公理
公理,假設或假設是被認為是真實的陳述,可以作為進一步推理和論點的前提或起點。這個詞來自古希臘單詞ἀξίωμα ( axíōma ),意思是“值得或適合的東西”或“稱讚自己是顯而易見的東西”。
研究領域的確切定義各不相同。在經典哲學中,公理是一個如此明顯或完善的陳述,以至於沒有爭議或疑問就被接受。在現代邏輯中,公理是推理的前提或起點。
在數學中,公理可能是“邏輯公理”或“非邏輯公理”。邏輯公理在其定義的邏輯系統中被認為是真實的,並且通常以符號形式顯示(例如,( a和b )意味著a ),而非邏輯公理(例如, a + b = b + a )是關於特定數學理論領域元素的實質性主張,例如算術。
非邏輯公理也可以稱為“假設”或“假設”。在大多數情況下,非邏輯公理只是用於構建數學理論的形式邏輯表達式,並且可能在自然界中可能是不言而喻的(例如,歐幾里得幾何形狀中的平行假設)。為了公理化知識系統是要表明其主張可以從一組寬容的句子集(公理)中得出,並且通常有很多方法可以使給定的數學域化。
任何公理都是一種語句,它是邏輯上其他語句的起點。公理成為“真實”是否有意義(如果是的話,是什麼意思),都是數學哲學中的辯論主題。
詞源
Axiom一詞來自希臘單詞ἀξίωμα ( Axíōma ),這是一個來自動詞ἀξmThis ( Axioein )的口頭名詞,意思是“ to to Deem Worthy”,但也“需要”,這反過來又來自ἄξmTios ( áxios ),含義“(”)保持平衡”,因此“具有(相同的)值(as)”,“ worthy”,“適當”。在古希臘哲學家和數學家中,公理被認為是明顯的命題,基礎是許多調查領域的基礎和共同的,並且自覺地不存在任何進一步的論據或證據。
假設一詞的根本含義是“需求”;例如,歐幾里得要求一個人同意可以做些事情(例如,任何兩個點可以通過直線連接)。
古代幾何圖是公理和假設之間的一些區別。 Proclus在評論歐幾里得的書籍時說:“雙子座認為,這[第四]假設不應歸類為假設,而應將其歸類為公理,因為它不像前三個假設一樣,主張某些構建的可能性,但表達了一個構造的可能性基本財產。” Boethius將“假設”翻譯為Petitio ,並將其稱為公理概念,但在以後的手稿中,這種用法並不總是嚴格保存。
歷史發展
早期希臘人
邏輯範圍的方法,結論(新知識)從前提(舊知識)到使用聲音論證(三段論,推論規則)遵循的結論(新知識)是由古希臘人制定的,並且已成為現代數學的核心原則。排除了重言式,如果什麼都沒有假設,什麼也不能推斷出來。因此,公理和假設是給定的演繹知識體系的基本假設。他們被接受而沒有示威。必須藉助這些基本假設來證明所有其他主張(在數學的情況下)。但是,對數學知識的解釋已經從遠古時代變為現代,因此,公理和假設術語對當今的數學家的含義與亞里士多德和歐幾里得相比具有略有不同的含義。
古希臘人將幾何形狀視為幾種科學之一,並將幾何學定理與科學事實相提並論。因此,他們開發並使用了邏輯 - 折線方法作為避免錯誤以及構造和交流知識的一種手段。亞里士多德的後驗分析是經典觀點的確定性解釋。
經典術語中的“公理”是指許多科學分支共同的自覺假設。一個很好的例子是斷言:
當從平等獲取相等的數量時,相等的數量。
在各種科學的基礎上,提出了一些其他假設,這些假設被接受而沒有證明。這樣的假設被稱為假設。儘管公理對許多科學都是共同的,但每種特定科學的假設都是不同的。他們的有效性必須通過現實世界的經驗確定。亞里士多德警告說,如果學習者對假設的真相懷疑,科學的內容將無法成功傳達。
