熵

熵
熵
常見符號	S
SI單元	joules per kelvin（j·k -1 ）
在SI基礎單元中	kg · m2猛

熵是一個科學概念，最常見於混亂，隨機性或不確定性狀態。該術語和概念用於不同領域，從最初被識別的經典熱力學到統計物理學中自然的顯微鏡描述以及信息理論的原理。它發現了在化學和物理學，生物系統中的應用及其與生命，宇宙學，經濟學，社會學，天氣科學，氣候變化和信息系統的關係，包括電信信息傳播。

熵是熱力學第二定律的核心，該定律指出，剩餘到自發進化的孤立系統的熵不能隨時間減少。結果，孤立的系統朝著熵最高的熱力學平衡發展。熱力學第二定律的結果是某些過程是不可逆的。

熱力學概念是由蘇格蘭科學家和工程師威廉·蘭金（William Rankine）在1850年提到的，名稱為熱力學功能和熱量電位。 1865年，熱力學領域的主要創始人之一德國物理學家魯道夫·克勞西烏斯（Rudolf Clausius）將其定義為無限量的熱量的商人。他最初將其描述為“轉換” ，在德國的Verwandlungsinhalt中，後來從希臘語中創造了術語以進行轉型。

奧地利物理學家路德維希·鮑爾茨曼（Ludwig Boltzmann）將熵解釋為符合符合系統宏觀條件的系統的可能微觀佈置或單個原子和分子狀態的量度。因此，他將統計障礙和概率分佈的概念引入了一個稱為統計力學的新的熱力學領域，並發現了微觀相互作用之間的聯繫，而顯微鏡相互作用（圍繞平均構型波動）與宏觀上可觀察到的行為，以簡單的對數的形式形式法律具有比例常數，即玻爾茲曼常數，已成為現代國際單位系統（SI）的定義普遍常數之一。

歷史

法國數學家拉扎爾·卡諾（Lazare Carnot）在1803年的紙質和運動的基本原理中提出，在任何機器中，運動部位的加速度和衝擊都代表了活動力矩的損失。在任何自然過程中，都存在有用能量耗散的固有趨勢。 1824年，在這項工作的基礎上，拉扎爾（Lazare）的兒子薩迪·卡諾特（Sadi Carnot從降落到冷的身體掉落的動作可以產生工作或動力。他用一個類比，與水如何落在水輪中。這是對熱力學第二定律的早期見解。卡諾（Carnot）基於18世紀初的“牛頓假設”，即熱和光都是不可抑制的物質形式的類型，這些形式被其他物質吸引和驅逐，部分地是基於Rumford Count Rumford的當代觀點在1789年，可以通過摩擦加工時，表明可以通過摩擦產生熱量。卡諾（Carnot）認為，如果在整個發動機週期結束時，工作物質的身體（例如蒸汽體）將返回其原始狀態，“在工作主體的條件下不會發生變化”。

由詹姆斯·焦耳（James Joule）在1843年的熱摩擦實驗中推論出的熱力學的第一定律，在所有過程中表達了能量及其保護的概念。但是，第一定律不適合單獨量化摩擦和耗散的影響。

在1850年代和1860年代，德國物理學家魯道夫·克勞西烏斯（Rudolf Clausius由摩擦產生。他將他的觀察結果描述為能量的耗散用途，導致轉化（德語中的verwandlungsinhalt ），在狀態變化期間對熱力學系統或化學物種的工作體。這與以艾薩克·牛頓（Isaac Newton）的理論為基礎的早期觀點形成了鮮明對比的是，熱是一種堅不可摧的粒子，具有質量。克勞西烏斯（Clausius）發現，隨著蒸汽從蒸汽發動機的排氣流動，不可用的能量會增加。從前綴en- ，如“能量”和希臘單詞τροπή [tropē]，它在既定的詞典中被翻譯為轉彎或變化，他以德語為verwandlung呈現，這個詞通常翻譯成英語為英語，作為轉換，1865年，克勞西烏斯（Clausius）將該物業的名稱稱為熵。這個詞在1868年被用作英語。

後來，路德維希·鮑爾茨曼（Ludwig Boltzmann），約西亞·威拉德·吉布斯（Josiah Willard Gibbs ）和詹姆斯·克萊克·麥克斯韋（James Clerk Maxwell）等科學家為熵提供了統計基礎。 1877年，鮑爾茨曼（Boltzmann）可視化了一種概率的方法來測量理想氣體顆粒的集合的熵，在這種情況下，他將熵定義為與這種氣體數量可能佔據的微晶格數量成正比的天然對數。該定義中的比例常數（稱為Boltzmann常數）已成為現代國際單位系統（SI）的定義通用常數之一。此後，統計熱力學的基本問題是確定給定量的能量E在N相同系統上的分佈。希臘數學家康斯坦丁·卡拉瑟迪里（ConstantinCarathéodory ）將熵與不可逆性的數學定義聯繫起來，就軌跡和整合性而言。

詞源

在1865年，克勞西烏斯（Clausius）命名了“依賴於系統配置的數量的差異”的概念。他將“變革性內容”（Verwandlungsinhalt）作為同義詞，與他的“熱和ergonal content”（wärme-und werkinhalt）相似，但他寧願將術語作為術語作為術語的一詞，因為他發現了一個單詞的能量。概念幾乎“在身體意義上相似”。該術語是通過用τροπή（'tropy'，'transformation'）代替ἔργον（'ergon'，'work'）的根來形成的。

更詳細地，克勞西烏斯（Clausius）解釋了他對“熵”的選擇，如下所示：

我更喜歡去古老的語言來獲取重要的科學數量的名稱，以便在所有生活方言中可能意味著同一件事。因此，我建議以希臘語為“轉換”，稱其為身體的熵。我設計的熵一詞與能量相似，因為這兩個數量在其身體的意義上是如此相似，以至於我對教派的類比似乎很有幫助。

