希臘人（金融）

在數學金融中，希臘人是代表衍生工具價格的敏感性的數量（在微積分中稱為部分衍生物；一階或更高），例如一個或多個基礎參數變化的選項，在該參數上，該參數的值金融工具的工具或投資組合取決於。之所以使用該名稱，是因為這些敏感性中最常見的是用希臘字母表示（以及其他一些金融措施）。這些總共稱為風險敏感性，風險度量或對沖參數。

使用希臘人

潛在的範圍	選項參數
潛在的範圍	現貨價格 s	揮發性 $\text{[math]}$	通過時間
值（v）	$\text{[math]}$ 三角洲	$\text{[math]}$ 維加	$\text{[math]}$ 塞塔
delta（ $\text{[math]}$ ）	$\text{[math]}$ 伽瑪	瓦納	魅力
Vega（ $\text{[math]}$ ）	瓦納	VOMMA	獸醫
theta（ $\text{[math]}$ ）	魅力	獸醫
伽瑪（ $\text{[math]}$ ）	速度	Zomma	顏色
VOMMA		Ultima

將希臘人定義為選項價格和風險（在第一行）對基礎參數的敏感性（在第一列中）。
一階希臘人為藍色，二階希臘人為綠色，三階希臘人為黃色。
Vanna，Charm和Veta出現了兩次，因為Schwarz的定理是部分交叉導數相同的。 Rho，Lambda，Epsilon和Vera被排除在外，因為它們不如其餘的那麼重要。桌上的三個地方沒有被佔用，因為金融文獻中尚未定義各自的數量。

希臘人是風險管理中的重要工具。每個希臘語都衡量投資組合對給定參數的微小變化的敏感性，因此可以隔離地處理組件風險，並且投資組合相應地重新平衡以實現所需的暴露；例如，請參見Delta Hedging 。

黑色 - choles模型中的希臘人（某些金融市場的相對簡單的理想化模型）相對易於計算（財務模型的理想特性），對於衍生品交易者來說非常有用，尤其是那些尋求對沖投資組合的人，市場狀況的變化。因此，那些對於套期保值（例如Delta，Theta和Vega）特別有用的希臘人，對於衡量參數斑點價格，時間和波動率的變化而定義明確。儘管RHO（相對於無風險利率的部分導數）是對黑人choles模型的主要輸入，但對與無風險利率變化相對應的短期期權價值的總體影響是通常，涉及無風險利率的涉及無風險的衍生品通常不重要。

最常見的希臘人是一階衍生物：三角洲，維加，塞塔和Rho ；以及伽馬，值函數的二階導數。此列表中剩餘的敏感性很常見，它們具有通用名稱，但此列表絕不是詳盡的。

市場上的參與者每天都在涉及數十億美元（$，£或€）的競爭行業，因此，正確的款項很重要。在實踐中，他們將使用更複雜的模型，這些模型超出了黑色choles模型中使用的簡化假設，因此在希臘人中。

名稱

大概是通過公共財務術語alpha和beta的擴展來使用希臘字母名稱，以及在Black -Scholes選項定價模型中使用Sigma （對數回報的標準偏差）和Tau （對到期的時間）。發明了幾個名稱，例如“ Vega”（其符號類似於希臘字母NU ；使用該名稱可能導致混亂）和“ Zomma”，但聽起來與希臘字母相似。名稱“顏色”和“魅力”大概是從將這些術語用於粒子物理學中夸克的外來特性的。

一階希臘人

三角洲

三角洲， $\text{[math]}$ ，衡量理論期權價值的變化速率在基礎資產價格的變化方面。增量是該值的第一個衍生物 $\text{[math]}$ 關於基礎工具的選擇 $\text{[math]}$ 。

\Delta = \frac{\partial V}{\partial S}

實際用途

對於香草選件，長時間通話（或簡短的單位）為0.0到1.0之間的數字，長期撥號（或短呼叫）為0.0和-1.0；根據價格的不同，通話期權的行為就像擁有基礎股票的1份（如果在錢深處），或者沒有任何東西（如果遠遠超出錢），或者介於兩者之間，而是相反。呼叫的三角洲和在同一打擊處的冠軍的三角洲之間的差異等於一個。通過put – all偶爾，長時間的呼叫和簡短的put等同於向前f ，該正向f與單位因子在點s中是線性的，因此導數df/ds為1。請參見下面的公式。

