傅里葉變換

傅立葉變換的一個示例應用是確定音樂波形中的組成音高。該圖像是將常數Q變換與傅立葉相關的變換)應用於C主要鋼琴和弦的波形的結果。左側的前三個峰對應於和弦(C,E,G)的基本頻率的頻率。其餘較小的峰值是基本音高的較高頻率音高檢測算法可以使用這些峰的相對強度來推斷鋼琴家按下的指出。

物理工程數學中,傅立葉變換ft )是一個積分變換,將函數轉換為描述原始函數中存在的頻率的形式。轉換的輸出是頻率的複雜值函數。一詞傅立葉變換是指這個複雜值值函數和數學操作。當需要做出區別時,傅立葉變換有時稱為原始函數的頻域表示。傅立葉變換類似於將音樂和弦聲音分解為其組成螺距強度

紅色正弦曲線可以通過峰幅度(1),峰峰(2), RMS (3)和波長(4)描述。紅色和藍色正弦曲線的相位差為θ
頂行顯示了一個單位脈衝作為時間( Ft )的函數及其傅立葉變換作為頻率( ω )的函數。底行顯示了一個延遲的單位脈衝作為時間( Gt )的函數,其傅立葉變換是頻率( ĝω )的函數。時間域中的翻譯(即延遲)被解釋為頻域中的複雜相移。傅立葉變換將函數分解為翻譯組的本徵函數。由於在傅立葉變換中使用了負符號指數,因此否定了ĝω的假想部分(ω),這是從傅立葉系列中得出的默認值,但是對於不會反轉的轉換而言,符號並不重要。

位於時間域中的函數具有傅立葉變換,這些變換分佈在頻域中,反之亦然,這是一種被稱為不確定性原理的現象。該原理的關鍵案例是高斯功能,在概率理論統計數據以及表現出正態分佈的物理現象的研究中至關重要(例如,擴散)。高斯函數的傅立葉變換是另一個高斯函數。約瑟夫·富埃爾(Joseph Fourier)在他的傳熱研究中引入了轉換,在該研究中,高斯函數似乎是熱方程的解決方案。

傅立葉變換可以正式定義為Riemann積分不當,使其成為一個不可或缺的轉換,儘管此定義不適用於許多需要更複雜的集成理論的應用程序。例如,許多相對簡單的應用程序都使用Dirac Delta函數,可以正式對待,就像它是一個函數一樣,但是理由需要數學上更複雜的觀點。

傅立葉變換也可以推廣到歐幾里得空間上幾個變量的函數,將3維“位置空間”的函數發送到3維動量的函數(或空間和時間的函數到4 Momentum的函數)。這個想法使空間傅立葉在波浪的研究以及量子力學中非常自然,在這種情況下,能夠將波溶液表示為位置或動量的函數,有時兩者都很重要。通常,適用於傅立葉方法的功能是複雜的值,並且可能是矢量值。還可以進一步概括功能,除了原始的傅立葉變換外,尤其包括離散時間傅立葉變換(dtft,group = z ),離散的傅立葉變換(dft,group = z mod) n )和傅立葉級數或圓形傅立葉變換(組= s 1 ,單位圓≈閉合有限間隔,並確定了端點)。後者通常用於處理週期性功能快速傅立葉變換(FFT)是用於計算DFT的算法。

定義

傅立葉變換是一個分析過程,將復雜值函數分解為其組成頻率。逆過程是合成,它從其轉換中重新創建。

我們可以從類比開始,即傅立葉序列,該序列在一個有界的間隔上分析了一個正實數,而構成頻率是一個離散的頻率集,該頻率是一組頻率集,其幅度和相位由分析公式給出:

實際的傅立葉系列合成公式:

可以通過限制限制,同時服用函數的類比,從分析公式正式獲得(Kaiser 1994,p。29),(Rahman 2011,第11頁)。正式執行此操作,我們獲得了迅速減少:

傅里葉變換

()

假設快速減少的假設很容易看出,整體等式1為所有真實的收斂,並且(使用Riemann – Lebesgue Lemma),轉化的函數也正在迅速降低。本節稍後討論了該定義對不一定快速減少的函數類別的有效性。

評估等式1的所有值都會產生頻域函數。在極坐標中,複數數字傳達了頻率的幅度和相位。該積分僅產生其複雜的幅度,因為(至少正式)所有其他組件都是振盪性的,並且在無限間隔內將其整合至零。如果不存在頻率,則轉換為該頻率為0。 (請參閱§示例)

該功能的相應合成公式為:

逆變換

()

等式2是複雜指數函數的加權總和的表示。

這也稱為傅立葉定理,首先是在傅立葉的熱分析理論中引入的。

功能,稱為傅立葉變換對。指定轉換對的常見符號是:

例如

Lebesgue集成功能的定義

到目前為止,我們一直在處理Schwarz功能,該功能在無限範圍內迅速腐爛,所有衍生物。這不包括從定義(例如rect函數)中的許多實際重要性功能。如果Lebesgue的絕對值不可或缺是有限的,則稱為(Lebesgue)可測量的函數:

如果兩個可測量的函數相等,則它們是等效的。表示集成函數的所有等價類別的集合被表示。然後:

定義 - Lebesgue集成函數的傅立葉變換由公式等式1定義。

由於假設的假設,整體等式1對於所有人都定義了。 (可以表明,該函數在頻域中是界限,並且在Riemann – Lebesgue引理中均勻連續,在無窮大時為零。)

但是,從傅立葉變換的角度來看,Lebesgue集成函數的類別不是理想的選擇,因為圖像沒有簡單的表徵,因此不容易表徵逆變換。

平方集成功能的單位性和定義

雖然等式1為(複雜值)函數定義了傅立葉變換,但很容易看出它對於其他集成性類別的定義不明確,最重要的是。對於等式1的函數和慣例,傅立葉變換是相對於希爾伯特內部產品的單一操作員,僅限於可集成函數的密集子空間。因此,它承認了統一操作員的獨特連續擴展,也稱為傅立葉變換。該擴展部分很重要,部分原因是傅立葉變換保留了該空間,因此與傅立葉變換和逆變換不同,它是相同的函數空間轉換到本身的基礎。

重要的是,對於功能,傅立葉變換不再由等式1(解釋為lebesgue積分)給出。例如,該函數在但不在中,因此積分等式1分散。在這種情況下,可以通過將積分定於正規化,然後傳遞到極限來明確獲得傅立葉變換。在實踐中,積分通常被認為是不可當的積分,而不是適當的lebesgue積分,但是有時為了收斂,人們需要使用弱極限或原理價值,而不是不正確的積分中隱含的(點式)限制。 Titchmarsh(1986)和Dym&McKean(1985)分別使用此過程將傅立葉變換擴展到正方形的可集成函數的三種嚴格方法。

本文選擇的慣例是諧波分析的慣例,其特徵是獨特的慣例,使得傅立葉變換在L 2上是單一的,而代數同態從L 1L∞ ,而沒有重新統治Lebesgue度量。

角頻率(ω)

當自變量()代表時間(通常由)時,變換變量()表示頻率(通常由)。例如,如果以秒為單位測量時間,則頻率在赫茲中。傅立葉變換也可以用角頻率寫成,其單位是每秒弧度。

替換為等式1產生此慣例,其中功能被重新標記

與等式1的定義不同,傅立葉變換不再是統一變換,並且在轉換的公式及其逆上的對稱性較小。這些屬性是通過將因子均勻分離在變換及其逆之間的因素來恢復的,這導致了另一種慣例:

可以通過結合前向變換的複雜指數內核來創建所有三個慣例的變化。這些跡象必須是對立的。

傅立葉變換的流行形式的摘要
普通頻率ξ (Hz)
角頻率ω (rad/s)
非獨立
n維函數的概括
普通頻率ξ (Hz)
角頻率ω (rad/s)
非獨立

定義的擴展

因為,可以通過Marcinkiewicz插值來定義傅立葉變換。

傅立葉變換可以在實際線以外的域上定義。文章後面討論了歐幾里得空間上的傅立葉變換局部阿貝爾群體的傅立葉變換

還可以定義傅立葉變換用於恢復分佈,這是迅速降低功能(Schwarz函數)的雙重空間。 Schwarz函數是一種平滑的函數,其所有衍生物都會在無窮大處衰減。 Schwarz函數的空間被表示,其雙重是鋼化分佈的空間。通過區分積分和應用Riemann-Lebesgue引理很容易看出,Schwarz函數的傅立葉變換(由公式等式1)再次是Schwarz函數。矯正分佈的傅立葉變換由二元性定義:

