時間方程

時間方程式 - 在軸上方上方會出現日d快速地相對於顯示本地平均時間的時鐘，在軸線下方會出現日d減緩.

該圖顯示了前方時鐘（+）或後面（ - ）明顯太陽的幾分鐘。請參閱該部分”時間方程式的跡象“ 以下。

這時間方程描述兩種類型之間的差異太陽時間。這個單詞方程用於“和解差異”的中世紀意義上。不同的兩次是明顯的太陽時間，直接跟踪晝夜運動的太陽， 和平均太陽時間，跟踪理論意思是沿著統一運動的太陽天體赤道。可以通過測量當前位置來獲得明顯的太陽時間（小時角）太陽，如（精度有限）晷.意思是太陽時間在同一位置將是穩定時鐘集所指示的時間，因此在一年中，其與明顯太陽能時間的差異將平均為零。^[1]

時間方程是分析，一條曲線，代表太陽的角度偏移從其在其上的平均位置天體球從地球上看。一年中每一天的時間值方程，由天文學編譯天文台，被廣泛列出年鑑和臨時層.^[2][3]：14

這個概念

帶有輔助撥盤的時鐘顯示時間方程。丹特廣場那不勒斯（1853）。

在一年中，時間方程式變化如圖所示。從一年到下一年的變化很小。明顯的時間和日d的時間可以超過16最小33s（11月3日左右）或（慢速）的後面多達14分鐘6 s（2月11日左右）。時間方程式在4月15日，6月13日，9月1日和12月25日附近的零。忽略地球軌道和旋轉的非常緩慢的變化，這些事件在每次相同的時間重複熱帶年。但是，由於一年中的非整體數量，這些日期每年可能會有所不同。^{[n 1][4]：277}

時間方程式的圖與兩條正弦曲線的總和密切近似，一年一年，一年為半年。曲線反映了兩個天文效應，每種效應在太陽相對於恆星的明顯每日運動中引起不同的不均勻性：

• 這傾斜的黃道（地球上太陽周圍的年度軌道運動的平面），相對於地球的平面相對於地球的平面而言約為23.44度赤道;和
• 這怪異的地球的軌道在太陽周圍，約為0.0167。

時間方程是持續的僅適用於零的行星軸向傾斜和零軌道偏心。有兩個方程式的行星的兩個例子是火星和天王星。在火星由於其軌道的偏心率要高得多，日緣時間和時鐘時間之間的差異可能高達50分鐘。星球天王星具有極大的軸向傾斜度，有一個時間方程式，使其在幾個小時或更晚的時間內，具體取決於其在軌道中的位置。

時間方程式的跡象

美國海軍天文台國家“時間方程是差異明顯的太陽時間減平均太陽時間“，即，如果太陽在時鐘前方，則標誌為正，如果時鐘在太陽前方，則標誌為負。^[5][6]時間方程式在上圖中顯示了一年多的時間。下圖（恰好涵蓋一個日曆年）具有相同的絕對值，但符號顛倒了，因為它顯示了時鐘在陽光前的距離。出版物可以使用兩種格式 - 在講英語的世界中，前者的用法更為常見，但並非總是遵循。使用已發布的表或圖表的任何人都應首先檢查其符號用法。通常，有一個註釋或標題可以解釋它。否則，可以通過知道在每年的前三個月中，可以確定使用情況。這mnemonic“ nyss”（發音為“尼斯”）對於“新年，日dial慢”，可能很有用。一些已發表的表格避免了通過不使用符號，而是通過顯示諸如“ sundial fast”或“ sundial slow”之類的短語來避免歧義。^[7]

在本文和其他英語Wikipedia中，時間方程式的正價值意味著聖迪亞爾領先於時鐘。

歷史

短語“時間方程式”是從該短語中得出的中世紀拉丁語aequātiōdiērum，意思是“天數”或“天數”。這個單詞Aequātiō（和中古英語方程）在中世紀的天文學中用於表格觀察到的值和期望值之間的差異（如中心方程，春分的方程式，表格的方程式）。Gerald J. Toomer使用來自拉丁語的中世紀術語“方程式”Aequātiō，^{[n 2]}對於托勒密的平均太陽時間和明顯的太陽能時間之間的差異。約翰內斯開普勒方程式的定義是“平均異常的程度和分鐘數以及校正異常的程度和分鐘數之間的差”。^[8]：155

自上古以來，天文學家認識到明顯的太陽能時間和平均時間之間的差異，但在17世紀中葉的精確機械時鐘發明之前，聖迪亞族是唯一可靠的時計，明顯的太陽時間是普遍接受的標準。直到19世紀初期，平均時間才取代國家歷史和濱海島的明顯時間。^[9]