萊昂·庫珀（Leon Cooper）補充說：“他成功地創造了一個對每個人意味著同一件事的詞：什麼都沒有”。

定義和描述

任何涉及熵概念的方法，其存在的存在取決於熱力學的第二定律，毫無疑問，這似乎是許多牽強的，並且可能會擊退初學者晦澀難懂的理解力。

Willard Gibbs ，流體熱力學中的圖形方法

熵的概念通過兩種主要方法（經典熱力學的宏觀觀點）以及統計力學中心的微觀描述來描述。經典方法根據宏觀可測量的物理特性（例如散裝質量，體積，壓力和溫度）來定義熵。熵的統計定義根據系統的微觀成分運動的統計來定義它 - 首先以經典的形式建模，例如構成氣體的牛頓顆粒，然後是機械量子（光子，聲子，旋轉等）。這兩種方法形成了與第二個熱力學定律相同現象的一致，統一的觀點，該法律發現了對物理過程的普遍適用性。

狀態變量和國家功能

許多熱力學特性由定義熱力學平衡狀態的物理變量定義。這些是狀態變量。狀態變量僅取決於平衡條件，而不取決於該狀態的路徑演變。狀態變量可以是狀態的函數，也稱為狀態函數，從某種意義上說，一個狀態變量是其他狀態變量的數學函數。通常，如果確定係統的某些屬性，則足以確定係統的狀態，從而確定其他屬性的值。例如，給定數量的氣體的溫度和壓力決定了其狀態，從而通過理想的氣體定律確定了其體積。確定由特定均勻溫度和壓力下單相的純物質組成的系統，因此是特定狀態，不僅具有特定的體積，而且具有特定的熵。熵是狀態的函數的事實使其有用。在Carnot週期中，工作流體返回到週期開始時具有的狀態，因此在此可逆循環中，任何狀態函數（例如熵）的變化或線積分為零。

可逆過程

在可逆過程中，總熵可以保守。系統的熵變化（不包括周圍環境）被很好地定義，因為將熱傳遞到系統除以系統溫度。可逆的過程是一種準確的過程，它僅偏離熱力學平衡，避免摩擦或其他耗散。任何迅速發生以至於偏離熱平衡的過程都不能可逆，總熵增加，並且在此過程中進行最大工作的可能性也丟失了。例如，在Carnot週期中，而從熱儲層到冷庫的熱流量代表冷儲層中熵的增加，但工作輸出，如果可逆地存儲在某些儲能機構中，則表示熵的減少可以用來反向操作加熱發動機並返回先前的狀態；因此，如果整個過程可逆，總的熵變化可能始終為零。不可逆的過程增加了系統和周圍環境的總熵。

卡諾週期

熵的概念來自魯道夫·克勞西烏斯（Rudolf Clausius）對卡諾循環的研究，這是卡諾熱發動機作為可逆熱發動機執行的熱力學週期。在Carnot週期中，熱量 $Q H$ 在溫度 $T h$ 處從“熱”儲層（在等溫膨脹階段）中吸收等溫度，並在t c處的熱量 $Q c$ 在 $t c$ 的“冷”儲存中（在等溫壓縮中）放置。階段）。根據Carnot的原理或定理，只有在這些儲層之間存在溫度差的情況下，可以生產帶有兩個熱儲層的加熱發動機的工作，對於給定熱儲層對的所有熱發動機中大部分且同樣有效的可逆發動機，對於可逆發動機而言，才能產生。，工作是儲層溫度的函數，並吸收了發動機 $Q H$ 的熱量（熱發動機的工作輸出=熱發動機效率×發動機加熱到發動機，其中效率是可逆熱發動機的儲層溫度的函數）。 Carnot沒有區分 $Q H$ 和 $Q C$ ，因為他使用的是不正確的假設，即熱量理論有效，因此，當熱量是 $Q h$ 和 $Q C 相等的錯誤假設（實際上是Q H和 Q C$ 相等的假設）時， $Q H$ 的大小大於 $Q c$ 的大小。通過Clausius和Kelvin的努力，現在眾所周知，可逆熱發動機所做的工作是Carnot效率的產物（這是所有可逆熱發動機的效率，該效率具有相同的熱儲層對，根據Carnot的定理）和熱儲層吸收的熱量：

W=\left({\frac {T_{\text{H}}-T_{\text{C}}}{T_{\text{H}}}}\right)Q_{\text{H}}=\left(1-{\frac {T_{\text{C}}}{T_{\text{H}}}}\right)Q_{\text{H}}

()

這是Carnot Heat Engine完成的工作，是從熱儲層中向發動機加熱，並從發動機上加熱到冷儲水室。為了得出Carnot效率，即1 -TC/Th（少於一個的數字），開爾文必須評估借助Carnot -Clapeyron方程，在等熱膨脹期間吸收的工作輸出與吸收的熱量比率。包含一個名為Carnot函數的未知函數。焦耳在給開爾文的一封信中建議，卡諾函數可能是從零溫度測量的溫度。這使開爾文建立了他的絕對溫度量表。眾所周知，系統在一個週期中產生的淨工作是吸收的淨熱量，這是熱儲層吸收的熱量QH> 0的總和（或幅度差）和廢熱QC < 0給冷儲水庫：

W=Q_{\text{H}}+Q_{\text{C}}

()

由於後者在整個週期中都是有效的，這給了克勞西烏斯的暗示，即在周期的每個階段，工作和熱量都不相等，而是它們的差異將是狀態函數的變化，該狀態功能會在完成後消失循環。狀態功能稱為內部能量，這對於熱力學的第一定律至關重要。

現在等同（ 1 ）和（ 2 ）給出每個Carnot週期的發動機，

Q_{\text{H}}/T_{\text{H}}+Q_{\text{C}}/T_{\text{C}}=0

()

這意味著有一個狀態的函數的變化為 $q / t$ ，並且該狀態函數在完整的卡諾循環中保存，就像其他狀態函數（例如內部能量）一樣。 Clausius稱此狀態函數熵。可以看到，通過數學而不是通過實驗室實驗結果發現了熵。這是一種數學結構，沒有簡單的物理類比。這使該概念有些晦澀或抽象，類似於能量概念的產生方式。該方程式顯示每個卡諾週期的熵變化為零。實際上，每個卡諾週期的兩個熱儲層的熵變化也為零發動機的熱儲層，發動機會收到熱量，而熱儲層則失去了相同量的熱量；