還有許多其他傅立葉變換的特徵。例如,一個人使用石頭 - 馮·諾伊曼定理:傅立葉變換是海森伯格集團的符合性和歐幾里得施羅丁的獨特統一交叉

背景

歷史

在1822年,傅立葉聲稱(請參閱約瑟夫·傅立葉(Joseph Fourier)§熱的熱理論),任何功能,無論是連續的還是不連續的,都可以擴展為一系列罪惡。他人糾正和擴展了這項重要的工作,為此後使用的傅立葉變換的各種形式提供了基礎。

圖1當在復雜平面中描繪函數時,由其虛構和真實部分形成的矢量圍繞原點旋轉。它的真實部分是正弦波。

複雜的正弦

通常,係數是複數,它們具有兩種等效形式(請參見Euler的公式):

(等式2)的產品具有以下形式:

值得注意的是,使用極性形式可以輕鬆地簡化產品,以及矩形形式是通過使用Euler公式的應用來推導出的。

負頻率

另請參閱:負頻率§簡化傅立葉變換

負頻率對於信號處理部分微分方程雷達非線性光學元件量子力學等的複雜值功能很重要。

圖1是一個正頻率的動畫,其中將矩形坐標繪製在正交軸上,而隨著時間的推移線性增加。負頻率只會沿相反的方向旋轉。因此,並且是不同的功能,與等效的相反。例如,如果等式1通過對兩者產生非零值而處理的歧義符號,但僅是非零的。

更一般而言,當任何實用值函數是冗餘的時值時(請參見下面的§)。即便如此,負頻率的概念在等式1的內核函數中仍然很明顯,在該函數中,它是頻率變速器。

定期功能的傅立葉變換

週期函數的傅立葉變換不能直接使用積分公式來定義。為了使等式1中的積分1個定義,該函數必須是絕對可集成的。相反,使用傅立葉系列是常見的。可以將定義擴展到通過將其視為矯正分佈來包含定期功能。

這使得可以看到具有收斂傅立葉系列的周期函數之間的傅立葉系列和傅立葉變換之間的連接。如果是一個週期性功能,則具有收斂傅里葉序列的周期性,則:

傅立葉串聯繫數在哪裡,是dirac delta函數。換句話說,傅立葉變換是狄拉克梳函數,其牙齒乘以傅立葉系列係數。

採樣傅立葉變換

可以按照週期函數的一個週期來推論這些樣品的傅立葉變換,可以定期採樣這些樣品,該週期函數的一個週期,該函數的傅立葉串聯繫數與Poisson Sumpation公式與這些樣品成比例成正比:

整合性確保定期總和會收斂。因此,可以通過:

當有緊湊的支持時,在集成間隔內具有有限數量的項。當沒有緊湊的支持時,數值評估需要近似值,例如逐漸變細或截斷術語數。

例子

以下圖提供了視覺說明,說明傅立葉變換如何測量特定函數中是否存在頻率。所描述的函數以3 Hz(如果秒數為單位)振盪,並迅速趨於0。(該方程的第二個因素是包膜函數,將連續正弦曲線塑造成短脈衝。)。特別選擇具有很容易繪製的真正傅立葉變換。第一個圖像是其圖。為了計算我們必須集成產品,接下來的2張圖像是該產品的真實和虛構部分。整數的真實部分幾乎總是積極的,因為以相同的速率和相同階段的交替跡象和振盪型,而且速率是相同的,但速率是正交期。結果是,當您集成了整數的實際部分時,您會得到一個相對較大的數字(在這種情況下)。同樣,當您嘗試測量不存在的頻率時,就像在我們查看產品的真實和虛構成分之間一樣,正值和負值之間會迅速變化。因此,積分非常小,該頻率的傅立葉變換值幾乎為零。總體情況通常比這更複雜,但在精神上,這就是傅立葉變換如何衡量一個函數中的個體頻率的數量

原始功能顯示振盪3 Hz。在3 hz處的傅立葉變換的integrand的真實和虛構部分

傅立葉變換的特性

讓我們在真正令人滿意的真實線上表示Lebesgue可以測量的綜合函數:

我們分別表示這些函數的傅立葉變換為和和並表示。

基本屬性

傅立葉變換具有以下基本屬性:

線性

時間變化

頻率變化

時間縮放

案件導致時間反轉屬性:

對稱

當複雜函數的真實和虛構部分被分解為它們的均勻和奇數部分時,有四個組件,下面由RE,RO,IE和IO表示。並且在復雜的時間函數的四個組件與其複雜頻率變換的四個組件之間有一對一的映射

由此,例如,各種關係是顯而易見的

  • 實值函數( F re + f ro )的轉換是偶數對稱函數f re + i f̂io 。相反,偶數對稱的變換意味著實現的時間域。
  • 假想值函數( i f ie + i f io )的變換是奇數對稱函數 ro + i ie ,相反的是真實的。
  • 偶數對稱函數( f re + i f io )的轉換是實值函數 re + ro ,而相反的函數是正確的。
  • 奇數對稱函數( F ro + i f ie )的變換是虛構值函數i f̂ie + i f̂io ,而相反的函數是正確的。

共軛

(注意該∗表示複雜的共軛。)

特別是,如果是真實的,那麼甚至是對稱的(又稱Hermitian功能):

如果純粹是虛構的,則是奇怪的對稱:

真實和虛構的部分

零頻率分量

在定義中替換,我們獲得了:

範圍內的積分被稱​​為函數的平均值或直流偏置。

可逆性和周期性

在功能的適當條件下,它可以從其傅立葉變換中恢復。實際上,用傅立葉變換運算符表示,因此,用於適當的功能,應用傅立葉變換兩次只能翻轉函數:,可以將其解釋為“倒車時間”。由於逆轉時間為兩期週期性,因此將此屈服施加兩次,因此傅立葉變換算子是四個週期性的,同樣,可以通過將傅立葉變換施加3次來獲得逆傅立葉變換:特別是傅立葉變換是可逆的(在適當的條件下)。

更準確地說,定義平等運營商,我們有:

這些操作員的這些平等性需要仔細定義有關功能的空間,定義功能的平等性(在每個點相等?幾乎到處都是平等?)並定義了操作員的平等性- 也就是說,在功能空間和操作員空間中定義了拓撲問題。對於所有功能而言,這些都不是正確的,而是在各種條件下是真實的,這是傅立葉反轉定理的各種形式的內容。

傅立葉變換的這個四倍週期性類似於90°平面的旋轉,尤其是因為兩倍迭代會產生逆轉,實際上可以精確地進行類比。雖然傅立葉變換可以簡單地解釋為切換時域和頻域,而逆傅立葉變換將它們向後切換,而幾何上可以將其解釋為在時間 - 頻率域中的旋轉90°(將時間視為時間(將時間視為時間為時間) x軸和頻率為y軸),並且傅立葉變換可以推廣到分數傅立葉變換,涉及其他角度的旋轉。這可以進一步推廣到線性典型轉換,可以將其視為特殊線性組SL 2r對時間 - 頻平面的作用,其保留的符號形式與下面的不確定性原理相對應。在時間與頻率分析下,在信號處理中特別研究了這種方法。

單位

頻率變量必須具有對原始函數域的單元(通常命名為tx )的單元的反向單元。例如,如果以秒為單位測量t則ξ應以每秒循環或赫茲為單位。如果時間的比例為秒,則通常使用另一個希臘字母ω來代表每秒弧度單位的角頻率(其中ω = 2πξ )。如果使用x用於長度的單位,則ξ必須為反相反,例如波數。也就是說,有兩個版本的真實線:一個是t範圍,以t的單位進行測量,另一個是ξ範圍,並以反向單位測量到t的單位。這兩個截然不同的真實行無法彼此等同。因此,傅立葉變換從一個函數的一個空間到不同的函數空間:具有不同定義域的函數。

通常,必須始終將ξ是其域空間上的線性形式,也就是說,第二個真線是第一線的雙重空間。有關更正式的解釋和更多細節,請參見有關線性代數的文章。這一觀點對於傅立葉變換對一般對稱組的概括(包括傅立葉序列的情況)至關重要。

沒有人比較輔助使用的兩個版本的真實行的兩個版本的方法(通常是“沒有規範的方式”)(通常是“沒有規範的方式”)另一行- 是眾多競爭對手公約在傅立葉變換的定義上的原因。由單位選擇不同的各種定義因各種常數而異。

在其他公約中,傅立葉變換在指數中而不是i的I中具有I,反之亦然。該慣例在現代物理學中很常見,並且是Wolfram alpha的默認值,並不意味著頻率已成為負面,因為對於復雜波的頻率沒有規範的陽性定義。這僅表示是波的振幅而不是波的振幅(前者及其符號的幅度經常在電磁波方程的正弦平面波溶液的時間依賴性中看到,或者在量子波的時間依賴性中功能)。在這些慣例中,許多涉及傅立葉變換的身份仍然有效,但如果所有涉及我的術語,則由i替換為i。在電氣工程中,字母j通常用於假想單元而不是I,因為我用於電流。

