功能(數學)
在數學中,從集合x到集合y的功能分配給x的每個元素,正好是y的一個元素。集合x稱為函數的域,集合y稱為函數的代碼域。
功能最初是變化數量如何取決於另一個數量的理想化。例如,行星的位置是時間的函數。從歷史上看,這個概念在17世紀末的無窮小節微積分中得到了詳細說明,直到19世紀,人們認為的功能都是可區分的(也就是說,它們具有很高的規律性)。就設定理論而言,功能的概念在19世紀末是正式的,這大大擴大了該概念的應用領域。
一個函數通常用諸如f , g和h之類的字母表示,並且在其域的元素x上函數f的值用f ( x )表示;通過用此值替換X來表示,在特定輸入值下函數評估產生的數值。例如, x = 4的f值用f (4)表示。當函數未命名並由表達式E表示時,函數的值為x = 4可以用e表示。 x = 4 。例如,映射x的函數4的值可能由
(結果25)。
一個函數由所有對( x , f ( x ))的集合(稱為函數的圖)唯一表示,這是一種流行的說明函數的方法。當域和代碼域是一組實數時,每個這樣的對都可能被視為平面中一個點的笛卡爾坐標。
功能廣泛用於科學,工程和大多數數學領域。有人說,在大多數數學領域,功能是“調查的中心對象”。



定義


從集合x到集合y的函數是y元素的分配到x的每個元素。集合x稱為函數的域,集合y稱為函數的代碼域。
一個函數(其域和其代碼域)由符號f : x → y聲明,函數f的值f在x的元素x上,用f(x)表示,稱為f(x)的圖像x在f下的圖像,或f應用於參數x的值。
功能也稱為地圖或映射,儘管一些作者在“地圖”和“函數”之間有所區別(請參閱其他術語)。
如果兩個函數F和G具有相同的域和相同的代碼域,則它們的輸出值在整個域上一致。更正式地,給定f : x → y和g : x → y ,當且僅當所有x∈X的f ( x )= g ( x )時,我們才有f = g 。
當定義函數時,並不總是明確給出域和代碼域,並且,如果沒有(可能很困難)計算,人們可能只知道該域包含在較大的集合中。通常,這發生在數學分析中,其中“從x到y的函數”通常是指可能具有x作為域的適當子集的函數。例如,“從實數到真實的函數”可以指一個真實變量的實值函數,其域是實數的適當子集,通常包含一個非空的開放間隔的子集。然後將這樣的函數稱為部分函數。例如,如果f是具有實際數字作為域和codomain的函數,則函數將值x映射到值g ( x )=1 / f ( x )是從真實到真實的函數g ,其域是真實x的集合,因此f ( x )≠0 。
集合s上的函數f表示來自域s的函數,而無需指定CODOMAN。但是,一些作者將其用作速記,說該功能為f : s → s 。
完全無關的關係
兩組x和y的笛卡爾產品的任何子集都定義了這兩組之間的二進制關係r⊆x × y 。立即,任意關係可能包含對上述功能的必要條件的對。
如果二進制關係是無數的(也稱為右派)
部分函數是單位關係的二進制關係,並且函數是一種二進制關係,是無數且完全的二進制關係。
功能和功能組成的各種屬性可以用關係語言重新重新制定。例如,如果匡威關係rt⊆y × x是無數的,則函數是注入性的,其中匡威關係定義為r t = {( y , x )| ( x , y ) ∈R } 。
設置指數
集合中的所有功能的集合到一套
通常稱為
被讀為力量
。
這兩種符號的身份是由一個功能的事實激發的可以用笛卡爾產品的元素來識別,以便索引的成分
是
。
什麼時候有兩個要素,
通常表示
並稱為x的powerset 。可以用所有子集的集合來識別
,通過將每個子集關聯的一對一信件
功能
這樣
如果
和
否則。
符號
表示功能有多種標準方法。最常用的符號是功能符號,這是下面描述的第一個符號。
功能符號
在功能符號中,該功能立即給出一個名稱,例如 ,其定義是由什麼給出的
對明確的參數有
,使用公式
。例如,將實際數字作為輸入的函數和輸出數字加1表示
- .