早期天文學

巴比倫人知道太陽的不規則日常運動。

書III托勒密Almagest（2世紀）主要關注太陽的異常，他在他的時間裡列出了時間方程式方便的桌子.^[10]托勒密討論了將太陽的子午線交叉轉換為太陽時間所需的校正，並考慮到太陽沿著黃道沿著太陽的不均勻運動以及對太陽的黃道經度的經絡校正。他說最大更正是8+1⁄3時間級或5⁄9一個小時（第三本書，第9章）。^[11]但是，他認為這種效果與大多數計算相關，因為它對於緩慢移動的發光體而言可以忽略不計，並且僅將其應用於最快的發光發光物，即月亮。

根據托勒密在Almagest，時間方程的值（阿拉伯語taʿdīlal-yyyāmbiaLayālayhā）是表格的標準zij）中世紀伊斯蘭天文學.^[12]

現代早期

對明顯和平均時間的描述由Nevil Maskelyne在裡面航海年鑑1767年：“顯然是從陽光下立即推論的時間，無論是從他通過子午線還是從他的觀察到上升或者環境。這次與按時鐘和手錶在陸地上受到良好監管的表情不同，這被稱為等同或平均時間。時間，如果觀察者需要平均時間。^[1]

正確的時間最初被認為是聖迪亞爾所顯示的。當引入良好的機械時鐘時，他們每年僅在四個日期附近同意聖迪亞族，因此時間方程式被用來“糾正”其讀數以獲得日di時間。一些時鐘，稱為方程時鐘，包括執行此“校正”的內部機制。後來，隨著時鐘成為主要的好鐘錶，未校正的時鐘時間，即“平均時間”成為公認的標準。當時，當使用它們時的讀數是，並且通常仍然可以通過時間方程式校正，從以前的反向方向使用，以獲得時鐘時間。因此，許多日d的表格或圖表上刻有時間的方程式，以允許用戶進行此更正。^[7]：123

時間方程式在歷史上被用來設置時鐘。在1656年準確時鐘的發明與1900年左右的商業時間分配服務的出現之間，有幾種常見的陸基方式來設置時鐘。讀取和校正時間方程式的表或圖。如果有過境儀器，太陽的過境子午線（當太陽似乎是在觀察者南部或北部到期的那一刻）被注意到；然後將時鐘設置為中午，並被該日期的時間等式給出的分鐘數。第三種方法沒有使用時間方程。相反，它使用出色的觀察來給予恆星時間，利用恆星時間和平均太陽時間.^{[13]：57–58}

1665年，以本質上正確的方式給出時間方程式的第一張表由克里斯蒂亞·惠文斯（Christiaan Huygens）.^[14]霍根斯（Huygens）遵循托勒密和中世紀天文學家的傳統，將自己的價值觀定為時間方程式，以使全年的所有價值觀積極。^{[14][n 3]}

另一組桌子於1672 - 73年發布約翰·弗拉姆斯蒂德（John Flamsteed），後來成為第一個天文學家皇家新的皇家格林威治天文台。這些似乎是第一個基本上正確的表，它給出了今天平均時間的含義（以前，如上所述，方程的跡象始終是積極的，當日出的明顯時間與時鐘相對最早時，它設定為零日出時間）。Flamsteed採用了製定和命名校正的慣例，即將其應用於明顯的時間以給出平均時間。^[15]

時間方程式，基於太陽的明顯運動不規則性的兩個主要組成部分正確，^{[n 4]}直到1672 - 73年的Flamsteed的表格之後，通常才被採用，並以死後版的作品出版耶利米·霍羅克斯.^[16]：49

羅伯特·胡克（Robert Hooke）（1635–1703），他用數學分析了通用關節，第一個注意到，時間和通用關節的幾何形狀和數學描述是相同的，並提出了通用關節在構建“機械糖節”中的使用。^[17]：219

18世紀和19世紀初

1672– 1673和1680的Flamsteed表中的校正給出了基本上正確計算的平均時間，而無需進一步偏移。但是，從那以後，由於三個因素，時間方程式中的數值已經有所改變：

• 天文測量技術的改進，準確性的一般改善，
• 由於地球傾斜和偏心率的長期變化而導致的時間方程式的固有變化緩慢（例如近日）， 和
• 在17世紀未知的太陽的明顯運動中包含了少量差異的來源，但從18世紀開始發現，包括月球的影響，^{[n 5]}金星和木星。^[18]

1812年由懷特赫斯特和兒子，帶有圓形尺度顯示時間校正方程。現在在德比博物館和美術館.

