算術
算術是數學的基本分支，研究了數值操作，例如加法，減法，乘法和分裂。從更廣泛的意義上講，它還包括凸起，根的提取和對數。可以根據其操作的數字類型來區分算術系統。整數算術將自己限制為具有正數和負數的計算。理性數量算術涉及整數之間位於整數之間的分數的操作。實際數字算術包括具有理性和非理性數字的計算，並涵蓋了完整的數字線。另一個區別是基於用於執行計算的數字系統。十進制算術是最常見的。它使用0到9及其組合的基本數字來表達數字。相比之下，二進制算術被大多數計算機使用，並表示數字作為基本數字0和1的組合。某些算術系統在數字以外的數學對象上運行，例如間隔算術和矩陣算術。
算術操作構成了數學分支的基礎，例如代數，微積分和統計。他們在科學中扮演著類似的角色，例如物理和經濟學。例如，日常生活的許多方面都存在算術，以計算購物或管理個人財務狀況的變化。這是學生遇到的數學教育的最早形式之一。它的認知和概念基礎是通過心理學和哲學來研究的。
算術的實踐至少為數千年，可能是數万年的歷史。像埃及人和蘇美爾人這樣的古代文明發明了數字系統來解決公元前3000年的實際算術問題。從公元前7和6世紀開始，古希臘人開始了對數字的更抽象研究，並介紹了嚴格的數學證明方法。古代印度人開發了零的概念和十進制系統，阿拉伯數學家在中世紀時期進一步完善並傳播到西方世界。第一個機械計算器是在17世紀發明的。 18世紀和19世紀看到了現代數理論的發展和算術公理基礎的表述。在20世紀，電子計算器和計算機的出現徹底改變了算術計算的準確性和速度。
算術是研究數字及其操作的數學基本分支。特別是，它使用加法，減法，乘法和除法的算術操作處理數值計算。從更廣泛的意義上講，它還包括凸起，根的提取和對數。 “算術”一詞的詞根在拉丁語術語“ arithmetica ”中，該術語源自古希臘語單詞ἀριθμός （arithmos），意思是“數字”和ἀριθμητικήτέχνη （arithmentike tekhne），含義為“計數的藝術”。
關於其精確定義存在分歧。根據狹窄的特徵，算術僅處理自然數。但是，更常見的觀點是在其範圍中包括整數，有理數，實數，有時還要複雜數字的操作。一些定義將算術限制在數值計算領域。當從更廣泛的意義上理解時，它還包括研究數字概念的發展，數字的性質分析和數字之間的分析以及算術操作的公理結構的檢查。
算術與數字理論密切相關，一些作者將術語用作同義詞。但是，從更具體的意義上講，數字理論僅限於整數的研究，並專注於它們的性質和關係，例如分解性，分解和原始性。傳統上，它被稱為更高的算術。
算術與依賴數值操作的數學分支密切相關。代數依靠算術原理來使用變量求解方程。這些原則在微積分中也起著關鍵作用，試圖確定變化速度和曲線下的區域。幾何形狀使用算術操作來測量形狀的性質，而統計數據則利用它們來分析數值數據。
數字
數字是用於計數數量和測量幅度的數學對象。它們是算術中的基本要素，因為所有算術操作均在數字上進行。有不同種類的數字和不同的數字系統可以代表它們。
種類
算術中使用的主要數字是自然數，全數，整數，有理數和實數。自然數量是從1開始並轉到無窮大的整數。他們排除0和負數。它們也被稱為計數數字，可以表示為{1、2、3、4，...}。自然數的符號是整數與自然數相同，唯一的區別是它們包括0。它們可以表示為{0、1、2、3、4，...}，並具有符號。一些數學家不會通過在自然數中包括0來提出自然數量和整數之間的區別。整個整數都包含正數和負數。它具有符號，可以表示為{...，-2，-1、0、1、2，...}。