如果在此表示法中定義了一個函數,則隱式將其域和代碼域視為 ,一組實數。如果無法在所有實數上評估該公式,則該域被隱式視為最大子集
可以評估公式的公式;請參閱功能的域。
一個更複雜的例子是功能
- .
在此示例中,函數f將實際數字作為輸入,將其平方,然後將1添加到結果中,然後將結果的正弦添加,然後將最終結果作為輸出返回。
當表示函數的符號由幾個字符組成,並且可能不會出現歧義時,可能會省略功能符號的括號。例如,寫sin x代替罪( x )是常見的。
功能符號首先是萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler)在1734年使用的。一些廣泛使用的功能由由幾個字母組成的符號表示(通常是兩個或三個,通常是其名稱的縮寫)。在這種情況下,通常使用羅馬類型,例如正弦函數的“ sin ”,與單字母符號的斜體字體相反。
使用此表示法時,通常會遇到濫用符號的濫用,即表示符號f ( x )可以指f處的f值或函數本身。如果先前聲明了變量x ,則表示符號f ( x )明確表示f處的f值。否則,將符號同時理解為同時是有用的。這允許一個人通過符號f ( g ( x ))簡潔地表示兩個函數f和g的組成。
但是,在功能本身作為其他功能的輸入的情況下,區分F和F ( x )可能變得很重要。 (將其他功能作為輸入的功能稱為功能。)記錄功能的其他方法,如下所述,避免此問題,但不常用。
箭頭符號
箭頭符號定義了內聯函數的規則,而無需給出該函數的名稱。例如, 是將實際數字作為輸入的函數,並輸出該數字加1。再次,再次
暗示。
域和代碼域也可以明確說明:例如:
這將定義一個從整數到返回其輸入正方形的整數的函數SQR 。
作為箭頭符號的常見應用,假設是兩個變量中的函數,我們要參考部分應用函數
通過將第二個參數固定到值t 0而不引入新函數名稱而產生。所討論的地圖可以表示
使用箭頭符號。表達方式
(請閱讀:“將X到x comma t的x f到f的映射”僅用一個參數代表這個新函數,而expression f ( x 0 , t 0 )表示該點函數f的值( x 0 , t 0 ) 。
索引符號
通常使用索引符號代替功能符號。也就是說,不是寫F ( x ) ,而是寫
通常,這種域是自然數的集合的函數。這樣的函數稱為序列,在這種情況下,元素被稱為序列的第三個元素。
索引符號通常也用於區分某些稱為參數的變量和“真實變量”。實際上,參數是特定的變量,在問題的研究過程中被認為是固定的。例如,地圖 (見上文)將表示
使用索引符號,如果我們定義了地圖的集合
通過公式
對全部
。
點表示法
在符號中符號x不代表任何值;這只是一個佔位符,這意味著,如果x被箭頭左側的任何值代替,則應由箭頭右側的相同值代替。因此, x可以被任何符號替換,通常是插孔的“申機”。這對於將函數f (走氣)與x處的值f ( x )區分開可能很有用。
例如, 可以代表功能
, 和
可以代表由具有可變上限的積分定義的函數:
。
專業符號
數學子學科中的功能還有其他專門符號。例如,在線性代數和功能分析中,使用雙對錶示線性形式及其作用的向量來顯示潛在的雙重性。這類似於在量子力學中使用胸罩符號。在邏輯和計算理論中, lambda演算的功能符號用於明確表達功能抽象和應用的基本概念。在類別理論和同源代數中,使用交換圖來描述其函數網絡及其組成如何相互通勤,以擴展和推廣上述功能的箭頭符號。
多個變量的函數
在某些情況下,函數的論點可能是從某些集合或集合中獲取的一對元素。例如,函數f可以定義為映射任何一對實數他們的廣場總和
。這樣的功能通常寫為
並稱為“兩個變量的函數”。同樣,一個可以具有三個或多個變量的函數,並帶有諸如
,,,,
。
其他術語
學期 | 與“功能”的區別 |
---|---|
地圖/映射 | 沒有任何;這些術語是同義詞。 |
地圖可以將任何設置作為其代碼域,而在某些情況下,通常在較舊的書籍中,函數的代號特別是一組真實或複數數字。 | |
