多方面分析

在工程和科學中，維度分析是通過識別其基本數量（例如長度，質量，時間和電流）和測量單位（例如儀表和克）並跟踪這些維度來分析不同物理數量之間關係的分析。進行計算或比較。術語尺寸分析還用於指單元從一個維單元轉換為另一個單位，可用於評估科學公式。

可相稱的物理量是相同的，並且具有相同的維度，並且可以直接進行比較，即使它們以不同的測量單位表示；例如，米和腳，克和磅，秒和數年。不可超過的物理量具有不同的種類，並且具有不同的維度，並且不能直接相互比較，無論它們以哪種單位（例如，例如米和克，秒，秒和克，儀表，儀表和秒數）。例如，詢問一克是否大於一個小時是毫無意義的。

任何物理上有意義的方程式或不平等的方程式都必須在其左右側具有相同的維度，這是一種稱為維度同質性的屬性。檢查尺寸同質性是維度分析的常見應用，它是對派生方程和計算的合理性檢查。它還可以作為推導方程式的指南和約束，該方程可能在沒有更嚴格的推導的情況下描述物理系統。

1822年，約瑟夫·傅里耶（Joseph Fourier）引入了物理維度和維度分析的概念。

公式

白金漢π定理描述瞭如何將涉及 $n$ 變量的每個物理有意義的方程等效地重寫為 $n -m$ 無量綱參數的方程，其中m是尺寸矩陣的等級。此外，最重要的是，它提供了一種從給定變量計算這些無量綱參數的方法。

尺寸方程可以通過非二敏化可以減少或消除尺寸，這始於尺寸分析，並涉及按系統或自然物理常數的特徵單位進行縮放數量。如下示例所示，這可能會深入了解系統的基本屬性。

物理量的尺寸可以表示為基礎物理尺寸（例如長度，質量和時間）的產物，每個尺寸都會提高到整數（偶爾是理性的）功率。物理量的尺寸比表達該物理量數量的某些量表或單位更為基礎。例如，質量是一個維度，而千克是選擇表達質量量的特定參考量。單位的選擇是任意的，其選擇通常基於歷史先例。僅基於普遍常數的天然單元可能被認為是“較少的任意”。

基礎物理維度有很多可能的選擇。 SI標準選擇以下維度和相應的維度符號：

時間（t），長度（L），質量（M），電流（I），絕對溫度（θ），物質（n）和發光強度（J）。

這些符號是按照慣例編寫的，通常是用羅馬 sans serif字體編寫的。從數學上講，數量 $Q$ 的尺寸由

\operatorname {dim} Q={\mathsf {T}}^{a}{\mathsf {L}}^{b}{\mathsf {M}}^{c}{\mathsf {I}}^{d}{\mathsf {\Theta }}^{e}{\mathsf {N}}^{f}{\mathsf {J}}^{g}

其中 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ ， $e$ ， $f$ ， $g$ 是維數。其他物理量可以定義為基本數量，只要它們形成線性獨立的基礎- 例如，一個人可以用電荷尺寸（q）替換SI基礎電流的尺寸（i），因為q = ti 。

僅 $B \neq0$ （所有其他指數零）的數量稱為幾何數量。僅具有 $A \neq0$ 和 $B \neq0的$ 數量被稱為運動學數量。僅具有所有 $A \neq0$ ， $B \neq0$ 和 $C \neq0的$ 數量被稱為動態數量。據說所有指數為無效的數量。

選擇表達物理數量及其維度的單位是相關的，但不是相同的概念。物理數量的單位由慣例定義，並且與某些標準有關；例如，長度可能具有單位的米，腳，英寸，英里或微米；但是任何長度總是具有L的尺寸，無論選擇哪個長度單位來表達它。相同物理數量的兩個不同單位具有將它們相關的轉換因子。例如， 1 in = 2.54 cm ;在這種情況下，2.54 cm/in是轉換因子，它本身是無尺寸的。因此，乘以該轉換因子不會改變物理數量的維度。

也有一些物理學家對物理量的不相容基本維度的存在感到懷疑，儘管這並沒有使維度分析的有用性無效。

簡單的情況

作為示例，物理量速度 $V$ 的尺寸為v

\operatorname {dim} v={\frac {\text{length}}{\text{time}}}={\frac {\mathsf {L}}{\mathsf {T}}}={\mathsf {T}}^{-1}{\mathsf {L}}.

物理量加速度的維度 $為$

\operatorname {dim} a={\frac {\text{speed}}{\text{time}}}={\frac {{\mathsf {T}}^{-1}{\mathsf {L}}}{\mathsf {T}}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}.

物質力 $F$ 的尺寸為f

\operatorname {dim} F={\text{mass}}\times {\text{acceleration}}={\mathsf {M}}\times {\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}.

物理壓力 $p$ 的尺寸為

\operatorname {dim} P={\frac {\text{force}}{\text{area}}}={\frac {{\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}}{{\mathsf {L}}^{2}}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}^{-1}{\mathsf {M}}.

物理量能量 $E$ 的維度為

\operatorname {dim} E={\text{force}}\times {\text{displacement}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}\times {\mathsf {L}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}.

物理量功率 $P$ 的維度P是

\operatorname {dim} P={\frac {\text{energy}}{\text{time}}}={\frac {{\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}}{\mathsf {T}}}={\mathsf {T}}^{-3}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}.

物理量電荷 $Q$ 的尺寸為

\operatorname {dim} Q={\mathsf {T}}{\mathsf {I}}.

物理量電勢差的維度 $V$ 為

\operatorname {dim} V={\frac {{\mathsf {T}}^{-3}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}}{\mathsf {I}}}={\mathsf {T^{-3}}}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}{\mathsf {I}}^{-1}.

物理量電容的尺寸 $C$ 為

\operatorname {dim} C={\frac {\text{electric charge}}{\text{electric potential difference}}}={\frac {{\mathsf {T}}{\mathsf {I}}}{{\mathsf {T}}^{-3}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}{\mathsf {I}}^{-1}}}={\mathsf {T^{4}}}{\mathsf {L^{-2}}}{\mathsf {M^{-1}}}{\mathsf {I^{2}}}.