如果可以將其表示為兩個整數的比率，那麼數字是合理的。例如，通過將整數（稱為分子2）劃分為數字2（稱為分母）來形成有理數。其他例子是和。一組有理數包括所有整數，這些整數是分母為1的分數。有理數的符號是。小數分數（例如0.3和25.12）是一種特殊的有理數類型，因為它們的分母為10.例如，0.3等於0.3等於。每個有理數的數字對應於有限的或重複的十進制。
非理性數字是無法通過兩個整數的比率表示的數字。示例是許多平方根，例如π和e（歐拉的數字）等數字。不合理數量的小數是無限的，而無需重複小數。一組合理數字以及一組非理性數字構成了一組實數。實數的象徵是。甚至更廣泛的數字類別都包括複數和四元數。
根據數字的使用方式，可以將它們區分為基本數字和序數。紅衣主教數字（例如一個，兩個和三個）是表達對像數量的數字。他們回答了“多少？”這個問題。序數，例如第一，第二和第三，表示系列中的順序或位置。他們回答了“什麼位置？”這個問題。
數字系統
數字是代表數字的符號，數字系統是代表性框架。它們通常具有有限的基本數字，直接指某些數字。該系統控制如何合併這些基本數字以表達任何數字。數字系統是位置或非置位系統。所有早期的數字系統都是非置位系統。對於非局部數字系統，數字的值不取決於其在數字中的位置。
最簡單的非定位系統是一元數字系統。它依賴於數字1的一個符號。所有較高的數字均通過重複此符號來編寫。例如，數字7可以通過重複1七次的符號來表示。該系統使編寫大量數量很麻煩，這就是為什麼許多非置位系統都包含其他符號以直接代表較大數字的原因。使用凹痕和計數標記在計數棒中採用了一般數字系統的變化。
埃及象形文字具有更複雜的非牙數數字系統。它們還有其他數字符號，例如10、100、1000和10,000。這些符號可以合併為總和，以更方便地表達較大的數字。例如，10,405的數字使用一次使用10,000的符號，四倍的符號為100的符號，五倍的符號是1的符號。類似的眾所周知的框架是羅馬數字系統。它具有符號i，v，x，l，c，d，m作為其基本數字，以表示數字1、5、10、50、100、500和1000。
如果基本數字在化合物表達式中的位置確定其值，則數字系統是位置。位置數字系統的radix充當了不同位置的多lixix。對於每個後續位置，將radix提高到更高的功率。在公共十進制系統（也稱為印度教 - 阿拉伯數字系統）中，radix為10。這意味著第一個數字乘以乘以，下一個數字被乘以等等。例如，十進制數字532代表。由於數字的位置的影響，數字532與數字325和253有所不同，即使它們具有相同的數字。
在計算機算術中廣泛使用的另一個位置數字系統是二進制系統，該系統的radix為2。這意味著第一個數字乘以乘以，下一個數字，等等。例如，數字13在代表的二進制符號中寫成1101。在計算中，二進制符號中的每個數字都對應於一位。最早的位置系統是由古代巴比倫人開發的，有60個。
算術操作
算術操作是結合，轉換或操縱數字的方式。它們是具有輸入和輸出的數字的函數。算術中最重要的操作是加法，減法，乘法和分裂。進一步的操作包括凸起，根的提取和對數。如果這些操作是在變量而不是數字上執行的，則有時將它們稱為代數操作。
與算術操作有關的兩個重要概念是身份元素和反元素。如果操作的身份元素或中性元素將其應用於另一個元素，則不會引起任何更改。例如，添加的身份元素為0，因為任何數字和0的總和在相同的數字中導致。逆元素是與另一個元素結合使用時導致身份元素的元素。例如，數字6的添加詞為-6，因為它們的總和為0。
不僅有逆元素，而且還有反操作。從非正式的意義上說，一個操作是另一個操作撤消第一個操作的倒數。例如，減法是添加的倒數，因為如果首先添加第二個數字並隨後減去，則數字返回其原始值，如所示。更正式地定義的操作“”是操作的倒數“如果滿足以下條件：if and＆hif。
