歐幾里得的幾何形狀

Euclidean幾何形狀是一種歸因於古希臘數學家歐幾里得的數學系統,他在他的幾何學教科書中描述了該系統。歐幾里得的方法包括假設一小部分具有直覺吸引力的公理(假設),並從中推斷出許多其他命題(定理)。儘管歐幾里得的許多結果已經較早地說明,但歐幾里得是第一個將這些命題組織到邏輯系統中的歐幾里得,在該系統中,每個結果都來自公理,並以前證明是定理的。
這些元素始於平面幾何形狀,仍在中學(高中)作為第一個公理系統和數學證明的第一個例子。它繼續進行三個維度的固體幾何形狀。許多要素都表明了現在所謂的代數和數字理論的結果,用幾何語言解釋。
超過兩千年來,形容詞“歐幾里得”是不必要的。然而,如今,許多其他自一致的非歐國人幾何形狀已知,這是19世紀初期發現的第一批幾何形狀。阿爾伯特·愛因斯坦(Albert Einstein)的一般相對性理論的含義是物理空間本身不是歐幾里得,而歐幾里得空間僅在短距離(相對於引力場的強度)才是一個很好的近似值。
歐幾里得的幾何形狀是合成幾何形狀的一個示例,因為它從描述點和線等幾何對象的基本特性的公理上進行邏輯上進行,到有關這些對象的命題。這與雷內·笛卡爾(RenéDescartes)在近2,000年後引入的分析幾何形狀相反,後者使用坐標通過代數公式表達幾何特性。
要素
這些元素主要是對幾何知識知識的系統化。它對早期治療的改善得到了迅速認可,結果是,保留早期治療的興趣幾乎沒有興趣,現在它們幾乎都丟失了。
其中有13本書:
書I – IV和VI討論平面幾何形狀。例如,關於平面圖的許多結果被證明,例如,“在任何三角形中,以任何方式共同構成的兩個角度都小於兩個直角。” (第一本書命題17)和畢達哥拉斯定理“以右角三角形在側面的正方形在側面的正方形等於直角等於側面的正方形,側麵包含正確角度的正方形”。 (第一本書,命題47)
圖書V和VII – X涉及數字理論,數字將數字視為線段或表面區域的長度。引入了諸如素數以及理性和非理性數字之類的概念。事實證明,有很多質數。
書籍XI – XIII涉及固體幾何形狀。一個典型的結果是圓錐體的體積與具有相同高度和底座的圓柱體之間的1:3比。柏拉圖固體是構建的。
公理

歐幾里得幾何形狀是一個公理系統,其中所有定理(“真實語句”)均來自少數簡單的公理。在非歐幾里得幾何形狀的出現之前,這些公理在物理世界中被認為是正確的,因此所有定理都將同樣正確。但是,歐幾里得從假設到結論的推理仍然獨立於物理現實。
在第一本書的開頭附近,歐幾里得為平面幾何形狀提供了五個假設(公理),以結構(由托馬斯·希思(Thomas Heath)翻譯)表示:
- 讓以下假設:
- 從任何點繪製一條直線。
- 在直線上連續產生(擴展)有限的直線。
- 描述一個具有任何中心和距離(半徑)的圓。
- 所有的角度彼此相等。
- [平行假設]:如果直線落在兩條直線上的直線使內部角度在同一側的內部角度小於兩個直角,則兩條直線,如果無限期產生,則在角度較小的那一側相遇比兩個直角。
儘管歐幾里得明確地斷言了構造的對象的存在,但在他的推理中,他也隱含地認為它們是獨特的。
這些元素還包括以下五個“常見概念”:
- 等於同一事物的事物也彼此相等(歐幾里得關係的瞬態特性)。
- 如果將平等添加到平等中,則批量是平等的(平等的加法)。
- 如果從平等中減去平等,則差異是平等的(平等的減法屬性)。
- 彼此一致的事物彼此相等(反身特性)。
- 整體大於部分。
現代學者同意,歐幾里得的假設沒有提供歐幾里得在演講所需的完整邏輯基礎。現代治療使用更廣泛,更完整的公理集。
平行假設
對於古人來說,平行假設似乎不如其他假設。他們渴望創建一個絕對某些命題的系統,對他們而言,似乎並行線假設從更簡單的語句中提出了所需的證明。現在眾所周知,這種證據是不可能的,因為一個人可以構建平行假設是真實的一致的幾何系統(遵守其他公理),而其他假設是錯誤的。歐幾里得本人似乎認為它與其他元素的質量不同,這是由元素的組織所證明的:他的前28個命題是可以證明沒有它的命題。
可以製定許多替代公理在邏輯上等同於平行假設(在其他公理的背景下)。例如, Playfair的公理指出:
- 在飛機上,通過一個不在給定的直線上的點,最多可以繪製一條永遠不會符合給定線路的線。
“最多”條款是所有需要的,因為它可以從至少存在一條平行線的其餘公理中證明。