瑞利的方法

在維度分析中，雷利的方法是一種用於物理，化學和工程的概念工具。它以指數方程的形式表達了某些變量的功能關係。它以雷利勳爵的名字命名。

該方法涉及以下步驟：

收集所有可能影響因變量的自變量。
如果 $r$ 是一個變量，取決於自變量 $r 1$ ， $r 2$ ， $r 3$ ，...， $r n$ ，則功能方程可以寫為 $r = f （ r 1 ， r 2 ， r 3 ，... ， r n ）$ 。
以 $r = c r 1 a r 2 b r 3 c ... r n m 的$ 形式寫上述方程式，其中 $c$ 是無量綱常數， $a$ ， $b$ ， $c$ ，...， $m$ 是任意指數。
在某些需要解決方案的基本單元中表達方程中的每個數量。
通過使用尺寸同質性，獲得一組涉及指數 $a$ ， $b$ ， $c$ ，...的同時方程式 $。$
求解這些方程以獲得指數 $A$ ， $B$ ， $C$ ，...， $m$ 的值。
替換主方程中的指數值，並通過將變量與類似指數分組分組來形成非二維參數。

作為一個缺點，瑞利的方法沒有提供有關尺寸分析結果獲得的無量綱組數量的任何信息。

混凝土數字和基本單位

物理科學和工程中的許多參數和測量值表示為具體數字- 數值數量和相應的維度單元。通常用其他數量表示數量。例如，速度是長度和時間的組合，例如每小時60公里或每秒1.4公里。與“ Per”的複合關係用分裂表示，例如60 km/h。其他關係可能涉及乘法（通常用中心點或並置），功率（例如平方米的m ² ）或組合。

一組用於測量系統的基本單元是一組常規選定的單元，沒有一個單位可以表示為其他單元，並且就係統的所有其餘單元而言，都可以表達出來。例如，長度和時間的單元通常被選為基本單位。但是，可以將體積單元納入長度的基本單元（m ³ ），因此它們被認為是衍生或複合單元。

有時，單位的名稱掩蓋了它們是派生單位的事實。例如，牛頓（n）是一個力單位，可以表示為質量（帶單位kg）和加速度（帶有m·s -2單位^-2 ）的乘積。牛頓定義為1 n = 1 kg·m·s ^-2 。

百分比，衍生品和積分

百分比是無量綱的數量，因為它們的比例為兩個數量，具有相同的維度。換句話說，％符號可以讀為“百分之一”，因為1％= 1/100 。

相對於數量，將衍生物劃分為尺寸除以相對於變量的維度。因此：

位置（ $x$ ）具有尺寸l（長度）；
相對於時間（ $DX / DT$ ，速度）的位置衍生物具有尺寸t ^-1 l - 從位置，由於梯度引起的時間；
第二個導數 $（ D 2 x / dt 2 = d （ dx / dt ） / dt$ ，加速度）具有尺寸t ^-2 l 。

同樣，取一個積分也增加了一個變量的維度，而一個數字是相對於分子集成的。

力具有尺寸t ^-2 l m （質量乘以加速度）；
力相對於物體傳播（工作）的距離的積分具有t -2l2m的尺寸。

在經濟學中，人們區分股票和流量：股票有一個單位（例如，小部件或美元），而流量是股票的衍生品，並且該單位的形式的單位單位除以一個時間（例如，美元/年）。

在某些情況下，尺寸數量通過省略一些維度表示為無量綱的數量或百分比。例如，債務與GDP比率通常表示為百分比：未償還的總債務（貨幣維度）除以年GDP（貨幣尺寸）（貨幣尺寸），但有人可能會說，在將股票與流量進行比較時，年度GDP應具有貨幣/時間的尺寸（例如，美元/年），因此債務到GDP應該具有單位年份，這表明債務至GDP是持續GDP支付債務所需的年數，如果所有GDP都用於債務上，而債務則沒有改變。

尺寸同質性（相稱性）

維度分析的最基本規則是維度同質性。

只能比較，等同，添加或減去可比較，等同，添加或減去可相稱的數量（具有相同維度的物理量）。

但是，尺寸在乘法下形成了一個阿貝爾組，因此：

一個人可能需要不可限的量（具有不同維度的數量）的比率，並乘以或分割它們。

例如，詢問1小時是否更多，相同或小於1公里是沒有意義的，因為這些尺寸不同，也不會增加1小時到1公里。但是，詢問1英里是更多，相同還是小於1公里，即使單位不同，也是相同的物理數量維度，這是有意義的。另一方面，如果一個物體在2小時內行駛100公里，則可以將其劃分並得出結論，即對象的平均速度為50 km/h。

該規則暗示，在物理上有意義的表達中，只能添加，減去或比較相同維度的數量。例如，如果分別表示 $某個人$ 的質量， $大鼠的$ 質量和那個人的長度，則尺寸同質表達 $m + m 大鼠$ 是 $有意義的$ ，但是異質表達是有意義的 $M Man + L 人$ 毫無意義。但是， $M Man / L 2 人$ 很好。因此，尺寸分析可以用作物理方程的理智檢查：任何方程的兩個側面都必須相稱或具有相同的維度。

即使兩個物理量具有相同的維度，比較或添加它們可能毫無意義。例如，儘管扭矩和能量共享尺寸t ^-2 L ² m ，但它們的物理量根本不同。

要比較，添加或減去數量相同的維度，但以不同單位表示，標準過程首先將它們全部轉換為同一單元。例如，要將32米的32米進行比較，請使用1碼= 0.9144 m將35碼轉換為32.004 m。

一個相關的原則是，任何準確描述現實世界的物理定律都必須獨立於用於測量物理變量的單位。例如，牛頓的運動定律是否必須保持距離，無論距離是用英里還是公里衡量的。該原理產生了以下形式：測量相同維度的單元之間的轉換因子必須採用：乘法通過簡單常數。它還確保等效；例如，如果兩座建築物的高度相同，則它們的高度必須在米中相同。

轉換因子

在維度分析中，將一個單位單位轉換為另一個不改變數量的比率稱為轉換因子。例如，kPa和bar都是壓力單位，而100 kPa = 1 bar 。代數的規則使方程式的兩側都可以除以相同的表達式，因此相當於100 kPa / 1 bar = 1 。由於任何數量都可以乘以1而不更改它，因此表達式“ 100 kPa / 1 bar ”可用於通過將其與要轉換的數量（包括單元）相乘，將其從條形轉換為kpa。例如， 5 bar×100 kpa / 1 bar = 500 kpa ，因為5×100 /1 = 500 ，並且bar / bar取消，因此5 bar = 500 kpa 。