\Delta S_{\text{r,H}}+\Delta S_{\text{r,C}}=-Q_{\text{H}}/T_{\text{H}}-Q_{\text{C}}/T_{\text{C}}=0

()

其中我們表示由 $δs r，i = - q i / t i$ 的熵變化，因為i作為h（熱儲層）或c（冷儲液），通過考慮上述熱量的信號慣例。對於引擎。

克勞西烏斯（Clausius）隨後問，如果系統產生的工作要少於卡諾（Carnot）對同一熱儲層對的原理和從熱儲層到發動機 $Q H 的$ 相同熱傳遞的原理。在這種情況下，公式（ 1 ）的右側將是系統輸出的上限，現在將方程式轉換為不等式

W<\left(1-{\frac {T_{\text{C}}}{T_{\text{H}}}}\right)Q_{\text{H}}

當方程（ 2 ）被用來表達工作中的淨或總熱熱交換時，我們得到

Q_{\text{H}}+Q_{\text{C}}<\left(1-{\frac {T_{\text{C}}}{T_{\text{H}}}}\right)Q_{\text{H}}

或者

|Q_{\text{C}}|>{\frac {T_{\text{C}}}{T_{\text{H}}}}Q_{\text{H}}

通過考慮熱量的熱量符號，其中QH> 0是來自熱儲層的熱量，並被發動機吸收，而QC <0是發動機從發動機冷藏庫中散發出的廢熱。因此，與Carnot循環相比，冷儲液的熱量要多。以上不平等可以寫為

{\frac {Q_{\text{H}}}{T_{\text{H}}}}+{\frac {Q_{\text{C}}}{T_{\text{C}}}}<0.

如果我們再次表示

δs r，i = -q i / t i

的熵更改，則是通過考慮上述信號約定的h（熱儲層）或c（冷儲層）或c（冷儲液）加熱引擎，然後

\Delta S_{\text{r,H}}+\Delta S_{\text{r,C}}>0

或者

\Delta S_{\text{r,C}}>-\Delta S_{\text{r,H}}=\left\vert \Delta S_{\text{r,H}}\right\vert

()

告訴冷藏庫所獲得的熵的幅度大於熱儲層丟失的熵。發動機的熱力學週期的淨熵變化為零，因此發動機的淨熵變化，如果發動機產生的工作小於方程中的Carnot發動機所實現的工作，則每個週期的熱儲層都會增加（每個週期的熱儲層）（（ 1 ）。

等式（ 1 ）中所示的Carnot循環和Carnot效率很有用，因為它們定義了可能的工作輸出的上限以及任何經典熱力學熱發動機的效率。可以從Carnot循環的角度分析其他週期，例如Otto循環，柴油週期和Brayton循環。任何將熱量轉化為工作的機器或循環過程，並且聲稱產生的效率大於卡諾效率，這是不可行的，因為它違反了熱力學的第二定律。

對於系統中的少數顆粒，必須使用統計熱力學。諸如光伏電池之類的設備的效率需要從量子力學的角度進行分析。

經典熱力學

熵的熱力學定義是在1850年代初由魯道夫·克勞西烏斯（Rudolf Clausius）開發的，基本上描述瞭如何在熱力學平衡中測量及其部分的熱力學平衡中孤立系統的熵。克勞西烏斯（Clausius）創建了術語熵作為廣泛的熱力學變量，該變量被證明可用於表徵Carnot循環。發現Carnot循環的等溫步（等溫膨脹和等溫壓縮）中的熱傳遞與系統溫度成正比（稱為其絕對溫度）。這種關係以熵的增量表達，等於遞增的傳熱除以溫度。發現熵在熱力學循環中有所不同，但最終在每個週期結束時恢復了相同的值。因此，發現它是狀態的函數，特別是系統的熱力學狀態。

克勞西烏斯基於可逆過程的定義，但也有不可逆轉的過程會改變熵。遵循熱力學的第二定律，對於不可逆的過程，孤立系統的熵總是增加。隔離系統和封閉系統之間的區別在於，能量可能不會從隔離系統流到和從隔離系統流動，但是可以從封閉的系統流向和從封閉系統流動。然而，對於封閉和孤立的系統，甚至在開放系統中，也可能發生不可逆的熱力學過程。

根據Clausius平等，對於可逆的循環過程：。這意味著線積分是無關的。

因此，我們可以定義一個稱為熵的狀態函數，可以滿足。

為了找到系統的任意兩個狀態之間的熵差，必須評估積分的初始狀態和最終狀態之間的可逆路徑。由於熵是狀態函數，因此不可逆路徑的系統的熵更改與相同兩個狀態之間的可逆路徑相同。但是，向或從轉移的熱量和熵變化是不同的。

我們只能通過整合上述公式來獲得熵的變化。為了獲得熵的絕對值，我們需要熱力學的第三定律，該定律指出，對於完美的晶體，在絕對零處的s = 0。

從宏觀的角度來看，在經典的熱力學中，熵被解釋為熱力學系統的狀態函數：也就是說，僅取決於系統的當前狀態，與該狀態的實現方式無關。在系統放棄能量δE且_其熵降低的任何過程中，必須將至少該能量的trδs放在系統的周圍環境中（熱量是系統_的溫度）外部環境）。否則該過程將無法向前。在經典的熱力學中，僅當系統處於物理熱力學平衡時才能定義系統的熵。（但是不需要化學平衡：在1 bar壓力下，兩摩爾的氫和一摩爾的氧氣的混合物的熵和298 K的定義明確。

統計力學

統計定義是由路德維希·鮑爾茨曼（Ludwig Boltzmann）在1870年代通過分析系統的顯微鏡組件的統計行為而開發的。鮑爾茨曼（Boltzmann）表明，這種熵的定義等效於熱力學熵在恆定因子內（稱為玻爾茲曼常數）。簡而言之，熵的熱力學定義提供了熵的實驗驗證，而熵的統計定義則擴展了概念，提供了對其性質的解釋和更深入的理解。

