歐幾里得矢量

在數學，物理和工程學中，歐幾里得向量或僅僅是向量（有時稱為幾何矢量或空間向量）是具有大小（或長度）和方向的幾何對象。根據向量代數，可以將向量添加到其他向量中。歐幾里得向量通常由有向線段表示，或以圖形方式作為箭頭，將初始點A與終端點B連接起來，並用表示

向量是將點A攜帶到B點B所需的；拉丁單詞矢量的意思是“載體”。它首先是由18世紀的天文學家使用的，調查了太陽周圍的行星革命。向量的大小是兩個點之間的距離，方向是指從a到b的位移方向。許多代數操作，例如加法，減法，乘法和否定，都對向量有著類似的類似，這些操作遵守熟悉的通勤，關聯性和分佈性的代數定律。這些操作和相關的法律符合歐幾里得向量的限定，以此作為簡單定義為向量空間元素的向量概念的一個例子。

向量在物理學中起著重要的作用：移動對象的速度和加速度以及作用在其上的力都可以用向量來描述。可以將許多其他物理數量視為向量。儘管它們中的大多數不代表距離（例如，例如位置或位移），但它們的大小和方向仍然可以由箭頭的長度和方向表示。物理向量的數學表示取決於用於描述它的坐標系。在坐標系的變化下，描述物理量並以相似方式轉換的其他類似向量的對象包括偽造器和張量。

歷史

眾所周知，矢量概念是200多年來逐步發展的結果。大約十二個人為其發展做出了重大貢獻。 1835年， Giusto Bellavitis提出了基本思想，當時他建立了宗旨的概念。他在歐幾里得平面上工作，使任何相同長度和方向的平行線段都使均衡。從本質上講，他意識到平面中的點（兩重點）的對等關係，因此豎立了平面中向量的第一個空間。 William Rowan Hamilton作為四元組的一部分引入了詞，這是實際數字 $s$ （也稱為標量）和3維矢量的總和 $q = s + v$ 。像貝拉維炎一樣，漢密爾頓將矢量視為代表式定向段類別的代表。由於複數使用假想單元來補充實際線路，因此漢密爾頓認為向量 $V$ 是四元組的虛構部分：

代數虛構部分是由直線或半徑向量構建的，通常，對於每個確定的四個季度，確定的長度和確定的空間方向都可以稱為矢量部分，或者簡單地稱為矢量部分，或者簡單地稱為矢量。季節。

其他幾位數學家在19世紀中葉開發了類似矢量的系統，包括奧古斯丁·凱奇（Augustin Cauchy），赫爾曼·格拉斯曼（Hermann Grassmann），奧古斯特·莫比烏斯（AugustMöbius），康德·德·聖文（ Comte de Saint-Venant）和馬修·奧布萊恩（Matthew O'Brien）。格拉斯曼（Grassmann）的1840年工作理論理論（潮起潮落的理論）是第一個與當今系統相似的空間分析系統，並且具有與跨產品，標量產品和矢量差異相對應的想法。格拉斯曼的作品在很大程度上被忽略了，直到1870年代。彼得·古斯里·泰特（Peter Guthrie Tait）在漢密爾頓（Hamilton）之後採用了四元素標準。他1867年的四季節論文包括對Nabla或Del操作員的廣泛處理。 1878年，威廉·金登·克利福德（William Kingdon Clifford）出版了動態元素。克利福德（Clifford）通過將兩個向量的點產物和跨產品從完整的四個元素產物中分離出來，從而簡化了四元素研究。這種方法使工程師以及其他在三個維度工作的矢量計算可用，並對第四維持懷疑態度。

約西亞·威拉德·吉布斯（Josiah Willard Gibbs）通過詹姆斯·克萊克·麥克斯韋（James Clerk Maxwell ）的電力和磁性論文暴露於四季度，他將其矢量部分分開以進行獨立治療。吉布斯（Gibbs）的矢量分析要素的上半年於1881年發表，介紹了實質上是現代矢量分析系統。 1901年，埃德溫·比德威爾·威爾遜（Edwin Bidwell Wilson）發表了根據吉布斯（Gibbs）的講座進行改編的矢量分析，該講座驅逐了矢量計算過程中提及的四季度。

