LC電路

LC電路，也稱為諧振電路，儲罐電路或調諧電路，是由字母L代表的電感器組成的電路，由字母C表示，由字母C表示，連接在一起。該電路可以充當電氣諧振器，這是調諧叉的電氣類似物，在電路的諧振頻率下存儲能量振盪。

LC電路用於以特定頻率生成信號，或從更複雜的信號中以特定頻率挑選信號；此功能稱為帶通濾波器。它們是許多電子設備（尤其是無線電設備）中的關鍵組件，該設備用於電路，例如振盪器，過濾器，調諧器和頻率混合器。

LC電路是一個理想化的模型，因為它假定由於電阻而沒有能量耗散。 LC電路的任何實際實現都將始終包括由組件內和連接電線內的較小但非零的電阻造成的損失。 LC電路的目的通常是用最小的阻尼來振盪，因此使電阻盡可能低。儘管沒有損失的實際電路，但研究這種理想的電路形式以獲得理解和物理直覺是具有啟發性的。對於結合電阻的電路模型，請參見RLC電路。

術語

上述的兩元素LC電路是最簡單的電感能力網絡（或LC網絡）。它也稱為二階LC電路，可以將其與更複雜的（高階）LC網絡區分開，並具有更多的電感器和電容器。這種具有兩個以上電抗的LC網絡可能具有多個共振頻率。

網絡的順序是在複雜頻率變量中描述網絡的有理函數的順序。通常，該順序等於電路中的L和C元素的數量，在任何情況下都不能超過此數字。

手術

動畫圖顯示了調諧電路（LC電路）的操作。電容器C將能量存儲在其電場E中，電感器L將能量存儲在其磁場B （綠色）中。動畫顯示了振盪中​​漸進點的電路。振盪放慢了；在實際調整電路中，電荷可能會來回振盪，每秒數十億次。

LC電路以自然諧振頻率振盪，可以存儲電能。參見動畫。一個電容器在其板之間將能量存儲在電場（ E ）中，具體取決於其上的電壓，並且電感器將能量存儲在其磁場（ B ）中，具體取決於電流。

如果將電感器連接到帶電的電容器上，則電容器上的電壓將通過電感器驅動電流，並在其周圍構建磁場。當電荷被電流流量用時，電容器上的電壓下降到零。在這一點上，存儲在線圈磁場中的能量會誘導整個線圈上的電壓，因為電感器反對電流的變化。該誘導的電壓導致電流開始用相反的極性與原始電荷充電電容器。由於法拉第定律，驅動電流的EMF是由磁場減少引起的，因此從磁場中提取了充電電容器所需的能量。當磁場完全消散時，電流將停止，並且電荷將再次存儲在電容器中，並且相反的極性如前所述。然後，循環將再次開始，電流通過電感器朝相反的方向流動。

電荷通過電感器在電容器的板之間來回流動。能量在電容器和電感器之間來回振盪，直到（如果不從外部電路補充）內部電阻會使振盪消失。調諧電路的動作在數學上稱為諧波振盪器，類似於擺在來回擺動的擺或在水箱中來回晃動的水。因此，該電路也稱為坦克電路。固有頻率（即，從任何其他系統分離出來時它將振蕩的頻率）由電容和電感值確定。在大多數應用中，調諧電路是較大電路的一部分，該電路適用於其交替的電流，驅動連續振盪。如果應用電流的頻率是電路的自然諧振頻率（固有頻率下面將發生共振，並且較小的驅動電流會激發大幅度振盪電壓和電流。在電子設備中的典型調諧電路中，振盪非常快，每秒數千萬到數十億次。

共振效應

當LC電路以角度頻率ω0驅動到電感和電容式電抗等於幅度時，引起共振。該特定電路的這種平等性保持的頻率稱為諧振頻率。 LC電路的共振頻率為

其中l是亨利（Henries）的電感，而c是法拉德（ Farads）的電容。角頻率ω0具有每秒弧度單位。

赫茲單位的等效頻率是

申請

LC電路的共振效應在信號處理和通信系統中具有許多重要的應用。

  • 坦克電路的最常見應用是調整無線電發射器和接收器。例如，將收音機調整為特定站點時，LC電路將以該特定載波頻率的共振設置。
  • 串聯諧振電路可提供電壓放大倍率。
  • 平行的諧振電路提供電流放大倍數。
  • 平行諧振電路可以用作RF放大器輸出電路中的負載阻抗。由於高阻抗，放大器的增益在諧振頻率下最大。
  • 平行和串聯諧振電路都用於感應加熱。