另外,地圖與特殊結構相關聯(例如,通過在其定義中明確指定結構化的代碼域)。例如,線性地圖。 | |
同態 | 保留結構操作的相同類型的兩個結構之間的功能(例如,組同態)。 |
態度 | 即使不是設置該類別的對象(例如,一個組定義一個只有一個對象),該類別的元素是一個對象,該類別的元素是形態的;請參見類別(數學)§這個示例和其他類似的例子) 。 |
一個函數通常也稱為地圖或映射,但是一些作者在術語“映射”和“函數”術語中有所區別。例如,術語“映射”通常用於具有某種特殊結構的“函數”(例如,歧管的地圖)。特別是為了簡潔(例如,從g到h的線性圖或映射,而不是從g到h的組同態),通常使用映射代替同態。一些作者將單詞映射保留在代碼域的結構明確屬於函數定義的情況下。
一些作者(例如Serge Lang)使用“函數”僅參考CODOMAN是真實數字或複數數字子集的地圖,並使用術語映射來進行更一般的函數。
在動態系統的理論中,地圖表示用於創建離散動態系統的進化函數。另請參見Poincaré地圖。
無論使用MAP的哪個定義,諸如域, Codomain , Injementive ,連續的相關術語都具有與函數相同的含義。
指定功能
給定功能根據定義,每個元素
功能域的
,有一個與之相關的唯一元素
的
在
。有幾種指定或描述如何
與
,都明確和隱含。有時,定理或公理會斷言具有某些屬性的函數的存在,而無需更精確地描述它。通常,規範或描述稱為函數的定義
。
通過列出功能值
在有限的集合中,可以通過列出與域元素相關的密碼元素的元素來定義函數。例如,如果 ,然後可以定義功能
經過
通過公式
函數通常由描述算術操作和先前定義函數的組合的公式定義。這樣的公式允許從域的任何元素的值中計算函數的值。例如,在上面的示例中, 可以由公式定義
, 為了
。
當以這種方式定義函數時,其域的確定有時很難。如果定義該函數的公式包含劃分,則必須將分母為零的變量的值從域中排除;因此,對於復雜的函數,域的確定通過輔助函數的零的計算。同樣,如果在函數的定義中出現平方根到
該域包含在平方根的參數無負數的變量值集中。
例如, 定義功能
誰是誰
因為
如果X是實際數字,總是很積極的。另一方面,
定義從真實的函數到真實的域,其域被簡化為間隔[-1,1] 。 (在舊文本中,這種域被稱為函數定義的域。)
功能通常由定義它們的公式的性質進行分類:
- 二次函數是可以編寫的函數
其中a , b , c是常數。
- 更一般而言,多項式函數是一個函數,可以通過僅涉及添加,減法,乘法和指向非負整數冪的公式來定義的函數。例如,
和
是多項式函數的
。
- 理性功能是相同的,也允許分區,例如
和
- 代數函數是相同的,也允許具有無根和多項式的根。
- 基本函數是相同的,允許對數和指數函數。
逆和隱式函數
功能使用域X和Codomain Y ,是射精的,如果對於每個Y中的每個Y ,則x中只有一個x中的一個元素,使得y = f ( x ) 。在這種情況下, f的逆函數是函數
那個地圖
到元素
這樣y = f ( x ) 。例如,自然對數是從正實數到實數的指物函數。因此,它具有一個逆,稱為指數函數,將實數映射到正數。
如果功能不是徒,可能會選擇子集
和
因此, F對E的限制是從E到F進行的兩次射擊,因此具有反向。逆三角函數是這樣定義的。例如,餘弦函數通過限制誘導從間隔[0, π ]進行的兩次射擊到間隔[-1、1]及其逆函數,稱為arccosine ,地圖[-1,1]到[0, [0, 1] π ] 。類似的其他反三角函數定義。
更一般地,給定兩組x和y之間的二進制關係r ,令e為x的子集,以便每一個有一些
這樣x r y 。如果一個標准允許每個人選擇這樣的y
這定義了功能
稱為隱式函數,因為它是由關係r隱式定義的。