概述

在物理和工程學中，矢量通常被視為具有大小和方向為特徵的幾何實體。它正式定義為歐幾里得空間中的有向線段或箭頭。在純數學中，將向量定義為向量空間的任何元素。在這種情況下，向量是抽象實體，可能以大小和方向為特徵。這個廣義定義意味著上述幾何實體是一種特殊的矢量，因為它們是一種特殊的矢量空間元素，稱為歐幾里得空間。這篇特定的文章是關於向量嚴格定義為歐幾里得空間中的箭頭。當有必要將這些特殊向量與純數學定義的向量區分開時，有時將它們稱為幾何，空間或歐幾里得向量。

作為箭頭，歐幾里得向量具有確定的初始點和終點。具有固定初始點和終端點的向量稱為綁定向量。當只有向量的大小和方向問題，那麼特定的初始點就不重要，並且向量稱為自由向量。因此，如果兩個箭頭具有相同的大小和方向，則兩個箭頭代表相同的自由矢量：也就是說，如果四邊形ABB'A'是平行四邊形，則它們是均衡的。如果歐幾里得空間配備了原點的選擇，則自由向量等效於同一幅度和方向的界向量，其初始點是原點。該術語向量還對更高的維度有所概括，並使用更廣泛的應用程序進行了更正式的方法。

一個維度的示例

由於物理學家的力概念具有方向和大小，因此可以將其視為向量。例如，考慮15個紐頓的向右力F。如果正軸也向右定向，則f由向量15 n表示，如果向左點向左點，則F的向量為-15N。在任何一種情況下，矢量的大小為15N。同樣，同樣，位移δs為4米的矢量表示為4 m或-4 m，具體取決於其方向，其幅度將為4 m。

物理和工程學

向量在物理科學中是基本的。它們可用於表示具有大小，有方向並遵守向量添加規則的任何數量。一個例子是速度，其大小為速度。例如，速度每秒向上5米，可以用向量（0，5）表示（在2個維度為2個維度，為Y軸為“ UP”）。由向量表示的另一個數量是力，因為它具有大小和方向，並遵循向量添加的規則。向量還描述了許多其他物理量，例如線性位移，位移，線性加速度，角加速度，線性動量和角動量。其他物理向量（例如電場和磁場）在物理空間的每個點上表示為向量系統。也就是說，一個向量字段。具有大小和方向但無法遵循添加矢量規則的數量的示例是角位移和電流。因此，這些不是向量。

在笛卡爾空間

在笛卡爾坐標系中，可以通過識別其初始點和終端點的坐標來表示結合向量。例如，空間中的點a =（1，0，0）和b =（0，1，0）確定從x軸上的點x = 1到x軸上的點向量到點上的點y = 1 Y軸。

在笛卡爾坐標中，可以從相應的綁定向量（從這個意義上）考慮一個自由向量，其初始點具有原點 $O =（0，0，0，0）$ 的坐標。然後由該結合向量端子點的坐標確定。因此，以（1、0、0）表示的自由矢量是單位長度的向量 - 沿正x軸的方向點。

這種自由向量的坐標表示可以使其代數特徵以方便的數值方式表示。例如，兩個（free）向量（1、2、3）和（-2、0、4）的總和是（free）矢量

(1,2,3)+(-2,0,4)=(1-2,2+0,3+4)=(-1,2,7)\,.

歐幾里得和仿射媒介

在幾何和物理設置中，有時可以自然地將長度或大小和向量的方向關聯。另外，方向的概念與兩個向量之間的角度的概念嚴格相關。如果定義了兩個向量的點產物（兩個向量的標量值產物），則也可以定義一個長度；點產物給出了兩個角度（任何兩個非零向量之間的點產物的函數）和長度（矢量本身的DOT乘積的平方根）的方便代數表徵。在三個維度中，可以進一步定義交叉產物，該跨產品提供了由兩個向量定義的平行四邊形（用作平行四邊形的側面）的平行四邊形空間中的代數表徵和方向。在任何維度（尤其是較高維度）中，可以定義外部產品，該產品（除其他外）提供了該面積的代數表徵，並在n個矢量定義的n維平行型的空間中提供了方向。

