角度

two line bent at a point — 笛卡爾坐標系上的兩個紅色射線形成的綠角

在歐幾里得幾何形狀中，角度是由兩個射線形成的圖，稱為角度的側面，共享一個共同的終點，稱為角度的頂點。兩個射線形成的角度也稱為平面角，因為它們位於包含射線的平面中。角度也由兩個平面的交點形成。這些稱為二面角。兩個相交曲線也可以定義一個角度，這是在相交點處與各個曲線相切的射線角度。

角度的大小稱為角度度量或簡單的“角度”。旋轉角度是通常定義為圓弧長度與其半徑的比率，可能是負數。在幾何角度的情況下，弧位於頂點並由側面劃定。在旋轉的情況下，ARC以旋轉的中心為中心，並由其他任何點及其圖像進行界定。

歷史和詞源

角度一詞來自拉丁單詞angulus ，意為“角”。同源詞包括希臘語ἀγκύλος （ Ankyl面）的意思是“彎曲，彎曲”和英語單詞“腳踝”。兩者都與原始印度 - 歐洲的根*ank-相連，意思是“彎曲”或“弓”。

歐幾里得將平面角度定義為彼此之間的傾斜度，這些平面是兩條線，它們相遇，彼此之間不直截了當。根據新柏拉圖形而上學的proclus ，角度必須是質量，數量或關係。羅得島的Eudemus使用了第一個概念，即質量，他將角度視為直線的偏差。第二個角度為質量，由安提阿（Antioch）的腕錶（Carpus of Antioch ）視為相交線之間的間隔或空間。歐幾里得採用第三個角度作為關係。

識別角度

在數學表達式中，通常使用希臘字母（ α ， β ， γ ， θ ， φ ，……）作為表示一定角度大小的變量（通常不用於此目的符號 $π$ 來避免與之混淆。該符號表示不變）。還使用了小案例羅馬字母（ A ， B ， C ，。）。在這不混淆的情況下，羅馬字母表示其頂點可能會表示一個角度。有關示例，請參見本文中的數字。

這三個定義點還可以識別幾何圖形中的角度。例如，帶有射線AB和AC形成的頂點A的角度（即，從點A到點B和C點的半線）表示∂Bac或。如果沒有混淆的風險，則有時僅一個一個頂點可能會提到角度（在這種情況下，“角度a”）。

可能的角度表示為 $蝗蟲$ 可能指的是四個角度中的任何一個：從b到c的順時針角度，大約a，逆時針方向的角度從b到c，大約a，順時針角度從c到b ，大約a，或從C到B的逆時針角圍繞A，其中測量角度的方向確定其符號（請參見§符號角度）。但是，在許多幾何情況下，從上下文中可以明顯看出，正角度小於或等於180度，在這些情況下，不會出現歧義。否則，為了避免歧義，可以採用特定的約定，例如， $\partialBac$ 始終是指從B到C的逆時針（正）角度，大約是A，並且從C到B $逆時針$ （正）角度從C到B大約A。

角度的類型

單個角度

角度有一些共同的術語，其度量始終是非負的（請參閱§簽名角）：

等於0°或不轉的角度稱為零角。
小於直角（小於90°）的角度稱為急性角度（“急性”含義“尖銳”）。
等於1/4轉（ 90°或 $π$ / 2弧度）稱為直角。形成直角的兩條線被認為是正常的，正交或垂直的。
一個大於直角的角度，小於直角（在90°和180°之間）的角度稱為鈍角（“鈍”含義為“鈍”）。
等於1/2轉（ 180°或 $π$ 弧度）的角度稱為直角。
一個大於直角的角度，但小於1轉（在180°和360°之間）稱為反射角。
等於1轉（360°或 $2π$ 弧度）的角度稱為全角，完整的角度，圓角或陰莖。
不是直角的角度稱為傾斜角度。

