幾何學

幾何學(從古希臘γεωμετρίαgeōmetría“土地測量”;從γῆ“地球,土地”和μέτρον梅特隆“措施”)是算術,最古老的分支之一數學。它與與圖形的距離,形狀,大小和相對位置相關的空間屬性有關。[1]在幾何領域工作的數學家稱為地理表.

直到19世紀,幾何學幾乎只專門用於歐幾里得的幾何形狀[a]其中包括觀點飛機距離角度表面, 和曲線,作為基本概念。[2]

在19世紀,一些發現大大擴大了幾何範圍。這樣最古老的發現之一是高斯'理論egregium(“顯著定理”)大致斷言高斯曲率表面的獨立於任何特定嵌入在一個歐幾里得空間。這意味著可以研究表面本質上,也就是說,作為獨立空間,並已擴展到歧管里曼尼亞的幾何形狀.

在19世紀晚些時候,似乎沒有平行假設非歐亞人幾何形狀)可以在不引入任何矛盾的情況下開發。基礎的幾何形狀一般相對論是非歐幾里得幾何形狀的著名應用。

從那時起,幾何範圍已大大擴展,並且在許多子場中分裂了該領域,這些子場取決於基礎方法 - 差異幾何形狀代數幾何形狀計算幾何形狀代數拓撲離散的幾何形狀(也稱為組合幾何形狀)等。或者在被忽略的歐幾里得空間的性質上 - 投影幾何形狀僅考慮點的對準點,而不考慮距離和並行性,仿射幾何形狀省略了角度和距離的概念,有限的幾何形狀那省略了連續性, 和別的。

幾何最初是為了建模物理世界而開發的,幾乎在幾乎所有科學,也在藝術建築學,以及與圖形.[3]幾何形狀在顯然無關的數學領域也有應用。例如,代數幾何方法在威爾斯的證明費馬特的最後定理,這是根據基本算術,幾個世紀以來一直未解決。

歷史

一個歐洲的阿拉伯練習15世紀

最早記錄的幾何開始可以追溯到古代美索不達米亞埃及公元前第二千年。[4][5]早期的幾何形狀是關於長度,角度,區域和卷的經驗發現的一系列的集合,這些原則是為滿足某些實際需求而開發的測量建造天文學和各種工藝。幾何學上最早的已知文本是埃及人Rhind Papyrus(公元前2000 - 1800年)和莫斯科紙莎草紙(約1890年),巴比倫粘土片, 如Plimpton 322(公元前1900年)。例如,莫斯科紙莎草紙提供了計算截短金字塔的體積的公式,或frustum.[6]後來的粘土平板電腦(公元前350 - 50年)證明了巴比倫天文學家實施梯形計算木星位置的程序和運動在時間速度空間內。這些幾何過程預計牛津計算器, 包括平均速度定理,到14個世紀。[7]埃及南部古代努比亞人建立了一個幾何系統系統,包括早期版本的太陽鐘。[8][9]

在公元前7世紀希臘語數學家米利特斯的泰勒斯使用幾何形狀來解決問題,例如計算金字塔的高度和船舶與岸邊的距離。他首次使用的推理將四個推論推導到幾何形狀上,因此被稱讚為Thales的定理.[10]畢達哥拉斯建立了畢達哥拉斯學校,這是由第一個證明勾股定理[11]儘管該定理的陳述具有悠久的歷史。[12][13]Eudoxus(公元前408 –c。355)開發了精疲力盡的方法,這允許計算曲線圖的區域和體積,[14]以及避免的比率理論不可估量的幅度,這使後續的幾何圖形能夠取得重大進展。大約公元前300年,幾何形狀被歐幾里得革命元素,被普遍認為是有史以來最成功,最有影響力的教科書,[15]引入數學嚴謹通過公理方法並且是當今數學中仍使用的格式的最早示例,即定義,公理,定理和證明。雖然大多數內容元素歐幾里得已經知道,將它們排列成一個連貫的邏輯框架。[16]元素直到20世紀中葉,西方的所有受過教育的人都知道,其內容仍在今天的幾何課程中教授。[17]阿基米德(公元前287 - 212年)錫拉丘茲使用了精疲力盡的方法計算區域在一個弧線下拋物線無限系列的求和,並給出非常準確的近似值pi.[18]他還研究了螺旋帶有他的名字,並獲得了革命的表面.