這些數字通常以期權合約代表的股票總數的百分比表示。這很方便，因為該選項（即時）的行為將像三角洲指示的股票數量一樣。例如，如果XYZ上的100個美國呼叫選項的投資組合每個人的增量為0.25（= 25％），則隨著價格變化的價格變化，它將獲得或損失價值，就像XYZ的2500股一樣（100個期權合約涵蓋了100個期權合約10,000股）。符號和百分比通常會被刪除 - 選項類型中隱含的標誌是隱含的（對put，呼叫呈陽性），並且可以理解百分比。最常見的引用是25個三角洲，50個三角洲put/50增量呼叫和25個三角洲呼叫。由於折扣因子的斑點和向前的不同，因此50個三角洲和50個三角洲呼叫並不完全相同，但通常會混淆。

三角洲始終對長呼叫持積極態度，而長期則是負數的（除非它們為零）。可以通過簡單地獲取每個單獨位置的三角洲的總和來計算同一基礎資產上的複雜投資組合的總三角洲 - 投資組合的三角洲的總和在成員中是線性的。由於基礎資產的三角洲始終為1.0，因此交易者可以通過購買或縮短總三角洲指示的股份數量來提高其在基礎上的整個頭寸。例如，如果XYZ中選項投資組合的三角洲（以基礎股份表示）為+2.75，則交易者將能夠通過出售基礎的2.75股股票來籌集投資組合。然後，該投資組合將保留其總價值，而不管XYZ的價格哪個方向。（儘管只有基礎的小動作，但在其他市場條件（例如波動率和無風險投資的回報率）上進行的較短時間以及沒有發生的變化）。

作為概率的代理

（絕對價值）三角洲的（絕對價值）接近但與期權的金錢百分比（即，該期權都會在貨幣中到期的暗示概率中性度量）。因此，某些期權交易者將三角洲的絕對價值用作金錢百分比的近似值。例如，如果一個不合資的電話選項的三角洲為0.15，則交易員可能估計該期權有大約15％的機會到期。同樣，如果一份看台合同的三角洲為-0.25，則交易員可能希望該期權的貨幣貨幣期限為25％。由於無風險的利率引入了三角洲的一定偏移，因此在貨幣貨幣撥打電話和puts的三角洲分別為0.5和-0.5，對ATM呼叫的較高的三角洲的偏差略有偏見。貨幣期權完成的實際概率是其雙重三角洲，這是罷工期權價格的第一個衍生品。

呼叫與DELTA之間的關係

給定歐洲電話和投票選項，適用於相同的基礎，打擊價格和到期時間，並且沒有股息收益率，每種選項的三角洲的絕對值之和將為1 - 更確切地說，更確切地說是呼叫的三角洲（陽性）減去前（負）的三角洲等於1.這是歸功於put – all parce：一個長呼叫加上簡短的put（呼叫減去put），它複製了一個向前的向前，該向前的三角洲等於1。

如果已知Delta的值已知，則可以計算出相同行使價格，基礎和成熟度的選項的增量值，但通過從已知的呼叫delta中減1或將1添加到已知的Put Delta，而是相反的權利。。

\Delta ({\text{call}})-\Delta ({\text{put}})=1,{\text{ therefore: }}\Delta ({\text{call}})=\Delta ({\text{put}})+1{\text{ and }}\Delta ({\text{put}})=\Delta ({\text{call}})-1.

例如，如果呼叫的三角洲為0.42，則可以以相同的罷工價格計算相同的投票的三角洲，低於0.42-1 = -0.58。為了從put中得出呼叫的三角洲，一個人可以同樣佔-0.58並加1以獲得0.42。

維加

Vega衡量對波動率的敏感性。 VEGA是基礎資產波動性的期權值的導數。

{\mathcal {V}}={\frac {\partial V}{\partial \sigma }}

Vega不是任何希臘字母的名稱。使用的字形是希臘字母nu的非標準majuscule版本（ $\text{[math]}$ ），以 $\text{[math]}$ 。大概是因為希臘字母nu看起來像是拉丁語，而Vega的名字大概是通過類似於Beta ， ETA和Theta在美國英語中發音的。