下表顯示了名稱，間隔和測量單元：

直角

急性（ a ），鈍（ b ）和直（ c ）角度。急性和鈍角也稱為斜角。

反射角

單元	間隔
姓名	零角	銳角	直角	鈍角	直角	反射角	Perigon
轉動	0轉	（ 0，1 / 4 ）轉彎	1/4轉_	（ 1 / 4，1 / 2 ）轉彎	1/2轉_	（ 1 / 2，1 ）轉彎	1轉
弧度	0 rad	（ 0，1 / 2π $）$ rad	1 / 2πrad $_$	（ 1 / 2π $，$ $π$ ）rad	$πrad$	（ $π$ ， $2π$ ）rad	$2πrad$
程度	0°	(0, 90)°	90°	(90, 180)°	180°	(180, 360)°	360°
gon	0 ^g	（0，100） ^G	100^克	（100，200） ^G	200 ^g	（200，400） ^G	400^克

垂直和相鄰角度對

當兩條直線在某個點相交時，形成四個角度。成對，這些角度根據它們的位置相對命名。

一對彼此相反的角度，由形成“ x”形狀的兩個相交的直線形成，稱為垂直角，或相反的角度或垂直相反的角度。它們被縮寫為Vert。 opp。 ∂s 。

垂直相反角度的平等稱為垂直角定理。羅得島的Eudemus將證據歸因於Miletus的Thales 。該命題表明，由於兩個垂直角度都補充了兩個相鄰角，因此垂直角度在度量方面相等。根據歷史記錄，當Thales訪問埃及時，他觀察到，每當埃及人繪製兩個相交線時，他們都會測量垂直角度以確保他們相等。 Thales得出的結論是，如果一個人接受了某些一般概念，例如：
- 所有直角都是相等的。
- 等於平等的平等相等。
- 從平等減去等於的平等是相等的。
當兩個相鄰的角度形成直線時，它們是補充。因此，如果我們假設角度A的度量等於x ，則角C的度量將為180° -x 。類似地，角度D的度量為180° - x 。角度C和角度D的測量均等於180° - x ，並且是一致的。由於角B是兩個角度C和D的補充，因此可以使用這些角度測量中的任何一個來確定角度B的度量。使用角度C或角度D的度量，我們發現角度B的度量為180° - （180° - x ）= 180° - 180° + x = x 。因此，角度A和角度B的度量等於X ，並且在度量方面相等。

角度A和B相鄰。
相鄰角度，通常縮寫為adj。 ∂s是共有一個共同頂點和邊緣但不共享任何內部點的角度。換句話說，它們是並排或相鄰的角度，共享一個“手臂”。相鄰的角度總和到直角，直角或全角是特殊的，分別稱為互補，補充和示意角（請參閱下面的§組合角度對）。

橫向是一條與一對（通常是平行的）線相交的線，並與交替的內角，相應的角度，內角和外部角度相關聯。

結合角對

角度添加假設指出，如果b在角度AOC的內部，則

m\angle \mathrm {AOC} =m\angle \mathrm {AOB} +m\angle \mathrm {BOC}

即，角度AOC的度量是角度AOB的度量和角度BOC的度量的總和。

三個特殊角度對涉及角度的求和：

互補的角度是角度對，其測量總和為一個直角（ 1/4轉，90°或 $π$ / 2弧度）。如果兩個互補角鄰近，則它們的非共享側面形成直角。在歐幾里得的幾何形狀中，右三角形中的兩個急性角度是互補的，因為三角形的內角之和為180度，直角為90度。

形容詞互補來自拉丁語補充，與動詞表示“填充”相關。急性角度通過其補充“填充”以形成直角。

角度和直角之間的差異稱為角度的補充。

如果角度A和B是互補的，則以下關係存在：
${\begin{aligned}&\sin ^{2}A+\sin ^{2}B=1&&\cos ^{2}A+\cos ^{2}B=1\\[3pt]&\tan A=\cot B&&\sec A=\csc B\end{aligned}}$

（一個角度的切線等於其補體的cotangent ，其割線等於其補充的整體。）

一些三角比的名稱的前綴“共同”是指“互補”一詞。

角度A和B是補充角度。
將兩個角度與直角（ 1/2轉，180°或 $π$ 弧度）的兩個角度稱為補充角度。

如果兩個補充角度相鄰（即有一個共同的頂點，只有一側），則它們的非共享側面形成直線。這樣的角度稱為線性角度。但是，補充角度不必在同一線上，可以在太空中分離。例如，平行四邊形的相鄰角度是補充，環狀四邊形的相反角度（其頂點全部落在一個圓上）是補充。