申請

尺寸分析最常用於物理和化學 - 數學中 - 但在這些領域之外也發現了一些應用。

數學

維度分析在數學上的一個簡單應用是在計算 $n-$ 球體積（ n維中的實心球）的形式，或其表面的面積， $n$ -sphere ：為 $n$ 維數，體積尺度為 $x n$ ，而表面積為 $（ n -1）$ 維度為 $x n -1$ 。因此，對於某些常數的 $c n$ ，就半徑而言， $n-$ 球的體積為 $c n r n$ 。確定常數需要更多涉及的數學，但是單獨可以通過維度分析來推導和檢查該形式。

財務，經濟學和會計

在金融，經濟學和會計中，最常在股票和流量之間的區別來提及維度分析。更一般而言，維度分析用於解釋各種財務比率，經濟學比率和會計比率。

例如， P/E比率具有時間（單位：年）的尺寸，並且可以解釋為“賺取支付的價格的年收益年”。
在經濟學方面，債務與GDP比率也具有單位年度（債務具有貨幣單位，GDP具有貨幣單位/年）。
貨幣速度的單位為1年（GDP/貨幣供應貨幣單位/年過於貨幣）：每年貨幣單位循環一次。
年度連續複合的利率和簡單的利率通常以百分比（授課數量）表示，而時間表示為包含年數的付費數量。但是，如果時間包括年份作為度量單位，則費率的維度為1/年。當然，沒有什麼特別的（除了通常的慣例）作為時間單位：可以使用任何其他時間單位。此外，如果速率和時間包括其度量單位，則每個單位的使用都不是問題的。相比之下，如果遵守時間，速率和時間需要參考公共時期。（請注意，有效利率只能定義為付費數量。）
在財務分析中，債券持續時間可以定義為 $（ dv / dr ） / v$ ，其中 $v$ 是債券（或投資組合）的值， $r$ 是連續複雜的利率， $dv / dr$ 是派生型。從上點開始， $R$ 的尺寸為1/time。因此，持續時間的尺寸是時間（通常在幾年中表達），因為 $DR$ 在衍生物的“分母”中。

流體力學

在流體力學中，進行尺寸分析以獲得無量綱的PI項或組。根據維度分析的原理，任何原型都可以用描述系統行為的一系列術語或組來描述。使用合適的PI項或組，可以為具有相同維度關係的模型開發一組相似的PI項。換句話說，PI術語為開發代表特定原型的模型提供了快捷方式。流體力學中常見的無量綱組包括：

雷諾數（ $RE$ ），通常在所有類型的流體問題中很重要： $\mathrm {Re} ={\frac {\rho \,ud}{\mu }}.$
Froude編號（ $FR$ ），自由表面建模流： $\mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {g\,L}}}.$
Euler編號（ $EU$ ），用於引起壓力的問題： $\mathrm {Eu} ={\frac {\Delta p}{\rho u^{2}}}.$
馬赫數（ $MA$ ），在速度接近或超過局部聲音的高速流中很重要： $\mathrm {Ma} ={\frac {u}{c}},$ 其中 $c$ 是局部聲音的速度。

歷史

歷史學家對維度分析的起源提出了爭議。維度分析的第一個書面申請已歸功於拉格朗日的學生弗朗索瓦·達維特（FrançoisDaviet ）在都靈科學院的1799年文章中。

這導致了這樣一個結論，即有意義的法律必須在其各個測量單位中是均勻的方程，這一結果最終在白金漢π定理中正式化。 Simeon Poisson在1811年和1833年的論文中也將平行法的同樣問題（第I卷，第39頁）處理。在1833年的第二版中，Poisson明確介紹了“維度”一詞，而不是Daviet同質性。

1822年，重要的拿破崙科學家約瑟夫·富耶爾（Joseph Fourier）基於以下想法，即諸如f = ma之類的物理定律應獨立於測量物理變量的單位，做出了第一個重要的貢獻。

詹姆斯·克萊克·麥克斯韋（James Clerk Maxwell）通過將質量，長度和時間作為基本單位區分開來建立維度分析的現代用途，同時將其他單位稱為派生。儘管麥克斯韋將長度定義為“三個基本單元”，但他還指出，通過假設牛頓的普遍重力定律的形式可以從長度和時間衍生出重力質量，其中重力常數 $g$ 被視為統一性，從而定義M = T ^-2 L ³ 。通過假設庫侖定律的形式將庫侖常數k _e視為統一，然後麥克斯韋確定電荷靜電單位的尺寸為q = t ^-1 l ^3/2 m ^1/2他的M = t ^-2 L ³方程的質量，導致電荷具有與質量相同的尺寸，即。 Q = T ^-2 L ³ 。

維度分析還用於得出一個希望理解和表徵的特定現像中涉及的物理量之間的關係。雷利勳爵（Lord Rayleigh）在1872年以這種方式第一次使用它，後者試圖理解為什麼天空是藍色的。雷利（Rayleigh）在他的1877年《聲音理論》一書中首次發表了這項技術。

在Fourier的理論中，單詞Dimension的原始含義是基本單元指數的數值。例如，將加速度視為相對於長度單位的維度1，以及相對於時間單位的尺寸-2。麥克斯韋說，加速度的尺寸為t ^-2 l，而不僅僅是指數。

例子

一個簡單的例子：諧波振盪器的時期

在理想線性彈簧上附著的質量 $m$ $的$ 振盪週期是什麼，彈簧常數 $k$ 懸浮在強度 $g$ 的重力下？該時期是變量 $t$ ， $m$ ， $k$ 和 $g$ 中某個無量綱方程的 $t$ 解決方案。這四個數量具有以下維度： $t$ [t]； $毫米$ ]; $k$ [m/t ² ];和 $G$ [L/T ² ]。從這些中，我們只能形成我們所選變量的冪的無量綱產物， $g 1 = t 2 k / m$ [t ² ·m / t ² / m = 1] ，將 $g 1 = c = C$ 對於某些無尺寸常數 $C$ 給出尋求無量綱的方程式。變量冪的無尺度產物有時稱為無量綱變量群體。在這裡，“組”一詞的意思是“收集”，而不是數學組。它們通常也稱為無量綱數字。

可變g不會發生在組中。很容易看出，不可能形成將G與K，M和T結合使用的無量綱產物，因為G是涉及尺寸L的唯一數量。這意味著在此問題中，G是無關緊要的。尺寸分析有時會產生有關問題中某些數量無關的強烈陳述，或者需要其他參數。如果我們選擇了足夠的變量來正確描述問題，那麼從這個論點中，我們可以得出結論，彈簧的質量週期獨立於G：在地球或月球上是相同的。表明存在我們問題的力量產物的方程式可以完全等效地寫入：對於某些無量綱常數κ（等於原始無量綱方程）。