證明方法
歐幾里得的幾何形狀是建設性的。假設1、2、3和5斷言某些幾何形象的存在和獨特性,這些斷言具有建設性的性質:也就是說,我們不僅被告知某些事物存在,而且還得到了與它們創建它們的方法只不過是指南針和一個未標記的直角。從這個意義上講,歐幾里得的幾何形狀比許多現代的公理系統(例如集合理論)更具體,這些系統通常在不說如何構造它們的情況下斷言對象的存在,甚至斷言該理論中無法構建的對象的存在。嚴格來說,紙上的行是形式系統中定義的對象的模型,而不是這些對象的實例。例如,歐幾里得直線沒有寬度,但是任何真正的繪製線都會有。儘管幾乎所有現代數學家都認為非構造方法和建設性的方法一樣,但歐幾里得的建設性證明通常取代謬誤的非建設性的非構建方法- eg,某些畢達哥拉斯人的證據涉及非理性數字的 ...”
歐幾里得經常通過矛盾使用證據。歐幾里得的幾何形狀還允許疊加方法,其中圖形被轉移到空間的另一個點。例如,通過移動兩個三角形之一的命題i.4,側角 - 邊緣 - 側面的一致性證明了它的一個側面之一與另一個三角形相等的一面,然後證明對方也是一致的。一些現代療法增加了第六個假設,即三角形的剛度,可以用作疊加的替代方案。
符號和術語
點和數字的命名
點通常使用字母的大寫字母命名。其他數字(例如線,三角形或圓圈)的名字是通過列出足夠數量的積分來命名的,以明確地從相關的圖中挑選出它們,例如,三角形ABC通常是一個三角形,在點A,B和C點處是一個三角形的三角形。 。
互補和補充角度
總和為直角的角度稱為互補。當射線共享相同的頂點並指向形成直角的兩個原始射線之間的方向時,形成互補角。兩個原始射線之間的光線數是無限的。
總和是直角的角度是補充。當射線共享相同的頂點並指向形成直角(180度角)的兩個原始射線之間的方向時,形成補充角度。兩個原始射線之間的光線數是無限的。
歐幾里得符號的現代版本
現代學校教科書經常定義稱為線(無限),射線(半無限)和線段(有限長度)的單獨數字。歐幾里得通常不會將射線作為一個向無窮大的對象進行討論,而是通常會使用諸如“如果線擴展到足夠長的長度”之類的位置,儘管他偶爾提到“無限線”。歐幾里得中的“線”可以是筆直的或彎曲的,並且在必要時他使用了更具體的術語“直線”。
一些重要或已知的結果
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Asinorum或橋橋定理指出,在三角形三角形中,α=β和γ=δ。
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三角角度總和定理指出,在這種情況下,任何三角形的三個角度的總和α,β和γ始終等於180度。
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畢達哥拉斯定理指出,右三角形的腿( a和b )上兩個正方形的區域的總和等於斜邊( c )的正方形面積。
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Thales的定理指出,如果AC是直徑,則B處的角度為直角。
龐斯·阿西諾姆
龐斯(Pons asinorum )(驢子橋)指出,在同步中,三角形將底部的角度相等,如果進一步產生了相等的直線,則基部下的角度相等。它的名稱可能歸因於其在讀者智能的元素中的第一個真實測試,也可以歸因於讀者的元素,並是通往隨後更艱難的命題的橋樑。由於幾何形象與陡峭的橋樑的相似之處,只有一個牢固的驢子才能交叉,它也可能如此命名。
三角形的一致性

