幾何學

幾何學（來自古希臘 γεωμετρία （ geōmetría ） “土地測量”；從 γῆ （ gê ） “地球，土地”和 μέτρον （ Métron ） “措施”）是數學的一個分支，涉及空間的特性，例如圖形的距離，形狀，大小和相對位置。幾何形狀與算術是數學最古老的分支之一。在幾何領域工作的數學家稱為地理表。直到19世紀，幾何形狀幾乎完全專門用於歐幾里得的幾何形狀，其中包括點，線，平面，距離，距離，角度，表面和曲線的概念，作為基本概念。

幾何最初是為了建模物理世界而開發的，幾乎在幾乎所有科學中都有應用，以及與圖形相關的藝術，建築和其他活動。幾何形狀在顯然無關的數學領域也有應用。例如，代數幾何的方法在威爾斯的最後一個定理證明這是基本定理的證明，這是根據基本算術的指定，並且在幾個世紀以來一直尚未解決。

在19世紀，一些發現大大擴大了幾何範圍。此類最古老的發現之一是卡爾·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss ）的理論egregium （“顯著定理”），該理論斷言表面的高斯曲率與歐幾里得空間中的任何特定嵌入獨立。這意味著可以本質地研究表面，即作為獨立空間，並已擴展為歧管和riemannian幾何學理論。在19世紀晚些時候，似乎可以開發沒有任何平行假設的幾何形狀（非歐國幾何形狀）而不會引入任何矛盾。基礎一般相對論的幾何形狀是非歐盟幾何形狀的著名應用。

自19世紀後期以來，幾何範圍已經大大擴展，並且在許多子場中都分裂了該領域，這些子場取決於潛在的方法- 差異幾何，代數幾何，計算幾何，計算幾何，代數拓撲，也稱為離散的幾何學（也稱為聯合構成組合數學）幾何形狀）等。或者在忽略的歐幾里得空間的性質上 - 僅考慮對點的比對而不是距離和並行性的投射幾何形狀，忽略角度和距離的概念，有限的幾何形狀，省略了連續性以及其他有限的幾何形狀，以及。幾何範圍的這種擴大導致“空間”一詞的含義改變，最初是指物理世界的三維空間及其由歐幾里得幾何形狀提供的模型；目前，幾何空間或簡單的空間是定義某些幾何形狀的數學結構。

歷史

最早記錄的幾何開始可以追溯到公元前第二個千年的古代美索不達米亞和埃及。早期的幾何形狀是有關長度，角度，區域和卷的經驗發現的原則的集合，這些原則旨在滿足測量，建築，天文學和各種手工藝品的一些實際需求。關於幾何學的最早已知文本是埃及Rhind Papyrus （公元前2000年至1800年）和莫斯科紙莎草紙（ C。1890BC ）和巴比倫粘土片，例如Plimpton 322 （1900 BC）。例如，莫斯科紙莎草紙給出了計算截短金字塔或frustum的體積的公式。後來的粘土片（公元前350 - 50年）表明，巴比倫天文學家實施了梯形程序，以計算木星在時間效率空間內的位置和運動。這些幾何程序預計牛津計算器（包括平均速度定理）將達到14個世紀。埃及南部的古代努比亞人建立了一種幾何系統，包括早期版本的陽光鐘。

在公元前7世紀，希臘數學家的米利特斯（Miletus）泰勒斯（Thales of Miletus）使用幾何形狀來解決諸如計算金字塔的高度和船隻距離海岸的距離之類的問題。通過將四個推論推導到Thales定理中，他首次使用了用於幾何形狀的推理推理。畢達哥拉斯（Pythagoras）建立了畢達哥拉斯學校（Pythagorean School） ，該學校以畢達哥拉斯定理的第一個證明為由，儘管該定理的陳述具有悠久的歷史。 Eudoxus （ 408 –c。355BC ）開發了一種疲憊的方法，它允許計算曲線圖的面積和體積，以及比率理論，該理論避免了不可承受的幅度問題，從而使後續的幾何圖形能夠使後續的幾何圖形取得重大進步。大約公元前300年，幾何形狀被歐幾里得徹底改變，其元素被廣泛認為是有史以來最成功和最有影響力的教科書，它通過公理方法引入了數學嚴格，並且是當今數學中仍在數學中使用的最早的例子，它是定義，即定義，即定義，公理，定理和證明。儘管這些元素的大多數內容已經知道，但歐幾里得將它們排列成一個連貫的邏輯框架。直到20世紀中葉，所有受過教育的人都知道這些元素，其內容仍在今天的幾何課程中教授。意大利錫拉丘茲的阿基米德（ C。287–212 BC ）使用精疲力盡的方法來計算拋物線的弧線下的面積，並用無限序列的彙編，並給出了PI的準確近似值。他還研究了帶有他名字的螺旋形，並獲得了革命表面卷的公式。