經典的方法是由歐幾里得的要素很好地闡明的,其中給出了假設列表(從我們的經驗中得出的常識性幾何事實),然後是“共同概念”的列表(非常基本的,不言而喻的斷言)。
-
- 假設
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- 常見的概念
- 等於同一事物的事物也相等。
- 如果將平等添加到平等中,則批量相等。
- 如果從平等中減去平等,則其餘部分相等。
- 彼此一致的事物彼此相等。
- 整體大於部分。
現代發展
在過去150年中,數學學到的一個教訓是,將含義脫離數學斷言(公理,假設,命題,定理)和定義很有用。在任何研究中,必須承認對原始概念或未定義術語或概念的需求。這種抽像或形式化使數學知識更加一般,能夠具有多種不同的含義,因此在多種情況下有用。亞歷山德羅·帕多亞(Alessandro Padoa),馬里奧·皮埃(Mario Pieri )和朱塞佩·皮恩諾(Giuseppe Peano)是這一運動的先驅。
結構主義數學進一步發展,並開發理論和公理(例如場論,群體理論,拓撲,向量空間),而沒有任何特定的應用。 “公理”和“假設”之間的區別消失了。歐幾里得的假設是通過說導致大量幾何事實的積極動機。這些複雜的事實的真實取決於接受基本假設。但是,通過拋出歐幾里得的第五個假設,可以獲得在更廣泛的上下文中具有意義的理論(例如,雙曲線幾何形狀)。因此,必須簡單地準備使用具有更大靈活性的“線”和“並行”等標籤。雙曲幾何形狀的發展使數學家認為,將假設視為純正式陳述,而不是基於經驗的事實很有用。
當數學家使用田間公理時,意圖更加抽象。現場理論的命題並不涉及任何特定的應用。數學家現在完全抽象工作。有很多田野的例子;現場理論給出了所有關於它們的正確知識。
說田間理論的公理是“沒有證據的命題”是不正確的。相反,場公理是一組約束。如果給定的加法和乘法系統滿足這些約束,則可以立即了解有關該系統的大量額外信息。
現代數學將其基礎形式化在一定程度上,即數學理論可以被視為數學對象,並且數學本身可以被視為邏輯的分支。弗雷格,羅素,龐加萊,希爾伯特和戈德爾是這一發展的一些關鍵人物。
現代數學中學到的另一個教訓是仔細檢查所謂的證據,以了解隱藏的假設。
在現代理解中,一組公理是通過應用某些定義明確的規則的任何正式聲明的任何正式陳述斷言。在這種觀點中,邏輯只是另一個正式系統。一組公理應保持一致;從公理中得出矛盾應該是不可能的。一組公理也應不冗餘;可以從其他公理可以推論的斷言不必被視為公理。
現代邏輯學家的早期希望是,數學的各個分支,也許所有數學,都可以源自一致的基本公理集合。形式主義計劃的早期成功是希爾伯特對歐幾里得幾何形狀的形式化,以及這些公理一致性的相關證明。
在更廣泛的背景下,試圖將所有數學基於Cantor的集合理論。在這裡,羅素的悖論和類似的天真景色理論的出現提出了任何這種系統可能不一致的可能性。
正式主義者項目遭受了決定性的挫折,當時1931年,戈德爾(Gödel)表明,對於任何足夠大的公理(例如,佩諾的公理)來說,有可能構建一個陳述,其真理與這套公理無關。作為推論,戈德爾證明了像Peano算術這樣的理論的一致性是該理論範圍內的一個無法證實的斷言。
可以相信Peano算術的一致性是合理的,因為它對自然數的系統(一種無限但直覺上可訪問的形式系統)滿足。但是,目前,尚無已知的方式來證明現代Zermelo -Fraenkel Axioms的一致性。此外,使用強迫技術( Cohen )可以證明連續假設(Cantor)與Zermelo -Fraenkel Axioms無關。因此,即使是一組非常一般的公理集也不能被視為數學的確定基礎。