統計力學中熵的解釋是吉布斯短語中的不確定性，混亂或混合度的量度，在其可觀察到的宏觀特性（例如溫度，壓力和體積）之後，它仍然存在於系統之後。對於給定的一組宏觀變量，熵可以測量系統的概率在不同可能的微晶格上分佈的程度。與宏觀染料（表徵平均量很明顯的平均數量）相反，Microstate指定了有關該系統的所有分子細節，包括每個分子的位置和速度。具有明顯可能性的系統可用性越多，熵的可能性就越大。在統計力學中，熵是對可以安排系統的數量的量度，通常被視為“疾病”（熵越高，疾病越高）的量度。該定義將熵描述為與可能導致系統觀察到的宏觀態態（宏觀固醇）的單個原子和分子的微觀構型數量成正比。比例的常數是玻爾茲曼常數。

Boltzmann常數，因此熵的能量尺寸除以溫度，在國際單位系統（或KGG·M ^2· S -2·S ^-2 ·K）的國際系統中，該溫度具有一個單位的焦耳（J·K ^{- 1} ） ^{。 1}在基本單位方面）。物質的熵通常作為密集特性給出 - 每單位質量熵（SI單位：J·K ^-1 ·KG ^-1 ）或每單位物質熵（Si單位：J·K ^-1·毫米）或熵^-1 ）。

具體而言，熵是對系統狀態數量的對數度量，其被佔用的可能性很大：

S=-k_{\text{B}}\sum _{i}p_{i}\ln p_{i},

（是系統處於狀態的概率，通常由Boltzmann分佈給出；如果以連續的方式定義狀態，則求和被所有可能狀態的積分代替），或等效地，對數的期望值微晶格被佔據的可能性

S=-k_{\text{B}}\langle \ln p\rangle ,

其中k _b是鮑爾茨曼常數，等於1.380 65 × 10 ^-23 J/k 。求和是系統的所有可能的微晶格，而P _I是系統在I -Th Microstate中的概率。該定義假定已經選擇了狀態的基礎集，因此沒有有關其相對階段的信息。在不同的基礎集中，更一般的表達是

S=-k_{\mathrm {B} }\operatorname {Tr} {\big (}{\widehat {\rho }}\ln({\widehat {\rho }}){\big )},

密度矩陣在哪裡，是軌跡，是矩陣對數。在熱平衡的情況下，只要選擇為能量本徵態，就不需要這種密度矩陣公式。出於大多數實際目的，這可以將其視為熵的基本定義，因為S的所有其他公式都可以從數學上衍生而成，但反之亦然。

在所謂的統計熱力學的基本假設或統計力學中的基本假設中，在相同能量的系統微晶格中，每個微晶格被認為以均衡的概率為人口；對於平衡的孤立系統，通常是合理的。然後，對於孤立的系統p _i = 1/ω，其中ω是能量等於系統能量的微晶格的數量，而先前的方程將減少到

S=k_{\text{B}}\ln \Omega .

在熱力學中，這樣的系統是固定的體積，分子數和內部能量（微型典型集合）的系統。

對於給定的熱力學系統，多餘的熵被定義為在相同密度和溫度下理想氣體的熵減去，這一數量總是為負，因為理想氣體是最大化的。這個概念在液相理論中起著重要作用。例如，羅森菲爾德（Rosenfeld）的過度透鏡縮放原則指出，在整個二維相圖中降低了傳輸係數是由多餘的熵決定的函數。

熵的最一般解釋是衡量系統不確定性的程度。系統的均衡狀態最大化熵，因為除了保守變量外，它沒有反映有關初始條件的所有信息。這種不確定性不是日常主觀的，而是實驗方法和解釋模型固有的不確定性。

解釋模型在確定熵方面具有核心作用。上面的“針對給定的宏觀變量”的預選賽具有深刻的含義：如果兩個觀察者使用不同的宏觀變量集，則它們會看到不同的熵。例如，如果觀察者a使用變量u ， v和w ，並且觀察者b使用u ， v ， w ， x ，然後通過更改x ，觀察者b可能會導致看起來像是違反第二種熱力學定律的效果對觀察者A。換句話說：宏觀變量的集合必須包括實驗中可能會改變的所有內容，否則可能會看到熵的減少。

可以針對具有可逆動態和詳細平衡屬性的任何馬爾可夫進程定義熵。

在鮑爾茨曼（Boltzmann）的1896年關於氣體理論的演講中，他表明這種表達在氣相中提供了原子和分子系統的熵，從而為經典熱力學的熵提供了量度。

熵

熵直接來自Carnot循環。它也可以描述為可逆的熱量除以溫度。熵是國家的基本功能。

在熱力學系統中，隨著時間的流逝，壓力和溫度往往會變得均勻，因為平衡狀態的概率比任何其他狀態更高（微骨的可能組合）。

例如，對於在室溫下的空氣中的一杯冰水，溫暖的房間（周圍環境）和冷玻璃杯之間的溫度差異（系統，而不是房間的一部分）隨著一部分而降低溫暖周圍環境中的熱能傳播到冰和水的涼爽系統。隨著時間的流逝，玻璃的溫度及其內容物和房間的溫度相等。換句話說，房間的熵已經下降，因為它的某些能量已分散到冰和水中，熵增加了。

但是，如示例中所計算的那樣，冰和水系統的熵比周圍房間的熵增加了。在一個孤立的系統（例如房間和冰水）中，從溫暖到冷卻器的能量分散總是會導致熵的淨增加。因此，當房間和冰水系統的“宇宙”達到溫度平衡時，熵從初始狀態的變化最大。熱力學系統的熵是衡量均等化進展程度的量度。

熱力學熵是一種非保守狀態功能，在物理和化學科學中非常重要。從歷史上看，熵的概念演變為解釋為什麼某些過程（保護法律允許）自發發生，而它們的時間逆轉（也是保護法也允許的）卻沒有；系統傾向於沿增加熵的方向發展。對於孤立的系統，熵永遠不會減小。這個事實在科學中有幾個重要的後果：首先，它禁止“永久運動”機器；其次，它意味著熵的箭頭具有與時間箭頭相同的方向。系統和周圍環境的總熵的增加與不可逆的變化相對應，因為某些能量是在廢熱中消耗的，從而限制了系統可以做的工作量。