從1767年到1833年，英國航海年鑑和天文象徵將時間方程式從意義上的“添加或減去（按照指示）”（按照指示）列出的分鐘數和秒數往返於明顯的時間或從明顯的時間獲得平均時間”。年鑑中的時代在太陽時代明顯，因為船上的時間最常通過觀察太陽來確定。在需要觀察的平均太陽時間的情況下，將執行此操作。在1834年以來的問題中，所有時間都在平均太陽時間，因為到那時，船上的時間越來越經常被確定海洋天文組織。因此，指示是要添加或減去（按照指示），以獲得明顯時間的平均時間或從平均時間或從平均時間開始的分鐘數。因此，現在的添加對應於方程為正，減法對應於陰性。

由於太陽的明顯日常運動是每天的一場革命，即每24小時360°，而且太陽本身在天空中的盤子大約為0.5°，因此可以將簡單的日光顯示為最大的精度約為一個分鐘。由於時間方程的範圍約為33分鐘，因此無法忽略日d時間和時鐘時間之間的差異。除了時間方程外，還必須由於一個人與當地時區子午線的距離而進行校正夏季，如果有的話。

由於地球旋轉放緩，平均太陽日的略有增加約2小姐每年每一世紀的每一世紀目前每年累積到每年約1秒鐘，在傳統的時間方程式中沒有考慮到時間，因為它在日d的準確性水平上是無法察覺的。

方程式的主要組成部分

地球軌道的怪異

時間方程式（紅色實線）及其兩個主組件分別繪製，這是由於黃裂（淡紫色虛線）的傾斜所致的部分以及由於沿著地球軌道偏心的太陽沿著外黃道變化的明顯速度而造成的零件。（深藍色破折號和點線）

地球圍繞太陽旋轉。從地球上可以看出，太陽似乎在一年內通過背景恆星在地球上旋轉一次。如果地球以恆定的速度繞太陽繞，則在垂直於地球軸的平面中的圓形軌道中，那麼太陽將最終每天都完全同時成為一個完美的時間守護者（除了地球旋轉放緩的效果很小之外）。但是地球的軌道是一個不在陽光下的橢圓，其速度在30.287至29.291 km/s之間變化。開普勒的行星運動定律，其角速度也有所不同，因此太陽似乎移動得更快（相對於背景恆星）近日（目前在1月3日左右），並且在aphelion半年後。^[19][20][21]

在這些極端點上，這種效果與平均值相比，明顯的太陽日/天變化了7.9 s/天。因此，直到這些點，其他日子的每日差異較小，直到這些點為止，這反映了行星與平均值相比的加速和減速方式。結果，地球軌道的偏心率促進了周期性變化（在一階近似中）正弦波振幅為7.66分鐘，A時期一年的時間方程式。零點是在圍賽山脈（1月初）和aphelion（7月初）達到的；極端價值是在4月初（負）和10月初（積極）。

黃道的傾斜

陽光和行星在當地的明顯中午（黃色，陽光和汞的黃道，金星，白色，紅色的火星，黃色的木星，紅色的斑點，紅色點，土星，白色和戒指）。

即使地球的軌道是圓形的，太陽沿著我們的感知運動天體赤道仍然不統一。這是地球旋轉軸傾斜相對於軌道飛機，或等同於傾斜黃道（太陽似乎走了天體球） 相對於該天體赤道。這項動作投射到我們的天體赤道，沿著“時鐘時間”的測量，在求解，當太陽的年度運動與赤道平行時（導致感知速度的放大），並主要產生變化右提升。這是最低限度的春分，當太陽的明顯運動更加傾斜並產生更多的變化偏斜，少留在組件中右提升，這是影響太陽日持續時間的唯一組成部分。傾斜的一個實用說明是，即使在赤道上，太陽在日d的日常陰影都會每天轉移，即使在赤道上也較小，靠近溶湯，並且更靠近春分。如果這種效果單獨運行，那麼幾天將長達24小時24小時20.3秒（太陽中午至太陽中午），在索爾特克斯附近，並且在春分附近短20.3秒。^[19][22][21]

在右邊的圖中，我們可以看到在太陽能中午的月球平面的明顯斜率每月變化，如從地球中看到的。這種變化是由於明顯的進度從太陽中午的太陽看，整年旋轉的地球。

在時間方程式上，黃道的傾斜導致正弦波變化的貢獻，幅度為9.87分鐘，並且時間為半年的時間。該正弦波的零點是在春分和溶解劑處達到的，而極端則在2月初和八月（負）以及5月和11月的二月開始（正）（正）。

世俗影響

上述兩個因素具有不同的波長，幅度和相，因此它們的綜合貢獻是不規則波。在時代2000這些是值（以幾分鐘和秒為單位UT日期）：

E.T.=明顯的 - 平均值。積極的平均值：陽光快速奔跑，最終較早，否則聖迪亞爾在平均時間之前。每年由於存在LEAP年份，每4年重置自己一次。時間曲線方程的確切形狀和相關的分析由於世俗變化在偏心和傾斜上。目前，兩者都在緩慢下降，但在數十萬年的時間表中它們增加和減少。^[23]