印度數學家在幾何學方面也做出了許多重要的貢獻。 Shatapatha Brahmana （公元前3世紀）包含與Sulba Sutras相似的儀式幾何結構的規則。根據（ Hayashi 2005 ，p。363）， ŚulbaSūtras包含“畢達哥拉斯定理最早的最早的口頭表達，儘管它已經是舊巴比倫人所知道的。它們包含畢達哥拉斯的列表，這些列表是特別的，這是特別的三胞胎。 Bakhshali手稿中的Diophantine方程，有少數幾何問題（包括關於不規則的固體的問題） 499）包括對區域和卷的計算。 ）和“實用數學”（包括混合物，數學系列，平面圖，堆疊磚，鋸木和穀物的堆積）。第十二章還包括一個循環四邊形區域的公式（對蒼鷺的公式的概括），以及對理性三角形的完整描述（即具有理性的邊和合理區域的三角形）。

在中世紀，中世紀伊斯蘭教中的數學有助於幾何形狀的發展，尤其是代數幾何形狀。 Al-Mahani （生於853）想到了減少幾何問題的想法，例如將立方體複製到代數中的問題。 thābitibnQurra （拉丁語中稱為thebit）（836–901）處理適用於幾何量比的算術操作，並有助於分析幾何形狀的發展。奧馬爾·卡亞姆（ Omar Khayyam ）（1048–1131）找到了對立方方程的幾何解決方案。 Ibn al-Haytham （Alhazen），Omar Khayyam和Nasir al-Din al-Tusi的定理，包括蘭伯特四邊形和saccheri Quadrilitral ，是雙層的早期結果，以及它們的多餘幾何形狀，以及他們的其他優勢，以及其他的playulate playmiom playiom playiom playiom axii axii axii axi。 ，這些作品對後來的歐洲幾何形狀（包括Vitello （ c。1230 - c。1314 ）， Gersonides （ 1288-1344 ），Alfonso， John Wallis和Giovanni Girolamo Saccheri在內的非歐幾里得幾何形狀的發展具有很大影響。

在17世紀初期，幾何發展有兩個重要的發展。首先是由RenéDescartes （1596–1650）和Pierre de Fermat （1601–1665）創建分析幾何形狀或具有坐標和方程式的幾何形狀。這是微積分發展和物理學的精確定量科學的必要先驅。這一時期的第二個幾何發展是吉拉德·德薩格斯（Girard Desargues）（1591–1661）對投射幾何形狀的系統研究。射影的幾何形狀研究形狀的特性在投影和部分下沒有變化，尤其是與藝術觀點相關時。

19世紀幾何發展的兩個發展改變了以前研究的方式。這些是尼古拉·伊瓦諾維奇·洛巴喬夫斯基（Nikolai Ivanovich Lobachevsky），賈諾斯·博萊伊（JánosBolyai）和卡爾·弗里德里希高斯（Carl Friedrich Gauss）發現的非歐幾里得幾何形狀，以及對對稱性的表述，作為Felix Klein Erlangen計劃中的核心考慮因素（這是Euclideanean和非 - 伊珠寶）。當時的兩個主幾何圖是Bernhard Riemann （1826-1866），主要與數學分析的工具合作，並介紹Riemann表面，而代數拓撲的創始人HenriPoincaré和動力學系統的幾何理論的創始人HenriPoincaré。由於幾何概念的這些主要變化，“空間”的概念變得豐富而多樣，而自然背景的理論與複雜的分析和經典力學不同。