符號kappa ， $\text{[math]}$ ，有時（通過學者）而不是Vega使用（就像Tau一樣） $\text{[math]}$ ）或Capital Lambda （ $\text{[math]}$ ），儘管這些很少見）。

Vega通常表示為隨著波動率上升或下降1個百分點，該期權價值將獲得或損失的每股股票數量。所有選項（兩個呼叫和看台）將隨著波動率的增加而獲得價值。

Vega可能是監視期權交易者的重要希臘人，尤其是在揮發性市場中，因為某些期權策略的價值可能對波動性的變化特別敏感。例如，跨金錢選項的價值極其取決於波動率的變化。

塞塔

塞塔， $\text{[math]}$ ，測量衍生物對時間通過的敏感性（請參見期權時間值）：“時間衰減”。

\Theta = -\frac{\partial V}{\partial \tau}

隨著時間的流逝，隨著時間的到期時間的減少，其他所有時間都相等，選項的外部值會減少。通常（但請參見下文），這意味著一個選項會隨著時間的流逝而失去價值，通常，該選項通常稱為長（負）theta的長選項。實際上，通常，選項值的字面衍生wrt時間是一個正數。期權值的變化通常為負，因為時間的流逝是負數（減少到 $\text{[math]}$ ，該到期的時間）。但是，按照慣例，從業者通常更喜歡將長期選擇的theta暴露（“衰減”）視為負（而不是時間的流逝），因此Theta通常被報告為第一個衍生物的-1倍，為- 1倍多於。

雖然外在價值隨著時間的流逝而減少，但有時會折扣。對於某些類型的深入貨幣選項（對於黑色，投票和布萊克的調用），隨著折扣因子隨著時間的流逝而增加，這是長期選擇中價值增長的要素。有時，深入的收入期權從增加的折現因素中獲得的收益比下降外在價值損失更多，而據報導，theta對於長期選擇而不是更典型的負值將是一個正價值（並且該選項將是一個早期的候選候選人，如果可以行使，歐洲的選擇可能會比均等少）。

根據選項評估公式的約定， $\text{[math]}$ ，到期的時間是在多年中定義的。從業者通常更喜歡在到期的天數而不是到期年的天數變化方面查看Theta。因此，據報導的theta通常每年除以天數。（計數日曆日或工作日都因個人選擇而有所不同，兩者都有爭論。）

羅

Rho ， $\text{[math]}$ ，衡量對利率的敏感性：這是相對於無風險利率的期權價值的導數（對於相關的未償還期限）。

\rho = \frac{\partial V}{\partial r}

除了極端情況下，期權的價值對無風險利率變化的敏感性不如其他參數的變化。因此，Rho是一階希臘人最不使用的。

RHO通常表示為基礎的每股金額，即隨著無風險利率上升或每年下降1.0％（100個基點），該期權的價值將獲得或損失。

Lambda

Lambda ， $\text{[math]}$ ，歐米茄， $\text{[math]}$ ，或彈性是基礎價格每百分比變化的期權價值的百分比變化，這是一種槓桿率，有時稱為齒輪。

\lambda =\Omega ={\frac {\partial V}{\partial S}}\times {\frac {S}{V}}

它認為 $\text{[math]}$ 。

它類似於三角洲的概念，但以百分比術語而不是絕對術語表示。

Epsilon

Epsilon ， $\text{[math]}$ （也稱為PSI， $\text{[math]}$ ），是基礎股息收益率的每百分比變化的期權價值變化百分比變化，這是股息風險的量度。實際上，使用這些產量增加了10％的股息產量影響。顯然，這種靈敏度只能應用於權益產品的衍生工具。

\varepsilon =\psi ={\frac {\partial V}{\partial q}}

從數值上講，所有一階敏感性都可以解釋為預期回報中的差異。信息幾何形狀提供了另一種（三角）解釋。

二階希臘人

伽瑪

伽瑪， $\text{[math]}$ ，衡量三角洲基礎價格變化的變化率。伽瑪是相對於基礎價格的價值函數的第二個導數。

\Gamma = \frac{\partial \Delta}{\partial S} = \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}