在偽歐幾里得空間中，矢量的平方長度可以為正，負或零。一個重要的例子是Minkowski空間（這對於我們對特殊相對論的理解很重要）。

但是，定義向量的長度並不總是可能或理想的。這種更通用的空間向量類型是向量空間（對於自由向量）和仿射空間（對於綁定向量的主題，如每個載體，每個載體由有序的一對“點”表示）。一個物理示例來自熱力學，其中許多興趣可以被視為沒有長度或角度概念的空間中的向量。

概括

在物理和數學中，通常將矢量鑑定出元組成分或數字列表，這些數字列表是一組基礎向量的標量係數。當基礎被轉換（例如通過旋轉或拉伸）時，就以相反的意義而言，任何向量的組件也會轉換。向量本身並沒有改變，但是基礎的依據，因此向量的組成部分必須更改以補償。矢量稱為協變量或違反，具體取決於向量的組件的轉換與基礎的轉換有關。通常，逆向向量是具有距離單位（例如位移）或其他單位（例如速度或加速度）的距離單位的“常規向量”；另一方面，協變量向量具有單一距離的單位，例如梯度。如果將單位（一種特殊情況）從儀表變為毫米，比例因子為1/1000，則位移為1 mm，將變為1000 mm，這是數值價值的逆轉變化。相比之下，1 K /m的梯度變為0.001 K /mm - 價值變化（有關更多信息，請參見向量的協方差和違反率）。張量是以這種方式行事的另一種數量。向量是一種張量。

在純數學中，向量是某個字段上向量空間的任何元素，通常以坐標向量表示。本文中描述的向量是該一般定義的非常特殊的情況，因為它們相對於環境空間是違反的。違反範圍捕獲了向量具有“大小和方向”的想法背後的物理直覺。

表示

矢量通常以小寫的粗體表示，如在a中所示，或或小寫的斜體斜體。（大寫字母通常用於表示矩陣。）其他約定包括或a，尤其是在手寫中。另外，有些人使用tilde（〜）或符號下方繪製的波浪底線，例如，這是指示大膽類型的約定。如果向量表示從點A到一個點B的定向距離或位移（請參見圖），則也可以表示為或AB。在德國文學中，尤其是用小的fraktur字母來代表媒介，例如。

向量通常以圖形或其他圖作為箭頭（有向線段）顯示，如圖所示。在這裡，A點A稱為原點，尾部，基部或初始點，而點B稱為頭部，尖端，端點，端子，終端點或最終點。箭頭的長度與向量的大小成正比，而箭頭點的方向表示向量的方向。

在二維圖上，有時需要垂直於該圖平面的矢量。這些向量通常顯示為小圓圈。一個圓圈在其中心（Unicode U+2299⊙）的圓圈表示向矢量指向圖表的前面，朝向查看器。其中刻有十字架的圓（Unicode U+2297⊗）指示指向矢量的矢量。可以將這些視為查看箭頭的尖端並從後部查看箭頭的飛行。

為了用向量計算，圖形表示可能太麻煩了。 n維歐幾里得空間中的向量可以表示為笛卡爾坐標系中的坐標向量。向量的終點可以用n個實數（ n-元組）的有序列表來識別。相對於給定的笛卡爾坐標系，這些數字是向量的端點的坐標，通常稱為坐標系統軸上向量的標量組件（或標量）。

作為二維的一個示例（見圖），從原點O =（0，0）到點a =（2，3）的向量簡單地寫成為

\mathbf {a} =(2,3).

向量的尾巴與起源一致的觀念是隱含的，很容易理解。因此，通常認為較明確的符號沒有必要（實際上很少使用）。

在三維歐幾里得空間（或 $r 3$ ）中，用標量成分的三元組鑑定出矢量：

\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3}).

也寫了

\mathbf {a} =(a_{x},a_{y},a_{z}).

這可以推廣到n維歐幾里得空間（或 $r n$ ）。

\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ,a_{n-1},a_{n}).

這些數字通常被安排到列向量或行矢量中，尤其是在處理矩陣時，如下所示：

\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\\end{bmatrix}}=[a_{1}\ a_{2}\ a_{3}]^{\operatorname {T} }.

在n維度中表示向量的另一種方法是引入標準基礎向量。例如，在三個維度中，有三個：

{\mathbf {e} }_{1}=(1,0,0),\ {\mathbf {e} }_{2}=(0,1,0),\ {\mathbf {e} }_{3}=(0,0,1).