主要概念

以下是幾何學中一些最重要的概念。

公理

Euclid在其元素中採用了一種抽象的幾何方法，這是有史以來最有影響力的書之一。歐幾里得引入了某些公理或假設，表達了點，線和平面的主要或自我形象。他通過數學推理嚴格地推斷出其他屬性。歐幾里得的幾何方法的特徵是嚴格的，它被稱為公理或合成幾何形狀。 19世紀初，尼古拉·伊万諾維奇·洛巴喬夫斯基（Nikolai Ivanovich Lobachevsky） （1792– 1856年），賈諾斯·博萊伊（JánosBolyai ）（1802–1860）發現了非歐國人幾何形狀，卡爾·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss ）（1777-1855）（1777–1855）和其他興趣。該學科和20世紀的戴維·希爾伯特（David Hilbert，1862 – 1943年）採用了公理推理，試圖提供現代的幾何基礎。

對象

點

點通常被認為是建築幾何形狀的基本對象。它們可以由它們必須具有的屬性定義，例如歐幾里得的定義為“沒有部分”或合成幾何形狀。在現代數學中，它們通常被定義為一個稱為空間的集合的元素，該元素本身是公理定義的。

有了這些現代定義，每個幾何形狀都被定義為一組點。在綜合幾何形狀中，情況並非如此，其中一條線是另一個基本對象，未被視為通過其通過的點的集合。

但是，有現代的幾何形狀，其中點不是原始對象，甚至沒有點。此類幾何形狀最古老的是Whitehead的無點幾何形狀，該幾何形狀由Alfred North Whitehead在1919 - 1920年制定。

線

歐幾里得將一條線描述為“無寬長度”，“相對於本身的點同樣存在”。在現代數學中，鑑於多種幾何形狀，線的概念與描述幾何形狀的方式緊密相關。例如，在分析幾何形狀中，平面中的一條線通常定義為一組坐標滿足給定線性方程的點集，但是在更抽象的環境中，例如發射率幾何形狀，一條線可以是一個獨立的對象，不同於躺在上面的一組點。在差異幾何形狀中，測量是對彎曲空間的線概念的概括。

飛機

在歐幾里得幾何形狀中，平面是一個扁平的二維表面，無限地延伸。其他類型的幾何形狀的定義是對此的概括。平面用於幾何區域。例如，可以將平面作為拓撲表面研究，而無需參考距離或角度。可以將其作為仿射空間進行研究，在該空間中可以研究共線性和比率，但不能研究距離。可以使用複雜分析技術將其作為複雜平面進行研究。等等。

角度

歐幾里得將平面角定義為彼此之間的傾斜度，這些平面是彼此相遇的兩條線的平面角度，並且不會彼此直接躺著。用現代術語來說，角度是由兩個射線形成的圖，稱為角度的側面，共享一個共同的端點，稱為角度的頂點。

在歐幾里得的幾何形狀中，角度用於研究多邊形和三角形，並本身形成了研究對象。對三角形或單位圓中角度的角度的研究形成了三角學的基礎。

在差異幾何形狀和演算中，可以使用衍生物計算平面曲線或空間曲線或表面之間的角度。

曲線

曲線是一個可能是直（如線）的一維對象。二維空間中的曲線稱為平面曲線，三維空間中的曲線稱為空間曲線。

在拓撲中，曲線由從實數的間隔到另一個空間的函數定義。在差異幾何形狀中，使用相同的定義，但是定義函數必須為代​​數幾何研究代數曲線，該數字曲線被定義為維數的代數品種。

表面

表面是二維物體，例如球體或拋物面。在不同的幾何形狀和拓撲結構中，表面由二維“斑塊”（或鄰域）描述，分別由差異或同構形態組裝。在代數幾何形狀中，表面由多項式方程描述。

固體

固體是由封閉表面界定的三維物體。例如，球是由球體界定的音量。

歧管

歧管是曲線和表面概念的概括。在拓撲結構中，一個歧管是一個拓撲空間，每個點都有一個對歐幾里得空間同構的鄰居。在差異幾何形狀中，一個可區分的歧管是每個鄰域對歐幾里得空間差異的空間。

