笛卡爾圖

在圖理論中，圖G和H的笛卡爾產物G □ H是一個圖：

• G □ H的頂點集是笛卡爾產品V （ G ）× V （ H ） ；和
• 兩個頂點（ u ， v ）和（ u' ， v' ）在g □ H中相鄰
  • u = u'和v與h中的V'相鄰，或
  • v = v' ， u在g中與u'相鄰。

圖形的笛卡爾產物有時稱為圖的盒子乘積[Harary 1969]。

該操作是關聯的，因為圖（ f □ g ）□ h和f □（ g □ h ）自然是同構。該操作是在圖形的同構類別上的操作，更強烈的圖形G □ H和H □ G自然是同構的，但它並不是標記圖上的操作。

符號G × H經常用於圖形的笛卡爾產品，但現在更常用於另一種稱為圖的張量產物的結構。正方形符號旨在對笛卡爾產品來說是直觀且明確的符號，因為它以笛卡爾產物的兩個邊緣的形式顯示了四個邊緣。

例子

• 兩個邊緣的笛卡爾產物是四個頂點上的一個週期：k ₂ □ k ₂ = c ₄ 。
• K ₂的笛卡爾產物和路徑圖是梯形圖。
• 兩個路徑圖的笛卡爾產物是網格圖。
• N邊緣的笛卡爾產物是一個超立方體：

因此，兩個HyperCube圖的笛卡爾產物是另一個HyperCube：Q _I □ Q _J = Q _I+J 。

• 兩個中間圖的笛卡爾產物是另一個中間圖。
• n- prism的頂點和邊緣的圖是笛卡爾產品圖K ₂ □ c _n 。
• Rook的圖是兩個完整圖的笛卡爾產品。

特性

如果連接的圖是笛卡爾產品，則可以將其作為主要因素的產物進行分解，即無法將其分解為圖形產品的圖。但是， Imrich＆Klavžar（2000）描述了一個斷開的圖表，可以用兩種不同的方式作為主要圖的笛卡爾產物來表達：

加號表示不一堂的聯盟，上標表示對笛卡爾產品的開發。這與身份有關

這兩個因素和不是不可約多的多項式，但是它們的因素包括負係數，因此不能分解相應的圖。從這個意義上講，（可能是斷開連接）圖的唯一分解的失敗類似於以下陳述：具有非負整數係數的多項式是一個半段，使唯一分解屬性失敗。

當且僅當其每個因素都是時，笛卡爾產品是頂點及其及其。

當且僅當其每個因素都是時，笛卡爾產品是雙方的。更一般地，笛卡爾產品的色數滿足方程

Hedetniemi猜想指出了圖的張量產物的相關平等。笛卡爾產品的獨立數量不太容易計算，但是正如Vizing（1963）所表明的那樣滿足了不平等現象

崇高的猜想指出，笛卡爾產品的統治數量滿足不平等

單位距離圖的笛卡爾產品是另一個單位距離圖。

在線性時間內可以有效地識別笛卡爾產品圖。

代數圖理論

代數圖理論可用於分析笛卡爾圖產品。如果圖形有頂點和鄰接矩陣和圖有頂點和鄰接矩陣 ，然後，這兩個圖的笛卡爾產品的鄰接矩陣由

,

在哪裡表示矩陣的Kronecker產品表示身份矩陣。因此，笛卡爾圖產品的鄰接矩陣是該因素的鄰接矩陣的kronecker總和。

類別理論

將圖視為一個類別，其對像是頂點且形態為圖中的路徑，圖形的笛卡爾產物對應於類別的有趣張量產品。圖形的笛卡爾產物是將圖形和圖同構類別變成對稱閉合的單體類別（而不是僅僅是對稱單體）的兩個圖形產品之一，另一個是圖形的張量產物。內部霍姆圖形的笛卡爾產物具有圖形同構。 到作為邊緣之間的頂點和“不自然的變換”。

歷史

根據Imrich＆Klavžar（2000）的說法， Whitehead和Russell在1912年定義了笛卡爾產品。他們後來反復重新發現它們，特別是Gert Sabidussi （ 1960 ）。