在較短的時間尺度（數千年）上，春分和周期日期的變化將更為重要。前者是由進度，與恆星相比，春分向後移動。但是在當前的討論中可以忽略它作為我們的公曆構建的方式是將春分日期保持在3月20日（至少足夠準確地適合我們的目標）。周圍的轉移是向前的，每個世紀大約1.7天。在1246年，圍圍層發生在12月22日，即冬至的那天，因此兩個貢獻波的零點為零點，時間曲線方程是對稱的：在天文算法Meeus給出了15 m 39 s的2月和11月極端，以及4 m 58 s的5月和7月。在此之前，2月的最低最低限度大於11月的最大值，並且最高最大的最高最高限度大於7月的最低限度。實際上，在-1900年之前（1901年）之前的幾年中，最大最大值大於11月的最大值。在-2000年（公元前2001年）中，5月最多為+12分鐘和幾秒鐘，而11月的最大最大值僅為10分鐘。當一個人將當前的時間方程式（見下文）與2000年前的一個方程式（例如，從托勒密的數據構建）進行比較時，世俗變化很明顯。^[24]

圖示

動畫顯示時間的方程式和分析一年多的路徑。

實際用途

如果是gnomon（陰影鑄造的對象）不是邊緣，而是一個點（例如，盤子中的一個孔），陰影（或光點）將在一天的過程中追踪曲線。如果陰影鑄在平面表面，則該曲線將是圓錐部分（通常是雙曲線），因為太陽的運動圓與gnomon點一起定義了一個錐體。在春季和秋季，錐體將錐變成平面，將雙曲線變成線。每天都有不同的雙曲線，可以在每個雙曲線上放置小時標記，其中包括任何必要的校正。不幸的是，每種雙曲線對應於兩天的兩天，每年一年中有一個，這兩天將需要不同的校正。一個方便的折衷是要在“平均時間”中劃清界限，並添加一條曲線，顯示一年中中午的陰影點的確切位置。該曲線將採用圖八的形式，被稱為分析。通過將肛門詞與平均中午線進行比較，可以確定當天通常要應用的校正量。

時間方程式不僅用於與聖迪亞族和類似的設備，也適用於許多應用太陽能。諸如太陽能跟踪器和Heliostats必須以受時間方程式影響的方式移動。

民事時代是當地的平均時間，經常在中心附近通過時區，並且可能會進一步改變夏令時節省時間。當要找到與給定的民用時間相對應的明顯太陽時間時，必須考慮感興趣的站點與時區子午線之間的經度差異，夏令時節省時間以及時間方程式。^[25]

計算時間方程式

時間方程是從已發布的表或圖表中獲得的。對於過去的日期，此類表是通過歷史測量或計算產生的。當然，對於將來的日期，只能計算表。在計算機控制的HelioStats之類的設備中，通常對計算機進行編程以計算時間方程。計算可以是數值或分析性的。前者是基於數值集成運動的微分方程，包括所有重要的引力和相對論效應。結果準確地比1秒更好，並且是現代年鑑數據的基礎。後者基於僅包括太陽與地球之間的重力相互作用的解決方案，比前者更簡單但不准確。通過包括小更正，可以提高其準確性。

下面的討論描述了一個合理準確的（在廣泛的年內，在3秒內與天文學家眾所周知的時間方程式一致）算法。^[26]：89它還顯示瞭如何獲得簡單的近似公式（在較大的時間間隔內準確到1分鐘之內），可以通過計算器輕鬆評估，並提供對本文中先前使用的現象的簡單解釋。

數學描述

時間方程式的確切定義是^[27]：1529

${\ displaystyle \ mathrm {eot} = \ mathrm {gha} - \ mathrm {gmha}}}$

該方程式中發生的數量是

• eot，時間差明顯的太陽時間和平均太陽時間；
• GHA，格林威治小時角明顯的（實際）太陽；
• gmha =通用時間 - 偏移，均值（虛擬）太陽的格林威治平均小時角。

這裡的時間和角度是由以下因素相關的數量：2π弧度= 360°= 1天= 24小時。由於GHA是可以測量和普遍的時間UT是時間測量時間的量表。偏移π= 180°=需要UT 12小時，因為UT在平均午夜時為零，而GMHA = 0中午時為0。^{[n 6]}與所有物理角度一樣，GHA和GMHA都具有數學，但在中午（顯而易見和卑鄙）中沒有一個物理不連續性。儘管其組件存在數學不連續性，但通過在GHA和GMHA中的不連續性之間添加（或減去）24小時，將EOT定義為連續函數。