通勤性和關聯性是管理一些算術操作的順序的法律。如果可以更改參數的順序而不影響結果，則操作是可交換的。例如，添加與此相同。關聯是一條影響可以執行一系列操作的順序的規則。如果在兩個操作中，首先進行哪個操作都沒關係，則操作是關聯的。例如，乘法就是這種情況，因為與。
加減
添加是一個算術操作，其中兩個稱為附加的數字合併為一個稱為總和的單個數字。添加的象徵是。例子是和。如果連續執行幾個添加，則使用術語求和。計數是連續添加數字1的重複添加類型。
減法是加法的倒數。在其中，一個名為Subtrahend的數字被從另一個被稱為Minuend的數字帶走。此操作的結果稱為差異。減法的象徵是。例子是和。減法通常被視為加法的一種特殊情況：而不是減去正數，而是可以添加負數。例如 。這有助於通過減少執行計算所需的基本算術操作的數量來簡化數學計算。
添加劑身份元素為0，數字的添加劑倒數為該數字的負數。例如，。加法既是可交換的又是聯想。
乘法和劃分
乘法是算術操作，其中兩個數字（稱為乘數和乘法數）合併為一個稱為乘積的單個數字。乘法的符號是，和 *。例子是和。如果乘數是自然數，則乘法與重複添加相同，如。
除法是乘法的倒數。在其中，一個數字（稱為股息）被另一個相等的部分劃分為另一個數字，稱為除數。此操作的結果稱為商。分裂的符號是和。例子是和。除法通常被視為乘法的一種特殊情況：而不是除以數字，而是可以乘以其倒數。數字的倒數為1除以該數字。例如， 。
乘法身份元素為1，一個數字的乘法倒數是該數字的倒數。例如，。乘法既是交換性的，又是關聯。
啟動和對數
凸起是一種算術操作，其中一個稱為基礎的數字被提高到另一個數字的冪，稱為指數。此操作的結果稱為功率。有時使用符號 ^表示指示，但更常見的方法是在基礎之後立即將指數寫入上標。示例是 ^。如果指數是自然數，則指示與重複乘法相同，如。
根是使用分數指數的一種特殊類型的凸起類型。例如，一個數字的平方根與將數字提高到功率的數字相同，而數字的立方根與將數字提高到功率相同。例子是和。
對數是凸起的倒數。一個數字到基數的對數是必須提高生產的指數。例如，由於，對數基礎10中的1000為3。當可以從上下文中理解底座時，將基礎的對數表示為或無括號，甚至沒有顯式底座。因此，可以編寫上一個示例。
凸起和對數沒有一般身份元素和反向元素，例如添加和乘法。與指數相關的凸起的中性要素為1，如。但是，由於1不是基礎的中性元素，因此指數不具有一般身份元素。啟用和對數既不是交換性的也不是聯合性的。
算術類型
學術文獻中討論了不同類型的算術系統。它們會根據其操作的數字類型，用來表示它們的數字系統以及它們是否在數字以外的數學對像上操作，它們彼此之間有所不同。
整數算術
整數算術是算術的分支，涉及對正數和負數的操縱。可以通過遵循或記憶表呈現所有可能組合的結果（例如加法表或乘法表）的表來執行簡單的一位數字操作。其他常見方法是口頭計數和指數。
| + | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ... |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ... |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ... |
| 3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | ... |
| 4 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | ... |
| ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| × | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ... |