如果一個點p是帶有中心O的圓的外部，並且如果P的切線在點T和Q處觸摸圓，則∂TPQ和∂ToQ是補充的。

補充角度的罪過相等。它們的餘弦和切線（除非未定義）在幅度上相等，但符號相反。

在歐幾里得的幾何形狀中，三角形中的兩個角度的總和是第三個角度的補充，因為三角形的內角之和是直角。

角度AOB和COD形成完整的角度，它們是共軛的。考慮大小為45° + 315°= 360°。
與完整角度的兩個角度（1轉，360°或 $2π$ 弧度）稱為探索角度或共軛角。

角度和一個完整角度之間的差異稱為角度角度或偶聯的說明。

多邊形相關角度

一個簡單多邊形的角度，如果它位於簡單多邊形的內部，則稱為內部角度。一個簡單的凹形多邊形至少具有一個內部角度，即反射角。
在歐幾里得的幾何形狀 $中$ ，三角形的內部角度的度量累加至180°或1/2轉；簡單凸四邊形的內角的度量總計為 $2π$ 弧度，360°或1個轉。通常，具有n個側面的簡單凸多邊形的內部角度的度量加起來為（ n -2） $π$ 弧度，或（ n -2）180度，（ n -2）2個直角，或（ n- 2） 1/2轉。
內部角度的補充稱為外角。也就是說，內部角度和外角形成了線性的角度。多邊形的每個頂點都有兩個外角，每個角度都通過延伸在頂點相遇的多邊形的兩側之一來確定。這兩個角度是垂直的，因此相等。外角測量一個人必須在頂點進行旋轉量以追踪多邊形。如果相應的內部角度是反射角，則外部角度應視為負。即使在非簡單多邊形中，也可以定義外部角度。儘管如此，還是必須選擇平面（或表面）的方向來決定外角度量的跡象。
在歐幾里得的幾何形狀中，如果在每個頂點處假定兩個外角之一，則簡單凸多邊形的外角之和將是一個完整的轉彎（360°）。這裡的外角可以稱為補充外部角度。繪製常規多邊形時，外角通常用於徽標龜程序中。
在一個三角形中，兩個外角和另一個內部角度的一分配器的雙壓是並發的（在一個點相遇）。
在三角形中，三個相交點，每個外角分配器的伸展側相對的每個外角分配器都是共線。
在一個三角形中，三個相交點，在內部角度分配器和另一側之間有兩個，而另一個外角分配器和另一側伸展之間的第三個是界線。
一些作者使用簡單多邊形的外觀名稱，表示內部角度的外部角度（不補充！）。這與上述用法衝突。

平面相關的角度

兩個平面之間的角度（例如，多面體的兩個相鄰面）稱為二面角。它可以定義為與平面正常的兩條線之間的急性角。
平面和相交直線之間的角度等於九十度，減去相交線與穿過交叉點的線之間的角度，並且對平面均正常。

測量角度

幾何角度的大小通常以最小旋轉的大小映射到另一個射線的最小旋轉幅度。據說相同大小的角度在度量方面相等或相等。

在某些情況下，例如在圓上識別一個點或描述對象相對於參考取向的對象的方向，而與全轉的確切倍數不同的角度實際上是等效的。在其他情況下，例如在螺旋曲線上識別一個點或相對於參考方向描述對象的累積旋轉，而全轉的非零倍數不同的角度並非等效。

為了測量一個角度θ ，用一對指南針繪製了一個以角度為頂點的圓形弧。圓的半徑r的長度S的比例是角度的弧度數：

\theta ={\frac {s}{r}}\,\mathrm {rad} .

從傳統上講，在數學和SI中，Radian被視為等於無量綱的單元1，因此通常被省略。

然後，可以通過將角度乘以k / $2π$ 的合適轉換常數來獲得另一個角單元表達的角度，其中k是所選單元中表達的完整轉彎的度量（例如， k = 360°學位或Gradians的400年級）：

\theta ={\frac {k}{2\pi }}\cdot {\frac {s}{r}}.

