當且只有
代表IFF的邏輯符號
在邏輯和相關領域（例如數學和哲學）中，“當且僅當“（縮短為“ iff ”））是一種雙條件邏輯連接之間的語句之間，其中兩個語句都是真實的，或者兩者都是錯誤的。結締組織是雙條件（材料等效性的說明），可以比作條件條件（僅“ if”，等於“如果...然後”）與其反向（“ if”）相結合；由此得名。結果是，任何一個連接的陳述的真相都需要另一個的真相（即兩個陳述都是真實的，或者兩者都是錯誤的），儘管這是有爭議的，這是有爭議的並且只有“具有先前的含義”。例如， p當＆僅在q表示q是正確時p是正確的，而p true的唯一情況是q也為true，而在p的情況下，如果q ，則可能還有其他情況p為真， Q是錯誤的。
在書面上，短語通常用作p“ and僅當“ q包括：q是必要且足以滿足p）的替代方案，對於p，q，p等於q（或物質上等同）的必要和足夠（與Q相比）材料的含義），p準確地說，如果q，p（或恰好）q，p當然在q的情況下，p，則p在q的情況下。有些作者將“ iff”視為正式寫作中的“ iff”；其他人則認為它是“邊界案例”並容忍其使用。在邏輯公式中，使用邏輯符號，例如和這些短語。請參見下面的符號。
定義
PQ的真實表如下：
| P | Q | PQ | PQ | p q |
|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F |
| F | T | T | F | F |
| F | F | T | T | T |
用法
符號
相應的邏輯符號為“”，“”，以及，有時是“ IFF”。這些通常被視為等效。但是，某些數學邏輯的文本（尤其是在一階邏輯上，而不是命題邏輯上的文本）之間進行區分，其中第一個（第一個，↔用作邏輯公式中的符號），而⇔則用於推理有關那些邏輯公式（例如，金屬含量）。在olukasiewicz的波蘭符號中，它是前綴符號。
在Tex中，“ If and僅當”顯示為長雙箭頭：通過命令\ iff或\ longleftrightArrow。
證明
在大多數邏輯系統中，一個人通過證明“如果p，q”和“如果q”，然後p，p”或“如果p，則q”和“如果不是p，則證明了“ p iff q”形式的說明，然後不q”。證明這些陳述有時會導致更自然的證據，因為沒有明顯的條件直接推斷出雙條件。另一種選擇是證明“（p和q）或（非p和not-q）”，可以直接從其任何一個分離中推斷出來，也就是說，因為“ iff”是真實的，” p iff q “如果已證明p和q是真實的，或者既是錯誤的。
IFF和發音的起源
縮寫“ iff”的用法首先出現在約翰·凱利（John L. Kelley） 1955年的《通用拓撲》中。它的發明經常歸功於保羅·霍爾莫斯（Paul Halmos） ，後者寫了“我發明了'iff'，'if and of'if''，但我永遠不會相信我確實是第一個發明家。”
目前尚不清楚“ IFF”是如何發音的。在目前的練習中，單個“ word”“ iff”幾乎總是讀為四個單詞“ if和hif”。但是，在一般拓撲的序言中，凱利（Kelley）認為應該以不同的方式讀取它：“在某些情況下，數學內容需要'and and of時，又有當'and euphony要求的東西少我使用halmos''iff'”。一本離散數學教科書的作者表明：“如果需要發音IFF，請堅持'ff' ，以便人們聽到與'if'if''的區別，這意味著“ iff”可以發音為[ɪfː] 。
定義中的用法