如果三角形的三個邊相等(SS),兩個側面以及它們之間的角度相等(SAS),或兩個角度和一個側面相等(ASA)(i i,命題4、8和26),則三角形是一致的。具有三個相等角度(AAA)的三角形相似,但不一定是一致的。同樣,具有兩個相等側和相鄰角的三角形不一定相等或一致。
三角角總和
三角形角度的總和等於直角(180度)。這會導致等邊三角形的三個內部角度為60度。同樣,它會導致每個三角形至少具有兩個急性角度,並且最多一個鈍角或直角。
勾股定理
著名的畢達哥拉斯定理(第一本書,命題47)指出,在任何正確的三角形中,正方形的區域是斜邊(直角對面的側面)等於正方形面積的總和兩條腿(以正確角度相交的兩側)。
Thales的定理
Thales的定理以Miletus的Thales的名字命名,如果A,B和C是圓上的點,其中線AC是圓的直徑,則角度ABC為直角。 Cantor認為Thales通過Euclid Book I,Prop。32在Euclid Book III,Prop。31之後證明了他的定理。
面積和體積的縮放
在現代術語中,平面圖的面積與其任何線性尺寸的平方和固體的體積與立方體的平方成正比。歐幾里得證明了這些結果在各種特殊情況下,例如圓的面積和平行磷皮固體的體積。歐幾里得確定了相關性相關常數的一些但不是全部。例如,正是他的繼任者阿基米德(Archimedes)證明了一個球體具有2/3的限制缸的體積。
測量和算術系統
歐幾里得幾何形狀具有兩種基本類型的測量類型:角度和距離。角度尺度是絕對的,歐幾里得將直角作為基本單元,因此,例如,45度角將被稱為直角的一半。距離尺度是相對的;一個人任意選擇一定的非零長度的線段,而其他距離則相對於它表示。距離的添加由一種結構表示,在該結構中,將一個線段複製到另一線段的末端以擴展其長度,並且類似於減法。
面積和體積的測量來自距離。例如,一個寬度為3且長度為4的矩形具有代表乘積的區域,12。因為這種乘法的幾何解釋限於三個維度,因此沒有直接的方法來解釋四個或更多的乘積數字和歐幾裡得避免了這種產品,儘管它們是暗示的,例如在書IX的證明中,命題20。

歐幾里得指的是一條線,或一對平面或堅固的數字,如果它們的長度,區域或體積分別相等,並且對於角度類似,則為“相等”(ἴσος)。更強的術語“一致”是指整個圖形與另一個數字相同的大小和形狀的想法。另外,如果一個數字可以將一個數字移到另一個數字,以便它與之完全匹配。 (允許將其翻轉。)因此,例如,一個2x6矩形和3x4矩形相等但不一致,字母r與其鏡像的圖像一致。除了不同尺寸的數字被稱為相似的數字。一對相似形狀的相應角度相等,相應的側面相互成比例。
工程學的歐幾里得幾何形狀
設計和分析




