距離

距離是對物體或點相距多遠的數值或偶爾定性測量。在物理或日常使用中，距離可能是指基於其他標準的物理長度或估計（例如“兩個縣”）。由於空間認知是人類思想中概念隱喻的豐富來源，因此該術語也經常被隱喻地用於表示兩個相似對象之間的差異量（例如概率分佈之間的統計距離或文本字符串之間的編輯距離之間的統計距離）或一定程度的分離（如社交網絡中的人們之間的距離所示）。大多數這種物理和隱喻的距離概念都使用度量空間的概念在數學上是形式化的。

在社會科學中，距離可以指定分離的定性測量，例如社會距離或心理距離。

物理和幾何距離

物理位置之間的距離可以在不同的情況下以不同的方式定義。

直線或歐幾里得距離

物理空間中兩個點之間的距離是它們之間的一條直線的長度，這是最短的路徑。這是古典物理學（包括牛頓力學）中距離的通常含義。

直線距離在數學上被形式化為歐幾里得距離，在二維和三維空間中。在歐幾里得的幾何形狀中，通常表示兩個點A和B之間的距離。在坐標幾何形狀中，使用畢達哥拉斯定理計算歐幾里得距離。平面中點（x1，y1）和（x2，y2）之間的距離由：

d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.

同樣，給定點（ x ₁ ， y ₁ ， z ₁ ）和（ x ₂ ， y ₂ ， z ₂ ）在三維空間中，它們之間的距離為：

d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}.

這個想法概括為高維歐幾里得空間。

測量

有很多方法可以衡量直線距離。例如，可以使用標尺直接進行，也可以間接使用雷達（長距離）或干涉法（非常短的距離）進行。宇宙距離梯子是一組測量非常長的距離的方法。

彎曲表面上的最短路徑距離

對於大多數目的，地球表面的兩個點之間的直線距離不是很有用，因為我們無法直接穿過地球地幔。取而代之的是，隨著烏鴉的飛行，通常可以測量沿著地面表面的最短路徑。這是通過球體上的大圓形距離在數學上近似的。

更一般地，沿彎曲表面的兩個點之間的最短路徑稱為地球。大地測量的弧長可以從螞蟻或其他生活在該表面上的無飛行生物的角度來測量距離。

相對性的影響

在相對論的理論中，由於諸如長度收縮和同時性的相對性等現象，對象之間的距離取決於慣性參考框架的選擇。在銀河系和較大的尺度上，距離的測量也受到宇宙膨脹的影響。實際上，宇宙學用於量化此類距離。

其他空間距離

距離的異常定義有助於建模某些物理情況，但也用於理論數學：

實際上，一個人通常對沿著道路的兩個點之間的旅行距離感興趣，而不是烏鴉飛行。在一個網格計劃中，曼哈頓距離給出了街角之間的旅行距離：東到西北街區的數量必須穿越這兩個點之間。
棋盤距離為Chebyshev距離正式，是國王必須在棋盤上進行的最小動作，以便在兩個正方形之間行駛。

隱喻距離

數學，科學和工程中使用的距離的許多抽象概念代表了相似對象之間的一定程度的差異或分離。此頁面提供了一些示例。

統計距離

在統計和信息幾何形狀中，統計距離測量了兩個概率分佈之間的差異程度。有許多統計距離，通常為差異形式。這些允許一組概率分佈被理解為稱為統計歧管的幾何對象。最基本的是平方的歐幾里得距離，它通過最小二乘法最小化。這是最基本的布雷格曼分歧。信息理論中最重要的是相對熵（ kullback -leibler Divergence ），它允許人們類似地研究最大似然估計。這是f divergence和Bregman Divergence的一個例子（實際上，這是唯一的示例）。與布雷格曼分歧相對應的統計流形是相應幾何形狀中的平坦歧管，可以通過優化理論進行畢達哥拉斯定理的類似物（用於平方的歐幾里得距離），用於在優化理論中進行線性反向問題。

其他重要的統計距離包括Mahalanobis距離和能量距離。

編輯距離

在計算機科學中，兩個字符串之間的編輯距離或字符串度量可以衡量它們的不同。例如，“狗”和“ dot”一詞僅通過一個字母而有所不同，比“狗”和“貓”更近，這些字母沒有共同的字母。這個想法用於拼寫檢查器和編碼理論，並以多種不同方式進行數學形式化，包括Levenshtein距離，錘擊距離， Lee距離和Jaro -Winkler距離。

圖理論的距離

在圖中，兩個頂點之間的距離是通過它們之間的最短邊路路徑的長度來測量的。例如，如果圖表代表一個社交網絡，則可以將六個分離程度的想法在數學上解釋為說任何兩個頂點之間的距離最多是六個。同樣， ERDS的數字和培根數字- 一個人的協作關係數量分別來自多產的數學家Paul Erds和演員Kevin Bacon ，在圖表中是距離的距離，其邊緣代表數學或藝術合作。

在社會科學中

在心理學，人類的地理和社會科學中，距離通常被認為不是客觀的數值測量，而是對主觀體驗的定性描述。例如，心理距離是“可以從“時間，空間，社會距離和假設性”等維度中刪除對象的不同方式。在社會學中，社會距離描述了社會階層，種族/種族，性別或性別等方面的個人或社會群體之間的分離。

數學形式化

上述兩個點或對象之間的大多數距離概念是度量的數學思想的示例。度量或距離函數是一個函數 $d$ ，將成對的點或對象帶到實數並滿足以下規則：

對象和本身之間的距離始終為零。
不同對象之間的距離始終是積極的。
距離是對稱的：從 $X$ 到 $Y的$ 距離始終與 $Y$ 到 $X$ 的距離相同。
距離滿足三角形不等式：如果 $x$ ， $y$ 和 $z$ 是三個對象，則 $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z).$ 這種情況可以非正式地描述為“中間停止不能加快您的速度”。

例外，統計中使用的許多差異不是指標。

集合之間的距離

有多種方法可以測量由多個點組成的對象之間的物理距離：

可以測量代表點（例如質量中心）之間的距離；這用於天文距離，例如地球 - 漫遊距離。
一個人可以測量兩個對象的最接近點之間的距離；從這個意義上講，飛機或航天器的高度是距地球的距離。在歐幾里得幾何形狀中使用了相同的距離感來定義從點到線的距離，從一個點到平面，或更一般而言，更通常是仿射子空間之間的垂直距離。

更一般而言，這個想法可用於定義公制空間的兩個子集之間的距離。集合

A

和

B

之間的距離是其各自的任何兩個點之間距離的最小值：

d(A,B)=\inf _{x\in A,y\in B}d(x,y).

這不能在此類子集的集合上定義一個度量：重疊集之間的距離為零，並且此距離不能滿足具有兩個或多個點的任何度量空間的三角形不等式（請考慮由兩個不同的單元組成的三個集合的三角和他們的聯盟）。

可以將公制空間兩個子集之間的Hausdorff距離視為測量它們離完全重疊的距離。更準確地說， $A$ 和 $B$ 之間的Hausdorff距離是從 $A$ 到最遠的距離的距離，或者是 $B$ 的距離， $或$ 從 $B$ 到最遠的距離的距離，以較大者為準。（在這裡，“最遠的點”必須解釋為至上。）Hausdorff的距離定義了公制空間的緊湊子集的度量標準。

也可以看看

庫支持

Python（編程語言）
- scipy-距離計算（scipy.spatial.distance)
朱莉婭（編程語言）
- Julia統計距離-Julia套件用於評估向量之間的距離（指標）。

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