大多數長期選擇都具有正伽瑪，大多數簡短的選擇都具有負伽瑪。長期選擇與伽瑪有正相關關係，因為隨著價格上漲，伽瑪也會上升，從而導致三角洲從0（長呼叫選項）接近1（長呼叫選項），而從-1（長pot選項）接近0。對於簡短選項，逆向是正確的。

伽瑪大約是最大的（atm）（atm），並減少了您的貨幣內（ITM）或貨幣外部（OTM）的越遠。伽瑪很重要，因為它糾正了價值的凸度。

當交易員試圖為投資組合建立有效的三角洲對沖時，交易者也可能尋求中和投資組合的伽瑪，因為這將確保對沖在更廣泛的基本價格變動中有效。

瓦納

範納（Vanna ）也稱為dvegadspot和ddeltadvol ，是期權價值的二階導數，一次是基礎現貨價格，一次是波動。它在數學上等同於ddeltadvol ，這是選項的敏感性對波動性的變化的敏感性；或者，Vega的部分相對於基礎工具的價格。 Vanna在維持Delta-或Vega-Hedged投資組合時可以監測可以是一種有用的敏感性基礎現貨價格。

如果基礎值具有連續的第二部分導數，則 $\text{[math]}$

魅力

魅力或三角洲衰減測量時間在時間的流逝中的瞬時變化速率。

{\text{Charm}}=-{\frac {\partial \Delta }{\partial \tau }}={\frac {\partial \Theta }{\partial S}}=-{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \tau \,\partial S}}

魅力也被稱為ddeltadtime 。魅力在一個週末期間圍攻位置時，可以是測量/監視的重要希臘人。魅力是期權值的二階導數，一次是定價，一次到達時間。就基本價格而言，這也是Theta的衍生產品。

魅力公式的數學結果（見下文）以三角洲/年表示。將其除以每天達到三角洲衰減的天數通常是有用的。當剩餘的天數直到期權到期較大時，此用途是相當準確的。當選擇臨時到期時，魅力本身可能會迅速變化，從而使三角洲衰減不准確的全天估計。

VOMMA

VOMMA ， VOLGA ， VEGA凸度或Dvegadvol測量對波動性的二階敏感性。 VOMMA是相對於波動率的期權值的第二個導數，或者說，隨著波動率的變化，VOMMA衡量了對Vega的變化速率。

{\text{Vomma}}={\frac {\partial {\mathcal {V}}}{\partial \sigma }}={\frac {\partial ^{2}V}{\partial \sigma ^{2}}}

在正面的VOMMA下，隨著隱含的波動率的增加和短VEGA的降低，位置將變長，而vega則可以減少，可以以類似於長伽瑪的方式張縮。最初可以從不同罷工的選項比率構建一個中性的長期vomma位置。 VOMMA對遠離資金的長期選擇是積極的，最初隨著距錢的距離而增加（但隨著Vega下降而下降）。（具體而言，vomma是正面的，通常d ₁和d ₂項的符號相同，當d ₁ <0或d ₂ > 0時，這是正確的。）

獸醫

VETA或DVEGADTIME測量VEGA的變化率相對於時間的流逝。 VETA是值函數的第二個導數。一次波動，一次。

{\text{Veta}}={\frac {\partial {\mathcal {V}}}{\partial \tau }}={\frac {\partial ^{2}V}{\partial \sigma \,\partial \tau }}

將VETA的數學結果除以每年的數量100倍以將價值減少到VEGA每天的百分比變化的百分比。

維拉

Vera （有時是Rhova ）測量RHO相對於波動性的變化率。 Vera是值函數的第二個導數。一次波動性，一次達到利率。

{\text{Vera}}={\frac {\partial \rho }{\partial \sigma }}={\frac {\partial ^{2}V}{\partial \sigma \,\partial r}}

R. Naryshkin在2012年初創造了“ Vera”一詞，當時需要在實踐中使用這種敏感性來評估波動性變化對Rho-Hedging的影響，但可用文獻中尚無名字。 “ Vera”的聲音與Vega和Rho的組合相似。現在，此名稱在更廣泛的用途中，包括例如，楓木計算機代數軟件（其財務包中具有“ BlackScholesvera”功能）。

