退化（圖理論）
在圖理論中， k個化圖是一個無方向的圖，其中每個子圖最多具有k ：也就是說，子圖中的某些頂點觸摸k或少於子圖的邊緣。圖的變性是k的最小值，其為k的基礎。圖的退化是衡量稀疏度的量度，並且在其他稀疏度度量（例如圖形的樹木）的恆定因子內。
退化也稱為k核數，寬度和鏈接，基本與著色數或szekeres -wilf數字（以Szekeres和Wilf （ 1968 ）命名）。 k -devenate圖也稱為k感應圖。圖形的脫落率可以通過線性時間來計算，該算法反复去除最低級頂點。在所有程度小於k的頂點（反复）刪除後留下的連接組件稱為圖的k核，圖形的脫位率是最大的值k ，因此它具有k核。
例子
每個有限的森林都有一個孤立的頂點（無邊緣的入射）或一個葉頂點（正好是一個邊緣）；因此，樹木和森林是一級圖。每個1級圖都是森林。
每個有限平面圖都有一個或多或少的頂點。因此，每個平面圖都是5級化的，任何平面圖的墮落最多都是五個。同樣，每個外平面圖最多都具有墮落性，而Apollonian網絡則具有三個變性。
用於生成隨機無尺度網絡的Barabási-Albert模型由數字M進行了參數化，以使添加到圖的每個頂點具有M先前添加的頂點。因此，以這種方式形成的網絡的任何子圖最多都具有m度的頂點（該子圖中的最後一個頂點已添加到圖表中），而Barabási -Albert網絡則自動是m -decenate。
每個k期限圖都具有脫位k 。更強烈的是，當且僅當圖表的至少一個連接的組件中的一個最大程度定期時，圖形的退化等於其最大頂點度。對於所有其他圖，嚴格的退化性少於最大程度。
定義和等價
圖G的著色數是由Erdős＆Hajnal（1966）定義的，是存在G的最小κ，其中每個頂點的序列是每個頂點的序列，其中每個頂點的鄰居少於訂購中較早的κ鄰居。它應與G的色數區分開來，即為頂點著色所需的最小顏色數，以便沒有兩個相鄰的頂點具有相同的顏色。確定著色數的排序提供了一個順序，使G著色的頂點用著色編號著色，但總體而言，色數可能較小。
圖G的變性是由Lick＆White（1970）定義為最少的K ，使得G的每個誘導子圖都包含一個具有K或更少鄰居的頂點。如果允許任意子圖代替誘導的子圖，則該定義將是相同的，因為非誘導子圖只能具有小於或等於由同一頂點集引起的子刻度中的頂點度或等於頂點度。
著色數和墮落的兩個概念是等效的：在任何有限圖中，墮落僅比著色數低一個。因為，如果圖具有顏色編號κ的順序，則在每個子圖H中，屬於H的頂點，在訂購中最多的最多具有H中的κ -1鄰居。在另一個方向上，如果G是k -devenate，則可以通過反复在最多k鄰居找到頂點V ，從圖形中刪除V，從圖中刪除V ，並添加V V來獲得顏色編號k + 1的訂購，從而獲得了v。到訂單的結尾。
第三個等效的公式是g是k的（或最多具有k + 1的顏色），並且僅當G的邊緣可以定向以最多k形成具有Outdegree的定向的無環圖。可以通過將每個邊緣定向每個邊緣的較早端點的早期來形成這種方向。在另一個方向上，如果給出了具有超級k的方向，則可以作為顏色編號k + 1的訂購作為所得定向的無環圖的拓撲排序獲得。
k核
圖G的K核是G的最大連接子圖，其中所有頂點至少具有至少k 。同等地，它是通過反复刪除所有小於k的程度的頂點而形成的G形成的子圖的連接組件之一。如果存在非空的k核，那麼顯然， G至少具有k脫並變性，而g的墮落是G具有k核的最大k 。
頂點
引入了K核的概念來研究社交網絡的聚類結構並描述隨機圖的演變。它也已應用於生態學網絡的生物信息學，網絡可視化和彈性。在Malliaros等人中可以找到該主題的調查，涵蓋主要概念，重要的算法技術以及某些應用領域。 （2019） 。