根據天體角度角度的定義gha = gast--α（看小時角）
在哪裡：

• 加斯特是格林威治的明顯恆星時間（明顯的角度春分和赤道平面中的子午線）。這是UT的已知功能。^[28]
• α是個右提升明顯的太陽（在赤道平面中明顯的春分和實際太陽之間的角度）。

替換為時間方程式，它是

${\ displaystyle \ mathrm {eot} = \ mathrm {gast} - \ alpha- \ alpha- \ mathrm {ut} +\ mathrm {offset}}$

就像上面的GHA公式一樣，可以寫gmha = gast--α_m，最後一項是平均太陽的正確升天。該方程通常以這些術語寫為^{[4]：275[29]：45}

${\ displaystyle \ mathrm {eot} = \ alpha _ {m} - \ alpha}$

在哪裡α_m= gast -ut +偏移。在此公式中，在一定時間值中對EOT進行測量或計算取決於測量或計算α當時。兩個都α和α_m一年中的0到24小時。前者在一次取決於UT的價值的時候不連續，而後者的時間為稍後。結果，當以這種方式計算時，EOT具有兩個人造的不連續性。可以通過在不連續性之後從較小的時間間隔中從EOT中減去24小時來刪除它們α在一個α_m。所得的EOT是時間的連續函數。

另一個定義，表示e將其與EOT區分開，是

${\ displayStyle e = \ mathrm {gmst} - \ alpha- \ mathrm {ut} +\ mathrm {offset}}$

這裡gmst = gast -eqeq，是格林威治的平均恆星時間（平均春分和赤道平面平均太陽之間的角度）。因此，GMST是GAST的近似值（和e是EOT的近似值）；eqeq稱為春分的方程，是由於搖擺或垂頭地球圍繞其前動運動的旋轉軸。由於堅果運動的振幅僅為1.2 s（經度的18英寸），EOT和EOT之間的差異e除非一個人對超穩定性感興趣，否則可以忽略。

第三個定義，表示Δt將其與EOT區分開e，現在稱為世紀時間的方程式^[27]：1532（在EOT之間進行區分之前，e， 和Δt後者被稱為時間方程）是

${\ displaystyle \ delta t = \ lambda- \ alpha}$

這裡Λ是個黃道經度平均太陽（從平均春季到平均太陽的角度黃道）。

區別Λ - （GMST- UT +偏移）從1960年到2040年為1.3 s。因此，在這一限制範圍內Δt是與EOT的近似值，其誤差在0.1至2.5 s的範圍內取決於春分方程中的經度校正；出於許多目的，例如糾正日d，這種準確性就足夠了。

右提升計算

正確的提升，因此可以根據牛頓的兩體運動理論計算出時間的方程，其中身體（地球和太陽）描述了有關其公共質量中心的橢圓軌道。使用該理論，時間方程式變為

${\ displaystyle \ delta t = m+\ lambda _ {p} - \ alpha}$

出現的新角度在哪裡

• m=2π（t−t_p）/t_y， 是個平均異常，從根尖平均太陽的橢圓軌道；它的範圍從0到2π作為t從t_p至t_p+t_y；
• t_y=365.2596358天是一個時間長度異常的一年：圍教的兩個連續段落之間的時間間隔；
• λ_p=Λ−m，是圍血的黃道經度；
• t是動態時間，理論中的自變量。在這裡，它與基於UT的連續時間相同（見上文），但以更精確的計算（e或eot）必須考慮它們之間的小差異^{[27]：1530[28]}以及UT1和UTC之間的區別。
• t_p是價值t在根本上。

要完成計算，需要三個額外角度：

• e，太陽的偏心異常（請注意，這與m）；
• ν，太陽的真正的異常；
• λ=ν+λ_p，太陽在黃道上的真實經度。

天體球和太陽的橢圓形軌道，如地理中心的觀察者所見，看起來正常的黃道，顯示了6個角度（m，λ_p，α，ν，λ，e）計算時間方程式所需。為了清楚起見，圖紙不是擴展。

所有這些角度顯示在右側的圖中，這顯示了天體球還有太陽橢圓軌道從地球上看到（與從太陽看到的地球軌道相同）。在這個圖中ε是個傾斜， 儘管e=√1-（（b/一個）²是個怪異橢圓形。

現在給出一個值0≤m≤2π，一個人可以計算α（m）通過以下眾所周知的程序：^[26]：89

首先，給出m， 計算e從開普勒方程：^[30]：159

${\ displaystyle m = e-e \ sin {e}}$

儘管該方程不能以封閉形式精確求解，但e（m）可以從無限（功率或三角學）系列，圖形或數值方法中獲得。或者，請注意e= 0，e=m，通過迭代：^[31]：2

${\ displayStyle e \ about m+e \ sin {m}}$

可以改善此近似值e，再次迭代，

${\ displayStyle e \ oit m+e \ sin {m}+{\ frac {1} {2}} {2}} e^{2} \ sin {2m}}$，

並持續的迭代在功率系列擴展的高階術語e。對於少量值e（小於1）該系列的兩個或三個項給出了很好的近似值e;較小e，近似越好。

接下來，知道e，計算真正的異常ν來自橢圓軌道的關係^[30]：165

${\ displaystyle \ nu = 2 \ arctan \ left（{\ sqrt {\ frac {\ frac {1+e} {1-e}}}}} \ tan {\ tfrac {1}}$