這些分別是指向笛卡爾坐標系的x- ， y - 和z軸的單位長度的向量的直觀解釋。就這些而言，

r 3

中的任何向量A可以以這種形式表示：

\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})=a_{1}(1,0,0)+a_{2}(0,1,0)+a_{3}(0,0,1),\

或者

\mathbf {a} =\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}+\mathbf {a} _{3}=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3},

其中， A ₁ ， A ₂ ， A ₃稱為A的矢量組件（或向量投影），或等效地在相應的笛卡爾軸上x ， y和z （見圖），而a 1，a 1， a，a，a，a，a 1，a 1，a 1，a 1，a 1，a 1，a 1，a 1， a ₁ ，a 1， a。 ₂ ， a ₃是相應的標量組件（或標量投影）。

在介紹性的物理教科書中，通常表示標準基礎向量（或者，其中帽子符號通常表示單位向量）。在這種情況下，標量和矢量組件分別表示AX，AY，AZ和AX，AY，AZ（請注意Boldface的差異）。因此，

\mathbf {a} =\mathbf {a} _{x}+\mathbf {a} _{y}+\mathbf {a} _{z}=a_{x}{\mathbf {i} }+a_{y}{\mathbf {j} }+a_{z}{\mathbf {k} }.

表示法E _I與索引符號兼容，以及在高級數學，物理和工程中常用的求和慣例。

分解或分辨率

如上所述，通常由一組向量成分形成以形成給定向量的矢量成分。通常，這些組件是矢量在一組相互垂直參考軸（基矢量）上的投影。據說矢量是根據該集合分解或解決的。

向量分解為組件的分解或分辨率不是唯一的，因為它取決於投影向量的軸的選擇。

此外，不要求使用笛卡爾單元向量，例如代表向量的基礎。向量也可以以任意為基礎表示，包括圓柱坐標系（）或球形坐標系（）的單位向量。後兩個選擇更方便地解決具有圓柱形或球形對稱性的問題。

基礎的選擇不會影響向量的屬性或在轉換下的行為。

向量也可以相對於“非固定”基礎向量分解，以改變其方向作為時間或空間的函數。例如，三維空間中的矢量可以分別相對於兩個軸，分別是正常的，並且與表面相切（見圖）。此外，向量的徑向和切向成分與物體旋轉半徑有關。前者與半徑平行，後者與之正交。

在這些情況下，每個組件都可以相對於固定坐標系或基集（例如，全局坐標系或慣性參考框架）進行分解。

基本屬性

以下部分使用笛卡爾坐標系與基礎向量

{\mathbf {e} }_{1}=(1,0,0),\ {\mathbf {e} }_{2}=(0,1,0),\ {\mathbf {e} }_{3}=(0,0,1)

並假設所有向量都具有原點為共同的基點。向量A將寫為

{\mathbf {a} }=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}.

平等

如果兩個向量具有相同的大小和方向，則據說它們相等。如果它們的坐標相等，它們將相等。所以兩個向量

{\mathbf {a} }=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}

和

{\mathbf {b} }=b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2}+b_{3}{\mathbf {e} }_{3}

如果等於

a_{1}=b_{1},\quad a_{2}=b_{2},\quad a_{3}=b_{3}.\,

相反，平行和反平行向量

如果兩個向量具有相同的大小但方向相反，則相反。所以兩個向量

{\mathbf {a} }=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}

和

{\mathbf {b} }=b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2}+b_{3}{\mathbf {e} }_{3}

如果相反

a_{1}=-b_{1},\quad a_{2}=-b_{2},\quad a_{3}=-b_{3}.\,

如果兩個向量具有相同的方向，但不一定是相同的幅度，則是平行的，如果它們具有相反的方向，但不一定是相同的大小，則是平行的。

加減

兩個向量的A和B的總和可以定義為

\mathbf {a} +\mathbf {b} =(a_{1}+b_{1})\mathbf {e} _{1}+(a_{2}+b_{2})\mathbf {e} _{2}+(a_{3}+b_{3})\mathbf {e} _{3}.