動力學



CAD系統
- 3D建模:在CAD(計算機輔助設計)系統中,Euclidean幾何形狀對於創建機械零件的準確3D模型至關重要。這些模型對於在製造前可視化和測試設計至關重要。
- 設計與製造: CAM(計算機輔助製造)的大部分依賴於歐幾里得幾何。 CAD/CAM中的設計幾何形狀通常由平面,氣缸,錐,圓錐體和其他類似歐幾里得形式的形狀組成。如今,CAD/CAM對於從汽車和飛機到船隻和智能手機的各種產品的設計至關重要。
- 起草實踐的演變:從歷史上看,先進的歐幾里得幾何形狀,包括Pascal定理和Brianchon定理等定理,是起草實踐的組成部分。但是,隨著現代CAD系統的出現,在當代設計和製造過程中,對這些定理的深入了解不需要。

電路設計
- PCB佈局:印刷電路板(PCB)設計利用歐幾里得的幾何形狀進行組件的有效放置和路由,從而確保功能同時優化空間。 PCB上電子組件的有效佈局對於最大程度地減少信號干擾和優化電路性能至關重要。

電磁和流體流場
- 天線設計:天線設計-天線的歐幾里得幾何形狀有助於設計天線,其中空間排列和尺寸直接影響天線和陣列性能在傳輸和接收電磁波時。

- 現場理論:複雜的電勢流- 在研究無粘性流場和電磁場的研究中,歐幾里得的幾何形狀有助於可視化和解決潛在的流動問題。這對於理解三維空間中的流體速度場和電磁場相互作用至關重要。其關係的特徵是無屬性電磁磁場或保守的向量場。

控件

- 計算工具: Jacobian -Euclidean幾何形狀在使用Jacobian矩陣進行機械和電氣工程領域的轉換和控制系統中不可或缺,從而提供了對系統行為和屬性的見解。 Jacobian用作統計回歸和曲線擬合中的線性設計矩陣。請參閱非線性最小二乘。 Jacobian還用於隨機矩陣,力矩,統計和診斷。
其他一般應用
由於歐幾里得幾何學在數學方面的基本狀態,不僅僅是在此處提供應用程序的代表性抽樣是不切實際的。
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測量師使用一個級別
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拋物線鏡將平行的光線帶到了重點。
正如該詞詞源所暗示的那樣,這是最早引起人們感興趣的原因之一,也是當前最常見的幾何用途之一。此外,它已用於對象的視覺感知的認知和計算方法。早在正式證明它們之前就使用了歐幾里得幾何形狀(例如3-4-5三角形的右角特性)的某些實際結果。歐幾里得幾何形狀中測量的基本類型是距離和角度,兩者都可以由測量師直接測量。從歷史上看,距離通常是通過鏈條(例如Gunter的鏈條)和漸變圓的角度測量的,後來又使用了Theodolite 。
歐幾里得固體幾何形狀的應用是確定填料佈置的確定,例如在n維中找到最有效的球體堆積的問題。此問題具有錯誤檢測和校正的應用。
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幾何形狀用於藝術和建築。
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水塔由錐體,圓柱和半球組成。可以使用固體幾何形狀計算其體積。
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幾何形狀可用於設計摺紙。
幾何形狀廣泛用於體系結構。
幾何形狀可用於設計摺紙。使用指南針和筆直的幾何形狀的一些經典結構問題是不可能的,但是可以使用摺紙解決。
以後的歷史
阿基米德和阿波羅尼烏斯

阿基米德( C. 287 BCE - 約公元前212年),記錄了許多歷史軼事,並與Euclid一起被記住是最偉大的古代數學家之一。儘管歐幾里得(Euclid)為他的作品基礎奠定了基礎,但他的作品與歐幾里得不同,被認為完全是原始的。他在兩個和三個維度上證明了各種數字的數量和區域的方程式,並闡明了有限數字的阿基米德屬性。
佩爾加的阿波羅尼烏斯(公元前240年- 公元前190年)主要以他對圓錐切片的調查而聞名。