多重值函數的正確分支阿克丹x使用的是ν一個連續的功能e（m）從...開始ν_{e= 0}= 0。因此0≤e< π利用阿克丹x= arctanx，和π<e≤2π利用阿克丹x= arctanx+π。以特定價值e=π為此的論點棕褐色是無限的，使用ν=e。這裡阿克丹x是主要分支|阿克丹x| <π/2;計算器和計算機應用程序返回的功能。或者，可以用其表達此功能泰勒系列在e，其前三個術語是：

${\ displayStyle \ nu \ about e+e \ sin {e}+{\ frac {1} {4}}} e^{2} \ sin {2e}}$.

對於小e這個近似值（甚至只有前兩個術語）是一個很好的。結合近似e（m）有一個ν（e）生產

${\ displayStyle \ nu \ of m+2e \ sin {m}+{\ frac {5} {4}} {4}} e^{2} \ sin {2m}}}$.

關係ν（m）稱為中心方程;這裡寫的表達是二階近似e。對於很小的價值e這是地球軌道的特徵，這給了很好的近似ν（m）.

接下來，知道ν， 計算λ根據其定義：

${\ displaystyle \ lambda = \ nu +\ lambda _ {p}}}$

的價值λ與非線性不同m因為軌道是橢圓形的，而不是圓形的。從近似ν：

${\ displayStyle \ lambda \ lib m+\ lambda _ {p}+2e \ 2e \ sin {m}+{\ frac {5} {4} {4}}}$.

最後，知道λ計算α從上面顯示的天體球上的右三角關係^[32]：22

${\ displaystyle \ alpha = \ arctan \ left（\ cos {\ varepsilon} \ tan {\ lambda} \ right）}}$

請注意，象限的α與λ，因此減少λ到範圍0到2π和寫

${\ displaystyle \ alpha = \ arctan \ left（\ cos {\ varepsilon} \ tan {\ lambda}+k \ pi \ right）}$，

在哪裡k是0λ在像限1中，如果是1λ在像限2或3中，如果是2λ在像限4中。對於棕褐色無限的值α=λ.

雖然近似值的值α可以從截短的泰勒系列中獲得ν，^[33]：32使用方程式更有效^[34]：374

${\ displaystyle \ alpha = \ lambda- \ arcsin \ left（y \ sin \ left（\ alpha +\ lambda \ right）\ right）}}$

在哪裡y=棕褐色²（ε/2）。請注意ε=y= 0，α=λ並迭代兩次：

${\ displayStyle \ alpha \ aild \ lambda -y \ sin {2 \ lambda}+{\ frac {1} {2} {2}}} y^{2} \ sin {4 \ lambda}}}}$.

時間方程

時間方程是通過將右提升計算的結果取代為時間公式方程來獲得的。這裡Δt（m）=m+λ_p−α[λ（m）]用來;部分是因為小修正（1秒的順序），這將證明使用e，不包括，部分是因為目標是獲得簡單的分析表達。使用兩項近似λ（m）和α（λ）允許Δt寫作兩個術語的明確表達Δt_嗯因為這是一階近似e並在y.

${\ displayStyle \ delta t_ {ey} = - 2e \ sin {m}+y \ sin \ left（2m+2 \ lambda _ {p} \ right）= -7.659 \ sin {m sin {m}（2M+3.5932 \ right）}$分鐘

這個方程最初是由米爾恩（Milne）得出的^[34]：375誰以λ=m+λ_p。這裡寫的數值是由於使用軌道參數值而產生的e=0.016709，ε=23.4393°=0.409093弧度，和λ_p=282.9381°=4.938201與2000年1月1日相對應的弧度UT1。評估數值表達式Δt_嗯如上所述，計算器必須處於Radian模式才能獲得正確的值，因為2λ_p-2π在第二學期的論點中，用弧度寫在那裡。高階近似也可以寫成^{[35]：等式（45）和（46）}但是他們必然有更多的術語。例如，兩者中的二階近似e和y由五個任期組成^[27]：1535

${\ displayStyle \ delta t_ {e^{2} y^{2}} = \ delta t_ {ey} - {\ frac {5} {4} {4}} e^{2} \ sin{m} \ cos \ left（2m+2 \ lambda _ {p} \ right） - {\ frac {1} {2} {2}} y^{2} \ sin \ sin \ left（4m+4 \ lambda _ {p}\正確的）}$