產生的向量有時稱為a和b的結果向量。

可以通過將箭頭B的尾巴放在箭頭A的頭部，然後從A尾部繪製箭頭到B的頭部來表示添加。繪製的新箭頭代表向量A + B ，如下所示：

此添加方法有時稱為平行四邊形規則，因為A和B形成了平行四邊形的側面， A + B是對角線之一。如果a和b是具有相同基點的綁定向量，則該點也將是a + b的基點。可以幾何地檢查a + b = b + a和（ a + b ） + c = a +（ b + c ）。

A和B的差異是

\mathbf {a} -\mathbf {b} =(a_{1}-b_{1})\mathbf {e} _{1}+(a_{2}-b_{2})\mathbf {e} _{2}+(a_{3}-b_{3})\mathbf {e} _{3}.

兩個向量的減法可以在幾何上說明如下：要從A中減去B ，將A和B的尾巴放在同一點，然後從B的頭部將箭頭從B的頭部繪製到A的頭部。該新箭頭代表向量（-b） + a ， （-b）與B相反，請參見圖形。 （-b） + a = a - b 。

標量乘法

也可以將矢量乘以實際數字r乘以或縮放。在常規矢量代數的背景下，這些實數通常稱為標量（從刻度），以將它們與向量區分開。將向量乘以標量的操作稱為標量乘法。結果向量是

r\mathbf {a} =(ra_{1})\mathbf {e} _{1}+(ra_{2})\mathbf {e} _{2}+(ra_{3})\mathbf {e} _{3}.

直觀地，乘以標量r將矢量拉出r r r 。從幾何上講，這可以可視化（至少在r是整數的情況下）將向量的副本放置在一個向量的端點是下一個向量的初始點的線中。

如果r為負，則矢量會改變方向：它的角度為180°。下面給出了兩個示例（ r = -1和r = 2）：

標量乘法在以下意義上是對向量添加的分佈： R （ A + B ）= R A + R B對於所有向量A和B和所有標量r 。也可以表明a -b = a +（-1） b 。

長度

矢量A的長度或大小或規範用“ A ”或不常見的|表示A |，不要與絕對值（標量“ norm”）混淆。

可以用歐幾里得規範計算矢量A的長度

\left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}},

這是畢達哥拉斯定理的結果，因為基礎向量e ₁ ， e ₂ ， e ₃是正交單位向量。

這恰好與矢量本身的DOT產品的平方根相等：

\left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}.

單位矢量

單位矢量是任何一個長度的向量；通常，單位向量僅用於指示方向。任意長度的向量可以除以其長度以創建單位向量。這被稱為標準化向量。單位矢量通常用帽子表示。

要使向量a =（ a ₁ ， a ₂ ， a ₃ ）歸一化，請通過其長度的倒數縮放矢量”。那是：

\mathbf {\hat {a}} ={\frac {\mathbf {a} }{\left\|\mathbf {a} \right\|}}={\frac {a_{1}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {e} _{1}+{\frac {a_{2}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {e} _{2}+{\frac {a_{3}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {e} _{3}

零向量

零向量是零長為零的向量。在坐標中寫出的向量為（0，0，0），通常表示為0或僅為0。與其他任何向量不同，它具有任意或不確定的方向，不能歸一化（也就是說，在那裡，不是零向量的倍數的單位向量）。與任何向量A的零向量的總和是A（即0 + a = a）。

點產品

兩個向量A和B的點產物（有時稱為內部產品，或者，由於其結果為標量，標量產品）由A ∙ B表示，並定義為：

\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta ,

其中θ是A和B之間的角度的度量（有關餘弦的解釋，請參見三角函數）。從幾何上講，這意味著a和b是用一個共同的起點繪製的，然後a的長度乘以B的長度，該長度指向與A的方向相同的方向。

點產品也可以定義為每個矢量組件的產品的總和

\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}.

跨產品

在三個或七個維度上，跨產品（也稱為矢量產物或外部產品）僅有意義。交叉產物與點產物的不同之處在於兩個向量的交叉產物的結果是向量。跨產品（表示為A × B ）是垂直於A和B的矢量，定義為

\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\sin(\theta )\,\mathbf {n}

其中θ是A和B之間的角度的度量，而N是垂直於A和B的單位向量，該矢量均已完成右手系統。右手限制是必要的，因為存在兩個垂直於A和B的單位向量，即N和（ -n ）。

定義了交叉產物A × B，以使A ， B和A × B也成為右撇子系統（儘管A和B不一定是正交的）。這是右手規則。

A × B的長度可以解釋為平行四邊形的面積A和B為側面。

跨產品可以寫為

{\mathbf {a} }\times {\mathbf {b} }=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}){\mathbf {e} }_{1}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}){\mathbf {e} }_{2}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}){\mathbf {e} }_{3}.