當使用無量綱單元時,恆定因素甚至可能不會寫入轉換定義中。例如,在概率理論中,定義了連續類型的隨機變量x特徵函數φ是定義指數中沒有負符號的,並且由於x的單元被忽略,因此沒有2π也沒有

(在概率理論和數學統計中,首選傅立葉的使用 - 穩定的變換是首選,因為如此多的隨機變量不是連續類型的,並且不具有密度函數,並且必須不將其視為函數,而是分佈,即IE ,具有“原子”的措施。)

從較高的群體角色的角度來看,這是更抽象的,所有這些任意選擇都消失了,正如本文的後面部分所述,它將在本地緊湊的Abelian上處理函數的傅立葉變換的概念團體

均勻的連續性和Riemann – Lebesgue引理

矩形函數Lebesgue集成的
SINC函數是矩形函數的傅立葉變換,是有界且連續的,但不是Lebesgue的集成。

在某些情況下,可以定義傅立葉變換以用於不可融合的函數,但是集成函數的傅立葉變換具有多種強大的屬性。

任何可集成函數F的傅立葉變換f均勻連續,並且

Riemann – Lebesgue引理

但是,不必集成。例如,可集成的矩形函數的傅立葉變換是SINC函數,它不是Lebesgue可集成的,因為其不當積分與交替的諧波系列相似,而不是絕對收斂。

通常不可能將逆變換寫為Lebesgue積分。但是,當F既可以集成在一起時,逆平等

幾乎到處都有。也就是說,傅立葉變換是在L 1r上的注入性。 (但是,如果F是連續的,那麼每個X的相等性就可以。)

Plancherel定理和Parseval定理

Fxgx是可集成的,讓f ̂ξĝξ為它們的傅立葉變換。如果fxgx也可以正方形集成,則帕爾森公式如下:

條表示複雜的共軛

遵循以上的plancherel定理,指出

Plancherel的定理使通過連續性論點將傅立葉變換擴展到L 2R上的單一操作員。在l 1r )∩l 2r 上,此擴展與在l 1r上定義的原始傅立葉變換一致,從而將傅立葉變換的域擴大到l 1r ) + l 2 (r) (r)( r (和因此 1≤p≤2 Plancherel的定理在科學中具有解釋,即傅立葉變換可保留原始數量的能量。這些公式的術語不是完全標準化的。 Parseval的定理僅在傅立葉系列中被證明,並首先由Lyapunov證明。但是Parseval的公式對於傅立葉變換也很有意義,因此,即使在傅立葉變換的背景下,Plancherel證明了它,它仍然通常被稱為Parseval的公式,Parseval的關係,甚至是Parseval的Theorem。

有關在當地緊湊的阿貝爾群體的背景下,有關此概念的一般表述,請參見Pontryagin二元性

泊松求和公式

Poisson求和公式(PSF)是一個方程式,將函數的週期性匯總傅立葉串聯係數與函數連續傅立葉變換的值相關聯。 Poisson求和公式說,對於足夠規則的功能F

它具有各種有用的形式,這些形式是通過應用傅立葉變換的縮放和時間變為屬性來得出的。該公式在工程,物理和數字理論中具有應用。標準泊松求和公式的頻域二元組也稱為離散時間傅立葉變換

泊松求和通常與週期培養基的物理學有關,例如圓上的熱傳導。圓上熱方程的基本解決方案稱為theta函數。它在數字理論中用於證明theta函數的轉換屬性,這些函數被證明是一種模塊化形式,並且更普遍地連接到了自稱形式的理論,其中它出現在Selberg痕跡公式的一側。

分化

假設fx是絕對連續的可區分函數, F(F及其導數F'都是可集成的。然後,衍生物的傅立葉變換由

更一般地, n衍生物F n的傅立葉變換由

類似,所以

通過應用傅立葉變換並使用這些公式,可以將一些普通的微分方程轉換為代數方程,這些方程更容易求解。這些公式還會引起經驗法則“ Fx是平滑的,並且僅當ξ迅速跌至0 for | ξ |→∞時。”通過對逆傅里葉變換的類似規則,也可以說“ fx| x |→∞時迅速跌至0,並且僅當ξ平滑時。”

卷積定理

傅立葉變換在函數的卷積和乘法之間轉換。如果fxgx分別具有傅立葉變換f f ̂ξĝξ的可集成函數,則卷積的傅立葉變換由傅立葉變換的乘積f ̂ξĝξ (在其他公約下,可能會出現常數因子的定義)。

這意味著:

其中表示卷積操作,然後:

在線性時間不變(LTI)系統理論中,通常將gx解釋為具有輸入fx和輸出hx的LTI系統的脈衝響應,因為將單位脈衝代替fx產生hx )= gx 。在這種情況下, ĝξ表示系統的頻率響應

相反,如果可以將fx分解為兩個平方積分函數pxqx的乘積,則fx傅立葉變換是通過相應傅立葉的捲積給出的)ξ

互相關定理

以類似的方式,可以證明,如果HxFxgx互相關

那麼Hx的傅立葉變換為:

作為一種特殊情況,功能fx自相關為:

為此

本徵函數

傅立葉變換是一種線性變換

通過指出均勻的微分方程,可以發現一組本徵函數

只要方程式在傅立葉變換下保持不變,就會導致傅立葉變換的本徵函數。換句話說,每個解決方案及其傅立葉變換遵守相同的方程式。假設解決方案的獨特性,每個溶液都必須是傅立葉變換的特徵功能。如果可以在功率序列中擴展,則方程式在傅立葉變換下保持不變然後被取消。最簡單的允許導向標準正態分佈。

更一般地,還可以通過指出分化規則暗示普通微分方程來發現一組本徵函數

在將傅立葉變換應用於方程式兩側時,恆定和作為非恆定偶數函數的形式仍然不變。提供了最簡單的示例,其等效於考慮量子諧波振盪器的schrödinger方程。相應的解決方案為L2(R)提供了重要的選擇,並由“物理學家”的Hermite功能給出。等效地可以使用

他的nx是“概率”的赫米特多項式,定義為

根據傅立葉變換的這一約定,我們有

換句話說,HERMITE函數形成了L2(R)上傅立葉變換的特徵函數的完整正順序系統。但是,這種本徵函數的選擇並不是唯一的。由於傅立葉變換只有四個不同的特徵值(Unity±1和±i的第四根根),並且具有相同特徵值的本徵函數的任何線性組合都提供了另​​一個特徵功能。因此,可以將L2(R)分解為四個空間H0,H1,H2和H3的直接總和,其中傅立葉變換僅通過IK乘以IK的乘法而在HEK上作用。

由於完整的HERMITE函數集ψN提供了它們對角度化的身份的分辨率,因此可以用上述特徵值加權的術語來表示傅立葉變換,並且可以明確地求和:這些總和:

這種定義傅立葉變換的方法最初是由諾伯特·維納(Norbert Wiener)提出的。在其他屬性中,HERMITE函數在頻率和時域中均快速降低,因此它們被用來定義傅立葉變換的概括,即在時間 - 頻率分析中使用的分數傅立葉變換。在物理學中,這種轉換是由愛德華·康登(Edward Condon)引入的。基本函數的這種變化變得可能是可能的,因為使用正確的約定時,傅立葉變換是統一的變換。因此,在適當的條件下,可以預期通過自偶會產生

操作員是寫為量子諧波振盪器的數量操作員

可以將其解釋為t的任意值的分數傅立葉變換的發生器,以及使用Mehler內核實現相應的活動變換的特定值的常規連續傅立葉變換。因此,其本徵是Hermite功能,因此也是

將傅立葉變換擴展到分佈後,狄拉克梳子也是傅立葉變換的特徵功能。

與海森伯格集團的聯繫

Heisenberg組是在真實線上的正方形集成複合物值FHilbert Space L 2R上的一單位運算符,由翻譯T Y F )( x )= Fx + y生成並通過E I2πξx M)( x )= E I2πξxf x 乘法。這些運營商不通勤,因為他們的(組)換向器是

這是通過常數(獨立於XE I2πξY∈U 1 (單位模量複數的圓組)的乘法。作為一個抽象組,海森堡組是三維三維的謊言組 xξz∈R2 × u (1) ,與組定律

h 1表示海森伯格集團。上面的過程不僅描述了群結構,還描述了h 1在希爾伯特空間上的標準統一表示,我們用ρh 1bl 2r ))表示。通過_

這樣j 2 = - i 。該J可以擴展到H 1的獨特自動形態:

根據Stone -von Neumann定理,統一表示ρρ∘J單位等效的,因此有一個唯一的Intertwinerw∈U L 2r ))