其他科學
與數學和邏輯相反,實驗科學也具有一般的基礎主張,可以從中構建演繹推理,以表達預測特性的命題 - 仍然是一般或更專業,在特定的實驗環境中。例如,牛頓在古典力學方面的定律,麥克斯韋在經典電磁方面的方程,愛因斯坦的一般相對論,門德爾的遺傳學定律,達爾文的自然選擇定律等。這些建立的主張通常稱為原理或假設,以便與數學公理區分開來。
事實上,公理在數學和假設在實驗科學中的作用是不同的。在數學中,一個既不是“證明”,也不是“反駁”公理。一組數學公理給出了一組修復概念領域的規則,在該概念領域中,該定理在邏輯上遵循。相比之下,在實驗科學中,一組假設應允許推導匹配或與實驗結果不匹配的結果。如果假設不允許推論實驗預測,則不會設定科學的概念框架,必須完成或更準確。如果假設允許推論實驗結果的預測,則與實驗的比較允許偽造(偽造)假設安裝的理論。只要尚未偽造,理論就被認為有效。
現在,數學公理和科學假設之間的過渡總是有些模糊的,尤其是在物理學中。這是由於大量使用數學工具來支持物理理論。例如,牛頓法律的引入很少成為其先決條件,它們既不是歐幾里得的幾何形狀,也不是差異的積分。當阿爾伯特·愛因斯坦(Albert Einstein)首次引入特殊相對論時,它變得越來越明顯了,而不變的數量不再是歐幾里得長度(定義為)>,而是Minkowski時空間隔(定義為),然後是普通的相對性,而平坦的Minkowskian幾何形狀被替換為Pseudo-riemannianianian彎曲歧管上的幾何形狀。
在量子物理學中,兩組假設共存了一段時間,這提供了一個很好的偽造例子。 “哥本哈根學校”( Niels Bohr , Werner Heisenberg , Max Born )開發了一種操作方法,具有完整的數學形式主義,其中涉及可分離的Hilbert Space中的量子系統(“州”)的描述,將其作為線性操作員,在這個希爾伯特空間中行動。這種方法是完全偽造的,迄今為止已經產生了物理學中最準確的預測。但是,它具有不令人滿意的方面,即不允許回答一個人自然會提出的問題。因此,阿爾伯特·愛因斯坦(Albert Einstein),埃文·施羅丁(ErwinSchrödinger ),戴維·博姆(David Bohm)開發了另一種“隱藏變量”方法。它是為了嘗試對諸如糾纏等現象的確定性解釋而創建的。這種方法假設哥本哈根學校的描述還不完整,並假定一些尚未知道的變量將添加到理論中,以便回答它沒有回答的某些問題(其基礎元素被討論為EPR 1935年的悖論)。認真對待這一想法,約翰·貝爾(John Bell)於1964年得出了一個預測,該預測將導致哥本哈根和隱藏變量案例導致不同的實驗結果(貝爾的不平等)。該實驗是在1980年代初首先由Alain方面進行的,結果排除了簡單的隱藏變量方法(複雜的隱藏變量仍然存在,但是它們的屬性仍然比他們試圖解決的問題更令人不安。這並不意味著量子物理的概念框架現在可以視為完整,因為仍然存在一些開放問題(量子和經典領域之間的限制,在量子測量過程中發生的情況,在完全封閉的量子系統中發生的情況這樣作為宇宙本身等)。
數學邏輯
在數學邏輯領域,在兩個公理的概念之間進行了明確的區別:邏輯和非邏輯(與“公理”和“假定”之間的古老區別相似)。
邏輯公理