當面對一個尺寸分析拒絕一個人（ $g$ ，此處）的情況下，一個人憑直覺期望屬於情況的物理描述，另一種可能性是拒絕變量實際上是相關的，但是其他一些相關變量已經存在省略了，這可能與被拒絕的變量結合使用以形成無量綱的數量。但這不是這裡的情況。

當尺寸分析僅產生一個無量綱組時，沒有一個未知的函數，溶液被認為是“完全”的 - 儘管它仍然可能涉及未知的無量綱常數，例如 $κ$ 。

一個更複雜的例子：振動線的能量

考慮用振幅 $A$ （L）振動 $的$ 長度振動線的情況。電線具有線性密度 $ρ$ （M/L），在張力 $S$ （LM/T ² ）下，我們想知道電線中的能量 $E$ （L ² M/T ² ）。令 $π1 和$ $π2 是$ 選擇的變量的冪的二小無量產物，由

{\begin{aligned}\pi _{1}&={\frac {E}{As}}\\\pi _{2}&={\frac {\ell }{A}}.\end{aligned}}

電線的線性密度不涉及。發現的兩組可以作為方程組合成同等形式

F\left({\frac {E}{As}},{\frac {\ell }{A}}\right)=0,

其中 $f$ 是某些未知函數，或等效地為

E=Asf\left({\frac {\ell }{A}}\right),

其中 $F$ 是其他未知功能。在這裡，未知的函數意味著我們的解決方案現在不完整，但是尺寸分析給了我們一些可能並不明顯的東西：能量與張力的第一個力量成正比。除非進一步的分析分析，否則我們可能會繼續進行實驗，以發現未知函數 $f$ 的形式。但是，我們的實驗比沒有維度分析要簡單。我們不會執行任何驗證能量是否與張力成正比。也許我們可能會猜測能量與 $ℓ$ 成正比，因此可以推斷出 $E = ℓS$ 。維度分析作為實驗和形成假設的有助於的力量變得明顯。

當維度分析的功能將其應用於情況（與上面給出的情況）時，更為複雜的情況確實很明顯，所涉及的變量集並不明顯，並且基礎方程無望地複雜。例如，考慮一個小卵石坐在河床上。如果河流足夠快，它實際上會抬高卵石並導致其與水一起流動。這會以什麼關鍵速度發生？整理猜測變量並不像以前那樣容易。但是，維度分析可以有助於理解此類問題，並且通常是將基礎方程式和約束知之甚少的複雜問題應用於復雜問題的第一個工具。在這種情況下，答案可能取決於無量綱的數字，例如雷諾數，可以通過維度分析來解釋。

第三個例子：旋轉光盤的需求與容量

考慮軸向厚度 $t$ （l）和半徑 $r$ （l）的薄，實心，平行的旋轉盤的情況。圓盤的密度 $ρ$ （m/l ³ ），在角速度 $ω$ （t ^-1 ）下旋轉，這會導致材料中的應力 $s$ （t ^-2 l ^-1 m）。當圓盤相對於半徑較薄時，la腳的理論線性彈性解針對該問題，光盤的面是軸向自由移動的，並且可以假定平面應力組成關係是有效的。隨著光盤相對於半徑變厚，平面應力溶液會分解。如果將光盤在其自由面上軸心束縛，則會發生平面應變狀態。但是，如果不是這種情況，則只能在考慮三維彈性的情況下確定應力狀態，並且對於這種情況，沒有已知的理論解決方案。因此，工程師可能對建立五個變量之間的關係感興趣。該病例的維度分析導致以下（ 5-3 = 2 ）非二維組：

需求 /

容量 = ρr2Ω2 / s

厚度 /半徑或縱橫比=

T / R

通過使用數值實驗，例如使用有限元方法，可以如圖所示獲得兩個非二維組之間關係的性質。由於此問題僅涉及兩個非二維組，因此在單個圖中提供了完整的圖片，並且可以用作旋轉光盤的設計/評估圖。

特性

數學屬性

可以由給定的基本物理維度集合（例如T，L和M）形成的尺寸形成一個Abelian群體：身份寫為1; L ⁰ = 1 ，L的逆為1/L或L ^-1 。升高到任何整數功率 $p的$ L是該組的成員，其倒數為l ^$-p$或1/l ^$p$ 。該組的操作是乘法，具有處理指數的通常規則（ L ^$n$ ×L ^$M$ = L ^{$N + M$} ）。從物理上講，1/L可以解釋為相互的長度，而1/t為相互時間（請參閱互相）。

Abelian組等於整數上的模塊，其尺寸符號T ^$I$ L ^$J$ M ^$K$與元組相對應 $（ I ， J ， K ）$ 。當物理測量量（無論是二極管還是不同）被乘以彼此時，它們的尺寸單位同樣乘以或分配；這對應於模塊中的加法或減法。當將可測量的數量提高到整數功率時，相同的尺寸符號也是如此。這對應於模塊中的標量乘法。

這種尺寸符號模塊的基礎稱為一組基本數量，所有其他向量稱為派生單元。與任何模塊中一樣，人們可以選擇不同的基礎，從而產生不同的單元系統（例如，選擇電荷的單位是從電流派生而來的，反之亦然）。

組身份（無量綱數量的尺寸）對應於該模塊中的原點， $（0，0，0）$ 。

在某些情況下，可以定義分數維度，特別是通過正式定義一維矢量空間的分數冪，例如 $V L 1/2$ 。但是，由於表示理論障礙，不可能採用任意分數單位的力量。

可以與具有給定維度的向量空間一起使用，而無需使用單元（對應於向量空間的坐標系統）。例如，給定尺寸為 $m$ 和 $l$ ，一個具有向量空間 $v m$ 和 $v l$ ，並且可以將 $v ml ：= v m v l$ 定義為張量。同樣，雙重空間可以解釋為具有“負”維度。這對應於以下事實：在矢量空間與其雙重之間的自然配對下，尺寸取消，留下無尺寸的標量。

問題中涉及的物理量的單位集對應於一組向量（或矩陣）。無效描述了這些向量可以組合以產生零向量的一些數字（例如， $m$ ）。這些對應於產生（從測量結果） ${π1 ，...， πm}$ 的許多無量綱數量。（實際上，這些方式完全跨越了另一個不同空間的無效子空間，測量的力量。）每種可能的方法將測量的數量乘以（和指示），以產生與某些派生數量 $X$ 相同的單位的東西，可以表達以一般形式

X=\prod _{i=1}^{m}(\pi _{i})^{k_{i}}\,.