然而，這種近似具有高精度的潛力，為了在廣泛的年內實現參數e，ε， 和λp必須允許隨時間變化。[26]：86[27]：1531,1535這會產生其他計算並發症。例如，已經提出了其他近似值Δte[26]：86[36]它使用中心的一階方程，但沒有其他近似來確定α， 和Δte2[37]使用中心的二階方程。

時間變量，m，可以用n，近日前的天數或d，超過特定日期和時間（時期）的天數：

${\ displaystyle m = {\ frac {2 \ pi} {t_ {y}}}} n} n}$天${\ displayStyle = m_ {d}+{\ frac {2 \ pi} {t_ {y}}} d} d}$天${\ displayStyle = 6.240 \，040 \，77+0.017 \，201 \，97d}$

這裡m_d是價值m在選定的日期和時間。對於此處給出的值，在弧度中m_d是在2000年1月1日中午1月1日在時期的實際太陽測量的，並且d是過去幾天的數量。在根本上m=2π，因此解決d=d_p=2.508109。這使圍per骨在2000年1月4日，00:11:41，而實際的細胞症是根據多年交互式計算機年鑑^[38]（縮寫為雲母），2000年1月3日，05:17:30。發生這種巨大的差異是因為兩個位置的軌道半徑之間的差異僅為一百萬的一部分；換句話說，半徑是附近的時間的非常弱的功能。實際上，這意味著人們無法通過使用時間來獲得高度準確的結果n並添加給定年份的實際根尖日期。但是，可以通過使用該配方來實現高精度d.

曲線Δt和Δt_嗯以及從中午（以10天間隔）定位的符號多年交互式計算機年鑑vsd2000年

什麼時候d>d_p，m大於2π一個人必須減去2的倍數π（這取決於年份）將其帶入範圍0到2π。同樣在2000年之前的幾年中，必須添加倍數2π。例如，在2010年，d不同36531月1日中午到401712月31日中午；相應的m值是69.0789468和75.3404748並減少到範圍0到2π通過減去10次和11次2π分別。一個人總是可以寫d=n_y+d， 在哪裡n_y是從期望年1月1日從時期到中午的天數，以及0≤d≤364（365如果計算是leap年）。

計算的結果通常作為一組表格值或時間的圖表給出d。比較Δt，Δt_嗯，以及2000年的雲母的結果，右圖顯示了。情節Δt_嗯被認為接近MICA產生的結果，絕對誤差，err = |Δt_嗯 - MICA2000|，全年不到1分鐘；它的最大價值是43.2秒，發生在第276天（10月3日）。情節Δt與雲母的結果沒有區別，在第324天（11月20日），兩者之間最大的絕對誤差為2.46 s。

評論時間方程式的連續性

為了選擇適當的分支阿克丹關於功能連續性的關係，Arctangent函數的修改版本很有幫助。它通過參數帶來了先前關於期望值的知識。修改後的Arctangent函數定義為：

${\ displayStyle \ arctan _ {\ eta} x = \ arctan x+\ pi \ pi \ perperatorname {rough} {\ left（{\ frac {\ eta - \ artcan- \ arttan x}$.

它產生的價值與η盡可能。功能圓形的圓形到最近的整數。

應用此收益率：

${\ displayStyle \ delta t（m）= m+\ lambda _ {p} - \ arctan _ {m+\ lambda _ {p}} \ left（\ cos {\ cos {\ varepsilon}$.

參數m+λ_p安排在這裡設置Δt到零最近值，這是所需的值。

世俗影響

雲母和Δt在1960年至2040年的範圍內，每5年一次檢查結果。在每種情況下，最大絕對誤差小於3 s；最大的差異為2.91 s，發生在1965年5月22日（第141天）。但是，為了在這一範圍內達到這一準確性，有必要隨著時間的推移來解釋軌道參數的世俗變化。描述這種變化的方程式是：^{[26]：86[27]：1531,1535}

${\ displayStyle {\ begin {Aligned} E＆= 1.6709 \ times 10^{ - 2} -4.193 \ times 10^{ - 5} \ left（{\ frac {d} {d} {36 \，525}}}}}}}}}} \ right） - 1.26 \ times 10^{ - 7} \ left（{\ frac {d} {36525}}} \ right），525}}} \ right）-2 \ times 10^{ - 7} \ left（{{\ frac {d} {36 \，525}}} \ right）^{2} +5 \ times 10^{ - 7}\ left（{{\ frac {d} {36 \，525}}} \ right）^{3} {\ mbox {degrees}}}} \ \\\\\\\ lambda _ {\ mathrm {p}}}＆= 282.938+1.7195\ left（{\ frac {d} {36 \，525}}} \ right）+3.025 \ times 10^{ - 4} \ left（{\ frac {\ frac {d} {36 \，525}}}}} \ right）^{2} {\ mbox {degrees}} \ end {aligned}}}}}}$