女人教幾何學。中世紀翻譯開始時的插圖歐幾里得的元素,(c。1310)。

印度人數學家在幾何學方面也做出了許多重要的貢獻。這Satapatha Brahmana(公元前3世紀)包含與儀式幾何結構相似的規則Sulba Sutras.[19]根據 (Hayashi 2005,p。 363),ŚulbaSūtras包含“畢達哥拉斯定理的最早的言語表達,儘管它已經是舊巴比倫人所知道的。它們包含清單畢達哥拉斯三元組[20]哪個是雙方方程.[21]在裡面Bakhshali手稿,存在一些幾何問題(包括關於不規則固體體積的問題)。 Bakhshali手稿還“採用了一個小數點的位置價值系統,其中點為零”。[22]AryabhataAryabhatiya(499)包括區域和體積的計算。婆羅門寫了他的天文學作品Brāhma Sphuṭa Siddhānta628.第12章,包含66梵文經文分為兩個部分:“基本操作”(包括立方根,分數,比率和比例以及易貨)和“實用數學”(包括混合物,數學系列,平面圖,堆疊磚,鋸齒和樁樁,堆積,堆積,堆積穀物)。[23]在後一部分中,他陳述了他著名的定理循環四邊形。第十二章還包括一個循環四邊形面積的公式(概括蒼鷺的公式),以及對理性三角形IE。具有理性的邊和理性領域的三角形)。[23]

在裡面中世紀中世紀伊斯蘭教中的數學有助於幾何形狀的發展代數幾何形狀.[24][25]Al-Mahani(b。853)構想了減少幾何問題的想法,例如將立方體複製到代數中的問題。[26]thābitibnQurra(被稱為thebit拉丁)(836–901)處理算術適用的操作比率幾何量,並為發展分析幾何形狀.[27]奧馬爾·卡耶姆(OmarKhayyám)(1048–1131)找到了幾何解決方案立方方程.[28]定理伊本·海瑟姆(Ibn al-Haytham)(Alhazen),Omar Khayyam和Nasir al-Din al-Tusi四邊形, 包括蘭伯特四邊形Saccheri四邊形,是早期的結果雙曲幾何形狀,以及他們的替代假設,例如Playfair的公理,這些作品對後來的歐洲幾何圖形之間的非歐國人幾何形狀的發展產生了相當大的影響,包括維特洛(c。1230–c。1314),Gersonides(1288–1344),阿方索約翰·沃利斯(John Wallis), 和Giovanni Girolamo Saccheri.[可疑][29]

在17世紀初期,幾何發展有兩個重要的發展。首先是創建分析幾何或幾何形狀坐標方程式, 經過雷內笛卡爾(1596–1650)和皮埃爾·德·費馬特(Pierre de Fermat)(1601–1665)。[30]這是發展的必要先驅結石以及一門精確的定量科學物理.[31]這一時期的第二幾何發展是對投影幾何形狀經過吉拉德·德薩爾格(Girard Desargues)(1591–1661)。[32]射影的幾何學研究特性的形狀不變的形狀預測部分,尤其是與藝術觀點.[33]

19世紀的幾何發展發生了兩種發展,改變了以前研究的方式。[34]這些是發現非歐亞人幾何形狀由尼古拉·伊万諾維奇·羅巴喬夫斯基(Nikolai Ivanovich Lobachevsky),賈諾斯·博萊伊(JánosBolyai)和卡爾·弗里德里希·高斯(Carl Friedrich Gauss)以及製定對稱作為中心考慮Erlangen程序Felix Klein(概括了歐幾里得和非歐幾里得幾何形狀)。當時的兩個主幾何圖是伯恩哈德·里曼(Bernhard Riemann)(1826–1866),主要使用數學分析,並介紹黎曼表面, 和HenriPoincaré,創始人代數拓撲和幾何理論動力系統。由於幾何概念的這些主要變化,“空間”的概念變得豐富而多樣,而自然背景的理論則與眾不同複雜分析古典力學.[35]

