方面
在物理和數學中，數學空間（或對象）的維度非正式地定義為指定其中任何點所需的最小坐標數。因此，一條線的尺寸為一個（1D），因為只需要一個坐標來指定其上的一個點 - 例如，在數字線上為5點。表面（例如氣缸或球的邊界）具有兩個（2D）的尺寸，因為需要兩個坐標來指定其上的點 - 例如，需要一個緯度和經度來定位表面上的一個點一個球體。二維歐幾里得空間是平面上的二維空間。立方體的內部，圓柱或球是三維（3D），因為需要三個坐標來在這些空間內找到一個點。
在經典力學中，空間和時間是不同的類別，指的是絕對空間和時間。這個世界的概念是一個四維的空間，但不是描述電磁主義所必需的空間。時空的四個維度（4D）由並非絕對在空間和時間上定義的事件組成，而是相對於觀察者的運動已知的。 Minkowski空間首先近似無重力的宇宙。一般相對論的偽里曼尼亞人流形描述了物質和重力的時空。 10個維度用於描述超邊緣理論（6D超空間 + 4D），11個維度可以描述超級強度和M理論（7D Hyperspace + 4D），而量子力學的狀態空間是無限量化功能空間。
維度的概念不僅限於物理對象。高維空間經常出現在數學和科學中。它們可能是歐幾里得空間或更一般的參數空間或配置空間，例如在拉格朗日或哈密頓力學中；這些是抽象空間，與物理空間無關。
在數學中
在數學中，對象的維度是大概的是在該對像上移動的點的自由度。換句話說，維度是定義被約束在對像上的點的位置所需的獨立參數或坐標的數量。例如，一個點的尺寸為零。一條線的尺寸是一個，因為一個點只能沿一個方向（或相反）在一條線上移動；飛機的尺寸為兩個等。
尺寸是對象的內在屬性，因為它獨立於對象所在或可以嵌入對象的空間的尺寸。例如，曲線（例如圓）為維數，因為曲線上的點的位置取決於曲線沿曲線到曲線上的固定點的簽名距離。這獨立於以下事實：除非是線條，否則不能將曲線嵌入低於兩個的歐幾里得空間中。
歐幾里得n空間E n的尺寸為n 。當試圖概括到其他類型的空間時，人們面臨著“是什麼使E n -N -Vimustional？”面臨問題。一個答案是，要通過半徑ε的小球覆蓋固定的球，就需要在ε -n這樣的小球上。該觀察結果導致了Minkowski維度的定義及其更複雜的變體Hausdorff Dimension ，但此問題也有其他答案。例如， E n中球的邊界看起來像E n -1 ，這導致了電感維度的概念。儘管這些概念同意e n ，但當人們看著更一般的空間時，它們會有所不同。
Tesseract是一個四維對象的示例。雖然在數學外部使用“維度”一詞的使用如下：“ Tesseract具有四個維度”，而數學家通常將其表示為：“ Tesseract具有尺寸4 ”或：“ Tesseract的維度為4”或： 4d。
儘管較高維度的概念可以追溯到雷內笛卡爾（RenéDescartes） ，但高維幾何形狀的實質發展僅在19世紀始於亞瑟·卡利（Arthur Cayley） ，威廉·羅恩·漢密爾頓（ William Rowan Hamilton） ，路德維希·施萊夫利（ LudwigSchläfli ）和伯恩哈德·里曼（Bernhard Riemann） 。里曼（Riemann）1854年的Habilitationsschrift ，Schläfli的1852年理論理論，以及漢密爾頓（Hamilton）發現了Quattrnions和John T. Graves在1843年發現的八粒元素的發現標誌著高維度的開始。
本節的其餘部分研究了維度的一些更重要的數學定義。
向量空間
向量空間的尺寸是該空間的任何基礎上的向量數，即指定任何向量所需的坐標數。維度的概念（基礎的基礎性）通常稱為Hamel維度或代數維度，以將其與其他維度概念區分開。
歧管
可以計算每個連接的拓撲歧管的唯一定義的維度。連接的拓撲歧管是局部同構的歐幾里得N空間，其中數字n是歧管的尺寸。
在幾何拓撲結構中，流形理論的特徵是維度1和2相對基本，高維情況n > 4可以通過擁有額外的“工作”空間來簡化；案例n = 3和4在某種意義上是最困難的。在龐加萊猜想的各種情況下，這種情況得到了高度標記，其中採用了四種不同的證明方法。
複雜維度
歧管的尺寸取決於基本場定義的歐幾里得空間。雖然分析通常假定具有超過實際數字的流形，但有時在研究複雜的歧管和代數品種的研究中可以在複數上工作。一個複雜的數字（ x + iy ）具有真實的x和一個虛構的部分y ，其中x和y都是實數。因此，複雜維度是實際維度的一半。