歧管廣泛用於物理學，包括一般相對論和弦理論。

措施：長度，面積和體積

長度，面積和音量分別在一個維度，二維和三個維度上描述對象的大小或程度。

在歐幾里得的幾何形狀和分析幾何形狀中，線段的長度通常可以由畢達哥拉斯定理計算。

面積和體積可以定義為與長度分開的基本數量，也可以用平面或3維空間的長度進行描述和計算。數學家發現了許多針對各種幾何對象的面積和公式的明確公式。在微積分中，可以根據積分（例如Riemann積分或Lebesgue積分）來定義面積和音量。

其他幾何措施包括角度測量，曲率，緊湊度度量。

指標和措施

長度或距離的概念可以概括，從而導致指標的概念。例如，歐幾里得公制測量歐幾里得平面中點之間的距離，而雙曲線度量測量雙曲線平面的距離。指標的其他重要示例包括特殊相對論的洛倫茲指標和一般相對性的半侵權指標。

在不同的方向上，長度，面積和體積的概念是通過測量理論擴展的，該理論研究了將大小或度量分配給集合的方法，其中措施遵循類似於經典面積和體積的規則。

一致性和相似性

一致性和相似性是描述兩個形狀具有相似特徵的概念。在歐幾里得的幾何形狀中，相似性用於描述具有相同形狀的對象，而一致性則用於描述大小和形狀相同的對象。希爾伯特（Hilbert）在創造更嚴格的幾何基礎的工作中，將一致性視為一個不確定的術語，其特性是由公理定義的。

一致性和相似性在變換幾何形狀中概括，該幾何形狀研究了通過不同類型的轉換保留的幾何對象的特性。

指南針和直立構造

經典的幾何體特別注意構建以其他方式描述的幾何對象。從經典上講，大多數幾何構造中使用的唯一儀器是指南針和直角。同樣，每個構造都必須以有限的步驟完成。但是，僅憑這些手段，一些問題很難解決，並且發現使用Neusis ，Parabolas和其他曲線或機械設備的巧妙結構。

旋轉和方向

旋轉和方向的幾何概念定義了嵌入在平面或太空中的對象的一部分。

方面

在傳統的幾何形狀允許尺寸1（線），2（一個平面）和3（我們的環境世界被認為是三維空間）的地方，數學家和物理學家在近兩個世紀中使用了更高的維度。用於更高維度的數學用途的一個示例是物理系統的配置空間，其維度等於系統的自由度。例如，螺釘的配置可以由五個坐標描述。

總的來說，維度的概念已經從自然數，無限維度（例如希爾伯特空間）和正實數（以分形幾何形狀）擴展。在代數幾何形狀中，代數品種的維度已獲得許多明顯不同的定義，在最常見的情況下它們都是等效的。

對稱

幾何形狀中對稱性的主題幾乎與幾何科學本身一樣古老。諸如圓，常規多邊形和柏拉圖固體之類的對稱形狀對許多古代哲學家具有深厚的意義，並在歐幾里得之前進行了詳細的研究。對稱模式出現在自然界中，並以多種形式進行藝術渲染，包括萊昂納多·達·芬奇（Leonardo da Vinci） ，麥克·埃舍爾（Mc Escher）等人的圖形。在19世紀下半葉，對稱與幾何之間的關係受到了嚴格的審查。 Felix Klein的Erlangen計劃宣稱，從非常精確的意義上講，通過轉換組的概念表示對稱性，確定了幾何形狀。經典歐幾里得幾何形狀中的對稱性由一致性和剛性動作表示，而在射影的幾何形狀中，相似的角色是由collat​​eations扮演的，幾何變換將直線變成直線。然而，正是在Bolyai和Lobachevsky，Riemann， Clifford和Klein以及Sophus謊言的新幾何形狀中，克萊因的想法是“通過其對稱性組來定義幾何形狀”的想法找到了靈感。離散和連續的對稱性在幾何形狀，拓撲和幾何群體理論中，後者的謊言理論和riemannian幾何形狀中都起著重要作用。

與其他字段相比，不同類型的對稱性是二元性的原理。該元苯甲瘤可以大致描述如下：在任何定理中，與平面的交換點，與Meet一起，與contains一起加入，結果是同樣正確的定理。矢量空間及其雙重空間之間存在類似且密切相關的二元性形式。