因此，可以以形式重寫系統物理學的每個可能的相稱方程

f(\pi _{1},\pi _{2},...,\pi _{m})=0\,.

知道這種限制可能是獲得對系統的新見解的強大工具。

力學

機械興趣的物理量的維度可以用基礎維度t，L和M表示表達，這些尺寸構成了三維矢量空間。這不是基本維度的唯一有效選擇，而是最常用的選擇。例如，一個人可能會選擇力，長度和質量作為基礎維度（某些人已經完成），其中相關的尺寸f，l，m;這對應於不同的基礎，並且可以通過更改基礎來轉換這些表示。因此，尺寸的基礎集的選擇是一種慣例，從而增加了效用和熟悉度。基礎維度的選擇並非完全任意，因為它們必須形成一個基礎：它們必須跨越空間，並且是線性獨立的。

例如，f，l，m形成一組基本維度，因為它們形成了相當於t，l，m的基礎：前者可以表示為[f = lm/t ² ]，l，m，而前者則可以表示後者可以表示為[t =（lm/f） ^1/2 ]，L，M。

另一方面，長度，速度和時間（t，l，v）沒有形成一組機械師的基礎維度，原因有兩個：

在不引入另一個基本維度的情況下（因此，它們不會跨越空間），無法獲得質量或從力量（例如力）獲得的任何東西。
在長度和時間（ v = l/t ）方面表達的速度是冗餘的（集合不是線性獨立的）。

其他物理和化學領域

根據物理領域，選擇一組或另一組擴展的尺寸符號可能是有利的。例如，在電磁作用中，使用T，L，M和Q的尺寸，其中Q代表電荷的尺寸。在熱力學中，尺寸的鹼基集通常擴展到包括溫度θ的尺寸。在化學中，物質量（分子數除以avogadro常數，≈ 6.02 × 10 ²³ mol ^-1 ）也被定義為基礎維度，N。在相對論等離子體與強激光脈衝的相互作用中，無量綱相對論相似性參數，與碰撞無vlasov方程的對稱性相連，是由無碰撞vlasov方程構建的除電磁載體電位外，等離子體，電子和臨界密度。在某種程度上，在不同物理領域使用的尺寸或什至尺寸的數量在某種程度上是任意的，但是使用和易於通信的一致性是常見和必要的特徵。

多項式和先驗功能

Bridgman的定理限制了可用於將物理數量定義的函數類型從一般（尺寸複合）數量定義到僅到數量的力量產物的物理數量，除非某些獨立數量是代數合併到屈服的無量綱組的，該函數的函數是分組的在無量綱的數字乘數因子中一起。這不包括多個以上的多項式或超驗函數的多項式。

標量參數對諸如指數，三角學和對數函數或非均勻多項式的諸如指數，三角學和對數函數之類的參數必須是無量綱的數量。（注意：在下面描述的Siano的方向分析中，此要求有些放鬆，其中某些尺寸的平方是無尺寸的。）

雖然關於無量綱數字的大多數數學身份以直接的方式轉換為維數，但必須以比率對數進行小心：身份 $log（ a / b ）= log a -log a -log b$ ，其中對數在任何基礎中都保持在任何基礎中，對於無量綱的數字 $A$ 和 $B$ ，但是如果 $A$ 和 $B$ 是尺寸，則不能成立，因為在這種情況下，左側是明確的，但右側不是。

同樣，雖然可以評估尺寸數量的單元（ $x n$ ），但不能在尺寸數量上評估具有無量綱係數的混合度的多項式：對於 $x 2$ ，表達式（3 m） ² = 9 m ²是有意義的（作為一個區域是有意義的（作為一個區域），而對於 $x 2 + x$ ，表達式（3 m） ² + 3 m = 9 m ² + 3 m是沒有意義的。

但是，如果適當選擇的無尺寸的物理量，混合程度的多項式可以是有意義的。例如，

{\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {-9.8~m/s^{2}} )\cdot t^{2}+(\mathrm {500~m/s} )\cdot t.

如果重力的加速度為每秒9.8米，並且初始上升速度為每秒500米，則這是對像在時間 $t$ 上上升的高度。 $t$ 不需要在幾秒鐘內。例如，假設 $t$ = 0.01分鐘。那第一學期是

{\begin{aligned}&{\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {-9.8~m/s^{2}} )\cdot (\mathrm {0.01~min} )^{2}\\[10pt]={}&{\tfrac {1}{2}}\cdot -9.8\cdot \left(0.01^{2}\right)(\mathrm {min/s} )^{2}\cdot \mathrm {m} \\[10pt]={}&{\tfrac {1}{2}}\cdot -9.8\cdot \left(0.01^{2}\right)\cdot 60^{2}\cdot \mathrm {m} .\end{aligned}}

組合單元和數值

尺寸物理量 $z$ 的值寫入尺寸內的單位[ $z$ ]的乘積，而無量綱的數值或數值因子 $n$ 。

Z=n\times [Z]=n[Z]

當添加或減去或比較類似的數量數量時，很方便地在同一單元中表達它們，以便可以直接添加或減去這些數量的數值。但是，從概念上講，添加以不同單位表達的相同維度的數量沒有問題。例如，添加到1英尺的1米是一個長度，但是不能簡單地添加1和1來得出該長度。轉換因子的比率是相同的量化量的比例，並且需要等於無尺寸的統一性：

\mathrm {1\,ft} =\mathrm {0.3048\,m}

與

1={\frac {\mathrm {0.3048\,m} }{\mathrm {1\,ft} }}.