主要概念

以下是幾何學中一些最重要的概念。[2][36][37]

公理

歐幾里得的插圖平行假設

歐幾里得在他的幾何學上採取了抽象的方法元素[38]有史以來最有影響力的書之一。[39]歐幾里得引入了一些公理, 或者假設,表達要點,線和平面的主要或自動化屬性。[40]他通過數學推理嚴格地推斷出其他屬性。歐幾里得(Euclid)幾何方法的特徵是嚴格的,它已被稱為公理或者合成的幾何學。[41]在19世紀初,發現非歐亞人幾何形狀經過尼古拉·伊万諾維奇·羅巴喬夫斯基(1792–1856),JánosBolyai(1802–1860),卡爾·弗里德里希高斯(Carl Friedrich Gauss)(1777–1855)等[42]導致了這一學科的興趣復興,在20世紀大衛·希爾伯特(David Hilbert)(1862–1943)採用了公理推理,試圖提供現代的幾何基礎。[43]

對象

點通常被認為是建築幾何形狀的基本對象。它們可能由Thay必須具有的屬性定義,例如Euclid的定義為“沒有任何部分”,[44]或IN合成幾何形狀。在現代數學中,它們通常被定義為元素一個空間,這本身就是公理定義。

有了這些現代定義,每個幾何形狀都被定義為一組點。在綜合幾何形狀中並非如此,其中一條線是另一個基本對象,未被視為通過其通過的點的集合。

但是,有現代的幾何形狀,其中點不是原始對象,甚至沒有點。[45][46]這樣古老的幾何之一是懷特海的無點幾何形狀,由阿爾弗雷德北懷特黑德1919 - 1920年。

歐幾里得將一條線描述為“無寬長度”,“相對於點本身同樣存在”。[44]在現代數學中,鑑於多種幾何形狀,一條線的概念與描述幾何形狀的方式緊密相關。例如,在分析幾何形狀,飛機上的一條線通常被定義為一組點,其坐標滿足給定線性方程[47]但是在更抽象的環境中,例如發生率幾何形狀,一條線可以是一個獨立的對象,與位於其上的一組點不同。[48]在差異幾何形狀中大地是一條線的概念的概括彎曲的空間.[49]

飛機

在歐幾里得幾何圖飛機是一個平坦的二維表面,無限地延伸。[44]其他類型的幾何形狀的定義是對此的概括。平面用於幾何區域。例如,可以將飛機研究為拓撲表面沒有提及距離或角度;[50]它可以作為一個仿射空間,可以研究共線性和比率,但不能研究距離;[51]可以研究複雜的平面使用的技術複雜分析[52]等等。

角度

歐幾里得定義飛機角度作為彼此之間的傾向,兩條線相遇,彼此之​​間不直接躺著。[44]用現代術語來說,角度是兩個人形成的數字光線, 叫做角度,共享一個共同終點,稱為頂點角度。[53]

急性(a),鈍(b)和直(c)角度。急性和鈍角也稱為斜角。

歐幾里得的幾何形狀,角度用於學習多邊形三角形,以及本身形成研究對象。[44]研究三角形或角度的角度的研究單位圓構成三角學.[54]

差異幾何形狀結石,之間的角度平面曲線或者空間曲線或者表面可以使用衍生物.[55][56]

曲線

一個曲線是一個可能是直(如線)的一維對象;二維空間中的曲線稱為平面曲線和三維空間中的人稱為空間曲線.[57]

在拓撲中,曲線由從實數間隔到另一個空間的函數定義。[50]在差異幾何形狀中,使用相同的定義,但是定義函數必須可區分[58]代數幾何研究代數曲線,定義為代數品種方面一。[59]

表面

球是可以參數定義的表面(通過x=rθcosφy=rθφz=rcosθ或隱式(通過x2+y2+z2r2= 0

一個表面是二維物體,例如球體或拋物面。[60]差異幾何形狀[58]拓撲[50]表面由二維“補丁”描述(或社區)由差異性或者同態, 分別。在代數幾何形狀中,表面由多項式方程.[59]