對於任意選擇空間取向的選擇（即允許左手和右手坐標系），兩個向量的交叉產物是偽驅動器而不是向量（見下文）。

標量三重產品

標量三重產品（也稱為盒子產品或混合三重產品）並不是真正的新運營商，而是將其他兩個乘法運算符應用於三個向量的方法。標量三重產品有時用（ A B C ）表示為：

(\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ).

它有三個主要用途。首先，盒子乘積的絕對值是平行教具有由三個向量定義的邊緣的體積。其次，當且僅當三個向量是線性依賴的時，標量三重產物為零，可以通過考慮為了使三個向量不製作音量而輕鬆證明，它們都必須全部躺在同一平面中。第三，只有當三個向量A ， B和C是右撇子時，盒子產品是積極的。

在組件中（相對於右手的正統基礎），如果將三個向量視為行（或列，但按照相同的順序），則標量三重乘積只是3 by-3矩陣的決定因素將三個向量作為行

(\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{vmatrix}}

標量三重產品在所有三個條目中均為線性，並且在以下意義上是反對稱的：

(\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )=(\mathbf {c} \ \mathbf {a} \ \mathbf {b} )=(\mathbf {b} \ \mathbf {c} \ \mathbf {a} )=-(\mathbf {a} \ \mathbf {c} \ \mathbf {b} )=-(\mathbf {b} \ \mathbf {a} \ \mathbf {c} )=-(\mathbf {c} \ \mathbf {b} \ \mathbf {a} ).

多個笛卡爾基地之間的conversion依

迄今為止，所有示例均涉及以相同基礎表示的向量，即e基礎{ e ₁ ， e ₂ ， e ₃ }。但是，可以用任何數量不一定彼此對齊的不同基礎來表示矢量，並且仍然保持相同的向量。根據E的基礎，根據定義，向量A表示

\mathbf {a} =p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3}.

根據定義， E基礎上的標量組件是

{\begin{aligned}p&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{1},\\q&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{2},\\r&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{3}.\end{aligned}}

在另一個正順序的基礎上n = { n ₁ ， n ₂ ， n ₃ }不一定與e對齊，向量a表示為

\mathbf {a} =u\mathbf {n} _{1}+v\mathbf {n} _{2}+w\mathbf {n} _{3}

根據定義，在n為基礎上的標量組件是

{\begin{aligned}u&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} _{1},\\v&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} _{2},\\w&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} _{3}.\end{aligned}}

p ， q ， r和u ， v ， w的值與單位向量相關，以使所得矢量總和在兩種情況下都是完全相同的物理向量a 。通常會遇到以不同基礎為主的向量（例如，固定在地球上的一個基礎，第二個固定在移動車輛上的基礎）。在這種情況下，有必要開發一種在鹼基之間轉換的方法，以便可以執行基本的向量操作，例如加法和減法。用p ， q ， r表示u ， v ， w的一種方法是使用列矩陣以及一個方向餘弦矩陣，其中包含與兩個鹼基相關的信息。可以通過取代上述方程式形成這種表達

{\begin{aligned}u&=(p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3})\cdot \mathbf {n} _{1},\\v&=(p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3})\cdot \mathbf {n} _{2},\\w&=(p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3})\cdot \mathbf {n} _{3}.\end{aligned}}

分發點 - 刺激給出

{\begin{aligned}u&=p\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {n} _{1}+q\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {n} _{1}+r\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {n} _{1},\\v&=p\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2}+q\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {n} _{2}+r\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {n} _{2},\\w&=p\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {n} _{3}+q\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {n} _{3}+r\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {n} _{3}.\end{aligned}}

用獨特的標量代替每個點產品給出

{\begin{aligned}u&=c_{11}p+c_{12}q+c_{13}r,\\v&=c_{21}p+c_{22}q+c_{23}r,\\w&=c_{31}p+c_{32}q+c_{33}r,\end{aligned}}

這些方程可以表示為單基質方程

{\begin{bmatrix}u\\v\\w\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p\\q\\r\end{bmatrix}}.

