存在定量

存在定量
類型	量詞
場地	數學邏輯
陳述	至少一個值為一個值時是正確的。
符號陳述

在謂詞邏輯中，存在量化是一種量詞，一種邏輯常數被解釋為“存在”，“至少有一個”或“對於某些”。它通常由邏輯運算符符號表示，當與謂詞變量一起使用時，它稱為存在量詞（“ $\existsx$ ”或“ $x”（ x ）$ ”或“ $（ \existsx ）”$ ）。存在量化與通用量化不同（“所有”），該定量斷言該財產或關係對域的所有成員都有。一些來源使用術語存在來指代生存定量。

基本

考慮一個公式，該公式指出某些自然數量本身是25。

0·0 = 25或1·1 = 25或2·2 = 25或3·3 = 25，...

由於“或”的重複使用，這似乎是一個邏輯分解。但是，橢圓使這不可能整合併將其解釋為形式邏輯中的脫節。相反，該語句可以更正式地改寫

對於某些自然數n ， n · n = 25。

這是使用存在量化的單個語句。

此陳述比原始語句更精確，因為“等短語”不一定包含所有自然數字，而是排除其他所有內容。而且由於未明確說明域，因此無法正式解釋該短語。但是，在量化的陳述中，明確提到自然數。

這個特定的例子是正確的，因為5是一個自然數，當我們用5代替n時，我們會產生“ 5·5 = 25”，這是真的。 “ n · n = 25”僅對單個自然數字5是正確的，5；即使是單個解決方案的存在也足以證明這種存在的量化是真實的。相反，“對於某些偶數N ， N · n = 25”是錯誤的，因為沒有解決方案。

因此，說明變量n被允許採用的值的話語領域對於陳述的真實性或虛假性至關重要。邏輯連詞用於限制話語領域以實現給定的謂詞。例如：

對於某些正數n ， n · n = 25

在邏輯上等同於

對於某些自然數n ， n是奇數， n · n = 25。

在這裡，“和”是邏輯連詞。

在符號邏輯中，“∃”（在sans-serif字體中旋轉字母“ e”）用於指示存在定量。因此，如果p（a，b，c）是謂詞“ a·b = c”，則是自然數的集合，則

\exists {n}{\in }\mathbb {N} \,P(n,n,25)

是（真）語句

對於某些自然數n ， n · n = 25。

同樣，如果q （ n ）是謂詞“ n是偶數”，那麼

\exists {n}{\in }\mathbb {N} \,{\big (}Q(n)\;\!\;\!{\wedge }\;\!\;\!P(n,n,25){\big )}

是（錯誤）語句

對於某些自然數n ， n為均勻， n · n = 25。

在數學中，可以通過建設性的證據來實現“一些”陳述的證據，該證明表現出滿足“某些”陳述的對象，或者是通過非構造證明的，這表明必須有這樣的對象，但沒有展示一個對象。

特性

否定

量化的命題函數是一個陳述。因此，與陳述一樣，可以否定量化功能。該符號用於表示否定。

例如，如果p （ x ）是謂詞“ x大於0，小於1”，那麼，對於所有自然數的話語X的域，存在的存在量化”，存在一個自然數x ，大於0和少於1英寸可以像徵性地說為：

\exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)

這可以證明是錯誤的。坦白說，必須說：“並非有一個自然的數字X大於0且小於1”，或者象徵性地：

\lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)

.

如果沒有話語為真的話語領域的元素，那麼對於所有這些元素來說，它必須是錯誤的。也就是說，否定

\exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)

從邏輯上等同於“對於任何自然數x ， x不大於0，小於1”，或：

\forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)

一般而言，因此，對命題函數的存在量化的否定是對該命題函數的否定的普遍量化。象徵性地

\lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)

（這是對De Morgan定律對謂語邏輯的概括。）

一個普遍的錯誤是指出“所有人尚未結婚”（即“沒有結婚的人”），當“並非所有人都已結婚”（即，“存在未婚的人”）：

\lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)\not \equiv \ \lnot \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)

否定也可以通過“ no”的聲明來表達，而不是“某些”：

\nexists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)

與通用量化符不同，存在量化符在邏輯分析上分佈：

$\exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\lor Q(x)\to \ (\exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\lor \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,Q(x))$

推理規則

推論規則是一條規則，證明從假設到結論的邏輯步驟是合理的。有幾種使用存在量化器的推理規則。

存在介紹（∃I）得出的結論是，如果已知命題函數對於話語領域的特定元素是正確的，那麼必須存在一個命題函數為真函數的元素。象徵性地

P(a)\to \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)

生存實例化以惠譽風格的扣除進行時，通過輸入新的子源，同時將存在的量化變量替換為受試者，而這些變量並未出現在任何活動的子源中。如果可以在未出現替代受試者的該子衍生物中得出結論，則可以通過該結論退出該子衍生。存在淘汰背後的推理（∃e）如下：如果存在一個命題函數為真的元素，如果可以通過給出該元素一個任意名稱來得出結論，那麼結論一定是正確的，只要它不包含名稱。象徵性地，對於任意C和C的命題Q ，在其中沒有出現C ：

\exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\to \ ((P(c)\to \ Q)\to \ Q)

對於在同一域x上C的所有值，必須是正確的；否則，邏輯不遵循：如果C不是任意的，而是話語領域的特定元素，則說明P（c）可能會不公正地提供有關該對象的更多信息。

空集

無論p（x）如何，該公式始終是錯誤的。這是因為表示空的集合，而沒有任何描述的x - 更不用說滿足給定謂詞p（x）的X存在。有關更多信息，另請參閱空置真理。

作為伴隨

在類別理論和基本拓撲理論中，生存量化器可以理解為功率集之間函數的左伴隨，即集合之間函數的反圖像函數。同樣，通用量詞是正確的伴隨。

編碼

在Unicode和HTML中，編碼符號u+ 2203∃存在（＆存在；存在；

在Tex中，該符號由“ \存在”產生。

起源

該符號的第一個用法被認為是Giuseppe Peano在他的數學邏輯和符號符號formarulio Mathematico 0f 1896中被認為。 Peano通過他在集合理論方面的研究，還介紹了符號，每個符號表示集合的交集和結合。

存在定量

基本

特性

否定

推理規則

空集

作為伴隨

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