該操作員W是傅立葉變換。

傅立葉變換的許多標準屬性是這個更通用框架的直接後果。例如,傅立葉變換的平方W 2是與j 2 = - i相關的互穿的,因此我們有w 2 f )( x )(x)= f ( - x是原始函數f的反射f

複雜域

傅立葉變換的積分

可以研究其參數ξ複雜值。根據F的屬性,這可能根本不收斂真實軸,或者它可能會收斂到所有複雜分析函數,或者介於兩者之間的所有值。

Paley – Wiener定理F是光滑的(即所有正整數n的n- t時n ),並且僅當σ + 是一個圓錐形函數時,就存在一個常數A > 0此類此類此類函數對於任何整數n≥0

對於一些常數c 。 (在這種情況下, F[ - aa ]上支持F。)可以表達這是通過說是一個整個函數,它在σ (固定τ )中迅速降低,並且τ的指數生長(在σ均勻地縮短) )。

(如果f不光滑,而只有l 2 ,則該語句仍然保留n = 0。複雜變量的此類功能的空間稱為paley -wiener空間。該定理已被概括為半聖母謊言組

如果F在半線T≥0上支持F,則F被稱為“因果”,因為物理上可實現的過濾器脈衝響應函數必須具有此特性,因為沒有效果可以先於其原因。 Paley和Wiener表明,然後延伸到復雜的下半平面τ <0上的全態函數,隨著τ進入無窮大,該功能往往為零。匡威是錯誤的,尚不知道如何表徵因果函數的傅立葉變換。

拉普拉斯變換

傅立葉變換F f ̂ξ拉普拉斯變換FS有關,該f(s)也用於微分方程過濾器的分析。

可能會碰到傅立葉積分完全不會在真實軸上收斂的函數f ,但是在複雜平面的某些區域中定義了一個複雜的傅立葉變換。

例如,如果ft具有指數增長,即

對於某些常數CA≥0 ,然後

所有2πτ < - a收斂是f兩側拉普拉斯變換

拉普拉斯變換的較常見版本(“單面”)是

如果F也是因果關係,則分析性,那麼:因此,將傅立葉變換擴展到復雜域意味著它在因果函數的情況下將拉普拉斯變換作為一種特殊情況,但是隨著變量S =I2πξ的變化。

從另一個也許更古典的角度來看,拉普拉斯通過其形式的變換涉及一個額外的指數調節項,該項使其可以在定義傅立葉變換的假想線之外收斂。因此,它可以在指數呈指數分歧的序列和積分中收斂,而原始的傅立葉分解不能使其能夠分析具有不同或關鍵元素的系統。線性信號處理中的兩個特殊示例是通過臨界梳子的構建Allpass濾波器網絡,並通過單位圓上的精確極點取消濾波器來減輕過濾器。這種設計在音頻處理中很常見,在混響中尋求高度非線性相位響應。

此外,當尋求信號處理工作的擴展脈衝脈衝響應時,生產它們的最簡單方法是具有產生不同時間響應的電路,然後通過延遲相反和補償性響應取消其差異。在那裡,只有之間的延遲電路接受了經典的傅立葉描述,這很關鍵。兩個側面的電路都是不穩定的,並且不承認收斂的傅立葉分解。但是,他們確實接受了一個拉普拉斯域的描述,在復雜平面(或在離散情況下,z平面)中,其效果取消。

在現代數學中,Laplace變換通常在宙斯盾傅立葉方法下包含。他們倆都被諧波分析的更一般,更抽象的思想所包含。

反轉

如果≤τ≤b複雜分析,則

庫奇的整體定理。因此,傅立葉反演公式可以沿不同的線路使用與真實軸平行的集成。

定理:如果ft )= 0表示t <0 ,並且| ft | < ce a | T |對於某些常數Ca > 0 ,然後

對於任何τ< -A/2π。

該定理暗示著梅林的反轉公式,用於拉普拉斯變換,

對於任何b > a ,其中fsft的拉普拉斯變換。

假設可以削弱,例如在Carleson和Hunt的結果中,在l 1fte- ,前提是Ft (參見Dirichlet – Dini定理)的封閉鄰居中是有界變化的,即F的f值被認為是左右限制的算術平均值,並且前提是以Cauchy主值的意義採用積分。

這些反轉公式的2版本也可用。

歐幾里得空間上的傅立葉變換

可以在任何任意數量的維度n中定義傅立葉變換。與一維情況一樣,有許多慣例。對於可集成的函數fx ,本文采用以下定義:

其中x和ξ是n維向量,而x·ξ是向量的點產物。或者,ξ可以看作是屬於雙向矢量空間的,在這種情況下,點產物成為x和ξ的收縮,通常寫為⟨X,ξ⟩。

上面列出的所有基本屬性都符合N維傅立葉變換,Plancherel's和Parseval的定理也是如此。當函數是可集成的時,傅立葉變換仍然是均勻連續的,而riemann – lebesgue引理則保持。

不確定性原則

一般而言,濃縮的Fx越濃縮,其傅立葉變換f f ̂ξ )的分佈越多。特別是,傅立葉變換的縮放特性可能被認為是:如果我們在x中擠壓功能,其傅立葉變換將以ξ延伸。不可能任意集中函數及其傅立葉變換。

函數壓實與其傅立葉變換之間的權衡可以通過不確定性原理的形式形式化,通過查看功能及其傅立葉變換為相對於時間 - 頻率域上的符號形式的共軛變量:從頻率域:從線性規範變換的觀點,傅立葉變換是在時間頻率域中旋轉90°,並保留符號形式

假設Fx是一個可集成且可正約的函數。沒有失去一般性的情況,假設Fx被標準化:

Plancherel定理中遵循f ̂ξ也歸一化。

X = 0附近的擴散可以通過分散量約為零定義的分散。

從概率上看,這是|第二時刻Fx | 2大約為零。

不確定性原則指出,如果fx絕對連續,並且功能x · fxf 'x是正方形的,則

.

僅在此案中達到平等

其中σ > 0是任意的, c 1 = 4√2 / √σ ,因此fl 2-差異的。換句話說,其中f是一個(歸一化的)高斯函數,具有方差σ2 / ,以零為中心,其傅立葉變換是具有方差σ -2 / 的高斯函數。

實際上,這種不平等意味著:

對於任何x 0 ξ0∈R

量子力學中,動量和位置波函數是傅立葉變換對,達到普朗克常數的因素。通過正確考慮了這個常數,上面的不平等成為了海森伯格不確定性原則的陳述。

更強的不確定性原則是赫希曼的不確定性原則,該原則表示為:

其中hp概率密度函數px差分熵

對數可能位於任何一致的基礎中。如前所述,高斯的平等是達到高斯的。

正弦和余弦變化

傅立葉對轉換的原始表述沒有使用複雜數字,而是罪惡和余弦。統計學家和其他人仍然使用這種形式。可以通過真實頻率擴展傅立葉反轉的絕對可集成函數f (避免了負頻率,有時被認為難以理解物理解釋) λ通過

這被稱為擴展為三角集成或傅立葉積分擴展。係數函數AB可以使用傅立葉餘弦變換的變體和傅立葉正弦變換(再次是標準化):

較舊的文獻指的是兩個變換函數,即傅立葉餘弦變換, a和傅立葉正弦變換, b

函數f可以使用正弦和余弦變換恢復

與三角身份一起。這被稱為傅立葉的積分公式。

球形諧波

kkk上的均勻諧波多項式的集合k表示。集合kk堅實球形諧波組成。實心球形諧波在較高的維度中與尺寸一級多項式中的多項式發揮了相似的作用。具體而言,如果fx )= e -π| X |對於K的一些Px ), 2 px ,然後f ̂ξ )= i -k fξ 。設置H Kf (| x |) px的函數的線性組合的L 2r n中的閉合,其中pxk。然後,空間L 2r n是空間h k的直接總和,而傅立葉變換映射每個空間h k自身都可以表徵傅立葉變換對每個空間h k的作用。

fx )= f 0 (| x |) px )( k 中的px ),然後

在哪裡

這裡j n + 2 k -2) / 2表示第一個命令n + 2 k -2 / 2貝塞爾函數。當k = 0時,這為徑向函數的傅立葉變換提供了有用的公式。這本質上是漢克爾的變換。此外,有一個簡單的遞歸,將n + 2n的情況與允許計算的情況下,例如,從一維函數來計算徑向函數的三維傅立葉變換。

限制問題

在較高的維度中,研究傅立葉變換的限制問題很有趣。可集成函數的傅立葉變換是連續的,並且該函數對任何集合的限制已定義。但是對於正方形函數,傅立葉變換可能是一方形集成函數。因此,在度量0的集合中不能定義L 2r n函數的傅立葉變換的限制。它仍然是一個活躍的研究領域,以了解1 < p <2L P中的限制問題。出乎意料的是,在某些情況下,只要S具有非零曲率,在某些情況下可能會定義傅立葉變換為集合S的限制。當sr n的單位球體時,這種情況特別令人感興趣。在這種情況下,tomas - stein限制定理指出,傅立葉變換為r n中的單位球體是L p上的有界操作員,提供了1≤p≤2≤2n + 2 / n + 3

