，k 1， k 1， 1,1,2,2及其子圖。最小的非1平面完整多部分圖是k 3,7 ， k 4,5 ， k 1,3,4 ， k 2,3,3和k 1,1,1,1,3 。例如，完整的兩分圖K 3,6為1平面，因為它是k 1,1,6的子圖，但是k 3,7不是1平面。
計算複雜性
測試給定的圖是否為1平面是NP完整的，即使是通過添加單個邊緣和有界帶寬的圖形形成的圖形，它仍然是NP完整的。當通過循環數字或通過樹深度參數化時，該問題是固定參數的，因此當這些參數被界定時，可以在多項式時間內求解。
與Fáry的平面圖定理相反，並非每個1平面圖都可以用直線段的邊緣繪製1個平面圖。但是，測試是否可以在多項式時間內以這種方式進行1平面圖。此外，每個3 vertex相互連接的1平面圖具有1平面圖，其中最多在圖紙的外表面上具有一個邊緣，其中有一個彎曲。該圖可以從圖表的1平面嵌入中以線性時間構造。 1平面圖具有限制的書籍厚度，但是包括K 2,2,2,2在內的一些1平面圖至少具有四個。
1平面圖具有局部的local widthth ，這意味著有一個（線性）函數f ，因此直徑D的1平面圖D最多具有f （ d ）；對於可以嵌入有界數的每個邊緣數量的交叉數的圖形，相同的屬性更一般地具有。他們還具有分離器，一組頂點，將圖分解為連接的組件的去除，其大小是整個圖的大小的恆定分數。基於這些屬性，可以將許多針對平面圖的算法（例如貝克設計近似算法的技術）擴展到1平面圖。例如，此方法導致1平面圖的最大獨立集的多項式時間近似方案。
類似於外平面圖的圖形類別為1個平面圖稱為外部1平面圖。這些圖形可以在磁盤中繪製，而頂點在磁盤的邊界上，並且每個邊緣最多都有一個交叉。這些圖始終可以用直邊和直角交叉繪製（以外1平面方式）。通過在給定圖的SPQR樹上使用動態編程，可以在線性時間內測試它是否是外1平面。圖的三連電組件（SPQR樹節點）只能由週期圖，鍵圖和四個vertex完整圖組成，從中也遵循外部1平面圖是平面，最多有三個樹寬。
1平面圖包括4個地圖圖，圖形由平面中區域的鄰接形成，在任何時候最多四個區域都會匯合。相反，每個最佳1平面圖都是4映射圖。但是，不是最佳1平面的1平面圖可能不是映射圖。
1平面圖已被推廣到k平面圖，每個邊緣在大多數k時都交叉的圖（0平面圖完全是平面圖）。 Ringel將G的局部交叉數定義為最少的非負整數K ，因此G具有K平面圖。因為本地交叉數是最佳圖的邊緣的交點圖的最大程度一個適當的圖紙是從布魯克斯定理的角度來看，厚度最多是一個加上本地交叉數。具有N頂點的K平面圖最多具有O （ K 1/2 N ）邊緣，而TreeWidth O （（ kN ） 1/2 ）。具有深度d的k平面圖的淺少數是A（2 d + 1） K-平面圖，因此1平面圖和k平面圖的淺未成年人也是稀疏的圖形圖，這意味著這意味著該圖1平面和K平面圖具有界限。
非平面圖也可以通過其交叉數，即在圖中任何圖中交叉的最小邊對數。具有跨數k的圖一定是k個平面，但不一定反之亦然。例如， Heawood圖具有交叉數字3，但它的三個交叉口都不需要在圖形的同一邊緣出現，因此它是1平面，實際上可以以同時優化的方式繪製每個邊緣的交叉總數和交叉數。
非平面圖的另一個相關概念是圖形偏度，這是必須刪除以製造圖形平面的最小邊數。