當代幾何形狀

歐幾里得的幾何形狀

從經典的意義上講，歐幾里得的幾何形狀是幾何形狀。當它建模物理世界的空間時，它用於許多科學領域，例如力學，天文學，晶體學和許多技術領域，例如工程，建築，地理，空氣動力學和導航。大多數國家的強制性教育課程包括研究歐幾里得概念，例如點，線，平面，角度，三角形，一致性，相似性，固體數字，圓圈和分析幾何形狀。

歐幾里得向量

歐幾里得向量用於物理和工程中的無數應用，例如位置，位移，變形，速度，加速度，力量等。

差異幾何形狀

差異幾何形狀使用微積分和線性代數的技術來研究幾何學問題。它在物理，計量經濟學和生物信息學等方面有應用。

特別是，由於阿爾伯特·愛因斯坦（Albert Einstein ）的一般相對論認為宇宙是彎曲的，差異幾何形狀對數學物理學至關重要。差異幾何形狀可以是固有的（這意味著其認為的空間是光滑的歧管，其幾何結構受riemannian度量的控制，該指標決定瞭如何在每個點附近測量距離）或外部（其中所研究的對像是某些環境的一部分平坦的歐幾里得空間）。

非歐幾里得幾何形狀

拓撲

拓撲是與連續映射的特性有關的領域，可以認為是歐幾里得幾何形狀的概括。實際上，拓撲通常意味著要處理空間的大規模特性，例如連接性和緊湊性。

拓撲領域在20世紀看到了大規模的發展，在技術意義上是一種轉化幾何形狀，其中轉化是同構的。這通常以“拓撲為橡皮圖幾何形狀”的形式表達。拓撲的子場包括幾何拓撲，差異拓撲，代數拓撲和一般拓撲。

代數幾何形狀

代數幾何形狀從根本上是通過某些幾何形狀的代數方法（稱為代數集）進行的研究，並定義為多元多項式多項式的常見零。代數幾何形狀成為幾何學的自主子場c。 1900年，具有稱為Hilbert的Nullstellensatz的定理，該定理在代數集和多項式環的理想之間建立了強烈的對應關係。這導致了代數幾何形狀的平行發展及其代數對應物，稱為交換代數。從1950年代後期到1970年代中期，代數幾何形狀發生了重大的基礎發展，並由方案理論的亞歷山大·格羅斯迪克（Alexander Grothendieck）引入，該理論允許使用拓撲方法，包括純粹代數背景下的共同體學理論。方案理論允許不僅在幾何學中，而且在數量理論中解決許多困難問題。威爾斯的《 Fermat的最後定理》證明是一個長期存在的數字理論問題的著名例子，其解決方案使用方案理論及其擴展（例如堆棧理論） 。 hodge猜想的七個千年獎項問題之一是代數幾何學的一個問題。

代數幾何形狀在許多領域都有應用，包括密碼學和弦理論。

複雜的幾何形狀

複雜的幾何形狀研究以複雜平面為基礎或產生的幾何結構的性質。複雜的幾何形狀位於差異幾何，代數幾何形狀和幾個複雜變量的分析的交集，並發現了弦理論和鏡像對稱性的應用。

複雜的幾何形狀首先是伯恩哈德·里曼（Bernhard Riemann）在Riemann表面的研究中，是一個獨特的研究領域。 1900年代初，意大利代數幾何學學院進行了工作，以利曼的精神進行工作。當代對複雜幾何形狀的處理始於讓·皮埃爾·塞雷（Jean-Pierre Serre）的工作，後者將滑輪的概念引入了對象，並照亮了複雜的幾何形狀與代數幾何形狀之間的關係。在復雜幾何形狀中的研究主要對像是複雜的歧管，複雜的代數品種和複雜的分析品種，以及在這些空間上的全體形態載體束和相干的滑輪。複雜幾何形狀研究的空間的特殊示例包括Riemann表面和Calabi -Yau歧管，這些空間在弦理論中找到了用途。特別是，字符串的世界表是由Riemann表面建模的， SuperString理論預測，10維時空的額外6維可以通過Calabi -Yau歧管來建模。

離散的幾何形狀

離散的幾何形狀是與凸幾何有密切連接的主題。它主要涉及簡單幾何對象的相對位置的問題，例如點，線和圓。例子包括研究球體包裝，三角形，凱瑟 - 孔子猜想等。它與組合有許多方法和原理。