這些是普遍有效的正式語言中的某些公式,即通過每個值分配來滿足的公式。通常,人們至少將其作為邏輯公理,至少一組最少的重言式,足以證明語言中的所有重言式。在謂詞邏輯的情況下,邏輯公理比所需的公理更具邏輯公理,以證明在嚴格意義上不是邏輯上的真理。
例子
命題邏輯
在命題邏輯中,通常將邏輯公理作為以下形式的所有公式,其中,,和可以是語言的任何公式,以及所包含的原始連接劑僅是“”以“”為“”,以否定立即命題的命題和“”。從先例到隨之而來的命題的含義:
這些模式中的每一個都是公理模式,是生成無限數量的公理的規則。例如,如果是,並且是命題變量,則是公理模式1的實例,因此是公理。可以證明,只有這三個公理架構和作案ponens,可以證明命題演算的所有重言術。還可以證明,這些架構中沒有一對足以證明具有Modus Ponens的所有重言式。
可以構建其他涉及相同或不同的原始連接器集的公理模式。
這些公理模式也用於謂詞演算中,但是需要其他邏輯公理來在演算中包括一個量詞。
一階邏輯
平等的公理。LET是一階語言。對於每個變量,以下公式是普遍有效的。
這意味著,對於任何變量符號,公式都可以視為公理。同樣,在此示例中,要使這不要陷入模糊性和一系列永無止境的“原始概念”,要么是我們所含義的確切概念首先建立了符號的純正或純粹的正式和句法用法,只能將其作為字符串和僅一串符號來執行,而數學邏輯確實確實可以做到這一點。
另一個更有趣的示例公理方案是為我們提供所謂的通用實例化:
通用實例化的公理方案。以一階語言賦予公式,一個可替換為IN的變量和術語,以下公式是普遍有效的。
符號代表公式的位置,術語替換為術語。 (請參閱變量的替換。)從非正式的術語中,此示例允許我們聲明,如果我們知道某個屬性適用於我們結構中特定對象的每個屬性,那麼我們應該能夠要求。同樣,我們聲稱該公式是有效的,也就是說,我們必須能夠“證明”這一事實,或者更恰當地說出一個替身。這些示例是我們數學邏輯理論的元素,因為我們正在處理證明本身的概念。除此之外,我們還可以進行生存的概括:
存在概括的公理方案。給定一階語言的公式,一個可以替換為IN的變量和術語,以下公式是普遍有效的。
非邏輯公理
非邏輯公理是發揮特定理論假設作用的公式。關於兩個不同結構的推理,例如自然數和整數,可能涉及相同的邏輯公理。非邏輯公理旨在捕獲有關特定結構(或一組結構(例如組))的特殊內容。因此,與邏輯公理不同的是非邏輯公理不是反式研究。假設非邏輯公理的另一個名稱。
幾乎每個現代的數學理論都始於一組給定的非邏輯公理,並且認為原則上,每個理論都可以以這種方式進行公理,並正式化為邏輯公式的裸露語言。
非邏輯公理通常被簡單地稱為數學話語中的公理。這並不意味著從某種意義上說,它們是真實的。例如,在某些小組中,小組操作是可交值的,可以通過引入附加的公理來斷言,但是如果沒有這個公理,我們就可以做得很好(更一般性的)小組理論,我們甚至可以接受它作為對非交通性群體研究的公理的否定。
因此,公理是形式邏輯系統的基本基礎,該系統與推理規則一起定義了演繹系統。
例子
本節提供了完全由一組非邏輯公理(Axioms,此後)開發的數學理論示例。這些主題中的任何一個的嚴格處理始於這些公理的規格。
基本理論,例如算術,真實分析和複雜分析,通常是非軸心介紹的,但隱含或明確地是有一個假設,即所使用的公理是Zermelo-Fraenkel Set Three Themens at Choice,縮寫為ZFC的公理,或非常相似的公理設置理論系統,例如von Neumann – Bernays -GödelSet理論,這是ZFC的保守擴展。有時使用稍強的理論,例如Morse -Kelley設定理論或設定理論,具有強烈無法訪問的基本主教,允許使用Grothendieck Universe ,但實際上,實際上,大多數數學家實際上可以證明他們在系統中所需的一切都比ZFC弱,例如第二次,例如第二- 順序算術。