相反，在代數不受約束的上下文中，可以將單個複雜坐標系應用於具有兩個實際維度的對象。例如，一個普通的二維球面表面，如果給出一個複雜的度量，則將變成一個複數維度的Riemann球體。
品種
代數品種的維度可以通過各種等效方式定義。最直觀的方式可能是在代數品種的任何常規點上切線空間的尺寸。另一種直觀的方法是將維度定義為所需的超平面的數量，以使其與降低到有限數量的點（尺寸零）相交。該定義基於以下事實：除非超平麵包含多種變體，否則品種與超平面的相交將尺寸降低一個。
代數集是代數品種的有限結合，其尺寸是其組件的最大尺寸。它等於給定代數集的子視頻的鏈的最大長度（這種鏈的長度是“”的數量）。
每個品種都可以視為代數堆棧，並且它的尺寸與多樣性相吻合作為堆棧的尺寸。但是，有許多與品種不符的堆棧，其中一些具有負尺寸。具體而言，如果V是多種維數M和G是作用於V的維數的代數組，則商堆棧[ V / G ]具有m -n 。
克魯爾尺寸
換向環的krull尺寸是其中主要理想的鏈的最大長度，長度為n的鏈條是通過包容性相關的一系列主要理想序列。它與代數品種的尺寸密切相關，因為該品種上多項式環的次視角和主要理想之間的自然對應關係。
對於一個字段上的代數，僅當其krull尺寸為0時，作為矢量空間的尺寸是有限的。
拓撲空間
對於任何正常的拓撲空間x ， x覆蓋尺寸的Lebesgue定義為以下最小的整數n ：任何開放式封面都有開放的改進（第二個開放式封面，每個元素是元素的子集中的一個子集第一個封面）使得不包括超過n + 1個元素。在這種情況下，昏暗x = n 。對於x歧管，這與上面提到的維度相吻合。如果沒有這樣的整數n ，則X的尺寸被認為是無限的，並且一個dim dim x =∞ 。此外， x具有-1，即dim dim x = -1時，僅當x為空時。覆蓋維度的定義可以從正常空間的類別擴展到所有Tychonoff空間，僅通過用“功能打開”術語替換“打開”一詞。
電感維度可以如下歸納定義。考慮一組離散的點（例如有限積分集合）為0維。通過在某個方向上拖動0維對象，一個人獲得了1維對象。通過在新方向上拖動一維對象，可以獲得一個二維對象。通常，一個人通過在新方向上拖動n維對象來獲得（ n + 1 ）維對象。拓撲空間的電感維度可能是指小的電感維度或較大的電感尺寸，並且基於以下類比，即在度量空間的情況下， （ n + 1 ）維球具有n維邊界，允許基於開放集界限的維度的歸納定義。此外，一組離散點的邊界是空集，因此可以將空集以-1為-1。
類似地，對於CW絡合物類別，對象的尺寸是n骨架非平凡的最大n 。直觀地，這可以描述如下：如果原始空間可以連續變形為具有復雜表面的臉部較高維三角形的集合，則該物體的尺寸是這些三角形的尺寸。
Hausdorff維度
Hausdorff維度可用於研究結構上複雜的集合，尤其是分形。 Hausdorff尺寸是針對所有度量空間定義的，與上面所考慮的維度不同，也可以具有非整合實際值。框維度或Minkowski維度是同一想法的變體。通常，有更多關於分形維度的定義，這些定義可用於高度不規則的集合併獲得非全能的積極真實價值。
希爾伯特空間
每個希爾伯特空間都承認了正直的基礎，並且特定空間的任何兩個這樣的基礎都具有相同的基數。這種基數稱為希爾伯特空間的維度。當且僅當空間的Hamel尺寸是有限的時，並且在這種情況下，兩個維度是有限的。
物理學
空間維度
古典物理理論描述了三個物理維度：從空間的特定點開始，我們可以移動的基本方向是向上/向下，左/向前/向後/向後。朝任何其他方向的運動只能以這三個方向表達。向下移動與向上移動負距離相同。向上向前移動是指方向的名稱所暗示的。即，以向前和向前的線性組合移動。以其最簡單的形式：一條線描述了一個維度，一個平面描述了兩個維度，並且一個立方體描述了三個維度。 （請參閱太空和笛卡爾坐標系。）
|
維度的數量
|
示例坐標系統 | |||
|---|---|---|---|---|
| 1 |
|
|||
| 2 |
|
|||
| 3 |
|
時間
時間維度或時間維度是時間的維度。由於這個原因，時間通常被稱為“第四維”，但這並不意味著它是空間維度。時間維度是測量物理變化的一種方法。它的感知與三個空間維度不同，因為其中只有一個，並且我們不能及時自由移動，而是朝一個方向移動。
物理學中用於建模現實的方程式不會像人類通常認為它的方式一樣處理時間。經典力學方程相對於時間是對稱的，如果時間和其他數量（例如電荷和平價）都相反，則量子力學方程通常是對稱的。在這些模型中，對一個方向流動的時間的感知是熱力學定律的偽像（我們將時間視為在增加熵的方向上流動）。