例如,單位圓的方程式定義實際數字的關係。如果-1 < x <1,則有兩個可能的y值,一個正值和一個負值。對於x =±1 ,這兩個值都等於0。否則, y可能沒有可能的值。這意味著方程將兩個隱式函數定義為域[-1,1]和相應的代碼[0, +∞)和(-∞,0] 。
在此示例中,方程可以在y中求解,給出但是,在更複雜的例子中,這是不可能的。例如,關係
將y定義為X的隱式函數,稱為Bring激進分子,
作為域和範圍。 Bring Dradical不能用四個算術操作和無根來表達。
隱式函數定理為某個點附近的隱式函數提供了溫和的可不同性條件。
使用差分微積分
許多功能可以定義為另一個功能的抗但是。自然對數是這種情況,它是1/ x的抗激素,為x = 1為0。另一個常見的示例是錯誤函數。
更一般而言,許多功能,包括大多數特殊功能,都可以定義為微分方程的解決方案。最簡單的示例可能是指數函數,它可以定義為等於其衍生物的唯一函數,並將值1用於x = 0 。
功率系列可用於定義其收斂的域上的功能。例如,指數函數由 。但是,由於系列的係數是非常任意的,因此通常將收斂序列的總和否則定義,並且係數的序列是基於另一個定義的某些計算結果。然後,功率系列可用於擴大函數的域。通常,如果一個真實變量的函數在某個間隔中是其泰勒級數的總和,則該功率系列可以立即將域將域放大到複數的子集,即該系列的收斂光盤。然後,分析延續允許進一步擴大域,以包括幾乎整個複合面。此過程是通常用於定義對數,複雜數字的指數和三角函數的方法。
通過復發
非負整數的階乘功能( )是一個基本示例,因為它可以通過復發關係來定義
和初始條件
表示功能
圖通常用於給出函數的直觀圖片。作為圖形如何有助於理解功能的一個示例,從圖表中很容易看到功能正在增加還是減小。某些功能也可以由條形圖表示。
圖和圖


給定功能它的圖是正式的
在頻繁的情況下, x和y是實際數字的子集(或可以用這種子集識別,例如間隔),一個元素可以在二維坐標系中具有坐標x , y的點來識別,例如笛卡爾平面。其中的一部分可能會創建一個代表(部分)功能的圖。圖的使用是如此無處不在,以至於它們也稱為函數的圖。在其他坐標系統中也可以實現功能的圖形表示。例如,平方函數的圖
由坐標的所有點組成為了
當在笛卡爾坐標中描繪時,產量是眾所周知的拋物線。如果相同的二次功能
用相同的形式圖(由數字對組成),而是在極坐標中繪製
獲得的情節是費馬特的螺旋。
表
一個函數可以表示為值表。如果函數的域是有限的,則可以以這種方式完全指定函數。例如,乘法功能定義為
可以用熟悉的乘法表表示
y x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 |
4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 |
5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |
另一方面,如果函數域是連續的,則表可以在域的特定值下給出函數的值。如果需要中間值,則可以使用插值來估計函數的值。例如,適用於正弦函數的表的一部分可以如下給出,值圓形為6個小數位:
x | sin x |
---|---|
1.289 | 0.960557 |
1.290 | 0.960835 |
1.291 | 0.961112 |
1.292 | 0.961387 |
1.293 | 0.961662 |
在手持計算器和個人計算機出現之前,經常為對數和三角函數等功能進行編譯和發布此類表。
條形圖
條形圖通常用於表示域是有限集,自然數或整數的功能。在這種情況下,域的元素x由x軸的間隔表示,函數f ( x )的相應值由一個矩形表示,矩形的矩形是,其鹼基為與x相對應的間隔且高度對應的矩形。為f ( x ) (可能為負,在這種情況下,欄延伸到x軸以下)。
一般特性
本節描述了函數的一般屬性,這些函數與域和代碼域的特定特性無關。
標準功能
經常發生許多標準功能:
- 對於每個集合x ,都有一個唯一的函數,稱為空函數或空圖,從空集到X。空功能的圖是空集。對於理論的連貫性,都需要空功能的存在,又需要避免許多語句中的空集的例外。在函數作為有序三重函數(或等效的函數)的通常設置理論定義下,每個集合都有一個空函數,因此,空功能不等於and and and,儘管它們的圖是空的,但放。
- 對於每個集合X和每個Singleton Set { S } ,都有一個從X到{ S }的唯一函數,該功能將X的每個元素映射到S。這是陳述(請參見下文),除非x是空集。
- 給定功能
f的規範陳述在其圖像上
是將X映射到F ( x )的X到F ( x )的函數。
- 對於集合x的每個子集a , x中的包含映射是映射a的每個元素到自身的注入式(見下文)函數。
- 集合X上通常用ID X表示的身份函數是將X納入自身。
功能組成
給定兩個功能和
這樣g的域是f的代號,它們的組成是函數
被定義為
也就是說,價值首先將F應用於X獲得Y = F ( X ) ,然後將G應用於結果Y ,以獲得G ( Y )= G (F( F ( X )))獲得。在符號中,首先應用的函數始終寫在右邊。
組成是在函數上的操作,僅當第一個函數的代號是第二個函數的域時才能定義的。即使兩者兼而有之
和
滿足這些條件,組成不一定是可交換的,即功能
和
不必平等,但可能會為同一參數提供不同的值。例如,令f ( x )= x 2和g ( x )= x + 1 ,然後
和
只是同意
函數組成是關聯的,從某種意義上說,如果之一和
定義,然後也定義了另一個,它們是相等的。因此,一個人寫道
身份功能和
對於從x到y的功能的函數分別是正確的身份和左身份。也就是說,如果f是域x的函數,而代碼域y ,則
- 複合函數g ( f ( x ))可以可視化為兩個“機器”的組合。
- 功能組成的簡單示例
- 另一個組成。在此示例中, ( g f )(c)=# 。
圖像和預映射
讓域x的元素x下的圖像為f ( x ) 。如果a是x的任何子集,則f下f的圖像為f ( a ) ,是由a的所有圖像組成的codomain y的子集,即
F的圖像是整個域的圖像,即F ( x ) 。儘管術語範圍也可能是指CODOMAN,但也稱為F的範圍。
另一方面,在f的元素y的f下,反圖像或預映射是域x的所有元素的集合,其圖像在f相等y下的圖像。在符號中, Y的預示圖表示並由等式給出
同樣, y的一個子集的前集b是b的元素的預圖的集合,也就是說,它是域x的子集的子集,該子集由x的所有圖像屬於b的x的所有元素組成。它表示並由等式給出
例如, 在平方功能下是集合
。
根據函數的定義,域的元素X的圖像始終是代碼域的一個元素。但是,預先形象代碼域的元素y可能為空或包含任意數量的元素。例如,如果f是整數到自己的函數,將每個整數映射到0,則
。
如果是一個函數, a和b是x的子集, c和d是y的子集,然後具有以下屬性:
在某些情況下,在f下,有時稱為y的元素y的f 。
如果函數f具有逆(請參見下文),則表示此逆表示在這種情況下
可以用
或f的前圖。這不是問題,因為這些集合相等。符號
和
對於包含某些子集作為元素的集合,例如
在這種情況下,例如使用方括號,可能需要一些小心
用於圖像和普通括號的圖像和元素的圖像和元素預構圖。
注入性,濾5
讓成為一個函數。
函數f是X函數(或一對一,或注射),如果F ( a )≠ f ( b )對於任何兩個不同的X的X的a和b 。等效地, f是且僅在任何時候才預先形象
最多包含一個元素。空功能始終是注入性的。如果x不是空集,則在存在函數時, f是iNjementive
這樣
也就是說,如果F有左側。證明:如果f是含義的,則為定義G ,選擇一個元素
在x中(以x為非發行為x ),一個人定義了g
如果
和
如果
相反,如果
和
然後
因此
函數f是沖銷的(或在其上,或者是陳述),如果其範圍等於其代碼域
,也就是說,如果每個元素
在代碼域中,存在一些元素
域的
(換句話說,預先形象
每個
是非空的)。如果像往常