因子0.3048 m/ft與無量綱1相同，因此乘以此轉換因子沒有任何變化。然後，當添加兩個類似尺寸但以不同單位表示的數量時，適當的轉換因子（本質上是無量綱1）用於將數量轉換為同一單元，以便可以添加或減去其數值值。

只有這種方式，說出添加類似的不同單位的數量有意義。

數量方程

一個數量方程，有時也稱為完整方程，是一個方程，它在表達物理量時使用的測量單位保持獨立。

相反，在數值方程中，僅出現數量的數值，而沒有單位。因此，僅當每個數值值引用特定單元時才有效。

例如，位移 $d$ 作為速度乘以時間差 $t$ $的$ 數量方程將是：

d = s t

對於 $s$ = 5 m/s，可以在任何單元中表達 $t$ 和 $d$ ，如有必要。相反，相應的數值方程將是：

d = 5 t

其中 $t$ 是以秒錶示時 $t$ 的數字值，而 $d$ 表示為 $d$ 時d的數字值。

通常，不建議使用數值值方程。

無量綱的概念

常數

在獲得的結果中出現的無量綱常數，例如Poiseuille定律問題中的 $C$ 和上面討論的春季問題中的 $κ$ ，來自對潛在物理學的更詳細的分析，並且通常是由於整合一些微分方程而引起的。維度分析本身對這些常數幾乎沒有什麼可說的，但是知道它們經常具有秩序統一的幅度很有用。該觀察結果有時可以使人們對感興趣現象進行“背面”計算，因此能夠更有效地設計實驗來測量它，或判斷它是否重要，等等。

形式主義

矛盾的是，即使基礎理論中的所有參數都是無量綱的，例如，例如，伊辛模型等晶格模型也可以用於研究相變和關鍵現象。這樣的模型可以以純粹的無限方式製定。當我們接近臨界點越來越近時，晶格模型中變量相關的距離（所謂的相關長度， $χ$ ）變得越來越大。現在，相關長度是與關鍵現象相關的相關長度尺度，因此，可以，例如，在“尺寸基礎”上推測，每個晶格位點的非分析部分應為 $〜1 / χD$ ，其中 $D$ 是晶格的尺寸。

某些物理學家（例如，邁克爾·J·達夫（Michael J. Duff））認為，物理定律本質上是無限的。根據這一觀點，我們將不兼容的維度分配給了長度，時間和質量，這只是一個慣例問題，這是因為在現代物理學出現之前，沒有辦法將質量聯繫起來長度和彼此的時間。然後，必須將三個獨立的尺寸常數： $C$ ， $ħ$ 和 $G$ 在物理學的基本方程中，然後被視為僅將質量，時間和長度轉換為彼此的轉換因子。

就像在晶格模型的臨界特性的情況下一樣，人們可以在適當的縮放限制中恢復維度分析的結果。例如，可以通過重新插入常數 $ħ$ ， $c$ 和 $g$ 來得出力學的維度分析（但現在我們可以認為它們是無量綱的），並要求在極限 $C \to\infty$ ， $ħ \to0和0$ 和 $G \to0$ 。在涉及重力場的問題中，應採取後一個極限，以使該場保持有限。

維度等價

以下是與能量，動量和力的維度相關的物理中通常發生表達式的表。

SI單位

能量， $e$ T ^-2 L ² m	表達	命名法
機械的	$Fd$	$f$ =力， $d$ =距離
	$S/t\equiv Pt$	$s$ =動作， $t$ =時間， $p$ =電源
	$mv^{2}\equiv pv\equiv p^{2}/m$	$M$ =質量， $V$ =速度， $P$ =動量
	$I\omega ^{2}\equiv L\omega \equiv L^{2}/I$	$L$ =角動量， $I$ =慣性矩， $ω$ =角速度
理想的氣體	$pV\equiv NT$	$p$ =壓力， $v$ =體積， $t$ =溫度， $n$ =物質量
波浪	$AIt\equiv ASt$	$a$ =波前的區域， $i$ =波強度， $t$ =時間， $s$ = poynting載體
電磁	$q\phi$	$Q$ =電荷， $ϕ$ =電勢（對於變化，這是電壓）
	$\varepsilon E^{2}V\equiv B^{2}V/\mu$	E =電場，B =磁場，ε=介電常數，μ=滲透率，V = 3D體積
	$pE\equiv mB\equiv IAB$	p =電動偶極力矩，M =磁矩，A =區域（由電流環界），i =循環中的電流

動力， $p$ t ^-1 lm	表達	命名法
機械的	$mv\equiv Ft$	$m$ =質量， $v$ =速度， $f$ =力， $t$ =時間
機械的	$S/r\equiv L/r$	$S$ =動作， $L$ =角動量， $R$ =位移
熱的	$m{\sqrt {\left\langle v^{2}\right\rangle }}$	=均方根速度，m =質量（分子的質量）
波浪	$\rho Vv$	$ρ$ =密度， $v$ =音量， $v$ =相位速度
電磁	$qA$	$A$ =磁矢量電勢

力， $f$ t ^-2 lm	表達	命名法
機械的	$ma\equiv p/t$	$M$ =質量， $A$ =加速度
熱的	$T\delta S/\delta r$	$S$ =熵， $T$ =溫度， $R$ =位移（請參閱熵力）
電磁	$Eq\equiv Bqv$	$E$ =電場， $B$ =磁場， $V$ =速度， $Q$ =電荷

程式設計語言

自1977年以來，已經研究了尺寸正確性作為類型檢查的一部分。在1985年和1988年描述了ADA和C ++的實現。肯尼迪（Kennedy）的1996年論文描述了標準ML的實現，後來又描述了F＃。 Haskell，Ocaml和Rust，Python和Fortran的代碼檢查器都有實施。 Griffioen的2019年論文擴展了肯尼迪的Hindley -Milner型系統，以支持Hart的矩陣。 McBride和Nordvall-Forsberg展示瞭如何使用依賴類型將類型系統擴展到度量單位。

Mathematica 13.2具有用於變換的函數，該函數的數量名為NondiremationalizationTransform，該數量將非量綱化轉換應用於方程式。 Mathematica還具有找到單元（例如1 J命名unitDimensions）的尺寸。 Mathematica還具有一個函數，可以找到一個名為DimensionalCompations的物理量子集的尺寸等效組合。 Mathematica還可以通過指定函數UnityDimonions的參數來將某些維度置於某些維度。例如，您可以使用UnityDimons來分解角度。除了單位限度外，Mathematica還可以找到具有函數數量數量的數量量的尺寸。

幾何：位置與位移

仿射量

維度分析的一些討論將所有數量描述為數學向量。（在數學中，標量被認為是向量的特殊情況；可以將向量添加到或從其他向量中添加或減去，除其他外，還可以將矢量乘以標量。如果使用向量來定義位置，則假設這是一個假定的隱式點參考：一個來源。雖然這很有用並且通常完全足夠，因此可以捕獲許多重要的錯誤，但它可能無法建模物理的某些方面。一種更嚴格的方法需要區分位置和位移（或時間的時刻與持續時間，持續時間，或絕對溫度與溫度變化）。