傅立葉變換在1維度與較高維度之間的一個顯著差異涉及部分總和運算符。考慮越來越多的可測量集集合r∈ 0,∞)索引:例如以原點為中心的半徑r的球,或側面2 r的立方體。對於給定的可集成函數f ,請考慮以下定義的函數f r

另外,假設f∈Lp r n 。對於n = 11 < p <∞ ,如果一個人採用e r =( - rr ,則f r收斂到l p中的f ,因為r傾向於無窮大,這是通過希爾伯特變換的界限。天真的人可能希望n > 1也是如此。如果將e r視為具有側長r的立方體,則融合仍然保持。另一個自然候選人是歐幾里得球E r = { ξ :| ξ | < r } 。為了使該部分總和運算符收斂,有必要將單位球的乘數在L PR N中界定。對於n≥2查爾斯·費弗曼(Charles Fefferman)的著名定理,除非p = 2 ,否則單位球的乘數永遠不會有限。實際上,當p ≠2時,這表明f r不僅可能無法收斂到l p中的f ,而且對於某些函數f∈Lp r n f r甚至不是l p的元素。

傅立葉變換在功能空間上

L P空間

L 1

積分公式的傅立葉變換的定義

對於Lebesgue綜合功能f有效;也就是說, f∈L1 r n

傅立葉變換fl 1r n )→ l∞r n 是一個有界的操作員。這是從觀察到

這表明其運算符的規範是由1界的。確實,它等於1,例如,可以從RECT函數的轉換中看出。 L 1的圖像是連續函數的空間C 0r n的子集,這些函數在無窮大( Riemann – Lebesgue Lemma )時往往為零,儘管它不是整個空間。確實,圖像沒有簡單的表徵。

L 2

由於緊湊的光滑函數是可集成的,在L 2r n中是密集的,因此Plancherel定理使我們能夠通過連續性參數將傅立葉變換的定義擴展到L 2r n中的一般函數。 L 2r n中的傅立葉變換不再由普通的Lebesgue積分給出,儘管它可以通過不正確的積分來計算,這意味著對於L 2函數F

L 2意義上採取極限的位置。 (更一般地,您可以採用一系列在L 1L 2的交點中的函數,並在L 2 -norm中收斂到F ,並將F的傅立葉變換定義為傅立葉的L 2-限制這些功能的轉換。)

L 1中傅立葉變換的許多特性通過合適的限制參數將其延伸至L 2

此外, FL 2r n )→ L 2r n單一操作員。為了使操作員保持統一,足以證明它是射合的並保留了內部產品,因此在這種情況下,這些曲線來自傅立葉反轉定理,與任何f g∈L2 r n相結合的事實,我們有

特別是, L 2r n的圖像本身在傅立葉變換下。

在其他L P

傅立葉變換的定義可以通過將這些功能分解為l 2的脂肪尾部加上L 1中的脂肪尾部,從而擴展到L pr n的功能1≤p≤2。在這些空間中的每個空間中, l pr n中的傅立葉變換在l qr n中,其中q = p / p -1phölderconjugate (由hausdorff – young不等式) 。但是,除了p = 2外,圖像不容易表徵。進一步的擴展變得更加技術性。對於2 < p <∞L P中功能的傅立葉變換需要分佈的研究。實際上,可以證明, p > 2L P中有功能,因此傅立葉變換不能定義為函數。

回火分佈

可以考慮通過考慮廣義函數或分佈來從L 1 + L 2轉換傅立葉變換的域。 R n上的分佈是在緊湊型光滑函數的空間C Cr n上連續的線性功能,配備了合適的拓撲。然後,該策略要考慮傅立葉變換對C Cr n的作用,並通過二元性傳遞給分佈。這樣做的障礙是,傅立葉變換不會將c cr n映射到c cr n 。實際上C Cr n中元素的傅立葉變換在開放式集合中無法消失。請參閱上述關於不確定性原則的討論。此處的正確空間是Schwartz函數的稍大空間。傅立葉變換是施瓦茨空間上的自動形態,作為拓撲矢量空間,因此在其雙重分佈的雙重空間上引起了自動形態。回火分佈包括上面提到的所有可集成功能,以及多項式生長和緊湊型支持的分佈的良好表現。

為了定義鋼化分佈的傅立葉變換,讓fg是可整合的函數,讓f ̂ĝ分別為它們的傅立葉變換。然後傅立葉變換遵守以下乘法公式,

每個可集成的函數f定義(誘導)通過關係的分佈t f

對於所有Schwartz函數φ 。因此,定義t f的傅里葉變換t f是有意義的

對於所有Schwartz函數φ 。將其擴展到所有矯正分佈t t給出了傅立葉變換的一般定義。

可以區分分佈,並且具有分化和卷積的傅立葉變換的上述兼容性在鋼化分佈中仍然是正確的。

概括

傅立葉 - 穩定性變化

R n有限的鮑爾測量μ的傅立葉變換由:

這種轉換繼續享受可集成函數的傅立葉變換的許多屬性。一個值得注意的區別是Riemann – Lebesgue引理失敗了。在 = fxdx的情況下,上面的公式將減少為f的傅立葉變換的通常定義。如果μ是與隨機變量X相關的概率分佈,則傅立葉 - 靜態變換與特徵函數密切相關,但是概率理論中的典型約定將E IWEX而不是E -I2πξx採用。在分佈具有概率密度函數的情況下,該定義還原為應用於概率密度函數的傅立葉變換,再次使用常數不同。

傅立葉變換可用於給出度量的表徵。 Bochner的定理表徵了哪些函數可能會導致圓圈上的傅立葉 - 靜態變換。

此外,迪拉克三角洲函數雖然不是一個函數,但它是有限的鮑勒量度。它的傅立葉變換是一個恆定函數(其特定值取決於所使用的傅立葉變換的形式)。

本地緊湊的阿貝爾群體

傅立葉變換可以推廣到任何局部緊湊的阿貝利亞群體。一個本地緊湊的阿貝爾群是一個阿貝爾人,同時是局部緊湊的豪斯多夫拓撲空間,因此組的操作是連續的。如果G是局部緊湊的Abelian群,則它具有一個稱為HAAR度量的翻譯不變度度量。對於本地緊湊的Abelian G組G,一組不可約,即一維,單一的表示稱為其字符。憑藉其自然的群體結構和緊湊型集合上的均勻收斂性(即由緊湊型拓撲引起的拓撲在所有連續函數的空間中引起的拓撲結構),一組字符集本身就是本地的緊湊的Abelian群,稱為G的pontryagin dual。對於L1(G)中的功能F,其傅立葉變換由

Riemann – Lebesgue Lemma在這種情況下持有; f ̂ξ是在無窮大的ĝ上消失的函數。

T = R/Z上的傅立葉變換是一個示例。這裡T是一個局部緊湊的Abelian群體,t上的HAAR度量μ可以被認為是[0,1)上的lebesgue度量。考慮t在復合面C上的表示,該平面C是一維複合矢量空間。有一組代表(由於C為1 dim,這是不可約的)。

這種表示的特徵,即每種表示的痕跡本身。在有限組的表示情況下,G組的字符表是向量的行,因此每一行都是G的一個不可減至表示的特徵,並且這些向量形成了從映射的類函數的正直基礎S Schur的引理到C。現在,T組不再是有限的,但仍然緊湊,並且保留了字符表的正順式。表的每一行都是兩個類函數之間的函數和內部產物(所有函數是類函數,因為T為Abelian,at Abelian)被定義為正常化因子。該序列是類函數空間的正交基礎。

對於有限g組的任何表示v,可以表示為跨度(是g的irreps),因此。同樣,對於和。 Pontriagin Dual IS和For是其傅立葉變換。

Gelfand轉變

傅立葉變換也是Gelfand變換的特殊情況。在這種特定情況下,它與上述定義的Pontryagin二元性圖密切相關。

考慮到Abelian局部緊湊的Hausdorff拓撲組G ,就像以前一樣,我們考慮了使用HAAR測量定義的空間L 1g 。以卷積為乘法, L 1g是Abelian Banach代數。它也有一個互動*

就最大的可能的C * norm完成了完成的結束,從而使其包膜C * -代數稱為gC * -Algebra c *( g 。 ( L 1g上的任何C * -Norm均受L 1標準的界限,因此存在其至上。)

考慮到任何Abelian C * -Algebra a ,Gelfand變換給出了AC 0A ^)之間的同構,其中A ^是具有弱 *拓撲的A ^是乘法線性函數,即一維表示。該地圖僅由