與狀態的許多其他功能不同，熵不能直接觀察到，但必須計算。物質的絕對標準摩爾熵可以根據其熱容量的測量溫度依賴性來計算。離子的摩爾熵作為與定義為零熵的參考狀態的熵差。熱力學的第二定律指出，隔離系統的熵必須增加或保持恆定。因此，熵不是保守的數量：例如，在溫度不均勻的孤立系統中，熱量可能會不可逆地流動，溫度變得更均勻，從而增加熵。化學反應會導致熵和系統熵的變化，並結合焓，在確定化學反應自發進行的方向方向上起著重要作用。

熵的一種字典定義是，它是“每單位溫度的熱能的量度，在循環過程中無用於有用的工作”。例如，在均勻溫度下的物質處於最大熵，無法驅動加熱發動機。在不均勻溫度下的物質在較低的熵（比允許熱分佈均勻的情況下），並且某些熱能可以驅動加熱發動機。

當混合了兩種或更多不同的物質時，會發生熵增加的特殊情況，即混合的熵。如果物質處於相同的溫度和壓力下，則沒有熱量或工作的淨交換 - 熵變化完全是由於不同物質的混合。在統計機械水平上，由於混合使用每個粒子的可用體積變化而導致的。

定義的等效性

統計力學（Gibbs熵公式）和經典熱力學（與基本熱力學關係）中的熵定義之間的等效證明是微核合奏，規範合奏，大型合奏，宏偉的規範合奏和等值劑- 均質- 均勻的- 均質- 均質- 均質- 均質- 含量- 含量- 含量- 含量- 含量- 含量- 含量- 含量- 含量- 含量- 含量- 含量- 含量- 含量- 均勻的合奏合奏。這些證明是基於廣義鮑爾茨曼分佈的微晶和熱力學內部能量作為集合平均值的鑑定的概率密度。然後使用熱力學關係來得出眾所周知的gibbs熵公式。然而，吉布斯熵公式與熵的熱力學定義之間的等效性不是基本的熱力學關係，而是廣義鮑爾茨曼分佈形式的結果。

此外，已經表明，統計力學中熵的定義是唯一與以下假設下的經典熱力學熵相等的熵：

概率密度函數與集成參數和隨機變量的某些函數成正比。
熱力學狀態函數通過隨機變量的集合平均值來描述。
在無限溫度下，所有微晶體的概率相同。

熱力學第二定律

熱力學的第二定律要求，通常，除了增加其他系統的熵外，任何系統的總熵都不會減少。因此，在與環境隔離的系統中，該系統的熵往往不會減小。因此，如果沒有將工作應用於較冷的身體，熱量就無法從較冷的身體流向更熱的身體。其次，任何在周期運行的設備都不可能從單個溫度儲備中產生淨工作。淨工作的產生需要從更熱的儲層到更冷的儲層或進行絕熱冷卻的單個擴展儲層，從而進行絕熱工作。結果，不可能使用永久運動機器。因此，在指定過程中的熵增加（例如化學反應）在能量上更有效。

從第二種熱力學定律來看，不隔離的系統的熵可能會降低。例如，空調可能會在房間中冷卻空氣，從而減少該系統空氣的熵。空調將其運輸和排放到外部空氣的房間（系統）中排出的熱量總是比該系統空氣熵的減小更大的貢獻。因此，房間的總熵加上環境的熵增加，與熱力學的第二定律一致。

在力學中，第二定律與基本熱力學關係結合使用，對系統進行有用工作的能力限制了限制。在溫度下，系統以可逆的方式吸收無限量的熱量的熵變化。更明確地，無法進行有用的工作，在系統外部的最冷的儲層或散熱器的溫度在哪裡。有關進一步的討論，請參見Exergy。

統計力學表明，熵受概率約束，因此即使在孤立的系統中也可以減少疾病。儘管這是可能的，但這種事件的發生可能性很小，因此不太可能。

第二種熱力學定律的適用性僅限於在平衡狀態附近或足夠接近平衡狀態的系統中，因此它們已經定義了熵。熱力學平衡的某些不均勻系統仍然滿足局部熱力學平衡的假設，因此熵密度在局部定義為密集量。對於此類系統，可能會採用最大熵產生時間率的原則。它指出，這種系統可能會發展為穩態，從而最大化其熵產生的時間率。這並不意味著這樣的系統一定總是處於熵產生的最大時間速度的條件下。這意味著它可能會演變為這種穩定狀態。

申請

基本熱力學關係

系統的熵取決於其內部能量和外部參數，例如其體積。在熱力學限制中，這一事實導致一個方程式將內部能量的變化與熵和外部參數的變化有關。這種關係稱為基本熱力學關係。如果外部壓力將音量作為唯一的外部參數，則此關係為：

dU=T\,dS-p\,dV

由於內部能量和熵都是溫度的單調函數，這意味著當一個人指定熵和體積時，內部能量是固定的，即使從一個熱平衡變為另一個無限端熵和體積，這種關係也是有效的。以非質量的方式發生（因此，在此變化期間，系統可能與熱平衡相去甚遠，然後整個系統的熵，壓力和溫度可能不存在）。

基本的熱力學關係意味著許多通常有效的熱力學身份，與系統的顯微鏡細節無關。重要的例子是麥克斯韋的關係和熱能之間的關係。

化學熱力學的熵

熱力學熵在化學熱力學中是中心的，可以定量變化以及預測的反應結果。熱力學的第二定律指出，在所有自發的化學和物理過程中，孤立系統中的熵（正在研究的子系統及其周圍環境的組合）都會增加。 Clausius方程引入了熵變化的測量。熵變化描述了方向並量化了簡單變化的大小，例如係統之間的傳熱 - 總是從熱到較冷的自發。