考慮一條線上的點，每個點都在給定的起源方面以及它們之間的距離。位置和位移都有長度單位，但其含義不能互換：

添加兩個位移應產生新的位移（步行十個步伐，然後二十個步伐使您向前30步），
將位移添加到一個位置應產生新的位置（從交叉路口沿著街道走一個街區，您可以到達下一個交叉點），
減去兩個位置應產生一個位移，
但是一個可能不會增加兩個位置。

這說明了仿射量（由仿射空間（例如位置）建模的）和向量數量（由矢量空間（例如位移）建模的仿射量之間的微妙區別。

矢量數量可以相互添加，產生新的矢量數量，並且可以將矢量數量添加到合適的仿射量（矢量空間在仿射空間上），從而產生新的仿射量。
仿射量無法添加，但可以減去仿射量，產生相對數量為矢量，然後可以將這些相對差異相互添加或仿射量。

正確地，位置具有仿射長度的尺寸，而位移的尺寸為矢量長度。要將數字分配給仿射單元，不僅必須選擇一個測量單元，而且還必須選擇一個參考點，而將數字分配給向量單元只需要一個測量單位。

因此，某些物理量更好地通過矢量量建模，而另一些物理量則傾向於仿射表示，並且區別反映在其維度分析中。

在溫度的情況下，這種區別尤其重要，在溫度下，絕對零的數值在某些尺度中不是原點0。對於絕對零，

-273.15°C≘0k = 0°r≘-459.67°F，

在符號含量對應的地方，因為儘管這些值在相應的溫度尺度相對應，但它們以相同的方式表示不同的數量，從不同的起點到同一終點的距離是不同的數量，並且通常不能等同。

對於溫度差異，

1 K = 1°C≠1°F = 1°R。

（這裡是指蘭金量表，而不是Réaumur量表）。溫度差的單位轉換只是一個乘以1°F / 1 K的問題（儘管比率不是恆定值）。但是，由於其中一些量表具有與絕對零相對應的起源，因此從一個溫度尺度轉換為另一個溫度需要考慮到這一點。結果，如果1 K是指高於-272.15°C的絕對溫度是含糊不清的，那麼簡單的維度分析可能會導致誤差。

方向和參考框架

與參考點的問題相似，是方向問題：2或3維中的位移不僅是長度，而且是一個方向的長度。（此問題不是在1維度中出現的，或者相當於正面和負面的區別。）因此，要在多維空間中比較或結合二維數量，也需要方向：參考框架。

這導致了下面討論的擴展，即亨特利的指示維度和Siano的定向分析。

亨特利的擴展

亨特利（Huntley）指出，通過發現所考慮的數量的新獨立維度，可以提高維度矩陣的等級，從而變得更強大。

他介紹了兩種方法：

向量的成分的幅度應視為尺寸無關。例如，我們可能有l _x代表x方向上的維度，而不是未分化的長度尺寸為l，依此類推。該要求最終源於以下要求，即物理有意義方程的每個組件（標量，向量或張量）必須在維度上保持一致。
質量作為物質數量的量度應被視為尺寸獨立於質量作為慣性的度量。

定向尺寸

作為第一種方法的有用性的一個例子，假設我們希望計算砲彈在用垂直速度分量和水平速度分量觸發時射擊時的距離，假設它是在平坦的表面上發射的。假設不使用定向長度，則感興趣的量為r，距離尺寸為l，，均為t -1l，d為t -1l，g為t -2 l的重力向下加速度，尺寸為t -2l。

有了這四個數量，我們可以得出結論，範圍 $R$ 的方程式可以寫入：

R\propto v_{\text{x}}^{a}\,v_{\text{y}}^{b}\,g^{c}.

或尺寸

{\mathsf {L}}=\left({\mathsf {T}}^{-1}{\mathsf {L}}\right)^{a+b}\left({\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}\right)^{c}

我們可以從中推斷出來，這使一個指數不確定。這是可以預期的，因為我們有兩個基本維度T和L，以及一個方程式的四個參數。

但是，如果我們使用定向的長度尺寸，則將尺寸為t -1lx，t -1ly，r為lx和g，為t -2ly。尺寸方程變為：

{\mathsf {L}}_{\mathrm {x} }=\left({{\mathsf {T}}^{-1}}{{\mathsf {L}}_{\mathrm {x} }}\right)^{a}\left({{\mathsf {T}}^{-1}}{{\mathsf {L}}_{\mathrm {y} }}\right)^{b}\left({{\mathsf {T}}^{-2}}{{\mathsf {L}}_{\mathrm {y} }}\right)^{c}

我們可以完全解決 $A = 1$ ， $B = 1$ 和 $C = -1$ 。使用定向長度尺寸獲得的演繹能力的增加是顯而易見的。

亨特利（Huntley）的定向長度維度概念有一些嚴重的局限性：

它不能很好地處理涉及跨產品的向量方程，
它也不能很好地處理角度作為物理變量。

將L，L _$X$ ，L _$Y$ ，L _$Z$分配給感興趣問題所涉及的物理變量的符號通常也很困難。他調用了一個涉及物理問題“對稱性”的程序。這通常很難可靠地應用：目前尚不清楚“對稱”概念被調用的哪些部分。力是在施加力上的力量，線或區域的對稱性的對稱性嗎？如果一個以上的身體與不同的對稱性有關怎麼辦？

考慮附著在圓柱管上的球形氣泡，其中一個人希望空氣流速與兩個部分的壓力差的關係。亨特利（Huntley）延伸的尺寸是連接部件中包含的空氣粘度的尺寸？兩部分壓力的擴展尺寸是多少？它們是相同的還是不同的？這些困難是導致亨特利定向長度維度在實際問題上的有限應用。

物質數量

在亨特利的第二種方法中，他認為有時有用（例如，在流體力學和熱力學中）將質量區分為慣性的量度（慣性質量），而質量是對物質數量的量度。亨特利（Huntley）將物質數量定義為僅與慣性質量成正比的數量，而並不涉及慣性特性。沒有進一步限制其定義。

例如，考慮Poiseuille定律的推導。我們希望通過圓形管道找到粘性流體的質量流量。如果沒有在慣性和實質性質量之間進行區分，我們可以選擇作為相關變量：

象徵	多變的	方面
${\dot {m}}$	質量流率	t ^-1 m
$p_{\text{x}}$	沿管道的壓力梯度	T ^-2 L ^-2 m
$ρ$	密度	l ^-3 m
$η$	動態流體粘度	T ^-1 L ^-1 m
$r$	管道半徑	L