計算幾何形狀

計算幾何形狀涉及算法及其用於操縱幾何對象的實現。歷史上重要的問題包括旅行推銷員問題，最小跨越樹木，隱藏線拆除和線性編程。

儘管是年輕的幾何區域，但它在計算機視覺，圖像處理，計算機輔助設計，醫學成像等中都有許多應用。

幾何群體理論

幾何組理論使用大規模的幾何技術來研究有限生成的組。它與低維拓撲密切相關，例如在格里戈里·佩雷曼（Grigori Perelman ）的幾何化猜想證明中，其中包括龐加萊猜想的證明，這是千年獎的問題。

幾何群體理論通常圍繞著Cayley圖，這是一個組的幾何表示。其他重要的主題包括準靜態， gromov hyperbolic群和直角的artin組。

凸幾何

凸幾何形狀研究了歐幾里得空間中的凸形及其更抽象的類似物，通常使用真實分析和離散數學的技術。它與凸分析，優化和功能分析以及數字理論中的重要應用有密切的聯繫。

凸的幾何形狀可以追溯到上古。阿基米德給出了第一個已知的精確定義。同樣，包括Zenodorus在內的Greeks也研究了等等概念，這是凸幾何的重複概念。 Archimedes， Plato ， Euclid ，以及後來的開普勒和Coxeter都研究了凸多型及其特性。從19世紀開始，數學家研究了凸數學的其他領域，包括較高的多型，凸體的體積和表面積，高斯曲率，算法，瓷磚和晶格。

申請

幾何發現在許多領域中找到了應用，其中一些如下所述。

藝術

數學和藝術以多種方式相關。例如，透視理論表明，幾何不僅僅是數字的度量特性：透視是投射幾何形狀的起源。

藝術家長期以來一直在設計中使用了比例的概念。 Vitruvius開發了一個複雜的理論理論，即人為人物的理想比例。這些概念已被從米開朗基羅到現代漫畫藝術家的藝術家使用和改編。

黃金比率是在藝術中發揮有爭議的特定比例。通常，人們經常被認為是最令人愉悅的長度比例，但經常據說被納入著名的藝術品，儘管最可靠和最明確的例子是由意識到這個傳說的藝術家故意做出的。

整個歷史上都使用了瓷磚或縫線。伊斯蘭藝術和麥克·埃舍爾（Mc Escher）的藝術經常使用鑲嵌。埃舍爾的作品還利用了雙曲線幾何形狀。

Cézanne提出了這樣的理論，即所有圖像都可以從球體，錐體和圓柱體中構建。這仍然在當今的藝術理論中使用，儘管形狀的確切列表因作者而異。

建築學

幾何形狀在體系結構中有許多應用。實際上，已經說幾何圖形在於建築設計的核心。幾何形狀的應用在體系結構上的應用包括使用射影幾何形狀來創建強制透視圖，在構造圓頂和類似對像中使用圓錐形部分，使用鑲嵌物以及使用對稱性。

物理

天文學的領域，特別是與繪製恆星和行星在天體球體上的位置並描述天體運動之間的關係，這是整個歷史上幾何問題的重要來源。

riemannian幾何形狀和偽里曼尼亞的幾何形狀用於一般相對論。字符串理論與量子信息理論一樣利用了幾種幾何變體。

其他數學領域

微積分受幾何形狀的強烈影響。例如， RenéDescartes引入坐標以及代數的並發發展標誌著幾何階段的幾何階段，因為現在可以以函數和方程的形式分析地表示幾何圖形（如平面曲線） 。這在17世紀的無限微積分的出現中發揮了關鍵作用。分析幾何形狀繼續是校準和微積分課程的中流tay柱。

應用的另一個重要領域是數字理論。在古希臘，畢達哥拉斯人認為數字在幾何學中的作用。然而，發現不可估量的長度與他們的哲學觀點相矛盾。自19世紀以來，幾何形狀已用於解決數字理論中的問題，例如通過數字的幾何形狀或最近的方案理論（在威爾斯的Fermat的最後一個定理證明）中使用。

也可以看看

列表

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  • 類別：代數幾何圖
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  • 類別：幾何圖
  • 類別：拓撲師
• 基本幾何形狀中的公式列表
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