這樣
也就是說,如果F具有右逆。需要選擇的公理,因為如果f是圍繞的,則可以定義g
在哪裡
是任意選擇的元素
該功能F是指皮型和一對一的函數(或者是兩者的對應關係)。也就是說,如果有任何預先形象
完全包含一個元素。當且僅當它允許逆函數時,函數f具有射形範圍,即函數
這樣
和
(與沖銷的情況相反,這不需要選擇的公理;證明是簡單的)。
每個功能可能被分解為組成
在濾波後面進行注射,其中s是x在f ( x )上的典型陳述, i是將f ( x )的典型注射到y中。這是f的規範分解。
“一對一”和“到”是在較舊的英語文學中更常見的術語;布爾巴基集團(Bourbaki Group)在20世紀第二季度將“注射劑”,“過濾式”和“射擊”最初被稱為法語單詞,並以英語進口。要謹慎,“一對一函數”是注射詞的功能,而“一對一的對應關係”是指徒函數。同樣,“ f映射x到y ”的說法與“ f map x to b ”不同,因為前者意味著f是沖銷的,而後者對f的性質沒有任何斷言。在復雜的推理中,很容易錯過一個字母的差異。由於這種較舊的術語的混亂性質,這些術語相對於伯巴基人的術語而受歡迎,這也具有更對稱的優勢。
限制和擴展
如果是函數, s是x的子集,然後是限制
對S表示
,是從s到y定義的功能
對於s中的所有x 。限制可用於定義部分逆函數:如果有函數域的子集s 這樣
是注入性的,然後是規範的陳述
在其圖像上
是兩者,因此具有從
到s 。一種應用是反三角函數的定義。例如,當限制在間隔[0, π ]時,餘弦函數是賦值的。該限制的圖像是間隔[-1,1] ,因此限制的逆函數從[-1,1]到[0, π ] ,該函數稱為Arccosine ,並表示為Arccos 。
功能限制也可以用於“粘合”功能。讓成為X作為子集的結合的分解,並假設一個功能
在每個上定義
這樣每對
指數,限制
和
到
是相等的。然後定義一個唯一的功能
這樣
我所有。這就是定義多種函數的方式。
函數f的擴展是函數g ,因此f是g的限制。該概念的典型用途是分析延續的過程,它允許將域是複雜平面的一小部分擴展到域幾乎是整個複雜平面的功能。
這是研究真實線的同譜時遇到的函數擴展的另一個經典示例。同型是一個函數這樣的ad -bc ≠0 。它的域是所有實際數字的集合與
它的圖像是所有實際數字的集合與
如果通過包括∞將實際線擴展到項目擴展的實際線路,則可以通過設置將h擴展到從擴展的實際線到自身
和
。
多元函數

多元函數或幾個變量的函數是一個取決於幾個參數的函數。這種功能通常會遇到。例如,汽車在道路上的位置是旅行時間和平均速度的函數。
更正式的是, n變量的函數是一個函數,其域是一組n個圖。例如,整數的乘法是兩個變量或雙變量函數的函數,其域是整數的所有對(2個tuplace)的集合,其代碼域是整數的集合。每個二進制操作都是如此。更一般而言,每個數學操作都定義為多元函數。
笛卡爾產品 n集
是所有n個tuplass的集合
這樣
每一個我
。因此, n變量的函數是一個函數
域的位置
使用功能符號時,通常會省略元素周圍的括號,寫作代替
在所有的情況下等於集合
實際數字,一個具有幾個實際變量的函數。如果是
等於集合
一個複雜的數字,一個具有幾個複雜變量的函數。
通常也考慮其代碼因素是集合的產物的功能。例如, Euclidean Division將其b ≠0的每對整數( a , b )映射到一對稱為商的整數和剩餘的整數:
代碼域也可能是矢量空間。在這種情況下,有人談論矢量值函數。如果該域包含在歐幾里得空間中,或更一般地包含歧管,則矢量值函數通常稱為矢量場。
在微積分中
從17世紀開始的功能概念是新的無限微積分的基礎。當時,僅考慮實際變量的實用值函數,並且所有函數都被認為是平滑的。但是,該定義很快擴展到了幾個變量的函數和複雜變量的函數。在19世紀下半葉,引入了數學上嚴格的函數定義,並定義了具有任意域和密碼的功能。