數學拓撲的研究遍及點集拓撲,代數拓撲,差異拓撲和所有相關用具,例如同源性理論,同型理論。抽象代數的發展帶來了群體理論,戒指,田野和加洛伊斯理論。
該列表可以擴展到包括數學的大多數領域,包括測量理論,千古理論,概率,表示理論和差異幾何形狀。
算術
Peano公理是一階算術最廣泛使用的公理化。它們是一組足夠強大的公理,可以證明有關數字理論的許多重要事實,並允許戈德爾建立他著名的第二次不完整定理。
我們有一種語言,其中是一個恆定的符號,是一個單一的函數和以下公理:
- 對於具有一個免費變量的任何公式。
標準結構是一組自然數,是後繼函數,自然被解釋為數字0。
歐幾里得的幾何形狀
可能是最古老,最著名的公理列表是4 + 1歐幾里得的平面幾何形狀的假設。公理被稱為“ 4 + 1”,因為近兩千年的第五個(平行)假設(“通過一條線以外的點,完全有一個平行的點”)被懷疑是從前四個中衍生的。最終,發現第五個假設獨立於前四個。人們可以假設,正好存在一個通過線以外的點並行的,或者存在無限的許多。這種選擇為我們提供了兩種替代形式的幾何形式,其中三角形的內角分別累加到或更小,並被稱為歐幾里得和雙曲線幾何形狀。如果一個人還刪除了第二個假設(“一條線可以無限期擴展”),則會出現橢圓形幾何形狀,其中沒有平行線穿過一條線以外的點,而三角形的內部角度則累加至180度以上。
真實分析
研究的目標在實際數字的領域內。實際數字是通過Dedekind完整有序字段的屬性來唯一挑選出的(直至同構),這意味著任何具有上限上限的非空置的實數具有最少的上限。但是,將這些屬性表示為公理需要使用二階邏輯。 Löwenheim– Skolem定理告訴我們,如果我們將自己限制在一階邏輯上,那麼任何用於Reals的公理系統都可以接受其他模型,包括這兩個模型都比更大的真實和模型小。後者在非標準分析中進行了研究。
數學邏輯中的角色
演繹系統和完整性
演繹系統由一組邏輯公理,一組非邏輯公理和一組推理組成。演繹系統的理想屬性是完成。如果對於所有公式,則據說系統是完整的
也就是說,對於任何是邏輯後果的陳述,實際上都會扣除該陳述。這有時被表示為“真實的一切都是可證明的”,但必須理解,這裡的“ true”含義“由公理組成”,而不是,例如,“在預期的解釋中為true”。 Gödel的完整性定理確立了某種常用類型的演繹系統的完整性。
請注意,“完整性”在這裡具有與戈德爾第一個不完整定理的背景下的含義不同的含義,該定理沒有總會有一定的意義,即算術理論的遞歸,一致,一致的非邏輯公理是完整的存在算術陳述,因此既不能從給定的公理集中證明也不能證明。
因此,一方面是演繹系統完整性的概念,另一方面是一組非邏輯公理的完整性。完整的定理和不完整定理,儘管它們的名字卻沒有彼此矛盾。
進一步討論
早期數學家將公理幾何形狀視為一個物理空間的模型,顯然,只有一種模型。替代數學系統可能存在的想法對19世紀的數學家來說非常令人不安,而布爾代數等系統的開發人員則努力從傳統的算術中衍生出來。加洛伊斯(Galois)在不合時宜的死前表明這些努力大大浪費了。最終,代數係統之間的抽象相似之處比細節更重要,而現代代數誕生了。從現代角度來看,公理可能是任何一套公式,只要它們不一致。