根據這些關係，在100年內d=36525），λ_p增加約0.5％（1.7°），e減少約0.25％，並且ε減少約0.05％。

結果，如果要在很長的時間內實現其固有的準確性，則任何高階方程式所需的計算數量都需要計算機來完成它們。在這種情況下，評估並不難Δt使用計算機比其任何近似值。

在所有註釋中Δt_嗯如上所述，即使使用計算器，也很容易評估，它足夠準確（比80年範圍內的1分鐘更好）糾正日d，並且具有很好的物理解釋，作為兩個術語的總和，一個是由於傾斜和傾斜的。對偏心的另一個文章中使用的偏心率。這也不是真的Δt被認為是m或其任何高階近似值。

替代計算

可以按以下方式完成計算時間方程式的另一個過程。^[36]角度為程度；傳統運營順序適用。

n=360°/365.24天，

在哪裡n是每天的地球平均角度軌道速度，也就是A.K.A.“平均每日運動”.

${\ displaystyle a = \ left（d+9 \右）n}$

在哪裡d是日期，從1月1日開始的天數（即序數日期在這一年）。9是從12月冬至到12月31日的大約天數。一個是地球的角度將從12月冬至到目前為止以平均速度移動軌道d.

${\ displayStyle b = a+0.0167 \ cdot {\ frac {\ frac {360^{\ circ}}} {\ pi}}} \ sin \ sin \ left（\ left（d-3 \ right）n \ right）}$

B是地球從冬至的角度是d，包括對地球軌道偏心率的一階校正，0.0167。數字3是從12月31日到地球當前日期的大約天數近日。這個表達B可以通過將常數合併到：

${\ displayStyle b = a+1.914^{\ circ} \ cdot \ sin \ sin \ left（\ left（d-3 \ right）n \ right）}$.

${\ displayStyle c = {\ frac {a- \ arctan {\ frac {\ tan b} {\ cos 23.44^{\ circ}}}}}}}}}} {180^{\ circ}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

這裡，C是以平均速度移動的角度和在投射到赤道平面的校正速度下移動的角度之間的差異，然後除以180°以獲取差異”半轉“。值23.44°是地球軸的傾斜（“傾斜”）。減法將常規符號帶到了時間方程式。對於任何給定的值x，阿克丹x（有時寫為棕褐色^-1x）具有多個值，彼此不同的是半回合的整數數。計算器或計算機生成的值可能不是適合此計算的值。這可能會導致C整數扭轉的數量是錯誤的。在計算的下一步中刪除了多餘的半彎，以給出時間方程式：

${\ displaystyle \ mathrm {eot} = 720 \ left（c- \ operatatorName {nint} {c} {c} \ right）}}$分鐘

表達方式nint（C）表示最近的整數至C。在計算機上，可以將其編程為int（C + 0.5）。它的值是一年中不同時間為0、1或2。減去它留下了一個較小的正或負分數半回合，這乘以720，地球所需的分鐘數（12小時）相對於太陽旋轉一半，以獲得時間方程。

與已發布的值相比^[7]該計算有一個根平方誤差僅為3.7 s。最大的錯誤是6.0 s。這比上面描述的近似值要準確得多，但不如詳盡的計算準確。

關於太陽能拒絕的附錄

的價值B在上面的計算中，是太陽的黃道經度的準確值（移動90°），因此太陽能偏斜δ容易獲得：

${\ displaystyle \ delta = - \ arcsin \ left（\ sin 23.44^{\ circ} \ cdot \ cos b \ right）}}$

這是準確的，即在一定程度的一部分之內。

也可以看看

• 方位角
• 米蘭科維奇週期

筆記和腳註

筆記

腳註

參考

外部鏈接

• NOAA太陽能計算器
• USNO數據服務存檔2014年5月29日在Wayback Machine（包括太陽和其他天體的上升/設定/過境時間）
• 時間方程式在皇家格林威治天文台網站
• 時間方程式和分析，作者基隆·泰勒（Kieron Taylor）
• Brian Tung的文章使用比大多數公式（尤其是在高傾向和偏心率下）使用更準確的公式的鏈接。該程序可以計算太陽能偏斜，時間方程或分析。
• 使用托勒密的地心行星模型進行計算，並討論其E.T.圖形
• 約翰頂的時間長箱鐘的方程式c.1720
• 時間校正桌的方程式一個頁面描述如何將時鐘糾正為日d。
• 太陽溫度計 - 計算您的太陽時間，包括時間方程。