如此定義的 $θ$ 值獨立於圓的大小：如果半徑的長度更改，則弧長以相同的比例變化，因此比率s / r不會改變。

單位

在整個歷史上，各個單位都測量了角度。這些被稱為角度單位，最現代的單元是（ ° ）， radian （rad）和Gradian （Grad），儘管在整個歷史上都使用了許多其他單元。定義了大多數角度測量單元，以便在某些整數n中，一個轉（即，由圓的圓周圍成的角度）等於n單元。 Radian（及其十進製鞋）和直徑部分是兩個例外。

在國際數量系統中，角度定義為無量綱的數量，尤其是Radian單元是無量綱的。該公約會影響角度在維分析中的處理方式。

下表列出了一些用於表示角度的單元。

姓名	一回合	在程度上	描述
弧度	$2 π$	≈57°17′	radian由一個圓的圓周確定，該圓的長度與圓的半徑相等（ n = $2π$ = 6.283 ...）。它是由圓的弧形所用的角度，其長度與圓的半徑相同。 Radian的符號是Rad 。一轉是 $2π$ 弧度，一個弧度為180° / $π$ ，或約57.2958度。通常，通常在數學文本中，假定一個radian等於一個，從而導致單位rad被省略。 Radian實際上是在所有數學工作中使用的，超出了簡單，實用的幾何形狀，例如，由於三角函數在弧度中的參數時所顯示的令人愉悅的“自然”特性。 radian是Si中角度測量的（派生的）單位。
程度	360	1°	該度是由一個小的上標（°）表示的，是轉彎的1/360，因此一個轉彎為360°。這個舊的性亞基的一個優點是，在整個數量的程度上測量了簡單幾何形狀中常見的許多角度。一個程度的分數可以以正常的十進制符號（例如3.5°的三個半度）編寫，但是“分鐘”和“第二個”的“分鐘”和“第二個”的性亞基（下一步討論）是還在使用，特別是用於地理坐標以及天文學和彈道術（ n = 360）
高度	21,600	0°1′	ARC的分鐘（或MOA ， Arcminute或Just Minuse ）為1/60 = 1 / 21,600轉。它用單個素數（'）表示。例如，3°30'等於3×60 + 30 = 210分鐘或3 + 30/60 = 3.5度。有時使用具有小數分數的混合格式，例如3°5.72'= 3 + 5.72 / 60度。航海英里歷史上被定義為沿著地球大圓圈的弧形。（ n = 21,600）。
弧秒	1,296,000	0°0′1″	ARC的第二個（或僅次於ArcSecond ，僅次）為1分鐘的1/60度和1個學位的1/6600 （ n = 1,296,000）。它用雙重素數表示。例如，3°7'30“等於3 + 7 / 60 + 30/3600度，或3.125度。
畢業	400	0°54′	畢業生，也稱為等級， Gradian或gon 。它是像限的小數亞基。直角為100個畢業生。歷史上，一公里被定義為沿地球子午線的弧形的一千座，因此公里是與性相似的航海英里的十進制類似物（ n = 400）。該畢業主要用於三角測量和大陸測量。
轉動	1	360°	轉彎是由圓的圓周在其中心的圓周上縮成的角度。轉彎等於 $2π$ 或tau弧度。
小時角	24	15°	天文小時角度為1/24 。由於該系統可以測量每天循環一次（例如恆星的相對位置）的對象，因此性較小的亞基被稱為時間的時間和第二個時間。這些不同於弧的分鐘和秒的不同，大約15倍。 1小時= 15°= $π$ / 12 rad = 1/6 Quad = 1/24轉= 16 + 2/3畢業。
（指南針）	32	11.25°	導航中使用的點或風是轉彎的1/32 。 1點=直角的1/8 = 11.25°= 12.5畢業。每個點被細分為四分之一點，因此一個轉彎等於128。
Milliradian	$2000 π$	≈0.057°	真正的milliradian被定義為六千分之一的弧度，這意味著一個轉彎的旋轉將等於2000πmrad（或大約6283.185 MRAD）。幾乎所有用於槍支的範圍瞄準器都校準了此定義。此外，其他三個相關的定義用於砲兵和導航，通常稱為“ mil”，大約等於milliradian。在其他三個定義下，一轉彌補了6000、6300或6400 mils的範圍，範圍從0.05625至0.06度（3.375至3.6分鐘）。相比之下，Milliradian約為0.05729578度（3.43775分鐘）。一個“北約密爾”定義為轉彎的1/6400 。就像Milliradian一樣，每個其他定義都近似於Milliradian的微妙屬性，即一個milliradian的值大約等於1米的寬度，如1 km（ $2π$ / 6400 = 0.0009817 = 0.0009817） ... ≈1 / 1000 ）。
二進制學位	256	1°33'45"	二進製程度，也稱為二進制雷達或brad或二元角度測量（BAM）。二進制度用於計算，因此可以在單個字節中有效地表示角度（儘管精度有限）。計算中使用的角度的其他度量可能是基於將一個整個轉換分為2 ⁿ的n值。這是回合的1/256 。
$πradian$	2	180°	RPN科學計算器WP 43s實現了 $π$ 弧度（mulπ）單位的倍數 $。$ 另請參閱： IEEE 754推薦操作
象限	4	90°	一個象限是1/4轉，也稱為直角。象限是歐幾里得元素中的單位。在德語中，^該符號被用來表示象限。 1 Quad = 90°= $π$ / 2 rad = 1 / 4轉= 100 grad。
六分	6	60°	六分之一是巴比倫人使用的單位，弧度的學位，弧度和第二個是巴比倫單元的性亞基。用標尺和指南針構造很簡單。它是等邊三角形的角度或1/6轉。 1巴比倫單元= 60°= $π$ /3rad≈1.047197551rad。
hexacontade	60	6°	Hexacontade是Eratosthenes使用的單元。它等於6°，因此整個轉彎被分為60 hexacontades。
佩丘斯	144至180	2°至2 + 1 / 2 °	Pechus是一個比大約2°或2 + 1 / 2 °的巴比倫單元。
直徑部分	≈376.991	≈0.95493°	直徑部分（偶爾用於伊斯蘭數學）為1/60雷達。一個“直徑部分”約為0.95493°。每回合大約有376.991直徑零件。
扎姆	224	≈1.607°	在舊阿拉伯，轉彎被細分為32 akhnam，每個Akhnam都被細分為7 Zam，因此轉彎為224 ZAM。