歧管

一個歧管是曲線和表面概念的概括。在拓撲,一個歧管是拓撲空間每個點都有一個鄰里那是同型到歐幾里得空間。[50]差異幾何形狀, 一個可微分的歧管是每個社區的空間差異到歐幾里得空間。[58]

歧管在物理中廣泛使用,包括一般相對論弦理論.[61]

長度,面積和體積

長度區域, 和體積在一個維度,二維和三個維度中分別描述對象的大小或範圍。[62]

歐幾里得的幾何形狀分析幾何形狀,線段的長度通常可以通過勾股定理.[63]

面積和體積可以定義為與長度分開的基本數量,也可以用平面或3維空間的長度進行描述和計算。[62]數學家發現了許多明確的面積的公式音量的公式各種幾何對象。在結石,可以根據積分, 如那個Riemann積分[64]或者Lebesgue積分.[65]

指標和措施

視覺檢查勾股定理對於(3、4、5)三角形就像在Zhoubi Suanjing公元前500–200。畢達哥拉斯定理是歐幾里得公制.

長度或距離的概念可以概括,從而導致指標.[66]例如,歐幾里得公制衡量點之間的距離歐幾里得平面,而雙曲線度量測量距離雙曲機平面。指標的其他重要例子包括洛倫茲公制特殊相對論和半里曼尼亞指標一般相對論.[67]

在不同的方向上,長度,面積和音量的概念被擴展測量理論,哪種研究分配大小或措施,這些措施遵循類似於經典區域和數量的規則。[68]

一致性和相似性

一致相似是描述兩個形狀具有相似特徵的概念。[69]在歐幾里得的幾何形狀中,相似性用於描述具有相同形狀的對象,而一致性則用於描述大小和形狀相同的對象。[70]希爾伯特,在他為創造更嚴格的幾何基礎的工作中,將一致性視為一個不確定的術語,其屬性是由公理.

一致性和相似性在變換幾何形狀,研究了通過不同類型的轉換保留的幾何對象的性質。[71]

指南針和直edge構造

經典的幾何體特別注意構建以其他方式描述的幾何對象。經典,大多數幾何結構中使用的唯一儀器是羅盤直尺.[b]同樣,每個構造都必須以有限的步驟完成。但是,某些問題原來很難或不可能通過這些方法解決,而巧妙的結構則使用Neusis發現,拋物線和其他曲線或機械設備。

方面

科赫雪花, 和分形維度= log4/log3和拓撲維度= 1

傳統幾何形狀允許尺寸1(a)),2(a飛機)和3(我們的環境世界被認為是三維空間),數學家和物理學家使用過較高的尺寸近兩個世紀以來。[72]用於更高維度的數學用途的一個示例是配置空間物理系統的尺寸等於系統的尺寸自由程度。例如,螺釘的配置可以由五個坐標描述。[73]

一般拓撲,維度的概念已從自然數,到無限的維度(希爾伯特空間例如)和積極實數(在分形幾何形狀)。[74]代數幾何形狀, 這代數品種的維度已經收到了許多明顯不同的定義,在最常見的情況下都是等效的。[75]

對稱

主題對稱在幾何學中,幾何本身幾乎與幾何科學一樣古老。[76]對稱形狀,例如圓圈常規多邊形柏拉圖固體對許多古代哲學家具有深厚的意義[77]並在歐幾里得之前進行了詳細研究。[40]對稱模式發生在自然界中,並以多種形式進行藝術渲染,包括萊昂納多·達芬奇M. C. Escher, 和別的。[78]在19世紀下半葉,對稱性與幾何形狀之間的關係受到了嚴格的審查。Felix KleinErlangen程序宣稱,從非常精確的意義上講,通過轉換的概念表示對稱性團體,確定什麼幾何形狀.[79]古典中的對稱性歐幾里得的幾何形狀一致和嚴格的動作,而投影幾何形狀相似的角色由colleations幾何變換那將直線直線排成一線。[80]但是,它是在Bolyai和Lobachevsky的新幾何形狀中,Riemann,克利福德和克萊因,然後索菲斯說謊克萊因(Klein)的想法是通過其定義幾何形狀對稱組'找到了它的靈感。[81]離散和連續的對稱性在幾何學中都起著突出的作用,前者在拓撲幾何群體理論[82][83]後者進來謊言理論里曼尼亞的幾何形狀.[84][85]