| 2 | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | ... |
| 3 | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | ... |
| 4 | 0 | 4 | 8 | 12 | 16 | ... |
| ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
對於具有多個數字的數字運行，可以使用多個一位數字的操作連續使用不同的技術來計算結果。例如，在與攜帶的方法添加的方法中，兩個數字在另一個數字上寫。從最右邊的數字開始，將每對數字添加在一起。總和的最右數寫在下面。如果總和是兩個數字的數字，則將最左邊的數字（稱為“隨身攜帶”）添加到左側的下一個數字中。重複此過程，直到添加所有數字為止。用於整數添加的其他方法是數字方法方法，部分總和方法和補償方法。使用類似的技術用於減法：它也從最右邊的數字開始，如果一位數扣除的結果為負，則使用“借用”或左側的負攜帶。
整數乘法的基本技術採用重複的添加。例如，3×4的乘積可以計算為3 + 3 + 3 + 3.使用較大數字的乘法的通用技術稱為長乘法。此方法首先將乘數編寫在乘法上方。該計算首先將乘數乘以乘法數的最右數，並在最右邊的列開始下面編寫下面的結果。每個數字的乘法也可以做同樣的事情，並且在每種情況下的結果都向左移動一個位置。最後一步，添加所有單個產品以獲得兩個多位數數字的總產品。用於乘法的其他技術是網格方法和晶格方法。計算機科學對具有低計算複雜性的乘法算法感興趣，能夠有效地繁殖非常大的整數，例如Karatsuba算法， Schönhage-Strassen算法和Toom-Cook算法。用於劃分的通用技術稱為長度分裂。其他方法包括簡短的分裂和塊。
整數算術在劃分下未關閉。這意味著，在將一個整數除以另一個整數時，結果並不總是一個整數。例如，7除以2不是整數，而是3.5。確保結果是整數的一種方法是將結果舍入整數。但是，隨著原始值的變化，此方法導致不准確。另一種方法是僅部分執行部分並保留其餘部分。例如，7除以2為3，其餘為1。這些困難是通過有理數算術避免的，這允許分數的準確表示。
計算指數的一種簡單方法是通過重複乘法。例如， 3 4的凸起可以計算為3×3×3×3。用於大型指數的更有效的技術是通過平方進行指示。它將計算分解為許多平方操作。例如，凸起3 65可以寫為（（（（（（3 2 ） 2 ） 2 ）2） 2 ） 2 ）2） 2 ×3 。通過利用重複的平方操作，只需要7個單獨的操作，而不是定期重複乘法所需的64個操作。計算對數的方法包括泰勒系列和持續的分數。整數算術在對數下並不關閉，在用負指數的啟動下進行，這意味著這些操作的結果並不總是整數。
數字理論
數字理論研究整數的結構和特性以及它們之間的關係和法律。現代數字理論的一些主要分支包括基本數字理論，分析數理論，代數數理論和幾何數理論。基本數理論研究整數的方面，可以使用基本方法研究。在這方面，它不包括在分析和演算中發現的方法的使用。它的主題包括劃分，分解和原則。相比之下，分析數理論依賴於分析和微積分的技術。它研究了諸如質數的分佈方式以及每個偶數數字是兩個素數的總和之類的問題。代數數理論採用代數結構來分析數字之間的關係和關係。示例是使用字段和環的使用，如代數數字字段（如整數之環） 。幾何數理論使用從幾何形狀到研究數字的概念。例如，它調查了晶格如何用整數坐標在飛機上表現。數字理論的進一步分支是概率數字理論，組合數理論，計算數理論和應用數字理論。