多方面分析

平面角可以定義為 $θ = s / r$ ，其中 $θ$ 是弧度的亞鍵角， $s$ 為弧長， $r$ 為半徑。一個radian對應於 $s = r$ 的角度，因此 $1 radian = 1 m/m$ 。但是， $RAD$ 僅用於表達角度，而不是表達長度的比例。使用圓形扇區 $θ = 2 A / R 2的$ 面積的類似計算得出1 m ² / m ²的radian。關鍵事實是Radian是一個等於1的無量綱單元。在SI 2019中，Radian被相應地定義為1 rad = 1 。這是數學和科學所有領域的長期實踐，用於利用 $RAD = 1$ 。

賈科莫·普蘭多（Giacomo Prando）寫道：“當前的狀態不可避免地導致了雷目的幽靈般的外表和消失在物理方程式的維度分析中”。例如，從皮帶輪上懸掛的繩子懸掛的物體會升高或掉落 $y = rθcenters$ ，其中 $r$ 是皮帶輪的半徑， $θ$ 是皮帶輪在弧度中轉動的角度。當將 $R$ 乘以 $θ$ 時，弧度的單位從結果中消失。同樣，在滾輪的角速度的公式中， $ω = v / r$ ，弧度出現在 $ω$ 的單位中，但不在右側。 Anthony French稱這種現象為“力學教學中的多年生問題”。奧伯霍夫（Oberhofer）說，在維度分析中忽略弧度並根據慣例和上下文知識添加或刪除單位的弧度的典型建議是“教學上不滿意”。

1993年，美國物理教師協會指標委員會規定，只有在使用其他角度測量時才能獲得不同的數值，例如，角度測量量（RAD）， rad速度（rad）（rad）（rad）（rad）（rad）（rad）（rad /s），角加速度（rad/s ² ）和扭轉剛度（n·m/rad），而不是扭矩（n·m）和角動量（kg·m ² /s）的量。

在1936年至2022年之間，至少有十二位科學家提出了將Radian視為“平面角”基本數量（和尺寸）的測量基礎單位。昆西對提案的審查概述了兩類建議。第一個選項將半徑的單位更改為每個弧度的米，但這與圓面積 $πr 2$ 的尺寸分析不相容。另一個選擇是引入一個尺寸常數。根據Quincey的說法，與SI相比，這種方法是“邏輯上的嚴格”，但需要“修改許多熟悉的數學方程式”。角度的尺寸常數是“相當奇怪的”，並且修改方程式添加尺寸常數的難度可能會阻止廣泛使用。