一種不同類型的對稱性是雙重性投影幾何形狀,除其他領域。該元苯甲瘤可以大致描述如下:定理, 交換觀點飛機加入遇見躺在包含,結果是同樣正確的定理。[86]二元性的類似且緊密相關的形式向量空間及其雙空間.[87]

當代幾何形狀

歐幾里得的幾何形狀

歐幾里得的幾何形狀從古典意義上講是幾何形狀。[88]當它建模物理世界的空間時,它用於許多科學領域,例如力學天文學晶體學[89]以及許多技術領域,例如工程[90]建築學[91]地球[92]空氣動力學[93]導航.[94]大多數國家的強制性教育課程包括對歐幾里得概念的研究,例如飛機角度三角形一致相似固體數字, 和分析幾何形狀.[36]

差異幾何形狀

差異幾何形狀使用工具結石研究涉及曲率的問題。

差異幾何形狀使用的技術結石線性代數研究幾何問題。[95]它在物理[96]計量經濟學[97]生物信息學[98]等等。

特別是,差異幾何形狀對於數學物理學由於艾爾伯特愛因斯坦一般相對論假設宇宙彎曲.[99]差分幾何可能是固有的(這意味著它認為的空間是光滑的歧管其幾何結構由里曼尼式公制,確定如何在每個點附近測量距離)或外在(所研究的物體是某些環境平坦的歐幾里得空間的一部分)。[100]

非歐幾里得幾何形狀

歐幾里得的幾何形狀並不是研究幾何形狀的唯一歷史形式。球形幾何形狀長期以來,天文學家,占星家和導航員已使用。[101]

伊曼紐爾·康德認為只有一個絕對,幾何形狀,已知是真實的先驗由內心的心理教師:歐幾里得的幾何形狀是合成的先驗.[102]最初,這種觀點在某種程度上受到思想家的挑戰Saccheri,然後最終被革命的發現推翻非歐幾里得幾何形狀在Bolyai,Lobachevsky和Gauss(從未出版過他的理論)的作品中。[103]他們證明了普通的歐幾里得空間只是幾何發展的一種可能性。然後,對幾何主題的廣泛視野被用里曼在他的1867年就職演講中überdie假設,Welche der GEOMETRIE ZU GRUNDE LIEGEN關於幾何基礎的假設),[104]僅在他去世後出版。里曼的新想法證明是至關重要的艾爾伯特愛因斯坦一般相對論理論.里曼尼亞的幾何形狀它考慮了定義長度概念的非常通用的空間,是現代幾何形狀的中流。[81]

拓撲

拓撲領域與特性有關連續映射[105]並且可以被認為是歐幾里得幾何形狀的概括。[106]實際上,拓撲通常意味著處理空間的大規模特性,例如連接緊湊.[50]

拓撲領域在20世紀看到了大規模發展,從技術意義上講變換幾何形狀,其中轉換是同態.[107]這通常以“拓撲為橡皮圖幾何形狀”的形式表達。拓撲的子場包括幾何拓撲差異拓撲代數拓撲一般拓撲.[108]

代數幾何形狀

的領域代數幾何形狀笛卡爾幾何形狀坐標.[109]它經歷了定期的增長期,伴隨著創建和研究投影幾何形狀生育幾何學代數品種, 和交換代數,除其他主題。[110]從1950年代後期到1970年代中期,它進行了主要的基礎發展,主要是由於讓·皮埃爾·塞雷(Jean-Pierre Serre)亞歷山大·格羅倫迪克(Alexander Grothendieck).[110]這導致引入方案並更加重視拓撲方法,包括各種同時理論。七個千年獎問題, 這霍奇猜想,是代數幾何形狀中的一個問題。[111]威爾斯的最後一個定理證明使用代數幾何的高級方法來解決一個長期存在的問題數字理論.