數量理論的有影響力的定理包括算術，歐幾里得定理的基本定理和費爾馬特的最後定理。根據算術的基本定理，每個大於1的整數都是素數，或者可以表示為素數的獨特產物。例如，數字18不是素數，可以表示為所有質數。相比之下，數字19是沒有其他質量分解的質量數。 Euclid的定理指出，有很多質數。 Fermat的最後一個定理是，如果大於大於大於大於，則沒有找到正面值的陳述。
理性數字算術
理性數量算術是算術的分支，該分支涉及可以表示為兩個整數比率的數字的操縱。大多數關於有理數的算術操作可以通過對分子和涉及數字的分母進行一系列整數算術操作來計算。如果兩個有理數具有相同的分母，則可以通過添加其分子並保留共同點來添加它們。例如， 。類似的過程用於減法。如果兩個數字沒有相同的分母，則必須將它們轉換以找到共同的分母。這可以通過使用第二個數字的分母來縮放第一個數字，同時用第一個數字的分母縮放第二個數字。例如， 。
分別將兩個合理的數字分別乘以其分子及其分母乘以。通過將第一個數字乘以第二個數字的倒數來將一個有理數除以另一個有理數。這意味著第二個數字更改位置的分子和分母。例如， 。與整數算術不同，只要除數不是0，有理數算術在除法下關閉。
整數算術和理性數算術都不關閉在凸起和對數下。用分數指數計算指數的一種方法是執行兩個單獨的計算：使用指數的分子進行一個指數，然後根據指數的分母繪製結果的第n個根。例如， 。可以使用反复乘法或通過平方進行指示來完成第一個操作。第二次操作獲得近似結果的一種方法是採用牛頓的方法，該方法使用一系列步驟來逐步完善初始猜測，直到達到所需的準確性水平。泰勒系列或續分方法可以用於計算對數。
小數分數表示法是表示分母為10的有理數的一種特殊方法。例如，在小數分數符號中，有理數，並將其寫入為0.1、3.71和0.0044。整數計算方法的修改版本，例如隨身攜帶和長乘法，可以應用於用小數分數的計算。並非所有理性數字在小數表示法中都有有限的表示。例如，有理數對應於0.333 ...無限數為3s。此類重複小數的縮短符號為0.3。每個重複的小數都表示有理數。
實際數字算術
實際數字算術是算術的分支，涉及對理性和非理性數字的操縱。非理性數字是無法通過分數或重複小數（例如2和π的根）表示的數字。與有理數算術不同，只要使用正數作為基礎，實際數字算術在凸起下關閉。只要對數基礎是正面而不是1，正面實數的對數也是如此。
非理性數字涉及無限重複的一系列十進制數字。因此，通常沒有簡單準確的方法來表達諸如OR之類的算術操作的結果。如果不需要絕對精度，則通常通過截斷或舍入來計算實數的算術操作問題。為了截斷，保留了一定數量的重要數字，並刪除了最後一個有意義的數字的額外數字。例如，數π從3.14159開始的數字數字數量。如果該數字被截斷為4個有效數字，則結果為3.141。舍入是一個類似的過程，如果下一個數字為5或更高，則最後一個重要的數字增加了一個。如果下一個數字小於5，則最後一個數字保持不變。例如，如果將數字π四捨五入到4個有效數字，則結果為3.142，因為以下數字為5。這些方法對於允許計算機可以有效地對實數進行計算至關重要。
非常大且非常小的實數通常使用歸一化的科學符號表示。在其中，數字使用所謂的顯著性乘以10的功率表示。顯著性是數字，其次是十進制點和一系列數字。例如，數量為8276000的標準化科學符號為0.00735的數字具有標準化的科學符號。
計算機使用的一種常見方法近似實際數字算術稱為浮點算術。它代表通過三個數字類似的實數與科學符號類似：一個顯著的，一個基礎和指數。顯著的精度受到代表它的位數數量的限制。如果算術操作產生的數字需要比可用的數量更多的數字，則計算機將結果回合為最接近的代表數字。這導致了四捨五入的錯誤。這種行為的結果是，某些算術定律被浮點算術違反。例如，浮點添加不是關聯的，因為引入的捨入錯誤可能取決於添加的順序。這意味著有時的結果與結果不同。用於浮點算術的最常見技術標準稱為IEEE754。除其他外，它決定了數字的表示，如何執行算術操作和舍入以及如何處理錯誤和異常。在計算速度不是限制因素的情況下，可以使用任意精確的算術，而計算的精度僅受計算機內存的限制。