17世紀:笛卡爾
RenéDescartes (1596–1650)開發了分析幾何形狀,這是一種正式化幾何形狀的替代方法,它著重於將幾何形狀轉變為代數。
在這種方法中,平面上的點由其笛卡爾( x , y )坐標表示,一條線由其方程式表示,依此類推。
在歐幾里得的原始方法中,畢達哥拉斯定理來自歐幾里得的公理。在笛卡爾方法中,公理是代數的公理,而表達畢達哥拉斯定理的方程是歐幾里得公理中一個術語之一的定義,現在被認為是定理的。
方程式
然後將兩個點P =( p x , p y )和q =( q x , q y )之間的距離稱為歐幾里得公制,而其他指標定義了非歐幾里得幾何形狀。
就分析幾何形狀而言,經典幾何形狀對指南針和直立構造的限制意味著限制一階方程和二階方程,例如, y = 2 x + 1(a線)或x 2 + y 2 = 7(一個圓)。
同樣在17世紀,吉拉德·德薩格斯(Girard Desargues)以觀點理論的啟發,介紹了無窮大的理想點,線和平面的概念。結果可以被視為一種普遍的幾何形狀,投影性的幾何形狀,但也可以用來在普通的歐幾里得幾何形狀中產生證明,其中特殊情況的數量減少了。

18世紀
18世紀的幾何圖形努力定義歐幾里得系統的邊界。許多人徒勞地試圖證明前四個假設是第五個假設。到1763年,已經發布了至少28種不同的證據,但發現所有證據都不正確。
在此期間,幾何器還試圖確定在歐幾里得幾何形狀中可以完成哪些結構。例如,用指南針和直碼將角度分為角度的問題是理論中自然發生的問題,因為公理是指可以用這些工具進行的建設性操作。但是,數百年的努力未能找到解決這個問題的解決方案,直到Pierre Wantzel在1837年發布了證明這種建築是不可能的。事實證明,其他不可能的結構包括將立方體加倍並使圓圈平方。在使立方體增加一倍的情況下,構造的不可能源於以下事實:指南針和直edge方法涉及方程,其順序是兩者的積分冪,而將立方體加倍的方程式需要三階方程的解決方案。
歐拉(Euler)討論了稱為仿射幾何形狀的歐幾里得幾何形狀的概括,該幾何形狀保留了第五個假設未修飾的,而削弱了三個和四個,以消除角度概念(右三角形變得毫無意義)和一般線段長度的平等性(從那裡)(右三角形變得毫無意義)(圓圈變得毫無意義),同時將並行性的概念保留為線之間的等效關係,以及平行線段的長度平等(因此線段段繼續具有中點)。
19世紀