從技術上講，定義是“當且僅在”語句中的“當”；有些文本（例如凱利的一般拓撲結構）遵循邏輯的嚴格要求，並在新術語的定義中使用“且僅在”或IFF中使用。但是，這種邏輯上正確的使用“及時僅當”是相對罕見的用法，並且忽略了以下語言事實：定義的“ if”被解釋為含義為“當and and If”。大多數教科書，研究論文和文章（包括英語Wikipedia文章）遵循語言慣例，將“如果涉及數學定義”（如“在“拓撲空間具有有限的子覆蓋物”）。
與“ if”和“僅當”的區別
- “如果是蘋果，麥迪遜會吃水果。” （相當於“只有麥迪遜會吃水果，可以是蘋果嗎？”或“麥迪遜會吃水果←水果是蘋果
- 這指出麥迪遜將吃蘋果的水果。但是，它並不排除麥迪遜也可能吃香蕉或其他類型的水果的可能性。可以肯定的是，她會吃她發生的任何蘋果。水果是蘋果，是麥迪遜吃水果的足夠條件。
- “麥迪遜只有在是蘋果的時候才能吃水果。” （相當_
- 這指出唯一的果實麥迪遜會吃的是蘋果。但是，與（1）相比，它不排除麥迪遜（Madison）拒絕蘋果的可能性，而（1）要求麥迪遜（Madison）吃任何可用的蘋果。在這種情況下，給定的水果是蘋果是麥迪遜吃它的必要條件。這不是足夠的狀況，因為麥迪遜可能不會吃她給她的所有蘋果。
- “麥迪遜只有在是蘋果的時候就會吃水果。” （相當於“麥迪遜會吃水果↔
- 該聲明清楚地表明，麥迪遜將吃掉所有和只吃蘋果的水果。她不會留下任何未食用的蘋果，也不會吃任何其他類型的水果。給定的水果是蘋果既是麥迪遜吃水果的必要條件，也是足夠的條件。
足夠是必需的相反。也就是說，給定p → q （即如果p則q ）， p對於q來說是足夠的條件， q是p的必要條件。另外，給定p → q ，確實， −q → ¬p （其中¬是負操作員，即“不是”）。這意味著P → Q建立的P和Q之間的關係可以在以下所有等效方式中表達：
- P足以Q
- Q是p的必要條件
- ¬Q足以助其
- ¬p是q q的必要條件
例如，以上面的第一個示例為p → Q ，其中p是“有問題的水果是蘋果”，而Q是“麥迪遜將要吃相關的水果”。以下是表達這種非常關係的四種等效方法：
- 如果有問題的水果是蘋果，那麼麥迪遜就會吃掉它。
- 只有麥迪遜會吃有問題的水果，這是蘋果。
- 如果麥迪遜不會吃有問題的水果，那不是蘋果。
- 只有有問題的水果不是蘋果，麥迪遜才會不吃它。
在這裡，可以以if的形式重述第二個示例，然後像“如果麥迪遜會吃有問題的水果，那就是蘋果”；以第一個例子為例，我們發現第三個例子可以說為“如果有問題的水果是蘋果，那麼麥迪遜就會吃掉它；如果麥迪遜會吃水果，那就是蘋果”。
關於歐拉圖
-
a是b的適當子集。僅在B中僅在B中一個數字；如果在a中，則在b中是一個數字。 -
C是子集，但不是b的適當子集。一個數字在b中，僅當它在c中時，當它在c中且僅當它在b中時，一個數字在c中。
Euler圖顯示了事件，屬性等之間的邏輯關係。僅當q“，”如果p則q”和“ p→q” ， “ q→p都意味著q是P的正確或不當子集。“ p”時，僅當q”和“ q”時，僅當p“都”均表示集合p和q彼此相同。
更一般的用法
iff也用於邏輯領域之外。在應用邏輯的任何地方，尤其是在數學討論中，它具有與上述相同的含義：對於Is and and及時，它是一種縮寫，表明一種陳述對於另一個陳述既需要又足夠。這是數學術語的一個示例（儘管如上所述，如果在定義語句中比IFF更常用）。
x的元素全部是y的元素的意思是：“對於話語領域中的任何z ， z在x中，並且僅當z在y中時。”