現在在數學的所有領域中都使用功能。在介紹性的演算中,當單詞函數在沒有資格的情況下使用時,這意味著單個真實變量的實現函數。通常將功能的更一般定義引入了STEM專業的第二年或三年級的大學生,而在高年級的時候,他們將在諸如真實分析和複雜分析之類的課程中以更大,更嚴格的環境介紹給微積分。
實際功能



真實函數是真實變量的實現函數,也就是說,一個函數的codomain是實數字段,其域是包含一個間隔的一組實數。在本節中,這些函數被簡單地稱為函數。
數學及其應用中最常見的功能具有一定的規律性,即它們是連續的,可區分的,甚至是分析性的。這種規律性確保可以通過其圖形來可視化這些功能。在本節中,所有函數在某些間隔中都是可區分的。
功能享受點式操作,也就是說,如果F和G是功能,則其總和,差異和產品是由功能定義的
結果函數的域是F和G域的交點。兩個功能的商的定義是類似的
但是,通過從f和g的域的交點上刪除G的零來獲得所得函數的域。
多項式函數由多項式定義,它們的域是整個實數。它們包括恆定功能,線性函數和二次函數。理性函數是兩個多項式函數的商,它們的域是刪除有限數量的實數,以避免劃分為零。最簡單的理性函數是功能其圖是雙曲線,其域是整個真實線,除了0。
實際可區分函數的導數是一個實際函數。連續實際函數的抗但是是具有原始函數作為導數的真實函數。例如,功能在正實數上是連續的,甚至是可區分的。因此,將一個抗體動力佔X = 1的值零,是一個稱為自然對數的可區分函數。
如果符號的符號不取決於間隔中X和Y的選擇。如果該函數在間隔中可區分,則如果衍生物的符號在間隔中是恆定的,則是單調的。如果實際函數f在間隔I中是單調的,則它具有逆函數,它是域f ( i )和圖像i的真實函數。這就是如何根據三角函數定義逆三角函數,而三角函數是單調的。另一個例子:自然對數在正實數上是單調的,其圖像是整個真實線。因此,它具有逆函數,是實數和正實數之間的兩次射擊。該逆是指數函數。
許多其他實際函數是由隱式函數定理定義的(逆函數是特定的實例),也可以是微分方程的解決方案。例如,正弦和餘弦函數是線性微分方程的解決方案
這樣
向量值函數
當函數的代碼元素的元素是向量時,該函數被稱為矢量值函數。這些功能在應用程序中特別有用,例如對物理屬性進行建模。例如,將其速度向量與流體的每個點關聯的函數是矢量值函數。
某些矢量值函數是在一個子集中定義的或具有共享幾何或拓撲特性的其他空間
,例如流形。這些向量值函數給出了名稱向量字段。
功能空間
在數學分析,更具體地說,在功能分析中,函數空間是一組標量值或矢量值值函數,它們具有共享特定屬性並形成拓撲矢量空間。例如,具有緊湊的支持(即,在某些緊湊的集合之外為零)的真實平滑函數形成了一個基於分佈理論的函數空間。
功能空間在高級數學分析中起著基本作用,通過允許使用其代數和拓撲特性來研究功能的性能。例如,存在的所有定理以及普通或部分微分方程的解決方案的唯一性。功能空間研究的結果。
多值函數


指定實際或複雜變量功能的幾種方法是從一個點或點附近的函數的局部定義開始的,然後通過連續性擴展到更大的域。通常,起點該函數有幾個可能的起始值。
例如,在將平方根定義為平方函數的逆函數時,對於任何正實數平方根的價值有兩種選擇,其中一個是正面的和表示的
另一個是負面的
這些選擇定義了兩個連續函數,既有非負實數為域,又以非負值或非陽性實數為圖像。查看這些功能的圖時,可以一起看到它們形成一個平滑的曲線。因此,將這兩個平方根函數視為一個單個函數通常是有用的,該函數具有兩個值的正x值,一個值為0,一個值為0,負x值無值。
在前面的示例中,一種選擇,正方形,比另一個選擇更自然。通常情況並非如此。例如,讓我們考慮將y映射到根x的隱式函數 (請參閱右側的圖)。 y = 0一個可以選擇
對於x 。根據隱式函數定理,每個選擇都定義了一個函數。對於第一個,(最大)域是間隔[-2,2] ,圖像為[-1,1] ;對於第二個,域是[-2,∞) ,圖像為[1,∞) ;對於最後一個,域是(-∞ , 2]通常被認為是y的單個多值函數,該函數具有-2 < y <2的三個值, y≤ -2和y≥ -2的值只有一個值。