其他的
還有許多其他類型的算術。模塊化算術在有限的數字集上運行。如果操作會導致此有限集之外的數字，則將數字調整回該集合，類似於時鐘的手在完成一個週期後再次開始的開始。這種調整髮生的數字稱為模量。例如，常規時鐘的模量為12。在添加4到9的情況下，這意味著結果不是13，而是1。相同的原理也適用於其他操作，例如減法，乘法和除法。
與數字以外的數學對象執行的操作相關的某些形式的算術處理。間隔算術在間隔上描述操作。如果一個人不知道確切的幅度，則可以使用間隔來表示一個值範圍，例如，由於測量誤差。間隔算術包括諸如和間隔（如和）等間隔和乘法等操作。它與仿射算術密切相關，該算術旨在通過對仿射形式而不是間隔進行計算來提供更精確的結果。仿射形式是一個數字，其中包含錯誤項，可描述數字如何偏離實際幅度。向量算術和矩陣算術描述了矢量和矩陣上的算術操作，例如添加矢量和矩陣乘法。
對於精神算術，計算僅在沒有筆，紙或電子計算器（例如紙或電子計算器）的情況下進行。取而代之的是，精神算術利用可視化，記憶和某些計算技術來解決算術問題。一種這樣的技術就是補償方法。它包括更改數字以使計算更容易，然後在後面調整結果。例如，一個計算，而不是計算，因為它使用了一個圓形數字，因此更容易。在下一步中，人們會增加結果以補償較早的調整。經常在初等教育中教精神算術來培訓學生的數字能力。
算術系統可以根據其依賴的數字系統進行分類。例如，十進制算術描述了小數係統中的算術操作。其他示例是二元算術，八進制算術和十六進制算術。
複合單元算術描述了在具有復合單元的大小上進行的算術操作。它涉及其他操作，以控制單個單元和復合單位數量之間的轉換。例如，還原的操作用於將1 H 90分鐘的化合物轉換為150分鐘的單個單位數量。
非毒液算術是算術系統，違反了傳統的算術直覺，並包含諸如和之類的方程式。可以用來代表現代物理和日常生活中的一些現實情況。例如，該方程式可以用來描述這樣的觀察，即如果將一個雨滴添加到另一個雨滴中，那麼它們不會保留兩個獨立的實體，而是成為一個雨滴。
公理基礎
算術的公理基礎試圖提供一系列的定律，即所謂的公理，可以從中得出所有基本特性和數字上的操作。它們構成了邏輯上一致和系統的框架，可用於以嚴格的方式製定數學證明。兩種眾所周知的方法是Dedekind-Peano公理和設定的理論結構。
Dedekind – Peano公理提供了自然數算術的公理化。他們的基本原則首先是由理查德·迪克德（Richard Dedekind）提出的，後來由朱塞佩·佩尼諾（Giuseppe Peano）提煉。他們僅依靠少數原始數學概念，例如0，自然數和後繼。 Peano公理決定了這些概念如何相互關係。然後，所有其他算術概念都可以根據這些原始概念來定義。
- 0是自然數字。
- 對於每個自然數字，都有一個繼任者，這也是一個自然數字。
- 兩個不同自然數的繼任者永遠不會相同。
- 0不是自然數字的繼任者。
- 如果一組包含0，則每個後繼都包含每個自然數字。
大於0的數字通過重複應用後繼函數表示。例如，是和屬於。算術操作可以定義為影響接班人函數的機制。例如，將任何數字添加與將後繼函數應用於此數字相同。