在19世紀初期,卡諾特(Carnot )和莫比烏斯(Möbius)系統地開發了簽名角度和線段的使用,以簡化和統一結果。
較高的尺寸
在1840年代,威廉·羅恩·漢密爾頓(William Rowan Hamilton)開發了四分之一,約翰·T·格雷夫斯(John T.這些是擴展複數的規范代數。後來,人們可以理解,四元組也是一個具有四個真正的笛卡爾坐標的歐幾里得幾何系統。 Cayley使用四元素研究四維歐幾里得空間中的旋轉。
在本世紀中葉,路德維希·施萊夫(Ludwigschläfli)開發了歐幾里得空間的一般概念,將歐幾里得的幾何形狀擴展到更高的維度。他定義了多元化的多剖面,後者是多邊形和多面體的較高維度類似物。他發展了他們的理論,並發現了所有常規的多型,即常規多邊形和柏拉圖固體的維度類似物。他發現尺寸為四的六個常規凸多型,在所有較高維度中都有三個。
常規凸4派系 | |||||||
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對稱組 | A 4 | B 4 | F 4 | H 4 | |||
姓名 | 5細胞 超四面體5分 |
16細胞 超八個8點 |
8細胞 超立方體16分 |
24細胞
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600細胞 超冰面體120分 |
120細胞 超多年面體600點 |
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Schläfli符號 | {3, 3, 3} | {3, 3, 4} | {4, 3, 3} | {3, 4, 3} | {3, 3, 5} | {5, 3, 3} | |
Coxeter鏡子 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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鏡子二腦子 | 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2 | 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/4 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2 | 𝝅/4 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2 | 𝝅/3 𝝅/4 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2 | 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/5 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2 | 𝝅/5 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2 | |
圖形 | ![]() |
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頂點 | 5四面體 | 8八面體 | 16四面體 | 24立方體 | 120二十面體 | 600四面體 | |
邊緣 | 10三角形 | 24正方形 | 32三角形 | 96三角形 | 720五邊形 | 1200三角形 | |
面孔 | 10個三角形 | 32個三角形 | 24個正方形 | 96個三角形 | 1200個三角形 | 720個五角星 | |
細胞 | 5四面體 | 16四面體 | 8個立方體 | 24 Octahedra | 600四面體 | 120 Dodecahedra | |
托里 | 1個5-四面體 | 2 8四面體 | 2 4立方體 | 4 6-八面體 | 20 30四面體 | 12個10多賽體 | |
刻有 | 120分之120細胞 | 120細胞中的675 | 2個16細胞 | 3個8細胞 | 25 24細胞 | 10個600細胞 | |
多邊形 | 2正方形x 3 | 4個矩形x 4 | 4六角形X 4 | 12 decagons x 6 | 100不規則的己糖X 4 | ||
Petrie多邊形 | 1五角大樓x 3 | 1八角形X 3 | 2個八塊x 4 | 2十多登克斯X 4 | 4 30 g X 6 | 20 30 g X 4 | |
長半徑 | |||||||
邊緣長度 | |||||||
半徑短 | |||||||
區域 | |||||||
體積 | |||||||
4 content |
Schläfli以相對晦澀的方式進行了這項工作,並且僅在1901年才全面出版。它的影響力很小,直到HSM Coxeter在1948年重新發現並充分記錄。
1878年,威廉·金登·克利福德(William Kingdon Clifford)介紹了現在被稱為幾何代數,將漢密爾頓的四分法與赫爾曼·格拉斯曼(Hermann Grassmann)的代數統一,並揭示了這些系統的幾何性質,尤其是在四個維度上。幾何代數的操作具有鏡像,旋轉,翻譯和映射正在建模到新位置的幾何對象的效果。三個球體表面上的克利福德圓環是兩個圓圈的笛卡爾產物中最簡單,最對稱的平坦嵌入(同樣的是,圓柱體的表面為“平坦”)。
非歐幾里得幾何形狀
世紀最具影響力的幾何發展發生在1830年左右,即JánosBolyai和Nikolai Ivanovich Lobachevsky分別發表了關於非歐盟幾何學的作品,在非歐洲裔幾何學上,平行假設無效。由於非歐幾里得幾何形狀與歐幾里得幾何形狀相對一致,因此無法從其他假設證明平行假設。
在19世紀,還意識到歐幾里得的十個公理和共同的概念不足以證明元素中所述的所有定理。例如,Euclid隱含地假設任何線都包含至少兩個點,但是該假設不能從其他公理中證明,因此必須是公理本身。上圖所示的元素中的第一個幾何證明是,任何線段都是三角形的一部分。歐幾里得以通常的方式來構建這一點,通過在兩個端點上繪製圓圈並將其交叉點作為第三個頂點。但是,他的公理不能保證圓圈實際上相交,因為它們沒有主張連續性的幾何特性,而連續性的幾何特性在笛卡爾術語中等同於實數的完整性。從1882年的莫里茨·帕施(Moritz Pasch)開始,已經提出了許多改進的公理系統,其中最著名的是希爾伯特,喬治·伯克霍夫和塔斯基的幾何系統。
20世紀和相對論