特別是，Quincey以類似於引入常數ε0_的方式引入托倫斯的提議，以引入等於1反射液（1 rad ^-1 ）的常數 $η$ 。隨著這種變化，將圓的中心的角度劃分為 $s = rθ的$ 角度被修改為 $s = ηrθ$ ，taylor序列的taylor序列是角度 $θ$ 的正弦：變為：

\operatorname {Sin} \theta =\sin _{\text{rad}}x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\eta \theta -{\frac {(\eta \theta )^{3}}{3!}}+{\frac {(\eta \theta )^{5}}{5!}}-{\frac {(\eta \theta )^{7}}{7!}}+\cdots ,

在哪裡。資本化函數罪是“完整”函數，它具有具有角度維度的參數，並且獨立於表達的單元，而辛拉德（Sinrad）是純數字上的傳統函數，假定其參數為弧度。如果明確表示完整的形式，則可以表示。

當前的Si可以將相對於此框架視為自然單位系統，其中方程 $η = 1$ 被認為可以保持或類似地， 1 rad = 1 。這種Radian慣例允許在數學公式中省略 $η$ 。

將Radian定義為基本單元可能對軟件可能有用，在此，更長方程的缺點是最小的。例如， Boost單位庫定義了用A的角度單元plane_angle維度和Mathematica的單元系統類似地將角度視為具有角度的角度。

簽名角

強加允許正面和負角值以相反的方向或“有意義”相對於某些參考而表示方向和/或旋轉的慣例通常會有所幫助。

在二維笛卡爾坐標系中，角度通常由其兩個側面定義，其頂點處於原點。初始側位於正x軸上，而另一側或末端的側面是由弧度，度或轉彎的初始側的度量定義向負y軸旋轉。當笛卡爾坐標由標準位置表示，而X軸向右定義， Y軸向上定義時，正旋轉為逆時針方向，負循環是順時針方向的。

在許多情況下， −θ的角度有效地等效於“一個全轉”負θ的角度。例如，表示為-45°的方向有效地等於定義為360° - 45°或315°的方向。儘管最終位置是相同的，但是-45°的物理旋轉（運動）與315°的旋轉不同（例如，握住掃帚在塵土飛揚地板上的人的旋轉將留下視覺上不同的痕跡地板上掃蕩的地區）。

在三維幾何形狀中，“順時針”和“逆時針”沒有絕對的含義，因此必鬚根據方向定義正角和負角的方向，該方向通常由正常矢量通過角度的頂點和垂直於垂直的正常矢量來確定到角度射線所在的平面。

在導航中，軸承或方位角是相對於北部的。根據慣例，從上方觀察，軸承角是順時針方向的，因此45°的軸承對應於東北方向。導航不使用負軸承，因此西北方向對應於315°的軸承。

等效角度

具有相同度量的角度（即相同的幅度）是相等或一致的。角度由其度量定義，不取決於角度的側面長度（例如，所有直角在度量上相等）。
共享末端邊的兩個角度，但大小由轉彎的整數倍數差異稱為coterminal角度。
標準位置上任何角度θ的參考角（有時稱為相關角）是θ和X軸端子之間的正急性角（正或負）。在程序上，給定角度的參考角度的大小可以通過取角度的幅度模量1/2轉， 180°或 $π$ 弧度來確定，然後如果角度急性，則停止，否則，取代角度為180°，減去180°幅度降低。例如，一個30度的角度已經是一個參考角度，而150度的角度也具有30度（180° - 150°）的參考角度。 210°和510°的角度對應於30度的參考角度（210°MOD 180°= 30°，510°Mod 180°= 150°，其補充角度為30°）。

曲線之間的角度

線和曲線之間的角度（混合角）或兩個相交曲線（曲線角）之間的角度定義為交叉點處的切線之間的角度。特定案例已經給出了各種名稱（現在很少使用，如果有的話）： -兩邊（兩邊的gr。ἀμφί ，κυρτός，convex）或cissoidal （gr。κισσσός，ivy），biconvex; Xystroloidal或Sistroidal （Gr。ξυστρίς，一種用於刮擦的工具），concavo-convex;兩棲動物（gr。κοίλη，一個空心）或angulus lunularis ，biconcave。