算術的各種公理化依賴於集合理論。它們涵蓋自然數，但也可以擴展到整數，有理數和實數。每個自然數字都由一個唯一的集合表示。 0通常定義為空集。每個後續數字可以定義為上一個數字與包含上一個數字的集合的結合。例如，，，和。整數可以定義為從第一個數字減去第二個數字的有序對自然數。例如，對（9，0）表示數字9，而對（0，9）表示數字-9。有理數定義為第一個數字代表分子的整數對，第二個數字代表分母。例如，對（3，7）表示有理數。構建實數的一種方法取決於Dedekind削減的概念。根據這種方法，每個實際數字由所有有理數的分區表示為兩個集，一個針對所代表的實際數字以下的所有數字，另一個數字為其他數字。算術操作定義為在代表輸入號的集合上執行各種集合理論轉換的函數，以到達代表結果的集合。
歷史
最早的算術形式有時可以追溯到計數和用於跟踪數量的計數標記。一些歷史學家認為，勒邦骨（約43，000年前）和ishango骨（約22,000至30，000年前）是最古老的算術文物，但這種解釋是有爭議的。但是，數字的基本意義可能早於這些發現，甚至可能在語言發展之前就存在。
直到古代文明的出現出現，更複雜和結構化的算術方法才開始發展，從公元前3000年左右開始。由於需要跟踪存儲物品，管理土地所有權並安排交流的需求增加，因此這變得有必要。所有主要的古代文明都開發了非局部數字系統，以促進數字的代表。他們還具有諸如加法和減法之類的操作符號，並且意識到了分數。例子是埃及象形文字以及在蘇美爾，中國和印度發明的數字系統。第一個位置數字系統是由巴比倫人從公元前1800年開始開發的。這是對早期數字系統的重大改進，因為它使大量和計算更有效地表示。由於古代作為執行複雜計算的有效手段，因此算法已被用作手動計算工具。
早期文明主要用於具體的實際目的，缺乏數字本身的抽象概念。這與古希臘數學家發生了變化，他們開始探索數字的抽象性質，而不是研究它們如何應用於特定問題。另一個新穎的特徵是他們使用證據來建立數學真理並驗證理論。進一步的貢獻是他們對各種數字的區別，例如偶數，奇數和質數。這包括發現某些幾何長度的數字是不合理的，因此不能表示為餾分。公元前7和6世紀，Miletus和Pythagoras的Thales的作品經常被視為希臘數學的成立。 Diophantus在公元前3世紀是希臘算術中的一個有影響力的人物，因為他對數字理論的貢獻以及他對算術操作在代數方程中的應用的探索。
古代印第安人是第一個將零概念作為計算中使用的數字的概念。 Brahmagupta在公元628年左右寫下了其操作的確切規則。零或不存在的概念很久以前就存在，但並不是算術操作的對象。 Brahmagupta進一步對具有負數的計算及其在信用和債務等問題上的應用進行了詳細討論。負數本身的概念本身很大，在公元前第一千年中首次在中國數學中探討。
印度數學家還開發了當今使用的位置十進制系統，特別是數字零數字而不是空缺失位置的概念。例如， Aryabhata在公元6世紀初提供了對其業務的詳細處理。在伊斯蘭黃金時代，阿拉伯數學家（例如Al-Khwarizmi）在伊斯蘭黃金時代進一步完善了印度的小數係統，並將其擴展到非授權人。他的作品在將十進制數字系統引入西方世界方面具有影響力，當時它依靠羅馬數字系統。在那裡，它被列昂納多斐波那契（ Leonardo fibonacci）等數學家普及，他生活在12世紀和13世紀，還開發了斐波那契序列。在中世紀和文藝復興時期，出版了許多流行的教科書，以涵蓋商業的實際計算。在此期間，算盤的使用也普遍存在。在16世紀，數學家Gerolamo Cardano認為複數的概念是解決立方方程的一種方式。
第一個機械計算器是在17世紀開發的，並極大地促進了複雜的數學計算，例如Blaise Pascal的計算器和Gottfried Wilhelm Leibniz的Stepppped Reckoner 。 17世紀還看到了約翰·納皮爾（ John Napier）的對數。