通常,代數幾何學研究幾何學通過在交換代數多元多項式.[112]它在許多領域都有申請,包括密碼學[113]弦理論.[114]

複雜的幾何形狀

複雜的幾何形狀研究以建模或由此引起的幾何結構的性質複雜的平面.[115][116][117]複雜的幾何形狀位於差異幾何形狀,代數幾何形狀和分析的交集幾個複雜的變量,並找到了申請弦理論鏡子對稱.[118]

複雜的幾何形狀首先作為研究領域伯恩哈德·里曼(Bernhard Riemann)在他的研究中黎曼表面.[119][120][121]以里曼精神的工作是由意大利代數幾何學在1900年代初期。當代對複雜幾何形狀的處理始於讓·皮埃爾·塞雷(Jean-Pierre Serre),介紹了滑繩對主題,並照亮了複雜的幾何形狀與代數幾何形狀之間的關係。[122][123]複雜幾何學研究的主要對像是複雜的歧管複雜的代數品種, 和複雜的分析品種, 和全體形態矢量束連貫的滑輪在這些空間上。複雜幾何形狀研究的空間的特殊示例包括Riemann表面,卡拉比 - 雅多,這些空間在字符串理論中找到了用途。尤其是,世界表字符串由Riemann表面建模,並且超弦理論預測10維的額外6維時空可以通過Calabi -Yau歧管建模。

離散的幾何形狀

離散的幾何形狀包括對各種的研究球包裝.

離散的幾何形狀是與與凸幾何.[124][125][126]它主要涉及簡單幾何對象的相對位置的問題,例如點,線和圓。例子包括研究球包裝三角剖分,Kneser-Poulsen猜想,等等。[127][128]它與組合學.

計算幾何形狀

計算幾何形狀對付算法和他們實施用於操縱幾何物體。歷史上重要的問題包括旅行推銷員問題最小跨越樹隱藏線去除, 和線性規劃.[129]

儘管是年輕的幾何區域,但它在計算機視覺圖像處理計算機輔助設計醫學影像, ETC。[130]

幾何群體理論

Cayley圖免費小組在兩個發電機上一個b

幾何群體理論使用大規模的幾何技術來研究有限生成的組.[131]它與低維拓撲,例如在Grigori Perelman的證明幾何化猜想,其中包括龐加萊的猜想, 一個千年獎問題.[132]

幾何群體理論經常圍繞Cayley圖,這是一組的幾何表示。其他重要主題包括準iSmortiesGromov hyperbolic群體, 和正確的角度artin群體.[131][133]

凸幾何

凸幾何調查歐幾里得空間中的形狀及其更抽象的類似物,通常使用技術真實分析離散數學.[134]它與凸分析優化功能分析以及重要的應用數字理論.

凸的幾何形狀可以追溯到古代。[134]阿基米德給出了第一個已知的凸性精確定義。這等級問題,希臘人也研究了凸幾何形狀中的反复概念,包括Zenodorus。阿基米德,柏拉圖歐幾里得, 然後開普勒Coxeter所有人都研究了凸層及其特性。從19世紀開始,數學家研究了凸數學的其他領域,包括較高維的多面體,凸體的體積和表面積,高斯曲率算法瓷磚晶格.

申請

幾何發現在許多領域中找到了應用,其中一些如下所述。

藝術

Bou Inania Madrasa,FES,摩洛哥,Zellige Mosaic Tiles形成精緻的幾何鑲嵌

數學和藝術以多種方式相關。例如,理論看法表明幾何不僅僅是數字的度量特性:視角是投影幾何形狀.[135]

藝術家長期以來使用了部分在設計中。維特魯威發展了一個複雜的理論理想的比例對於人物。[136]這些概念已被藝術家的使用和改編米開朗基羅到現代漫畫藝術家。[137]

黃金比率是在藝術中發揮爭議的特定比例。通常被認為是最令人愉悅的長度比例,經常被指出納入著名的藝術品,儘管最可靠和最明確的例子是由意識到這個傳說的藝術家故意做出的。[138]

瓷磚在整個歷史上都在藝術中使用,或者鑲嵌。伊斯蘭藝術經常使用鑲嵌,藝術也是如此M. C. Escher.[139]埃舍爾的作品也利用了雙曲幾何形狀.