二分和三角角

古希臘數學家知道如何僅使用指南針和直碼將角度劃分為一個角度（將其分為兩個角度），但只能分解某些角度。 1837年，皮埃爾·旺策爾（Pierre Wantzel）表明，大多數角度都無法執行這種結構。

點產品和概括

在歐幾里得空間中，兩個歐幾里得向量u和v之間的角θ與它們的點產物及其長度有關

\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\cos(\theta )\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.

該公式提供了一種簡單的方法，可以從它們的正常向量以及從其向量方程式中找到兩個平面（或彎曲表面）之間的角度。

內部產品

為了在抽象的真實內部產品空間中定義角度，我們用內部產品替換歐幾里得點產品（·）

\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\cos(\theta )\ \left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.

在復雜的內部產品空間中，上面的餘弦的表達可能給出非現實值，因此將其替換為

\operatorname {Re} \left(\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right)=\cos(\theta )\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.

或者，更常見的是，使用絕對值

\left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=\left|\cos(\theta )\right|\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.

後一個定義忽略了向量的方向。因此，它描述了一維子空間之間的角度，並相應地由向量跨越。

子空間之間的角度

一維子空間之間角度的定義，由

\left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=\left|\cos(\theta )\right|\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|

在希爾伯特空間中，可以擴展到有限維度的子空間。給定兩個子空間，這將導致一個角度的定義，稱為子空間之間的規範或主角度。

riemannian幾何形狀中的角度

在Riemannian幾何形狀中，公制張量用於定義兩個切線之間的角度。其中u和v是切線向量，而g _ij是度量張量G的組成部分，

\cos \theta ={\frac {g_{ij}U^{i}V^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}U^{i}U^{j}\right|\left|g_{ij}V^{i}V^{j}\right|}}}.

雙曲角

雙曲角是雙曲線函數的參數，就像圓角是圓形函數的參數一樣。比較可以看到為雙曲線扇形和圓形扇形的開口的大小，因為這些部門的區域對應於每種情況下的角度幅度。與圓角不同，雙曲線角是無界的。當圓形和雙曲線函數在其角度參數中被視為無限序列時，圓形函數只是雙曲線函數的交替序列形式。萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）在無限分析的介紹中解釋了兩種類型的角度和功能的編織。

地理和天文學的角度

在地理上，可以使用地理坐標系確定地球上任何點的位置。該系統使用赤道和（通常） Greenwich子午線作為參考文獻來指定地球中心的角度的緯度和經度。

在天文學中，可以使用幾個天文坐標系中的任何一個中的任何一個在天文學上（即天文對象的明顯位置）的給定點，該系統根據特定係統而變化。天文學家通過想像兩條線穿過地球中心，每個恆星都相交，測量兩個恆星的角度分離。可以測量這些線之間的角度和兩個恆星之間的角度分離。

在地理和天文學中，可以根據垂直角度（例如高度/高度相對於地平線以及北方的方位角）來指定瞄準方向。

天文學家還將物體的明顯大小作為角直徑測量。例如，從地球看時，滿月的角直徑約為0.5°。有人可以說：“月球的直徑為半學位的角度。”小角度的公式可以將這種角度測量轉換為距離/尺寸比。

其他天文近似包括：

0.5°是從地球看的太陽和月球的近似直徑。
1°是小手臂長的小手指的近似寬度。
10°是閉合拳頭的近似寬度。
20°是手臂長度的大約寬度。

這些測量取決於單個受試者，以上應視為粗略的經驗法則。

在天文學中，右升升和偏斜通常以角度單位為單位，根據24小時的時間在時間上表示。

單元	象徵	學位	弧度	轉	其他
小時	h	15°	$π⁄$ 12 rad	1⁄24轉
分鐘	m	0°15′	$π⁄$ 720 rad	1 ⁄ 1,440轉	1⁄60小時
第二	s	0°0′15″	$π⁄$ 43200 rad	1 ⁄ 86,400轉	1⁄60分鐘

角度

歷史和詞源

識別角度

角度的類型