該矩陣方程將n基（ u ， v和w ）的標量成分與e基於e（ p ， q和r ）的標量分量相關聯。每個矩陣元件c _jk是與e _k相關_的餘弦方向。術語方向餘弦是指兩個單位向量之間的角度的餘弦，這也等於其點產物。所以，

{\begin{aligned}c_{11}&=\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {e} _{1}\\c_{12}&=\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {e} _{2}\\c_{13}&=\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {e} _{3}\\c_{21}&=\mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {e} _{1}\\c_{22}&=\mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {e} _{2}\\c_{23}&=\mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {e} _{3}\\c_{31}&=\mathbf {n} _{3}\cdot \mathbf {e} _{1}\\c_{32}&=\mathbf {n} _{3}\cdot \mathbf {e} _{2}\\c_{33}&=\mathbf {n} _{3}\cdot \mathbf {e} _{3}\end{aligned}}

通過將e ₁ ， e ₂ ， e ₃共同稱為e基礎，而n ₁ ， n ₂ ， n ₃作為n基，包含所有c _jk的矩陣被稱為“從e到n的轉換矩陣” ，或“從e到n的旋轉矩陣”（因為它可以想像為從一個基礎到另一個基礎的矢量的“旋轉”）或“從e到n的方向餘弦矩陣”（因為它包含方向餘弦）。旋轉矩陣的特性使其逆等於其轉置。這意味著“從E到N的旋轉矩陣”是“從N到E的旋轉矩陣的轉置”。

方向餘弦的特性，C為：

決定因素是統一的，| c | = 1;
逆等於轉置；
行和列是正交單元向量，因此它們的點產物為零。

該方法的優點是，通常可以通過使用Euler角或四元組來獨立獲得方向餘弦矩陣，以將兩個向量鹼基相關聯，因此可以直接執行基本轉換，而無需算出上述所有點產品。

通過連續應用多個矩陣乘法，只要已知餘弦集以連續的鹼基，任何向量都可以在任何基礎上表達。

其他維度

除交叉和三型產品外，上述配方概括為兩個維度和更高的維度。例如，對二維的加法概括為

(a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2})+(b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2})=(a_{1}+b_{1}){\mathbf {e} }_{1}+(a_{2}+b_{2}){\mathbf {e} }_{2},

在四個維度上

{\begin{aligned}(a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}+a_{4}{\mathbf {e} }_{4})&+(b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2}+b_{3}{\mathbf {e} }_{3}+b_{4}{\mathbf {e} }_{4})=\\(a_{1}+b_{1}){\mathbf {e} }_{1}+(a_{2}+b_{2}){\mathbf {e} }_{2}&+(a_{3}+b_{3}){\mathbf {e} }_{3}+(a_{4}+b_{4}){\mathbf {e} }_{4}.\end{aligned}}

儘管與外部產品密切相關，但跨產品不容易將其推廣到其他維度，但其結果是雙方。在二維中，這只是一個偽尺度

(a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2})\wedge (b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2})=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}.

七維的跨產品與跨產品相似，因為它的結果是兩個參數的媒介正交。但是，沒有自然的方法可以選擇其中一種可能的產品。

物理

向量在物理和其他科學中有很多用途。

長度和單位

在抽象的向量空間中，箭頭的長度取決於無量綱的刻度。如果代表例如力，則“比例”為物理維度/力。因此，相同維度的數量之間通常存在比例的一致性，但其他規模比可能會有所不同。例如，如果“ 1牛頓”和“ 5 m”均以2 cm的箭頭表示，則尺度分別為1 m：50 n和1：250。除非該圖代表的系統固有的某種比例常數，否則不同維度的向量的相等長度沒有特殊的意義。單位矢量的長度（尺寸長度，不長/力等）也沒有坐標 - 系統不變的意義。

向量值函數

通常在物理和數學領域，矢量會隨著時間的流逝而發展，這意味著它取決於時間參數t 。例如，如果r表示粒子的位置向量，則r （ t ）給出粒子軌蹟的參數表示。可以通過區分或整合向量的組件來區分和集成矢量值函數，而微積分的許多熟悉規則繼續為向量值值函數的導數和積分而保留。

位置，速度和加速度

點x =（ x ₁ ， x ₂ ， x ₃ ）在三維空間中的位置可以表示為位置向量，其基數是原點

{\mathbf {x} }=x_{1}{\mathbf {e} }_{1}+x_{2}{\mathbf {e} }_{2}+x_{3}{\mathbf {e} }_{3}.