二階部分導數相對於罷工k

該部分衍生產品在Breeden-Litzenberger式中具有基本作用，該配方使用引用的呼叫期權價格估算此類價格所隱含的風險中立概率。

\varphi ={\frac {\partial ^{2}V}{\partial K^{2}}}

對於呼叫選項，可以使用蝴蝶策略的無窮小型投資組合進行近似。

三階希臘人

速度

速度衡量伽瑪的變化速率，相對於基礎價格的變化。

\text{Speed} = \frac{\partial\Gamma}{\partial S} = \frac{\partial^3 V}{\partial S^3}

這有時也稱為伽馬或dgammadspot的伽瑪。速度是相對於基本景點的價值函數的第三個導數。速度對於監視Delta Hedging或Gamma-Heding投資組合可能很重要。

Zomma

Zomma衡量伽馬的變化率相對於波動性的變化。

\text{Zomma} = \frac{\partial \Gamma}{\partial \sigma} = \frac{\partial \text{vanna}}{\partial S} = \frac{\partial^3 V}{\partial S^2 \, \partial \sigma}

Zomma也被稱為Dgammadvol 。 Zomma是期權價值的第三個導數，兩次至基本的資產價格，一次波動性。 Zomma在維持伽瑪對沖投資組合時可以監測ZOMMA可能是一種有用的敏感性，因為Zomma將幫助交易者預期隨著波動性的變化，對沖的有效性變化。

顏色

顏色，伽馬衰減或dgammadtime測量了伽瑪的變化速率。

\text{Color} = \frac{\partial \Gamma}{\partial \tau} = \frac{\partial^3 V}{\partial S^2 \, \partial \tau}

顏色是期權價值的三級導數，兩次至基礎資產價格，並且一次。在維護伽瑪對線的投資組合時，顏色可能是一個重要的敏感性，因為它可以幫助交易者預測隨著時間的流逝的效果。

顏色公式的數學結果（見下文）每年以伽瑪表示。將其除以每天的天數以每天的伽瑪變化通常是有用的。當剩餘的天數直到期權到期較大時，此用途是相當準確的。當選項接近到期時，顏色本身可能會迅速變化，從而使伽瑪變化不准確的全天估計值。

Ultima

Ultima測量了選項VOMMA對波動性變化的敏感性。

\text{Ultima}= \frac{\partial \text{vomma}}{\partial \sigma} = \frac{\partial^3 V}{\partial \sigma^3}

Ultima也被稱為Dvommadvol 。 Ultima是波動率期權值的三階導數。

希臘人用於多資產選項

如果衍生物的值取決於兩個或多個基礎，則將其希臘人擴展到包括基礎之間的交叉效應。

相關性增量衡量衍生物價值對基礎之間相關性變化的敏感性。它也通常稱為CEGA 。

Cross Gamma測量了一個基礎上的增量變化速率，從而在另一個基礎上的變化中衡量。

Cross Vanna由於另一個基礎的水平的變化而衡量了一個基礎上VEGA的變化率。同等地，由於第一個基礎的波動性的變化，它衡量了第二個基礎上底層的變化率。

跨沃爾加（Cross Volga）測量了一個基礎上的Vega的變化速率，以改變另一個基礎的波動率的變化。

歐洲選項的公式希臘人

黑色 - choles模型下的歐洲選項（呼叫和看台）的希臘人計算如下， $\text{[math]}$ （PHI）是標準的正常概率密度函數，並且 $\text{[math]}$ 是標準的正常累積分佈函數。請注意，伽馬和Vega公式對於呼叫和puts是相同的。

對於給定：

股票價格 $\text{[math]}$ ，，，，
罷工價格 $\text{[math]}$ ，，，，
無風險費率 $\text{[math]}$ ，，，，
年股息收益率 $\text{[math]}$ ，，，，
時間到期 $\text{[math]}$ （表示為一年的無單位小部分）和
揮發性 $\text{[math]}$ 。