因此，熱力學熵的能量尺寸除以溫度，在國際單位系統（SI）中，每開爾文（ J/K）的單位焦耳。

熱力學熵是一種廣泛的特性，這意味著它隨系統的大小或程度而定。在許多過程中，將熵指定為獨立於大小的密集屬性是有用的，它是所研究系統類型的特定熵特徵。特定的熵可以相對於質量單位表示，通常為千克（單位：J·KG ^-1 ·K ^-1 ）。另外，在化學中，它也被稱為一摩爾物質，在這種情況下，它稱為摩爾熵，其單位為j·mol ^-1 ·K ^-1 。

因此，當周圍環境將一摩爾的物質加熱到298 K時，構成每個元件或化合物的標準摩爾熵的增量值的總和，這是一種在298 K處存儲的能量量的指標。熵變化還測量物質的混合，以求其在最終混合物中的相對量的求和。

熵對於預測複雜化學反應的程度和方向同樣至關重要。對於此類應用，必須將包括系統及其周圍環境的表達式納入。通過某些步驟，該表達式成為系統中反應物和產品的Gibbs自由能方程：[系統的Gibbs自由能變化] [焓變化] [熵變化]。

世界的技術能力存儲和傳達熵信息

2011年的一項科學研究（雜誌）估計了全球在2007年可用的最有效的壓縮算法上存儲和傳達最佳壓縮信息的技術能力，因此估計了該技術可用來源的熵。作者的估計，人類將信息存儲信息的技術能力從1986年的2.6（熵壓縮）增長到2007年的295（熵壓縮） exabytes 。通過單程廣播網絡接收信息的技術能力是432個exabytes （熵） 1986年的壓縮）信息為2007年的1.9個Zettabytes 。通過雙向電信網絡交換信息的有效能力在1986年為281 pb ，在2007年（熵壓縮）信息（熵壓縮的）信息，至2007年（熵壓縮的） Exabytes 。

開放系統的熵平衡方程

在化學工程中，熱力學的原理通常應用於“開放系統”，即在整個系統邊界的熱，工作和質量流動的原理。熱量（）和工作的流量，即（IE）（軸工作）和（壓力量工作），整個系統邊界，在系統熵的一般情況下發生變化。隨著熱量的熵轉移的轉移，在熱流點處系統的絕對熱力學溫度。如果整個系統邊界上都有質量流，它們也會影響系統的總熵。就熱量和工作而言，此帳戶僅適用於工作和熱傳輸的情況下，路徑在物理上與系統的入境和退出的路徑不同。

為了得出廣義熵平衡方程，我們從熱力學系統中任何廣泛數量的變化的一般平衡方程開始，該數量可能是保守的，例如能量或不保守的熵，例如熵。基本的通用平衡表達式指出，即係統中的變化速率等於以邊界進入系統的速率，減去了在系統邊界上離開系統的速率，以及生成的速率在系統內。對於一個開放的熱力學系統，在該系統中，使用該通用平衡方程將熱量和工作與物質轉移路徑分開傳遞，而隨著廣泛數量熵的時間的變化速率，熵平衡方程為：

{\frac {dS}{dt}}=\sum _{k=1}^{K}{\dot {M}}_{k}{\hat {S}}_{k}+{\frac {\dot {Q}}{T}}+{\dot {S}}_{\text{gen}}

在哪裡

是由於質量流入和流出系統的流動而引起的熵流量（每單位質量的熵）。
${\textstyle {\frac {\dot {Q}}{T}}}$ 是由於熱量跨系統邊界而引起的熵流速率。
是系統內部的熵產生速率。該熵產生來自系統內部的過程，包括化學反應，內部物質擴散，內部傳熱和摩擦效應，例如係統內部從機械工作轉移到系統內發生的粘度。

如果有多個熱量流，則該術語被熱流是在哪裡取代，並且是進入系統的熱流端口的溫度。

術語“熵平衡”具有誤導性，並且通常認為是不合適的，因為熵不是保守的數量。換句話說，該術語絕不是已知數量，但始終是基於上面表達式的術語。因此，第二定律的開放系統版本被更恰當地描述為“熵生成方程”，因為它指定的是可逆過程零，或者不可逆的過程大於零。

熵更改簡單過程的公式

對於恆定組成系統中的某些簡單轉換，熵變化由簡單公式給出。

理想氣體的等溫膨脹或壓縮

對於從初始體積和壓力到最終體積和在任何恆定溫度下壓力的理想氣體的膨脹（或壓縮），熵的變化由以下方式給出：

\Delta S=nR\ln {\frac {V}{V_{0}}}=-nR\ln {\frac {P}{P_{0}}}.

這是氣體的量（摩爾），是理想的氣體常數。這些方程還適用於有限真空或節流過程，其中溫度，內部能量和焓用於理想氣體的恆定。

冷卻和加熱

對於從初始溫度到最終溫度的恆定壓力下的任何系統（氣體，液體或固體）的純加熱或冷卻，熵變化為

\Delta S=nC_{P}\ln {\frac {T}{T_{0}}}.

前提是恆定壓力摩爾熱容量（或特定熱） C _P是恆定的，並且在此溫度間隔內沒有相變。

同樣，在恆定體積時，熵的變化為

\Delta S=nC_{v}\ln {\frac {T}{T_{0}}},

其中恆定體積摩爾熱容量C _V是恆定的，並且沒有相變。

在接近絕對零的低溫下，固體的熱能迅速下降到接近零，因此不適用恆溫容量的假設。

由於熵是一種狀態函數，因此溫度和體積都不同的任何過程的熵變化與分為兩個步驟的路徑相同 - 在恆定體積和恆溫下的膨脹。對於理想氣體，總熵變化為

\Delta S=nC_{v}\ln {\frac {T}{T_{0}}}+nR\ln {\frac {V}{V_{0}}}.

同樣，如果理想氣體的溫度和壓力都不同，

\Delta S=nC_{P}\ln {\frac {T}{T_{0}}}-nR\ln {\frac {P}{P_{0}}}.