位置向量具有長度的尺寸。

給定兩個點x =（ x ₁ ， x ₂ ， x ₃ ）， y =（ y ₁ ， y ₂ ， y ₃ ）它們的位移是向量

{\mathbf {y} }-{\mathbf {x} }=(y_{1}-x_{1}){\mathbf {e} }_{1}+(y_{2}-x_{2}){\mathbf {e} }_{2}+(y_{3}-x_{3}){\mathbf {e} }_{3}.

指定y相對於x的位置。該矢量的長度給出了從x到y的直線距離。位移具有長度的尺寸。

點或粒子的速度V是向量，其長度給出了速度。對於恆定速度，時間t的位置將是

{\mathbf {x} }_{t}=t{\mathbf {v} }+{\mathbf {x} }_{0},

其中x ₀是時間t = 0的位置。速度是位置的時間導數。它的尺寸是長度/時間。

一個點的加速度a是向量，這是速度的時間導數。它的尺寸為長度/時間² 。

力，能量，工作

力是質量×長度/時間²的矢量，牛頓的第二定律是標量乘法

{\mathbf {F} }=m{\mathbf {a} }

工作是力和位移的點產物

E={\mathbf {F} }\cdot ({\mathbf {x} }_{2}-{\mathbf {x} }_{1}).

向量，偽驅動器和轉換

歐幾里得向量（尤其是物理學）的另一種表徵將其描述為在坐標轉換下以某種方式行為的數量列表。需要違反矢量必須具有在基礎變化下“與基礎相反”的組件。當基礎轉換時，向量本身不會改變。取而代之的是，向量的組件進行了更改，以取消基礎的變化。換句話說，如果將參考軸（以及從中得出的基礎）沿一個方向旋轉，則向量的組件表示將以相反的方式旋轉以生成相同的最終向量。同樣，如果參考軸向一個方向拉伸，則矢量的組成部分將以準確的補償方式減少。從數學上講，如果基礎經歷了可逆矩陣M所描述的轉換，因此將坐標向量X轉換為X'= MX，則必須通過V'= MV類似地轉換逆向矢量V。這一重要要求是將違反向量與任何其他有意義的三重量區分開來的。例如，如果v由速度的x，y和z組分組成，則v是逆向矢量：如果空間的坐標是拉伸，旋轉或扭曲的，則速度的組成部分以相同的方式變換。另一方面，例如，由矩形盒的長度，寬度和高度組成的三重組可以構成抽象向量的三個組成部分，但是該向量不會是違反的，因為旋轉盒子不會改變盒子盒子的長度，寬度和高度。逆向矢量的例子包括位移，速度，電場，動量，力和加速度。

用差異幾何形狀的語言，要求向量的組件根據坐標過渡的相同矩陣轉換的要求等於將逆向矢量定義為逆向級別的張量。另外，將逆向向量定義為切線向量，並且從鏈條規則中轉換逆向向量的規則。

一些矢量像違反媒介一樣變形，除了當它們通過鏡子反射時，它們會翻轉並獲得負標誌。據說，將右手轉換為左手的轉換，反之亦然，可以改變空間的方向。當空間變化的方向變化時，獲得減去符號的向量稱為偽載體或軸向向量。普通向量有時稱為真正的向量或極地向量，以將它們與偽驅動器區分開。偽驅動器最常作為兩個普通向量的跨產品出現。

偽內壓器的一個例子是角速度。在汽車上行駛，向前看，每個車輪都有一個角速度向量，指向左側。如果世界反映在切換汽車的左側和右側的鏡像中，則該角速度向量的反射指向右側，但是車輪的實際角速度向量仍然指向左側，對應於負號符號。偽驅動器的其他示例包括磁場，扭矩，或更一般的兩個（真）向量的交叉產物。

向量和偽伏型之間的這種區別通常被忽略，但是在研究對稱性方面變得很重要。參見奇偶校驗（物理）。