Bootstrap Percolation是一個隨機過程，作為流行病模型，也是分佈式計算的容錯的模型。它包括從晶格或其他空間中選擇一個隨機的活性細胞子集，然後考慮該子集的誘導子圖的k核。
演算法
Matula＆Beck（1983）概述了一種算法，以得出圖形的退化順序
更詳細地，該算法進行如下：
- 初始化輸出列表l 。
- 在G中計算每個頂點V的數字D V ，這是L中尚未在L中的鄰居數。最初，這些數字只是頂點的程度。
- 初始化一個數組d ，以便d [ i ]包含一個尚未在l中d v = i的頂點v的列表。
- 初始化k至0。
- 重複N時間：
- 掃描陣列單元格d [0]， d [1]，...直到找到一個d [ i ]是非空的i 。
- 將k設置為最大（ k ， i ）
- 從d [ i ]中選擇一個頂點v 。將V添加到L的開頭，然後將其從D [ I ]中刪除。
- 對於v的每個鄰居w ，從l中尚未從d w中減去一個，然後將w移動到與d w的新值相對應的d的單元格。
在算法的末尾，任何頂點
與其他圖參數的關係
如果圖G與超級k相關地定向，則可以通過為每個節點的每個傳出邊緣選擇一個森林，將其邊緣劃分為K森林。因此， G的樹木性最多等於其退化。在另一個方向上，可以將可以分配到K森林中的N vertex圖最多具有K （ n -1）邊緣，因此最多具有2 k -1的頂點 - 因此，墮落率是小於兩倍的。樹木。一個人也可以在多項式時間中計算一個圖的方向，該圖的方向可以最大程度地減少過度，但不需要無環。具有這種取向的圖的邊緣可以以相同的方式分區到k偽遠處，相反，圖表的邊緣的任何分區中的任何分區中的任何分區都會導致超級k取向，因此這種方向的最小超級是偽硼化，它最多也等於墮落。厚度也屬於支子的恆定因素，因此也具有變性。
k -depeNate圖最多具有k + 1的色度；這是通過對頂點數量的簡單感應證明的，這與平面圖的六色定理的證明一樣。由於色數是最大集團的上限上的上限，因此後一個不變性最多也是墮落的加上一個。通過在具有最佳著色號的訂購上使用貪婪的著色算法，可以使用最多使用K + 1顏色來繪製k -depegenate圖的顏色。
k vertex連接的圖是一個圖形，無法通過少於k頂點的刪除來將多個組件劃分為一個以上的組件，或者等效地將每對頂點可以通過k Vertex-disechaint路徑連接。由於這些路徑必須通過分離邊緣留下兩對的兩個頂點，因此k -vertex相互連接的圖必須至少具有k 。與K核相關的概念，但基於頂點連接性的概念已在社交網絡理論中以結構凝聚的名義進行了研究。
如果圖形最多為k ，則具有樹寬或路徑，則是弦圖的子圖，該圖具有完美的消除順序，每個頂點最多都具有k早期鄰居。因此，退化最多等於樹寬，最多等於路徑寬度。但是，存在具有有界變性和無界樹寬的圖形，例如網格圖。
burr – erds的猜想將圖G的變性與g的ramsey數字相關聯，至少n ，因此n -vertex完整圖的任何兩鍵色都必須包含g的單色副本。具體而言，猜想是對於K的任何固定值K， k -devenate圖的Ramsey數量在圖形的頂點數中線性增長。 Lee（2017）證明了猜想。
任何
無限圖
儘管在有限圖的背景下經常考慮退化和著色數的概念，但ErdőS＆Hajnal（1966）的原始動機是無限圖的理論。對於無限圖G ，可以將著色數類似於有限圖的定義，因為最小的基數數α，因此存在g的良好序列，其中每個頂點的dertices均低於α鄰居的較少的α鄰居在訂購的早期。在這種無限的環境中，著色和色數之間的不平等也存在； Erdős＆Hajnal（1966）指出，在發表論文時，它已經眾所周知。
無限晶格的隨機子集的墮落性已被以bootstrap滲透的名義進行了研究。