事實證明合適的識別之後, C *( g的乘型線性函數正是G的字符,而Gelfand變換量是funier -pontryagin變換。

緊湊的非亞伯群體

如果該組緊湊,也可以定義用於非亞洲群體的功能的傅立葉變換。刪除基礎群體是阿貝利安的假設,不可還原的統一表示並不總是一維。這意味著非阿布爾群體上的傅立葉變換為希爾伯特太空運營商的價值。緊湊型組上的傅立葉變換是表示理論非交通諧波分析的主要工具。

G為緊湊的Hausdorff拓撲組。令σ表示有限維不可約合單一表示的所有同構類別的收集,以及在每個σ∈σ的有限維度Hilbert SpaceHσ的表示u σ的確定選擇。如果μg上有限的borel量度,則μ的傅立葉 - 靜態變換是在上定義的Hσ的操作員

其中u σ是作用於u σ的複合偶聯表示。如果μ相對於g上的左右概率度量λ絕對連續則表示

對於某些f∈L1 λ ,一個人用μ的傅立葉 - 靜態變換來識別f的傅立葉變換。

映射

定義有限孔措施的Banach空間MG之間的同構(請參閱RCA空間)和Banach空間C∞σ的封閉子空間,該子空間由所有序列e =(E =)組成,該序列由σ索引(邊界)索引。線性操作員

是有限的。 “卷積定理”斷言,此外,這種BANACH空間的同構實際上是C* - 代數的同構同構為C∞ (σ 的子空間。 MG上的乘法是通過度量的捲積和被定義的相關性給出的

C∞ σ)具有Hilbert空間操作員的天然C *代數結構。

Peter -Weyl定理保存,傅立葉反轉公式( Plancherel的定理)的版本如下:如果f∈L2 g ,則

L 2的感覺中,總結被理解為收斂。

傅立葉變換對非交通狀況的概括也部分促進了非共同幾何形狀的發展。在這種情況下, Tannaka -krein二元性是對傅立葉變換對非共同組的分類概括,它用表示類別代替了字符組。但是,這失去了與諧波函數的聯繫。

備擇方案

信號處理術語中,(時間)的函數是具有完美時間分辨率的信號的表示,但沒有頻率信息,而傅立葉變換具有完美的頻率分辨率,但沒有時間信息:傅立葉變換的大小在某個點是有多少頻率內容,但是位置僅通過相位(一個點的傅立葉變換的參數)給出,而站立波不在時間上定位 - 正弦波繼續延伸至無窮大,而不會衰減。這限制了傅立葉變換在分析時間(尤其是瞬態或有限範圍的任何信號)的信號中的有用性。

作為傅立葉變換的替代方案,在時間 - 頻率分析中,人們使用時間 - 頻率變換或時間 - 頻率分佈來表示信號,形式具有一些時間信息和某些頻率信息 - 通過不確定性原理,有一個貿易 -在這些之間。這些可以是傅立葉變換的概括,例如短期傅立葉變換分數傅立葉變換,或其他函數以表示信號,如小波變換cher怪的變換,而(連續)傅立葉變換的小波類似物是連續小波變換

申請

當應用傅立葉變換時,一些問題(例如某些微分方程)變得更容易解決。在這種情況下,使用反傅立葉變換恢復了原始問題的解決方案。

在一個域(時間或頻率)中執行的線性操作在其他域中具有相應的操作,有時更容易執行。時間域中分化的操作對應於頻率的乘法,因此在頻域中更容易分析一些微分方程。同樣,時間域中的卷積對應於頻域中的普通乘法(請參見卷積定理)。執行所需的操作後,可以將結果轉換回時域。諧波分析是對頻率和時域之間關係的系統研究,包括一個或另一個或另一個“更簡單”的功能或操作的種類,並且與現代數學的許多領域有著深厚的聯繫。

微分方程的分析

傅立葉變換的最重要用途也許是求解部分微分方程。十九世紀數學物理學的許多方程都可以通過這種方式進行處理。傅立葉研究了熱方程,在一個維度和無量綱的單元中

我們將給出的示例是一個更困難的示例,是一個維度的波動方程,

像往常一樣,問題不是找到解決方案:有很多無限的解決方案。問題是所謂的“邊界問題”:找到滿足“邊界條件”的解決方案

在這裡, FG具有功能。對於熱方程,只需一個邊界條件(通常是第一個邊界條件)。但是對於波動方程,仍然有許多解決方案y可以滿足第一個邊界條件。但是,當施加這兩種情況時,只有一種可能的解決方案。

找到解決方案的傅立葉變換比直接找到解決方案要容易得多。這是因為傅立葉變換通過傅立葉二變量將乘法分化為乘法,因此應用於原始函數的部分微分方程通過應用於轉換函數的雙重變量的多項式函數將乘法轉化為乘法。確定ŷ確定後,我們可以應用反傅立葉變換以找到y

傅立葉的方法如下。首先,請注意表格的任何功能

滿足波方程。這些稱為基本解決方案。

第二,請注意,因此任何積分

滿足任意A +A -B + B-的波方程。該積分可以解釋為線性方程解決方案的連續線性組合。

現在,這類似於函數傅立葉合成的公式。實際上,這是變量xA ±B ±的實際反傅立葉變換。

第三步是檢查如何找到特定的未知係數函數A ±B ± ,這將導致滿足邊界條件。我們對t = 0的這些解決方案的值感興趣。因此,我們將設置t = 0 。假設滿足傅立葉反轉所需的條件,我們可以找到兩側的傅立葉正弦和余弦變換(在可變x中)並獲得

同樣,採用y的衍生物相對於t ,然後應用傅立葉正弦和余弦變換產生

就邊界條件的傅立葉正弦和余弦變換而言,這是四個未知數A ±B ±的四個線性方程,只要可以找到這些變換,它們就很容易由基本代數求解。

總而言之,我們選擇了一組由ξ參數化的基本解決方案,其中一般解將是(連續的)線性組合,以積分組成的形式在參數ξ上。但是,這種積分是傅立葉積分的形式。下一步是根據這些積分來表達邊界條件,並將它們設置為給定功能FG。但是,由於衍生物的傅立葉變換的特性,這些表達式也採用了傅立葉積分的形式。最後一步是通過將傅立葉變換應用於兩側,從而利用傅立葉反演,從而在給定邊界條件FG方面獲得係數函數A ±B ±的表達式。

從更高的角度來看,傅立葉的程序可以在概念上更重新重新校正。由於有兩個變量,因此我們將在xt中使用傅立葉變換,而不是像傅立葉那樣運行,後者僅在空間變量中進行轉換。請注意,由於yxt不會為l 1 :作為波浪,它將持續到時間,因此不是短暫的現象,因此必須考慮ŷ 。但是它將是有限的,因此可以將其傅立葉變換定義為分佈。與該方程相關的傅立葉變換的操作特性是,它在x中分化為x乘以i2π配合,而將t分化相對於t乘以i2πf 其中f是f頻率。然後,波方程成為ŷ:中的代數方程。

這等同於需要ŷξf )= 0 ,除非ξf 。馬上,這解釋了為什麼我們先前做出的基本解決方案的選擇如此之高:顯然 = δξ ± f將是解決方案。將傅立葉反轉應用於這些三角洲函數,我們獲得了我們之前選擇的基本解決方案。但是從較高的角度來看,一個人沒有選擇基本解決方案,而是考慮了在(退化)圓錐ξ2 -2 -f 2 = 0上支持的所有分佈的空間。

我們還可以考慮圓錐上支持的分佈,這些分佈由線ξ = f加上一個變量的分佈加上線ξ = - f上的分佈,如下所示:如果φ是任何測試函數,則

其中s +s-一個變量的分佈。

然後,對於邊界條件,傅立葉反轉給出了與我們在上方更具體的( putφξf )= e i2π + tf非常相似的東西,顯然是多項式生長):

現在,像以前一樣,在變量x中應用單變量的傅立葉變換到x的這些函數中,在兩個未知的分佈s ±中產生兩個方程(如果邊界條件是l 1l 2 ,則可以將其視為普通函數)。

從計算的角度來看,當然的缺點是必須首先計算邊界條件的傅立葉變換,然後從中組裝解決方案,然後計算逆傅立葉變換。封閉形式公式很少見,除非有一些幾何對稱性可以被利用,並且由於積分的振盪性質,數值計算很困難,這使收斂緩慢而難以估計。對於實際計算,經常使用其他方法。