有三個基本變量，因此以上五個方程將產生兩個獨立的無量綱變量：

\pi _{1}={\frac {\dot {m}}{\eta r}}

\pi _{2}={\frac {p_{\mathrm {x} }\rho r^{5}}{{\dot {m}}^{2}}}

如果我們區分具有尺寸和物質數量的慣性質量，則質量流量和密度將使用物質數量作為質量參數，而粘度的壓力梯度和粘度係數將使用慣性質量。現在，我們有四個基本參數和一個無尺度常數，因此可以寫入尺寸方程：

C={\frac {p_{\mathrm {x} }\rho r^{4}}{\eta {\dot {m}}}}

現在，只有c是一個不確定的常數（發現與維度分析之外的方法相等）。可以解決該方程式的質量流量以產生Poiseuille定律。

亨特利（Huntley）對物質作為獨立數量維度的認可顯然在適用的問題中取得了成功，但是他對物質數量的定義是對解釋開放的，因為它缺乏比他假定的兩個要求的特異性。對於給定的物質，帶有單位痣的Si尺寸量確實滿足了Huntley的兩個要求，以衡量物質的量度，並且可以用作任何維度分析問題的問題的數量，而Huntley的概念適用。

Siano的擴展：定向分析

按照慣例，角度被認為是無量綱的數量。例如，再次考慮彈丸問題，其中從速度 $v$ 和x軸上方的速度v和角度 $θ$ 發射點質量 $（ x ， y ）=（0，0）$ ，重力的力沿負y軸。希望找到範圍 $R$ ，此時質量返回到X軸。常規分析將產生無量綱的變量 $π = r g / v 2$ ，但對 $R$ 和 $θ$ 之間的關係一無所知。

西亞諾（Siano）建議，通過使用方向符號 $1 x 1 y 1 z$ 來代替亨特利的定向尺寸，以表示向量方向，而無方向符號1 ₀ 。因此，Huntley的L _$X$變為L1 _$X$ ，其中L指定長度的尺寸，並指定方向為 $1 x$ 。 Siano進一步表明，定向符號具有自己的代數。除了要求 $1 i -1 = 1 i$ 的要求之外，方向符號的以下乘法表結果：

	$\mathbf {1_{0}}$	$\mathbf {1_{\text{x}}}$	$\mathbf {1_{\text{y}}}$	$\mathbf {1_{\text{z}}}$
$\mathbf {1_{0}}$	$1_{0}$	$1_{\text{x}}$	$1_{\text{y}}$	$1_{\text{z}}$
$\mathbf {1_{\text{x}}}$	$1_{\text{x}}$	$1_{0}$	$1_{\text{z}}$	$1_{\text{y}}$
$\mathbf {1_{\text{y}}}$	$1_{\text{y}}$	$1_{\text{z}}$	$1_{0}$	$1_{\text{x}}$
$\mathbf {1_{\text{z}}}$	$1_{\text{z}}$	$1_{\text{y}}$	$1_{\text{x}}$	$1_{0}$

方向符號形成一個組（Klein四組或“ Viergruppe”）。在此系統中，標量始終與身份元素具有相同的方向，而與“問題的對稱性”無關。向量的物理量具有預期的方向：z方向的力或速度的方向為1z。對於角度，考慮一個位於z平面中的角度θ。在Z平面中形成一個右三角形，θ是急性角度之一。右三角形的側面與角度相鄰，然後具有方向為1倍，而相對的側面有一個方向為1年。由於（使用〜表示定向等價）tan（θ）=θ + ... 〜1y/1x，我們得出的結論是，xy平面中的角度必須具有方向1y/1x = 1z，這不是不合理的。類似的推理迫使結論（θ）具有方向為1z，而Cos（θ）具有方向10.它們是不同的，因此（正確地結論），例如，沒有形式A形式的物理方程的解決方案cos（θ） + b sin（θ），其中a和b是真實的標量。諸如尺寸的表達在尺寸上並不一致，因為它是角度公式之和的特殊情況，應正確編寫：

\sin \left(a\,1_{\text{z}}+b\,1_{\text{z}}\right)=\sin \left(a\,1_{\text{z}})\cos(b\,1_{\text{z}}\right)+\sin \left(b\,1_{\text{z}})\cos(a\,1_{\text{z}}\right),

用於和屈服。 Siano區分了在3維空間中具有方向的幾何角度，以及與沒有空間方向的基於時間的振盪相關的相角，即相角的方向。

將定向符號分配到物理量以及物理方程在定向方程的要求中實際上可以以類似於維度分析的方式使用，以獲取有關物理問題可接受解決方案的更多信息。在這種方法中，一個人求解了尺寸方程。如果物理變量的最低功率是分數，則溶液的兩側都會提高到一個功率，使所有功率都是不可或缺的，將其置於正常形式中。然後解決方程式以對定向符號的未知能力產生更嚴格的條件。然後，解決方案比單獨分析提供的解決方案更完整。通常，附加的信息是，某個變量的功能之一是偶數或奇怪的。

例如，對於彈丸問題，使用取向符號 $θ$ 在xy平面中將具有 $1 z的$ 尺寸，並且彈丸 $r$ 的範圍將具有形式：

R=g^{a}\,v^{b}\,\theta ^{c}{\text{ which means }}{\mathsf {L}}\,1_{\mathrm {x} }\sim \left({\frac {{\mathsf {L}}\,1_{\text{y}}}{{\mathsf {T}}^{2}}}\right)^{a}\left({\frac {\mathsf {L}}{\mathsf {T}}}\right)^{b}\,1_{\mathsf {z}}^{c}.\,

尺寸同質性現在將正確產生a = -1和b = 2，而定向同質性則需要這一點。換句話說，C必須是一個奇怪的整數。實際上，theta所需的功能將是sin（θ）cos（θ），該功能是由θ的奇數組成的系列。

可以看出，使用上述乘法表的泰勒（Taylor $）sin（ θ ）$ 和 $cos（ θ ）$ 在方向上是同質性的，而諸如 $cos（ θ ） + sin（ θ ）$ 和 $exp（ θ ）$ 之類的表達式不是，並且是正確的（正確地）被認為是非身體的。

Siano的定向分析與無量綱的角度量的常規概念兼容，在定向分析中， Radian仍然可以視為無量綱的單位。數量方程的方向分析與普通的維度分析分開進行，從而產生補充維度分析的信息。