塞贊提出了所有圖像可以從領域, 這錐體,和圓柱。這仍然在當今的藝術理論中使用,儘管形狀的確切列表因作者而異。[140][141]

建築學

幾何形狀在體系結構中有許多應用。實際上,有人說幾何形狀在於建築設計的核心。[142][143]幾何應用到架構的應用包括投影幾何形狀去創造強迫觀點[144]指某東西的用途圓錐切片在構造圓頂和類似對象時,[91]指某東西的用途鑲嵌[91]以及對稱性的使用。[91]

物理

的領域天文學,尤其是與映射位置有關的星星行星天體球並描述天體運動之間的關係,已成為整個歷史上幾何問題的重要來源。[145]

里曼尼亞的幾何形狀偽里曼尼亞人幾何形狀用於一般相對論.[146]弦理論利用幾種幾何變體,[147]和一樣量子信息理論.[148]

其他數學領域

畢達哥拉斯人發現三角形的側面可能有不可估量的長度。

結石受到幾何形狀的強烈影響。[30]例如,引入坐標經過雷內笛卡爾以及同時發展的發展代數標誌著幾何形狀的新階段,因為幾何圖形(例如平面曲線現在可以代表分析以函數和方程式的形式。這在出現中起著關鍵作用無限微積分在17世紀。分析幾何形狀繼續是校積和微積分課程的主要主體。[149][150]

應用的另一個重要領域是數字理論.[151]古希臘畢達哥拉斯考慮數字在幾何形狀中的作用。然而,發現不可估量的長度與他們的哲學觀點相矛盾。[152]自19世紀以來,幾何學已用於解決數字理論中的問題,例如數字的幾何形狀或最近,方案理論,用於威爾斯證明了費瑪特的最後定理.[153]

也可以看看

列表

相關話題

其他字段

筆記

  1. ^直到19世紀,幾何形狀一直由所有幾何構造都是歐幾里得的假設所佔據的。在19世紀及以後,這受到了發展的挑戰雙曲幾何形狀經過Lobachevsky和別的非歐亞人幾何形狀經過高斯和別的。然後意識到,在整個歷史中都出現了隱式非歐幾里得的幾何形狀,包括Desargues在17世紀,一直追溯到球形幾何形狀理解地球地球並自上古以來就在海洋中航行。
  2. ^古希臘人使用其他樂器有一些結構。
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    “三位科學家,伊本·艾爾·海瑟姆(Ibn al-Haytham),哈亞姆(Khayyam)和塔西(Al-tusi),對這個幾何分支做出了最大的貢獻,其重要性僅在19世紀才被完全認可。本質上,他們關於四邊形屬性的主張。他們認為,假設這些數字的某些角度是鈍的,它體現了雙曲線和橢圓形的幾何形狀的前幾個定理。他們的其他提議表明各種幾何陳述等於歐幾里得,這是極為極為極為極為極為極為極為極為明顯的。重要的是,這些學者建立了這一假設與三角形角度和四邊形角度的總和之間的相互聯繫。通過他們對平行線路理論的作品,阿拉伯數學家直接影響了其歐洲對應物的相關研究。歐洲的第一個嘗試試圖是歐洲的首次嘗試嘗試。證明了平行線的假設 - 由13世紀波蘭科學家維特洛(Witelo)製作的,而修改Ibn al-Haytham的光學書Kitab al-Manazir) - 毫無疑問,阿拉伯語來源。住在法國南部的猶太學者列維·本·格森(Levi Ben Gerson)在14世紀提出的證據,以及上述來自西班牙的阿方索(Alfonso)直接在伊本·海瑟姆(Ibn al-Haytham)的示威活動中接壤。上面,我們證明了偽塔西的歐幾里得博覽會刺激了J. Wallis和G. Saccheri對平行線理論的研究。”

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進一步閱讀

外部鏈接

“幾何學”.百科全書大不列顛。卷。 11(第11版)。 1911年。第675–736頁。