	呼叫	推桿
公允價值（（ $\text{[math]}$ ）	$Se^{-q\tau }\Phi (d_{1})-e^{-r\tau }K\Phi (d_{2})\,$	$e^{-r\tau }K\Phi (-d_{2})-Se^{-q\tau }\Phi (-d_{1})\,$

delta（ $\text{[math]}$ ）	$e^{-q\tau }\Phi (d_{1})\,$	$-e^{-q \tau} \Phi(-d_1)\,$
Vega（ $\text{[math]}$ ）	$Se^{-q\tau }\varphi (d_{1}){\sqrt {\tau }}=Ke^{-r\tau }\varphi (d_{2}){\sqrt {\tau }}\,$
theta（ $\text{[math]}$ ）	$-e^{-q\tau }{\frac {S\varphi (d_{1})\sigma }{2{\sqrt {\tau }}}}-rKe^{-r\tau }\Phi (d_{2})+qSe^{-q\tau }\Phi (d_{1})\,$	$-e^{-q\tau }{\frac {S\varphi (d_{1})\sigma }{2{\sqrt {\tau }}}}+rKe^{-r\tau }\Phi (-d_{2})-qSe^{-q\tau }\Phi (-d_{1})\,$
rho（ $\text{[math]}$ ）	$K \tau e^{-r \tau}\Phi(d_2)\,$	$-K \tau e^{-r \tau}\Phi(-d_2) \,$
Epsilon（ $\text{[math]}$ ）	$-S\tau e^{-q\tau }\Phi (d_{1})$	$S\tau e^{-q\tau }\Phi (-d_{1})$
lambda（ $\text{[math]}$ ）	$\Delta {\frac {S}{V}}\,$

伽瑪（ $\text{[math]}$ ）	$e^{-q\tau }{\frac {\varphi (d_{1})}{S\sigma {\sqrt {\tau }}}}=Ke^{-r\tau }{\frac {\varphi (d_{2})}{S^{2}\sigma {\sqrt {\tau }}}}\,$
瓦納	$-e^{-q\tau }\varphi (d_{1}){\frac {d_{2}}{\sigma }}\,={\frac {\mathcal {V}}{S}}\left[1-{\frac {d_{1}}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\right]\,$
魅力	$qe^{-q\tau }\Phi (d_{1})-e^{-q\tau }\varphi (d_{1}){\frac {2(r-q)\tau -d_{2}\sigma {\sqrt {\tau }}}{2\tau \sigma {\sqrt {\tau }}}}\,$	$-qe^{-q\tau }\Phi (-d_{1})-e^{-q\tau }\varphi (d_{1}){\frac {2(r-q)\tau -d_{2}\sigma {\sqrt {\tau }}}{2\tau \sigma {\sqrt {\tau }}}}\,$

VOMMA	$Se^{-q\tau }\varphi (d_{1}){\sqrt {\tau }}{\frac {d_{1}d_{2}}{\sigma }}={\mathcal {V}}{\frac {d_{1}d_{2}}{\sigma }}\,$
維拉	$-K\tau e^{-r\tau }\varphi (d_{2}){\frac {d_{1}}{\sigma }}\,$
獸醫	$-Se^{-q\tau }\varphi (d_{1}){\sqrt {\tau }}\left[q+{\frac {\left(r-q\right)d_{1}}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}-{\frac {1+d_{1}d_{2}}{2\tau }}\right]\,$
$\varphi$	$e^{-r\tau }{\frac {1}{K}}{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}\tau }}}\exp \left\{-{\frac {1}{2\sigma ^{2}\tau }}\left[\ln \left({\frac {K}{S}}\right)-\left((r-q)-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)\tau \right]^{2}\right\}$

速度	$-e^{-q\tau }{\frac {\varphi (d_{1})}{S^{2}\sigma {\sqrt {\tau }}}}\left({\frac {d_{1}}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}+1\right)=-{\frac {\Gamma }{S}}\left({\frac {d_{1}}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}+1\right)\,$
Zomma	$e^{-q\tau }{\frac {\varphi (d_{1})\left(d_{1}d_{2}-1\right)}{S\sigma ^{2}{\sqrt {\tau }}}}=\Gamma {\frac {d_{1}d_{2}-1}{\sigma }}\,$
顏色	$-e^{-q\tau }{\frac {\varphi (d_{1})}{2S\tau \sigma {\sqrt {\tau }}}}\left[2q\tau +1+{\frac {2(r-q)\tau -d_{2}\sigma {\sqrt {\tau }}}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}d_{1}\right]\,$

Ultima	${\frac {-{\mathcal {V}}}{\sigma ^{2}}}\left[d_{1}d_{2}(1-d_{1}d_{2})+d_{1}^{2}+d_{2}^{2}\right]$