相變

可逆的相變在恆定溫度和壓力下發生。可逆的熱量是過渡的焓變，熵變化是焓變除以熱力學溫度。對於在熔點t _m處固體融合到液體的融合（熔化），融合的熵為

\Delta S_{\text{fus}}={\frac {\Delta H_{\text{fus}}}{T_{\text{m}}}}.

同樣，對於將液體蒸發到沸點T _B處的氣體，蒸發的熵為

\Delta S_{\text{vap}}={\frac {\Delta H_{\text{vap}}}{T_{\text{b}}}}.

理解熵的方法

作為熱力學和物理學的基本方面，克勞西烏斯和玻爾茲曼的熵的幾種不同方法是有效的。

標準教科書定義

以下是教科書集合中的熵的其他定義的列表：

在特定溫度下的能量擴散度量。
宇宙中疾病的衡量標准或系統中能量的可用性。
對系統每單位溫度的熱能的度量，無法進行有用的工作。

在鮑爾茨曼（Boltzmann）在組成粒子方面的分析中，熵是熱力學平衡系統中系統可能的顯微鏡狀態（或微骨）數量的量度。

秩序和混亂

熵通常與熱力學系統中的秩序或混亂或混亂的量相關。熵的傳統定性描述是指系統現狀的變化，是對“分子障礙”的量度，以及從一種狀態或形式到另一種狀態或形式的動態能量轉化中浪費能量的量。在這個方向上，最近的幾位作者得出了精確的熵公式，以說明原子和分子組件中的障礙和順序。更簡單的熵順序/混亂公式之一是基於熱力學和信息理論參數的結合，由熱力學物理學家彼得·蘭斯伯格（Peter Landsberg）於1984年得出。他認為，當約束在系統上運行時，可以防止其進入其可能或允許的狀態中的一個或多個，與其禁止的狀態形成鮮明對比時，系統中“疾病”總量的量度由：

{\text{Disorder}}={C_{\text{D}} \over C_{\text{I}}}.\,

同樣，系統中“訂單”的總量也由：

{\text{Order}}=1-{C_{\text{O}} \over C_{\text{I}}}.\,

其中c _d是系統的“障礙”能力，即允許合奏中包含的零件的熵， c _i是系統的“信息”能力，一種類似於香農的通道容量的表達方式，並且C o c _o是系統的“訂單”能力。

能量分散

玻璃杯在混凝土地板上粉碎的慢動作視頻。在破裂過程的短時間內，構成玻璃杯的質量的熵隨著玻璃的分散而急劇上升。

熵的概念可以定性地描述為在特定溫度下能量分散的量度。從經典熱力學史上開始使用類似的術語，隨著統計熱力學和量子理論的發展，熵變化已通過混合或“擴散”系統的總能量的“散佈”來描述超過其特定的量化能量水平。

術語中的歧義和混亂通常具有直接與均衡的含義，這對大多數學生有助於對熵的廣泛混亂和阻礙理解。正如熱力學的第二定律所示，在不同溫度下的孤立系統內部部分傾向於適應單個均勻的溫度，從而產生平衡。最近開發的教育方法避免了模棱兩可的術語，並描述了這種從能量傳播為散佈的術語，這會導致工作所需的差異損失，即使總能量仍然符合熱力學的第一定律（比較下一節中的討論）。物理化學家彼得·阿特金斯（Peter Atkins）在他的教科書《物理化學》中介紹了熵，並說：“自髮變化總是伴隨著能量或物質的散佈，而且通常兩者都是”。

將熵與能量實用性有關

（在熱環境中）有可能將較低的熵視為特定能量量的有效性或有用性的量度。在較高溫度下提供的能量（即低熵）往往比在較低溫度下可用的能量更有用。將熱包與冷的液體混合在一起會產生一個中等溫度的包裹，其中熵的總體增加代表了無法替代的“損失”。

隨著宇宙的熵穩步增加，其總能量變得越來越少。最終，這是從理論上導致宇宙的熱死亡。

熵和絕熱可及性

E. H. Lieb和J. Yngvason在1999年給出了熵的定義，完全基於平衡狀態之間的絕熱可及性關係。這種方法具有幾個前任，包括1909年君士坦丁·卡拉特迪迪（ ConstantinCarathéodory）的開拓性工作以及R. Giles的專著。在LIEB和YNGVASON的情況下，一個首先選擇了所考慮的物質的單位數量，這是兩個參考狀態，因此後者可以從前者獲得絕熱，但不相反。將參考狀態的熵定義為0和1，狀態的熵被定義為最大的數字，因此可以從該州的金額和補充金額組成的複合狀態上絕熱地訪問，在該狀態。在這種情況下，一個簡單但重要的結果是，除了選擇單元和每個化學元素的添加劑常數外，熵是由以下特性確定的：相對於絕熱可及性的關係，它是單調的，複合材料上的添加劑是單調的系統，並在縮放下進行廣泛。

量子力學中的熵

在量子統計力學中，熵的概念是由約翰·馮·諾伊曼（John von Neumann）開發的，通常稱為“ von Neumann熵”，

S=-k_{\text{B}}\operatorname {Tr} (\rho \ln \rho ),

其中ρ是密度矩陣，而TR是痕量運算符。

這堅持了對應原理，因為在經典限制中，當用於經典概率的基礎狀態之間的階段純粹是隨機的時，此表達式等於熟悉的經典熵定義，

S=-k_{\text{B}}\sum _{i}p_{i}\,\ln \,p_{i},

IE在這樣的基礎上，密度矩陣為對角線。

馮·諾伊曼（Von Neumann）通過他的工作數學grundlagen der dernenmechanik建立了一個嚴格的量子力學數學框架。他在這項工作中提供了一種測量理論，其中通常的波函數崩潰概念被描述為不可逆的過程（所謂的von Neumann或投射測量）。使用這個概念，與密度矩陣結合使用，他將熵的經典概念擴展到了量子域。

信息理論

我想到將其稱為“信息”，但是這個詞過於使用，所以我決定將其稱為“不確定性”。 [...]馮·諾伊曼（Von Neumann更重要的是，沒有人知道熵的真正是什麼，所以在辯論中，您將永遠擁有優勢。