愛因斯坦的特殊相對論理論涉及四維時空,即非歐幾里得的Minkowski空間。這表明,幾年前引入的非歐國人幾何形狀表明無法證明平行假設,也可用於描述物理世界。
但是,Minkowski空間的三維“空間部分”仍然是歐幾里得幾何形狀的空間。一般相對論並非如此,因此時空的幾何形狀不是歐幾里得的幾何形狀。例如,如果三角形是用三射線構建的,則一般而言,由於重力,內部角度不會累加至180度。相對較弱的重力場,例如地球或太陽,由大約但不完全是歐幾里得的度量標準表示。直到20世紀,還沒有能夠在歐幾里得幾何形狀的光線中檢測到這些偏差的技術,但愛因斯坦預測將存在這種偏差。後來通過觀察結果進行了驗證,例如1919年的日食期間太陽彎曲的星光輕微彎曲,此類考慮現在已成為運行GPS系統的軟件的組成部分。
作為空間結構的描述
Euclid認為他的公理是關於物理現實的不言而喻的陳述。歐幾里得的證據取決於歐幾里得的基本公理可能並不明顯的假設,特別是,某些人物的某些運動不會改變其幾何特性,例如側面和內部角度的長度,包括所謂的歐幾里得運動,包括翻譯,反射和旋轉,反射和旋轉,反射和旋轉,反射和旋轉和旋轉,數字。作為空間的物理描述,假設2(延伸線)斷言空間沒有孔或邊界。假設4(直角的平等)說,空間是各向同性的,並且可以在保持一致性的同時將數字移至任何位置;並假設5(平行假設)是空間平坦的(沒有固有曲率)。
如上所述,阿爾伯特·愛因斯坦(Albert Einstein )的相對論理論顯著改變了這一觀點。
最初由Euclid提出的公理的模棱兩可的特徵使不同的評論員可以不同意其對空間結構的其他含義,例如它是否是無限的(見下文)及其拓撲是什麼。對系統的現代,更嚴格的重新構造通常旨在使這些問題更清潔。公理1-4以這種更現代的方法的精神來解釋歐幾里得的公理,與無限或有限的空間一致(如橢圓形幾何形狀),並且所有五個公理都與多種拓撲保持一致(例如,平面,一個圓柱體,一個圓柱體,或用於二維歐幾里得幾何形狀的圓環)。
無窮大的處理
無限對象
歐幾里得有時會明確區分“有限線”(例如,假設2)和“無限線”(第一本書,命題12)。但是,除非有必要,否則他通常不會做出這樣的區別。假設沒有明確指的是無限線,儘管例如,某些評論員解釋了第3條,存在任何半徑的圓,這意味著空間是無限的。
Eleatic School以前已經廣泛討論了無限量的概念,但是沒有人能夠將它們固定在邏輯上,諸如Zeno的悖論等悖論尚未得到普遍滿意。歐幾里得使用疲憊的方法而不是無限量。
後來的古代評論員,例如Proclus (公元410-485),將許多關於Infinity的問題視為要求證明的問題,例如,Proclus聲稱證明了一條線的無限分裂性,這是基於案例的證據,在這種情況下,構成它的偶數和奇數。
在20世紀初, Otto Stolz , Paul Du Bois-Reymond , Giuseppe Veronese等人在歐幾里得幾何學的非Archimedean模型上產生了有爭議的工作,其中兩個點之間的距離可能是無限或無限的,在牛頓之間可能是無限的。 -萊布尼茲感。五十年後,亞伯拉罕·魯濱遜(Abraham Robinson)為佛羅尼斯(Veronese)的作品提供了嚴格的邏輯基礎。
無限過程
古代的幾何圖形可能已經考慮了平行的假設 - 兩條平行線永遠不會相交 - 比其他平行線不確定,因為它對無限偏遠的空間區域發表了陳述,因此無法進行物理驗證。
直到17世紀才開發出歸納證明的現代表達,但是一些後來的評論員認為這是歐幾里得的一些證明,例如,素數的無限證明。
