離散時間和連續時間

在數學動力學，離散時間和連續的時間是兩個替代框架變量隨著時間的流逝，這種發展是建模的。

離散時間

離散採樣信號

離散時間視圖變量的值是在不同的“時間點”處發生的變量值，或等效地在每個非零時間區域（“時間段”）中保持不變，也就是說，時間被視為一個離散變量。因此，隨著時間從一個時間段移至下一個值，非時變量從一個值跳到另一個值。這種時間的觀點對應於一個數字時鐘，該數字時鐘給出了一段時間的固定讀數，然後跳到10:38等的新固定讀數等。在此框架中，每個感興趣的變量均可在每個框架中測量一次時間段。任何兩個時間段之間的測量次數都是有限的。測量通常是按順序進行的整數變量“時間”的值。

一個離散信號或者離散時間信號是一個時間序列由a組成序列數量。

與連續的時間信號不同，離散的時間信號不是連續參數的函數。但是，它可能是由採樣來自連續的信號。當通過在均勻間隔的時間採樣序列獲得離散時間信號時，它具有相關的採樣率.

離散的時間信號可能具有多個起源，但通常可以分為兩個組之一：^[1]

• 通過獲取一個值模擬信號以恆定或可變速率。這個過程稱為採樣.^[2]
• 通過觀察固有的離散時間過程，例如特定經濟指標的每周峰值價值。

連續的時間

相比之下，連續的時間視圖變量僅對一個特定值無限時間短。在任何兩個時間之間都有一個無窮其他時間點的數量。變量“時間”範圍在整個實際數字行，或取決於上下文，在某些子集中，例如非負真實。因此，時間被視為連續變量.

一個連續信號或a連續時間信號是一個不同的數量（一個信號）誰的域（通常是時間）是一個連續（例如，連接的間隔真實）。也就是說，函數的域是無數套裝。功能本身不必是連續的。相反，離散時間信號有一個可計數域，就像自然數.

連續振幅和時間的信號稱為連續時間信號或模擬信號。這是信號）在每一個時間的瞬間都有一定的價值。與溫度，壓力，聲音等物理量成比例得出的電信號通常是連續信號。連續信號的其他示例包括正弦波，餘弦波，三角波等。

信號是在可能是有限的域上定義的，該域可能是有限的，並且有一個從域到信號值的功能映射。時間變量的連續性與密度定律有關實數，意味著可以在任何任意時間點找到信號值。

無限持續時間信號的一個典型例子是：

${\ displaystyle f（t）= \ sin（t），\ quad t \ in \ mathbb {r}}}$

上述信號的有限持續時間可能是：

${\ displaystyle f（t）= \ sin（t），\ quad t \ in [ - \ pi，\ pi]}$和${\ displayStyle f（t）= 0}$否則。

有限（或無限）持續時間信號的值可能是有限的。例如，

${\ displaystyle f（t）= {\ frac {1} {t}}，\ quad t \ in [0,1]}$和${\ displayStyle f（t）= 0}$否則，

是有限的持續時間信號，但需要無限的值${\ displayStyle t = 0 \，}$.

在許多學科中，慣例是連續信號必須始終具有有限的值，這在物理信號的情況下更有意義。

出於某些目的，只要信號在任何有限的間隔內都可以集成（例如，例如，${\ displaystyle t^{ - 1}}$信號在無窮大不集成，而是${\ displaystyle t^{ - 2}}}$是）。

任何模擬信號本質都是連續的。離散時間信號，使用數字信號處理，可以通過採樣和量化連續信號。

連續信號也可以在時間以外的自變量上定義。另一個非常常見的自變量是空間，在圖像處理，其中使用了兩個空間尺寸。

相關背景

當經常使用離散時間經驗測量參與其中，因為通常只能順序測量變量。例如，經濟活動實際上是不斷發生的，沒有時刻的經濟完全停頓，只能離散地衡量經濟活動。因此，發布了有關的數據，例如國內生產總值將顯示一系列季刊值。

當人們嘗試根據其他變量和/或其自己的先驗值來實證解釋此類變量時，一個人使用時間序列或者回歸用指示觀察到的時間段的下標索引變量的方法。例如，y_t可能是指收入在未指定的時間段內觀察到t，y₃在第三階段觀察到的收入價值，等等。

此外，當研究人員試圖開發理論來解釋離散時間中觀察到的內容時，通常在離散時間表達理論本身以促進時間序列或回歸模型的發展。

另一方面，它通常在數學上更加可處理構建理論模型連續的時間，通常在物理確切的描述需要使用連續時間。在連續的時間上下文中，變量的值y在未指定的時間點被表示為y（t）或當含義清晰時，只是y.

方程式類型

離散時間

離散時間利用差方程，也稱為複發關係。一個例子，稱為邏輯地圖或邏輯方程，是

${\ displaystyle x_ {t+1} = rx_ {t}（1-x_ {t}），}，}$

其中r是一個範圍在2到4的範圍內，x是0到1的範圍內的變量，其價值在周期中t非線性影響下一個時期的價值，t+1。例如，如果${\ displayStyle r = 4}$和${\ displayStyle x_ {1} = 1/3}$，然後t= 1我們有${\ displayStyle x_ {2} = 4（1/3）（2/3）= 8/9}$，和t= 2我們有${\ displaystyle x_ {3} = 4（8/9）（1/9）= 32/81}$.

另一個示例模擬調整價格p響應非零需求過剩對於產品作為

${\ displaystyle p_ {t+1} = p_ {t}+\ delta \ cdot f（p_ {t}，...）}$

在哪裡${\ displayStyle \ delta}$是較小或等於1的正調整參數，在哪裡${\ displayStyle f}$是個需求功能過多.

連續的時間

連續時間利用微分方程。例如，調整價格p響應於非零的產品需求，可以連續建模為

${\ displaystyle {\ frac {dp} {dt}} = \ lambda \ cdot f（p，...）}$

左側是第一衍生物相對於時間的價格（即價格的變化率），${\ displayStyle \ lambda}$是調整速度參數，可以是任何正限定數，並且${\ displayStyle f}$再次是多餘的需求功能。

圖形描述

在離散時間中測量的變量可以繪製為步驟功能，其中每個時間段都有一個區域橫軸與每個其他時間段相同的長度，並將測量變量繪製為在整個時間段內保持恆定的高度。在此圖形技術中，該圖顯示為一系列水平步驟。或者，每個時間週期都可以看作是一個分離的時間點，通常在水平軸上的整數值，並且測量變量被繪製為高於該時間軸的高度。在此技術中，該圖顯示為一組點。

連續時間測量的變量的值被繪製為連續功能，由於時間域被認為是整個真實軸或至少連接的部分。

也可以看看

參考

• Gershenfeld，Neil A.（1999）。數學建模的本質。劍橋大學出版社。ISBN 0-521-57095-6.

• 瓦格納，托馬斯·查爾斯·戈登（Thomas Charles Gordon）（1959年）。分析瞬變。威利。