克勞德·香農（Claude Shannon）和約翰·馮 ·諾伊曼（John von Neumann

當根據信息理論觀察時，熵狀態函數是系統中完全指定係統微晶格所需的信息量。熵是接收前丟失信息量的量度。它通常稱為香農熵，最初是由克勞德·香農（Claude Shannon）在1948年設計的，以研究傳播消息的信息的大小。信息熵的定義是根據一組離散概率表示的

H(X)=-\sum _{i=1}^{n}p(x_{i})\log p(x_{i}),

如果對數的底部確定單位（例如，二進制對數對應於位）。

在傳輸消息的情況下，這些概率實際上是傳輸特定消息的概率，並且消息系統的熵是衡量消息的平均信息大小的量度。對於同等概率的情況（即每個消息同樣可能），香農熵（位於位）只是確定消息內容所需的二進制問題數量。

大多數研究人員認為信息熵和熱力學熵直接與同一概念相關，而其他人則認為它們是不同的。兩種表達式在數學上都是相似的。如果是可以產生給定宏觀物的微骨數量，並且每個微晶格具有相同的先驗概率，則該概率為。香農熵（納特）是

H=-\sum _{i=1}^{W}p_{i}\ln p_{i}=\ln W,

如果以每位NAT的單位測量熵，則熵由

H=k\ln W,

這是Boltzmann熵公式，其中Boltzmann常數可以解釋為每個NAT的熱力學熵。一些作者主張為信息理論的功能刪除熵一詞，並使用香農的另一個術語“不確定性”。

測量

儘管以間接的方式可以測量物質的熵。該測量稱為熵對測量，是在封閉的系統（粒子n和Volose V為常數）上進行的，並使用溫度定義熵，同時將能量交換限制為熱量（）。

T:=\left({\frac {\partial U}{\partial S}}\right)_{V,N}\Rightarrow \cdots \Rightarrow \;dS=dQ/T

最終的關係描述了當在一定溫度下將少量能量引入系統時，熵的變化是如何變化的。

測量過程如下。首先，將物質的樣品冷卻盡可能接近絕對零。在這種溫度下，由於溫度的定義，熵接近零。然後，將少量熱量引入樣品中，並記錄溫度的變化，直到溫度達到所需的值（通常為25°C）。獲得的數據允許用戶整合上述方程，從而在最終溫度下產生該物質熵的絕對值。熵的值稱為量熱熵。

跨學科申請

儘管熵的概念最初是一個熱力學概念，但它已在其他研究領域進行了調整，包括信息理論，心理動力學，熱經濟學/生態經濟學和進化。

哲學和理論物理學

熵是物理科學中唯一的數量，似乎暗示了一個特定的進步方向，有時稱為時間的箭頭。隨著時間的流逝，熱力學的第二定律指出，隔離系統的熵在很大的時間內永遠不會減少。因此，從這個角度來看，在這些條件下，熵測量被認為是時鐘。

生物學

Chiavazzo等。提出，可以通過熵最小化來解釋洞穴蜘蛛選擇產卵的地方。

熵已被證明可用於分析DNA中的鹼基對序列。已經顯示出許多基於熵的措施來區分基因組的不同結構區域，區分DNA的編碼和非編碼區域，也可以通過確定不同物種之間的進化距離來應用於進化樹的恢復。

宇宙學

假設有限的宇宙是一個孤立的系統，那麼熱力學的第二定律指出，其總熵正在不斷增加。自19世紀以來，人們一直猜測宇宙被命中為熱量死亡，其中所有能量最終都是熱能的均勻分佈，因此無法從任何來源中提取任何工作。

如果可以認為宇宙通常會增加熵，那麼 - 正如羅傑·彭羅斯（Roger Penrose）指出的那樣，重力在增加中起著重要作用，因為重力會導致分散物積聚成恆星，最終崩潰成黑色孔。黑洞的熵與黑洞事件視野的表面積成正比。雅各布·貝肯斯坦（Jacob Bekenstein）和斯蒂芬·霍金（Stephen Hawking）表明，黑洞具有任何相等大小的對象的最大熵。如果它們是完全有效的物質和能量陷阱，這可能會使它們可能在所有熵提高過程中的終點。但是，由於量子活性（請參閱霍金輻射），可能可以從黑洞中逃脫。

自Ludwig Boltzmann時期以來，熵在宇宙學中的作用仍然是一個有爭議的主題。最近的工作對熱死亡假設以及任何簡單的熱力學模型通常對宇宙的適用性提出了懷疑。儘管熵確實在擴展的宇宙模型中增加，但最大可能的熵升高的速度要快得多，隨著時間的推移將宇宙從熱死亡中進一步移動，而不是更近。這會導致“熵差距”，將系統推向遠離所受的熱死亡平衡。其他復雜因素，例如真空的能量密度和宏觀量子效應，很難與熱力學模型進行調和，從而對大規模熱力學的任何預測都非常困難。

當前的理論表明，熵差距最初是由宇宙的早期快速指數擴張所張開的。

經濟學

羅馬尼亞美國經濟學家尼古拉斯·喬治庫·羅根（Nicholas Georgescu-Roegen）是經濟學的祖先，也是生態經濟學範式的創始人，在他的gr特納姆（Magnum Opus）在熵法和經濟過程中廣泛使用了熵概念。由於Georgescu-Roegen的工作，熱力學定律構成了生態經濟學學校的組成部分。儘管他的作品被錯誤誤解了，但關於喬治·庫·羅根（Georgescu-Roegen）經濟學的完整章節已被認可地納入了一本有關熱力學歷史發展的基本物理學教科書中。

在經濟學中，喬治庫·羅根（Georgescu-Roegen）的作品產生了“熵悲觀主義”一詞。自1990年代以來，領先的生態經濟學家和穩態理論家赫爾曼·戴利（Herman Daly ）（喬治·庫·羅根（Georgescu-Roegen）的學生）一直是經濟學專業的熵悲觀主義地位最有影響力的擁護者。

熵
常見符號	S
SI單元	joules per kelvin（j·k ^-1 ）
在SI基礎單元中	kg ^· ^m2^猛

熵

歷史

詞源