20世紀,這些方法將這些方法擴展到具有多項式係數的所有線性偏微分方程,並通過將傅立葉變換的概念擴展到包括傅立葉積分運算符,一些非線性方程式。

傅立葉變換光譜

傅立葉變換也用於核磁共振(NMR)和其他類型的光譜,例如紅外線( FTIR )。在NMR中,在時域中獲取了指數形的自由感應衰減(FID)信號,並在頻域中的Lorentzian線形狀轉換為傅立葉。傅立葉變換也用於磁共振成像(MRI)和質譜法中。

量子力學

傅立葉變換以至少兩種不同的方式在量子力學中有用。首先,量子力學的基本概念結構假定了由海森伯格不確定性原理相關的互補變量對的存在。例如,在一個維度上,例如,粒子的空間變量q只能通過量子機械“位置算子”來測量,以失去有關粒子動量P的信息。因此,粒子的物理狀態可以用一個函數描述,稱為q的“波函數”,也可以通過p的函數來描述,而不是通過兩個變量的函數來描述。變量p稱為q的共軛變量。在經典的力學中,通過同時將確定值分配給PQ ,可以給出粒子的物理狀態(以一個維度存在,為了簡單)。因此,所有可能的物理狀態的集合是具有p軸和稱為空間的二維實際矢量空間。

相比之下,量子力學選擇了這個空間的兩極分化,從某種意義上說,它選擇了尺寸一半的子空間,例如,僅Q軸是單獨的,但不考慮僅考慮點,而是採用了所有復雜值的集合。該軸上的“波函數”。然而,選擇p軸是同等有效的極化,產生了粒子可能物理狀態集的不同表示。波函數的兩種表示都通過傅立葉變換相關,以便

或等同於

物理上可實現的狀態是L 2 ,因此,通過Plancherel定理,它們的傅立葉變換也是L 2 。 (請注意,由於Q處於距離單位,並且P處於動量單位,因此Planck在指數中的存在使指數無尺寸。)

因此,傅立葉變換可用於從一種通過位置波函數來代表粒子狀態的方式傳遞到表示粒子狀態的另一種方式:通過動量的波函數。無限的許多兩極分化是可能的,並且所有兩極分化都是同等有效的。能夠通過傅立葉變換從一種形式轉變為另一種代表,不僅是方便的,而且是海森堡不確定性原理的根本原因。

量子力學和量子場理論中傅立葉變換的另一個用途是求解適用的波方程。在非相關主義量子力學中, Schrödinger's方程在一維(不受外部力量)中的時變波函數為

除了假想單元i的存在外,這與熱方程式相同。傅立葉方法可用於求解此方程。

在勢能函數vx給出的潛力的情況下,方程變為

正如我們上面提到的那樣,“基本解決方案”是粒子的所謂“固定狀態”,如上所述,傅立葉的算法仍然可用於解決ψ的未來進化的邊界值問題。鑑於其t = 0的值。這些方法在量子力學中都沒有太多實際使用。邊界價值問題和波函數的時間進化並不是很實際的興趣:最重要的是固定狀態。

在相對論量子力學中,Schrödinger的方程在古典物理學中像通常一樣成為波動方程,但考慮了複雜值的波。一個簡單的例子,在與其他粒子或磁場沒有相互作用的情況下,是自由的一維klein – gordon-schrödinger-fock方程,這一次是無尺寸的單元,

從數學角度來看,這與上面求解的經典物理學的波方程相同(但具有復雜的值波,這對方法沒有區別)。這在量子場理論中非常有用:波的每個單獨的傅立葉分量都可以視為單獨的諧波振盪器,然後量化,該過程稱為“第二量化”。傅立葉方法已適應也可以處理非平凡的相互作用。

最後,可以解釋量子諧波振盪器的數字運算符,例如通過Mehler內核作為傅立葉變換的發生器。

信號處理

傅立葉變換用於時間序列的光譜分析。但是,統計信號處理的主題通常不會將傅立葉變換應用於信號本身。即使確實是瞬態的真實信號,在實踐中發現,它建議通過函數(或者是隨機過程)對信號進行建模,這是固定的,因為其特徵性能在所有時間內都是恆定的。這種函數的傅立葉變換在通常的意義上並不存在,並且發現它對於信號的分析更有用,而是將其自相關函數的傅立葉變換。

功能F的自相關函數R

此函數是在要相關的f值之間出現的時間段τ的函數。

對於大多數在實踐中發生的函數fR是時間段τ的偶數偶數函數,對於典型的噪聲信號,事實證明,最大值在τ = 0時是均勻連續的。

除非以某種適當的方式對自相關功能進行標準化,否則更正確地稱為自相關功能的自相關函數可以測量f值分離為時間滯後的F值之間的相關性。這是一種尋找F與自己的過去的相關性的方式。除了對信號分析外,它對於其他統計任務也很有用。例如,如果ft代表時間t的溫度,則人們期望與24小時的溫度有很強的相關性。

它具有傅立葉變換,

這種傅立葉變換稱為f功率光譜密度函數。 (除非首先將所有周期組件從F中濾除,否則該積分將會差異,但是很容易過濾此類週期性。)

如該密度函數P所示,功率譜衡量了頻率ξ對數據有助於數據的差異。在電信號中,差異與平均功率(每單位時間能量)成正比,因此功率譜描述了不同頻率對信號平均功率的貢獻。該過程稱為時間序列的光譜分析,類似於對不是時間序列( ANOVA )的數據方差的通常分析。

了解哪些頻率在這個意義上是“重要”的知識對於正確設計過濾器以及對測量設備的適當評估至關重要。它也可用於對負責生成數據的現象的科學分析。

信號的功率譜也可以通過測量在狹窄頻帶外的所有頻率被過濾後的平均功率直接測量。

光譜分析也用於視覺信號。功率譜忽略了所有相關關係,這對於許多目的來說已經足夠好了,但是對於視頻信號,其他類型的光譜分析也必須使用,仍然使用傅立葉變換作為工具。

其他符號

其他常見符號包括:

在科學和工程中,進行這樣的替代也很常見:

因此轉換對可以變成

大寫字母符號的缺點是表達諸如或變成更尷尬的轉換時

在某些情況下,例如粒子物理,可以將相同的符號用於函數和傅立葉變換,而兩個僅由它們的參數區分的兩個符號IE會因為動量參數而引用傅立葉變換,而會參考由於位置參數,要獲得原始功能。儘管可以用作指示傅立葉變換的用作tildes,但也可以使用tildes來指示用更不變的形式進行數量的修改,例如,必須小心。同樣,通常表示希爾伯特的變換。

可以通過以極坐標形式表達複雜函數f f̂ξ的解釋

在兩個實際函數aξφξ方面:其中:

振幅

階段(請參閱ARG函數)。

然後可以寫入逆變換:

這是Fx的所有頻率成分的重組。每個成分都是E2πIX配置的複雜正弦,其幅度為Aξ ,其初始相位角(在x = 0 )為φξ

傅立葉變換可能被認為是功能空間上的映射。此映射在這裡表示fff表示函數f的傅立葉變換。該映射是線性的,這意味著F也可以將F視為函數空間上的線性變換,並意味著將線性轉換應用於向量的線性代數中的標準符號(此處函數f )可用於編寫f F而不是Ff 。由於應用傅立葉變換的結果再次是一個函數,因此我們可以對其變量的值評估的該函數的值感興趣,並且將其表示為F F( ξ AS (F F)( F )( F )( ξ 。請注意,在前一種情況下,隱含地理解了F首先應用於F ,然後在ξ中評估了結果函數,而不是相反。

在數學和各種應用科學中,通常有必要區分函數ff的變量等於x ,表示fx時。這意味著像ffx ))一樣的符號可以將其解釋為xf值的傅立葉變換。儘管存在這些缺陷,但前一個符號經常出現,通常是在要轉換特定變量的特定函數或函數時。例如,

有時被用來表明矩形函數的傅立葉變換是sinc函數,或

用於表達傅立葉變換的移位屬性。

請注意,最後一個示例僅在轉換函數是x而不是x 0的函數的假設下是正確的。

如上所述,隨機變量的特徵函數與其分佈度量的傅立葉 - 風格變換相同,但是在這種情況下,對於常數採取不同的慣例是典型的。通常定義特徵功能

就像上面的“非統一角頻率”約定的情況下一樣, 的因子都不出現在歸一化常數和指數中。與上面出現的任何慣例不同,該約定在指數中具有相反的符號。

計算方法

適當的計算方法在很大程度上取決於如何表示原始數學函數以及輸出函數的所需形式。

由於傅立葉變換的基本定義是一個積分不可分割的,因此可以通過分析進行積分來計算以封閉形式表達的函數,以在傅立葉變換共軛變量中產生封閉形式的表達。這是用於生成傅立葉變換錶的表,包括在下表中找到的方法(重要的傅立葉變換的傅立葉變換#表)。