在18世紀和19世紀，萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）和卡爾·弗里德里希·高斯（ Carl Friedrich Gauss）等數學家奠定了現代數字理論的基礎。在這一時期的另一個發展涉及關於算術的形式化和基礎的工作，例如喬治·坎托（ Georg Cantor ）的套裝理論和Dedekind-peano公理，用作自然算術的公理化。計算機和電子計算器是在20世紀首次開發的。它們的廣泛使用徹底改變了可以計算複雜算術計算的準確性和速度。
在各個領域
教育
算術教育構成了初等教育的一部分。這是兒童遇到的數學教育的第一個形式之一。基本算術旨在使學生具有基本的數字感，並使他們熟悉基本的數值操作，例如加法，減法，乘法和分裂。它通常是在混凝土方案中引入的，例如計算珠子，將班級分為相同大小的孩子，並在購買商品時計算變化。早期算術教育中的常見工具是數字線，加法和乘法表以及計數塊。
以後的階段集中於更抽象的理解。他們向學生介紹不同類型的數字，例如負數，分數，實數和復數。它們進一步涵蓋了更先進的數值操作，例如凸起，根的提取和對數。他們還顯示瞭如何在數學的其他分支中使用算術操作，例如它們用於描述幾何形狀和代數中變量的使用。另一個方面是教學學生使用算法和計算器來解決複雜的算術問題。
心理學
算術心理學對人類和動物如何學習數字，代表它們並將其用於計算感興趣。它研究瞭如何理解和解決數學問題以及算術能力與感知，記憶，判斷和決策的關係。例如，它研究瞭如何在感知中首次遇到混凝土項目的收集，然後與數字相關聯。進一步的詢問領域涉及數值計算與使用語言形成表示形式之間的關係。心理學還探討了算術作為天生能力的生物學起源。這涉及在成功地代表世界並執行諸如空間導航之類的任務所需的類似算術的操作的前語言和符號前認知過程。
心理學研究的概念之一是算術，這是理解數值概念，將其應用於具體情況以及與之合理的能力。它包括基本的數字意義以及能夠估計和比較數量。它進一步涵蓋了在編號系統中表示數字，解釋數值數據並評估算術計算的能力。算術是許多學術領域的關鍵技能。缺乏算術可以抑制學術上的成功，並通過誤解抵押計劃和保險政策，從而導致日常生活中的不良經濟決策。
哲學
算術研究的哲學基本概念和原理的基本原理和算術運作。它探討了數字的性質和本體論狀態，算術與語言和邏輯的關係以及如何獲得算術知識。
根據柏拉圖主義，數字具有與思想無關的存在：它們作為時空之外的抽像對象存在，而沒有因果力。這種觀點被直覺主義者拒絕，他們聲稱數學對像是心理結構。進一步的理論是邏輯主義，它認為數學真理可以降低為邏輯真理和形式主義，這表明數學原理是如何操縱符號的規則，而無需聲稱它們與規則管理活動之外的主體相對應。
傳統上在算術認識論中的主導觀點是，算術真理是可以先驗的。這意味著他們可以單獨思考而無需依靠感官體驗來知道它們。這種觀點的一些支持者指出，算術知識是天生的，而另一些人則聲稱有一種理性的直覺，可以通過這些直覺可以被逮捕。像威拉德·範·奧爾曼·奎因（Willard Van Orman Quine）這樣的自然主義哲學家提出了一種最新的替代觀點，他們認為數學原理是高級概括，最終紮根於經驗科學所描述的感覺世界中。
其他的
算術與許多領域有關。在日常生活中，購物，管理個人理財並調整烹飪配方時，需要計算變化。企業使用算術來計算利潤和虧損並分析市場趨勢。在工程領域，它用於測量數量，計算負載和力以及設計結構。密碼學依賴於算術操作來通過加密數據和消息來保護敏感信息。
算術操作是數學分支的基礎，例如代數，微積分和統計。通過它們，算術的影響擴展到大多數科學，例如物理，計算機科學和經濟學。這些操作用於計算，解決問題，數據分析和算法中，使其與科學研究，技術發展和經濟建模不可或缺。