雙三角洲	$-e^{-r \tau} \Phi(d_2) \,$	$e^{-r \tau} \Phi(-d_2) \,$
雙伽瑪	$e^{-r\tau }{\frac {\varphi (d_{2})}{K\sigma {\sqrt {\tau }}}}\,$

在哪裡

{\begin{aligned}d_{1}&={\frac {\ln(S/K)+\left(r-q+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\\d_{2}&={\frac {\ln(S/K)+\left(r-q-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}=d_{1}-\sigma {\sqrt {\tau }}\\\varphi (x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}\\\Phi (x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-{\frac {1}{2}}y^{2}}\,dy=1-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}y^{2}}\,dy\end{aligned}}

在黑色模型（通常用於商品和期貨期權）下，希臘人可以計算如下：

	呼叫	推桿
公允價值（（ $\text{[math]}$ ）	$e^{-r\tau }[F\Phi (d_{1})-K\Phi (d_{2})]\$	$e^{-r\tau }[K\Phi (-d_{2})-F\Phi (-d_{1})]\,$

delta（ $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$	$e^{-r\tau }\Phi (d_{1})\,$	$-e^{-r\tau }\Phi (-d_{1})\,$
Vega（ $\text{[math]}$ ）	$Fe^{-r\tau }\varphi (d_{1}){\sqrt {\tau }}=Ke^{-r\tau }\varphi (d_{2}){\sqrt {\tau }}\,$ (*)
theta（ $\text{[math]}$ ）	$-{\frac {Fe^{-r\tau }\varphi (d_{1})\sigma }{2{\sqrt {\tau }}}}-rKe^{-r\tau }\Phi (d_{2})+rFe^{-r\tau }\Phi (d_{1})\,$	$-{\frac {Fe^{-r\tau }\varphi (d_{1})\sigma }{2{\sqrt {\tau }}}}+rKe^{-r\tau }\Phi (-d_{2})-rFe^{-r\tau }\Phi (-d_{1})\,$
rho（ $\text{[math]}$ ）	$-\tau e^{-r\tau }[F\Phi (d_{1})-K\Phi (d_{2})]\$	$-\tau e^{-r\tau }[K\Phi (-d_{2})-F\Phi (-d_{1})]\,$

伽瑪（ $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$	$e^{-r\tau }{\frac {\varphi (d_{1})}{F\sigma {\sqrt {\tau }}}}=Ke^{-r\tau }{\frac {\varphi (d_{2})}{F^{2}\sigma {\sqrt {\tau }}}}\,$ (*)
瓦納 $\text{[math]}$	$-e^{-r\tau }\varphi (d_{1}){\frac {d_{2}}{\sigma }}\,={\frac {\mathcal {V}}{F}}\left[1-{\frac {d_{1}}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\right]\,$

VOMMA	$Fe^{-r\tau }\varphi (d_{1}){\sqrt {\tau }}{\frac {d_{1}d_{2}}{\sigma }}={\mathcal {V}}{\frac {d_{1}d_{2}}{\sigma }}\,$

在哪裡

{\begin{aligned}d_{1}&={\frac {\ln(F/K)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\\d_{2}&={\frac {\ln(F/K)-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}=d_{1}-\sigma {\sqrt {\tau }}\end{aligned}}

（*）可以證明 $\text{[math]}$

微觀證明：

讓 $\text{[math]}$
$d_{1}={\frac {\ln {\frac {F}{K}}+{\frac {1}{2}}x^{2}}{x}}$
$d_{1}\cdot x=\ln {\frac {F}{K}}+{\frac {1}{2}}x^{2}$
$\ln(F/K)=d_{1}\cdot x-{\frac {1}{2}}x^{2}$
${\frac {F}{K}}=e^{d_{1}\cdot x-{\frac {1}{2}}x^{2}}$
然後我們有： $\text{[math]}$
$=e^{d_{1}x-{\frac {1}{2}}x^{2}}\cdot e^{{\frac {1}{2}}\cdot {(d_{1}-x)}^{2}-{\frac {1}{2}}\cdot {d_{1}}^{2}}=e^{d_{1}x-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}\cdot (2d_{1}-x)(-x)}=e^{0}=1.$
所以 $\text{[math]}$