許多能夠進行符號集成的計算機代數係統(例如MATLABMathematica)能夠分析計算傅立葉變換。例如,要計算cos的傅立葉變換( 6πte -πt 2一個可能輸入命令integrate cos(6*pi*t) exp(−pi*t^2) exp(-i*2*pi*f*t) from -inf to inf進入Wolfram Alpha

封閉形式功能的數值集成

如果輸入函數以封閉形式為單位,所需的輸出函數是一系列有序對(例如,可以從中生成圖表的一個值表),則可以在指定的域上使用,則可以通過數值集成生成傅立葉變換在傅立葉偶聯變量(例如頻率)的每個值下,都需要輸出變量的值。請注意,此方法需要為每個頻率值計算單獨的數值集成,以便為傅立葉變換值的值。與分析方法相比,數值集成方法在更廣泛的函數上起作用,因為它會產生沒有封閉形式傅立葉變換積分的函數的結果。

一系列有序對的數值集成

如果輸入函數是一系列有序對(例如,從一個時間間隔重複測量輸出變量的時間序列),則輸出函數也必須是一系列有序對(例如,一個複雜的數字與頻率,在指定的頻率域上),除非進行某些假設和近似值,從而允許輸出函數通過封閉形式的表達式近似。在一般情況下,假定可用的輸入序列是代表一個間隔內連續函數的樣本(例如,時間與時間),代表所需輸出函數的一系列有序對,可以通過數值集成來獲得在可用間隔上的每個值的輸入數據在傅立葉共軛變量的每個值(例如頻率)的每個值中都需要為傅立葉變換的值。

在有序對上的顯式數值集成可以產生傅立葉變換的輸出值,對於共軛傅立葉傅立葉變換變量的任何所需值(例如,頻率),因此可以在任何所需的步驟尺寸和任何所需的變量範圍內生成頻譜,以便在任何所需的變量範圍內生成頻譜準確測定與分離峰相對應的幅度,頻率和相位。與DFT和FFT方法中的局限性不同,顯式數值集成可以具有任何所需的步長,並在任何所需的共軛傅立葉變換變量(例如頻率)上計算傅立葉變換。

離散的傅立葉變換和快速傅立葉變換

如果代表原始輸入函數的有序對在其輸入變量(例如相等的時間步長)中平均間隔,則傅立葉變換稱為離散的傅立葉變換(DFT),可以通過顯式數值集成來計算,通過對DFT定義的明確評估或快速傅立葉變換(FFT)方法。與輸入數據的顯式集成相反,使用DFT和FFT方法會產生傅立葉變換,該變換由步長對等於原始採樣間隔的倒數。例如,如果輸入數據每10秒採樣一次,則DFT和FFT方法的輸出將具有0.1 Hz頻率間距。

重要的傅立葉變換的表

以下表記錄了一些封閉形式的傅立葉變換。對於函數, fxgx表示它們的傅立葉變換為f ̂ĝ表示。僅包括三個最常見的約定。注意到條目105給出了函數的傅立葉變換與原始函數之間的關係,這可能被視為將傅立葉變換及其逆。

功能關係,一維

該表中的傅立葉變換可以在Erdélyi(1954)Kammler(2000 ,附錄)中找到。

功能傅里葉變換
單一,普通頻率
傅里葉變換
統一的角頻
傅里葉變換
非獨立的角度頻率
評論
定義
101線性
102時間域變化
103頻域的轉移,雙重二元組為102
104在時間域中縮放。如果| A |很大,然後fax集中在0左右,並且

傳播並變平。
105在第一個轉換後,應用了兩次相同的變換,但是X替換了頻率變量( ξω )。
106n -th -order導數。

因為fschwartz函數

106.5一體化。注意:是Dirac Delta功能,是這樣的平均值(DC)值
107這是106的雙重
108符號fg表示FG卷積- 該規則是卷積定理
109這是108的雙重
110對於fx純真實Hermitian對稱性。 z表示複合物共軛
113對於fx純粹虛構z表示複合物共軛
114複雜的共軛,110和113的概括
115這是從使用Euler的公式的規則101和103中進行的:
116使用Euler的公式為101和103:

正方形的功能,一維

該表中的傅立葉變換可以在Campbell&Foster(1948)Erdélyi(1954)Kammler(2000 ,附錄)中找到。

功能傅里葉變換
單一,普通頻率
傅里葉變換
統一的角頻
傅里葉變換
非獨立的角度頻率
評論
定義
201矩形脈衝歸一化的SINC函數,此處定義為SINC( x )= sin( πx / πx
202規則2012。矩形函數是理想的低通濾波器,而SINC函數是這種濾波器的非臨床脈衝響應。 SINC函數在此定義為sinc( x )= sin( πx / πx
203函數三( x三角函數
204規則203。
205函數uxHeaviside單元步長函數A > 0
206這表明,對於統一的傅立葉變換,高斯函數e -αx2其自身的傅立葉變換,用於某種選擇。為了使這是可集成的,我們必須具有RE( α )> 0
208對於re( a )> 0 。也就是說,雙面衰減指數函數的傅立葉變換是洛倫茲函數
209雙曲線割線是其自己的傅立葉變換
210H NnHermite多項式。如果a = 1 ,則高斯 - 硫磺函數是傅立葉變換算子的特徵函數。有關派生,請參見Hermite多項式。公式將n = 0的公式降低到206。

分佈,一維

該表中的傅立葉變換可以在Erdélyi(1954)Kammler(2000 ,附錄)中找到。

功能傅里葉變換
單一,普通頻率
傅里葉變換
統一的角頻
傅里葉變換
非獨立的角度頻率
評論
定義
301分佈δξ表示Dirac Delta函數
302規則301。
303這是103和301。
304這是根據第101和303條使用Euler的公式
305這是從101和303使用
306這是從101和207使用
307這是從101和207使用
308在這裡假設是真實的。對於Alpha很複雜的情況,請參見上面的表條目206。
309在這裡, n是一個自然數δ nξ是dirac delta函數的n分佈衍生物。該規則遵循規則107和301。將此規則與101結合,我們可以改變所有多項式
310規則309.δ n ξ是dirac delta函數的n分佈衍生物。該規則遵循106和302。
311這裡的SGN( ξ符號函數。請注意, 1 / x不是分佈。在針對Schwartz功能進行測試時,必須使用Cauchy主值。該規則可用於研究希爾伯特變換
3121 / x n是由分佈衍生物定義的均勻分佈
313該公式對0> α > -1有效。對於α > 0,有一些單數術語是通過區分318的來源出現的。如果reα > -1 ,則| X | α是局部可集成的函數,因此是一個鋼化的分佈。功能α | X | α是從右半平面到矯正分佈空間的全態函數。它承認了一個獨特的雜種分佈,也表示| X | αα ≠-1,-3,... (請參閱均勻分佈。)
313的特殊情況。
314規則311的雙重雙重。這一次,傅立葉變換需要被視為庫奇的本金價值
315功能UX是Heaviside單位步長函數;這是根據規則101、301和314的。
316此函數稱為Dirac Comb函數。該結果可以源自302和102,以及

作為分佈。
317函數J 0x是第一類的零訂單Bessel函數
318這是317的概括。函數j nx第一類的bessel函數。函數t nx第一類的chebyshev多項式
319γEuler -Mascheroni常數。測試1 / |時,必須使用有限零件積分。 ξ |1 / | ω |反對Schwartz功能。此詳細信息可能會改變增量功能的係數。
320該公式對1> α > 0有效。使用差異化來得出更高指數的公式。 u是重物函數。

二維功能

功能傅里葉變換
單一,普通頻率
傅里葉變換
統一的角頻
傅里葉變換
非獨立的角度頻率
評論
400變量ξxξyωxωy是實數。積分被置於整個平面上。
401這兩個功能都是高斯人,可能沒有單位體積。
402該函數由0≤r≤1Circ( R )= 1定義,否則為0。結果是通風磁盤的振幅分佈,並使用J 1表示(第一類的Bessel函數)表示。
403這是R -1Hankel變換,這是2D傅立葉“自我轉變”。
404

一般n維函數的公式

功能傅里葉變換
單一,普通頻率
傅里葉變換
統一的角頻
傅里葉變換
非獨立的角度頻率
評論
500
501函數χ [0,1]是間隔[0,1]指示函數。功能γ( x是伽馬函數。函數J N / 2 + δ是第一類的貝塞爾函數, n / 2 + δ順序。取n = 2δ = 0產生402。
502請參閱Riesz電位,其中常數由

該公式還為所有αnn + 2(通過分析性延續)保留,但是隨後需要將功能及其傅立葉變換理解為適當的正則脾氣調節分佈。請參閱均勻分佈
503這是平均值為1的多元正態分佈的公式。大膽的變量是向量或矩陣。按照上述頁面的表示法, σ = σσTσ -1 = σ -Tσ - 1
504這裡
re(α)> 0

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