當考慮複雜函數(通常是分析函數)時,多值函數概念的有用性更加清晰。可以通過分析延續擴展複雜函數的域通常由幾乎整個複雜平面組成。但是,當通過兩個不同的路徑擴展域時,一個通常會獲得不同的值。例如,當擴展平方根函數的域(沿著帶正數零件的複數的路徑)時,一個人獲得-1的平方根。同時,當通過帶負假想零件的複數延伸時,一個人會得到- i 。通常有兩種解決問題的方法。一個人可能會定義一個不連續沿某些曲線的函數,稱為分支切割。這樣的函數稱為函數的主要值。另一種方法是考慮一個具有多價值功能,除了孤立的奇異點外,它在任何地方都具有分析性,但是如果一個人遵循奇異性的閉環,其價值可能會“跳躍”。這種跳躍稱為單曲霉。
在數學基礎上
本文中給出的函數的定義需要集合的概念,因為域和函數的代號必須是集合。這在通常的數學中不是問題,因為通常不難考慮域和代碼域是集合的函數,即使域未明確定義,這些函數也是如此明確。但是,考慮更多一般功能有時很有用。
例如,單例集可以將其視為函數它的域將包括所有集合,因此不會是一組。在通常的數學中,人們通過指定域來避免這種問題,這意味著一個人具有許多單身函數。但是,當建立數學基礎時,可能必須使用域,代碼域或未指定的域,代碼域或兩者都沒有指定的功能,而一些作者(通常是邏輯學家)為這些弱指定的功能提供了精確的定義。
這些廣義功能對於發展數學基礎的形式化可能至關重要。例如, von Neumann – Bernays –Gödel集理論是集合理論的延伸,其中所有集合的集合都是一類。該理論包括替換公理,可以說為:如果x是一個集合,而f是一個函數,則f [ x ]是一個集合。
在使用類型理論而不是集理論的數學基礎的替代表述中,函數被視為原始概念,而不是由其他類型的對象定義。它們是功能類型的居民,可以使用lambda微積分中的表達式構建。
在計算機科學中
在計算機編程中,通常是計算機程序的一部分,該程序實現了函數的抽象概念。也就是說,這是一個程序單元,可為每個輸入產生輸出。但是,在許多編程語言中,即使沒有輸出,每個子例程也稱為函數,而當功能僅在於修改計算機內存中的某些數據時。
功能編程是通過僅使用類似數學功能的子例程來組成的編程範式。例如,if_then_else
是一個將三個函數作為參數的函數,並且取決於第一個函數的結果(是或錯誤),返回第二個或第三個函數的結果。功能編程的一個重要優點是,它可以使程序證明更容易,因為它基於一個良好的理論,即lambda conculus (見下文)。
除了計算機語言術語外,“功能”在計算機科學中具有通常的數學含義。在這一領域,主要感興趣的屬性是函數的可計算性。為了給這個概念具有精確的含義,以及算法的相關概念,已經引入了幾種計算模型,舊的是一般遞歸功能, lambda cyculus和Turing Machine 。計算性理論的基本定理是,這三個計算模型定義了相同的可計算函數集,並且所有其他提出的計算模型都定義了相同的可計算函數或較小的函數。教會論文的主張是,每個哲學上可接受的可接受函數的定義也定義了相同的功能。
一般遞歸功能是可以從整數到整數的部分功能
通過操作員
儘管僅針對整數到整數的函數定義,但它們可以根據以下屬性的結果建模任何可計算功能:
lambda conculus是一種理論,它在不使用集合理論的情況下定義了可計算函數,並且是功能編程的理論背景。它由變量,函數定義( 𝜆 – terms)或函數應用到術語的術語組成。術語是通過某些規則( α-等效性, β還原和η-轉換)來操縱的,這些規則是該理論的公理,可以解釋為計算規則。
lambda conculus以其原始形式不包括函數的域和代號的概念。粗略地說,它們是在理論中以類型的lambda微積分的名義引入的。大多數類型的lambda calculi可以比未型的lambda cyculus定義更少的功能。