最著名的時間療法是龐加萊和愛因斯坦的特殊相對論（並擴展到一般相對論），它將感知到的空間和時間視為四維流形的成分，即時空，在特殊的時期，在特殊中，平面箱為Minkowski空間。隨著時間在所有空間維度中運行時，時間與其他空間維度不同。時間在第一，第二和第三和理論空間維度（例如第四個空間維度）中運行。然而，時間並不存在於絕對無限奇點的單點，因為它定義為幾何點，因為無限小點沒有變化，因此沒有時間。就像一個物體穿過太空中的位置一樣，它也會及時地通過位置。從這個意義上講，將任何對象變為變化的力是時間。
其他維度
在物理學中，空間的三個維度和一個時間是公認的規範。但是，有一些理論試圖通過引入額外的維度/超空間來統一四個基本力量。最值得注意的是，超弦理論需要10個時空維度，源自更基本的11維理論，臨時稱為M理論，該理論涵蓋了5種以前不同的Superstring理論。超級理論還促進11D時空= 7D超空間 + 4個常見維度。迄今為止，尚無直接實驗或觀察性證據來支持這些額外維度的存在。如果存在超空間，則必須通過某種物理機制隱藏它。一個充分的可能性是，額外的維度可能會在微小的尺度上“捲曲”，從而有效地看不見當前的實驗。
1921年， Kaluza – Klein理論提出了5D，其中包括額外的空間維度。在量子場理論的層面上，Kaluza – Klein理論基於重力相互作用，基於認識到，在小，緊湊的額外尺寸中傳播的重力等效於長距離衡量相互作用。特別是當額外維度的幾何形狀微不足道時，它會再現電磁作用。然而，在足夠高的能量或短距離下，這種設置仍然遭受相同的病理，這些病變卻犯了直接試圖描述量子重力的嘗試。因此，這些模型仍然需要紫外線完成，這是字符串理論旨在提供的那種。特別是，超弦理論需要六個緊湊的維度（6d超空間），形成calabi -Yau歧管。因此，Kaluza-Klein理論可以被視為單獨的不完整描述，或者是字符串理論模型構建的子集。
除了小且捲曲的額外尺寸外，可能還有額外的維度，而不是顯而易見的，因為與我們可見的宇宙相關的物質位於（3 + 1）維度子空間上。因此，額外的尺寸不必很小且緊湊，但可能是較大的額外尺寸。 d-branes是字符串理論預測的各種維度的動力擴展對象，可以發揮這種作用。它們具有與儀表相互作用相關的打開弦激興激發的特性，其端點僅限於勃朗納，而介導重力相互作用的封閉字符串則可以自由地傳播到整個時空或“散裝”中。這可能與為什麼重力比其他力弱弱，因為它可以有效地稀釋自身，因為它會傳播到較高的體積。
Brane物理學的某些方面已應用於宇宙學。例如，Brane Gas宇宙學試圖解釋為什麼使用拓撲和熱力學考慮的空間有三個維度。根據這個想法，這將是因為三個是空間維度數量最多的，其中字符串可以一般相交。如果最初在緊湊的尺寸周圍有許多弦樂繞組，那麼一旦消除了這些繞組，空間才能擴展到宏觀尺寸，這需要相互傷口的弦線彼此找到並消滅。但是，字符串只能在三個維度上以有意義的速度殲滅彼此，因此，只有三個維度的空間才能大大生長，並且給定這種初始配置。
如果所有領域同樣可以自由地傳播它們，則據說額外的維度是普遍的。
在計算機圖形和空間數據中
幾種類型的數字系統基於幾何形狀的存儲，分析和可視化，包括插圖軟件，計算機輔助設計和地理信息系統。不同的向量系統使用多種數據結構來表示形狀，但幾乎所有內容從根本上都是基於一組與空間維度相對應的幾何基礎的基礎：
- 點（0維），笛卡爾坐標系中的單個坐標。
- 線或多線線（一維），通常表示為從連續線採樣的點的有序列表，因此該軟件有望插入該線的中間形狀為直線或彎曲線段。
- 多邊形（二維），通常表示為在其端點上關閉的線，代表二維區域的邊界。預計該軟件將使用此邊界將二維空間劃分為內部和外部。
- 表面（3維），使用多種策略，例如由連接的多邊形面組成的多面體。預計該軟件將使用該表面將3維空間劃分為內部和外部。
在這些系統中，尤其是GIS和製圖術，經常在現實世界現象的表示可能具有與所代表的現像不同（通常較低）的維度。例如，可以將城市（二維區域）表示為要點，也可以將道路（三維材料）表示為一條線。這種維度概括與空間認知的趨勢相關。例如，詢問兩個城市之間的距離是城市的概念模型，同時給出涉及旅行“向上”，“向下”或“沿著”的道路的指示意味著一個一維概念模型。這通常是出於數據效率，視覺簡單性或認知效率的目的而進行的，如果了解表示和表示之間的區別，則可以接受，但是如果信息用戶認為數字形狀是現實的完美表示，則可能會引起混亂（即，認為道路確實是線條）。