涉及無限序列的悖論,例如Zeno的悖論,早於歐幾里得。歐幾里得避免了這樣的討論,例如給出了IX.35中幾何序列的部分總和的表達,而沒有評論讓術語數量成為無限的可能性。
邏輯基礎
古典邏輯
歐幾里得經常通過矛盾使用證明方法,因此,歐幾里得幾何形狀的傳統表現假定經典邏輯,其中每個命題都是真實或錯誤的,即,對於任何命題P 。
嚴格的現代標準
將歐幾里得的幾何形狀放置在固體的基礎上是數百年來的數學家的關注。 Peano代表團的Alessandro Padoa在1900年的巴黎會議上明確提出了原始觀念或不確定概念的作用:
...當我們開始製定理論時,我們可以想像不確定的符號完全沒有意義,而未經證實的命題只是施加在未定義的符號上的條件。
然後,我們最初選擇的思想體系只是對未定義符號的一種解釋。但是..讀者可以忽略這種解釋,讀者可以自由地用另一種解釋來代替他的腦海。
因此,邏輯問題完全獨立於經驗或心理問題。
然後,未定義的符號系統可以被視為從...未定義符號系統被每種解釋替換為未定義的符號系統時所產生的抽象...
- Padoa, Essai d'unethéoriealgébriquedes nombre Entiers,avec une介紹logique logique - unethéoriedéductivequelconque
也就是說,數學是層次結構框架中與上下文無關的知識。正如伯特蘭·羅素(Bertrand Russell)所說:
如果我們的假設是關於任何事情的,而不是關於某個或多個特定的事情,那麼我們的推論就構成了數學。因此,數學可以被定義為我們永遠不知道我們在說什麼的主題,也可以定義我們所說的是真實的。
-伯特蘭·羅素(Bertrand Russell),數學和形而上學的人
公理配方
幾何學是對不正確數字正確推理的科學。
-喬治·波利亞(GeorgePólya) ,如何解決它,p。 208
- 歐幾里得的公理:在他對劍橋三一學院的論文中,貝特蘭·羅素(Bertrand Russell)總結了歐幾里得的幾何形狀在那時的哲學家心目中的不斷變化。這是某些知識,獨立於實驗和經驗主義之間的衝突,需要實驗意見。這個問題變得很清楚,因為發現平行假設不一定有效,其適用性是經驗問題,決定了適用的幾何形狀是歐幾里得還是非歐幾里得。
- 希爾伯特(Hilbert)的公理:希爾伯特(Hilbert)的公理的目標是確定一組簡單而完整的獨立公理集,可以從中推導出最重要的幾何定理。傑出的目標是使歐幾里得的幾何形狀嚴格(避免隱藏的假設),並清除平行假設的後果。
- 伯克霍夫(Birkhoff)的公理:伯克霍夫(Birkhoff)提出了歐幾里得幾何形狀的四個假設,可以用尺度和量角器在實驗中確認。該系統在很大程度上依賴實際數字的屬性。角度和距離的概念成為原始概念。
- 塔斯基的公理:阿爾弗雷德·塔斯基(Alfred Tarski ,1902– 1983年)和他的學生將基本的歐幾里得幾何形狀定義為可以用一階邏輯表達的幾何形狀,不取決於其邏輯基礎的集合理論,與希爾伯特的偶像相反,與希爾伯特的偶像相反,這涉及點套。塔斯基(Tarski)證明了他的基本歐幾里得幾何形狀的公理表述在某種意義上是一致且完整的:對於每個命題,都有一種算法,可以顯示為True或false。 (這並不違反Gödel定理,因為歐幾里得幾何形狀無法描述足夠數量的算術來應用定理。)這與實際封閉場的可決定性相當,而基本歐幾里得幾何學是一個模型。