LC電路以電子諧振器的形式行為，這是許多應用中的關鍵組成部分：

時域解決方案

基爾喬夫的法律

根據Kirchhoff的電壓定律，電容器的電壓V C加上電感器的電壓V L必須等於零：

同樣，根據基希霍夫（Kirchhoff）現行法律，通過電容器的電流等於電感器的電流：

從電路元素的構型關係中，我們也知道

微分方程

重新安排和替換給出二階差分方程

參數ω0 （諧振角頻率）定義為

使用它可以簡化微分方程：

相關的拉普拉斯變換是

因此

其中j是虛構的單位。

解決方案

因此，微分方程的完整解決方案是

可以通過考慮初始條件來解決A和B。由於指數是複雜的，因此該溶液代表正弦交流電流。由於電流I是物理數量，因此必須實現。結果，可以證明常數A和B必須是複雜的共軛：

現在讓

所以，

接下來，我們可以使用Euler的公式獲得具有振幅i 0的真實正弦，角頻率ω0 = 1/√LC和相角。

因此，最終的解決方案變成了

初始條件

滿足此結果的最初條件是

系列電路

系列LC電路

在LC電路的串聯配置中，電感器（L）和電容器（C）串聯連接，如下所示。整個開放端子的總電壓V僅僅是電感器上的電壓和電容器上的電壓之和。電路的正末端的電流I通過電容器和電感器都等於電流。

諧振

電感電抗隨著頻率的增加而增加，而電容電抗隨著頻率的增加而減小（此處定義為正數）。在一個特定的頻率下，這兩個電抗相等，並且符號相反，它們的電壓相等。對於給定電路，該頻率稱為諧振頻率F 0 。

因此，在共鳴中，

解決ω ，我們有

該定義為電路的共振角頻率。將角頻率轉換為頻率（以每秒為單位）（在赫茲中）

和

在 。

在系列配置中， X C和X L相互取消。實際而不是理想化的組件，而不是理想化的組成部分，主要是由於線圈繞組的阻力。因此，提供給串聯共振電路的電流在共振時最大。

  • 在F → F 0電流的極限中，最大。電路阻抗最小。在這種狀態下，電路稱為受體電路
  • 對於f < f 0 ， x l≪x c ;因此，電路是電容的。
  • 對於f > f 0 ， x l≫x c ;因此，電路是感應的。

阻抗

在串聯配置中，當電路的複雜電阻抗接近零時，就會發生共振。

首先考慮系列LC電路的阻抗。總阻抗由感應和電容阻抗的總和給出：

將電感阻抗寫為z L = JΩL和電容阻抗， z C = 1 / jΩC和替換給出

在共同的分母下寫這個表達

最後，將自然角頻率定義為

阻抗變成了

在哪裡給出電感器在共振時的電抗。

分子意味著在極限為ω → ± ω0中，總阻抗z將為零，以其他方式為零。因此，當與負載串聯連接時，LC電路將充當帶有零阻抗的帶通濾波器，在LC電路的諧振頻率下。

並聯電路

平行LC電路

如此處所示，當電感器（L）和電容器（C）並行連接時，跨開放端子的電壓V均等於電感器跨電感器的電壓和電容器上的電壓。流入電路正末端的總電流I等於流過電感器的電流和流過電容器的電流的總和：

諧振

當X L等於X C時，兩個分支電流相等且相反。他們相互取消，以在主線中的最小電流（原則上，零電流）。但是，電容器和電感器之間有較大的電流循環。原則上，這種循環電流是無限的，但實際上受電路中的電阻限制，尤其是電感繞組中的電阻。由於總電流最小，因此在這種狀態下，總阻抗是最大的。

共振頻率由

在共振時，任何分支電流都不是最小的，但是每個分支電流通過將源電壓（ V ）除以（ Z ）分別給出。因此，根據歐姆定律， i = v / z 。

  • 在F 0時，線電流最小。總阻抗是最大的。在這種狀態下，電路稱為拒絕電路。
  • 在f 0以下，電路是電感的。
  • 在f 0上方，電路是電容的。

阻抗

可以將相同的分析應用於平行的LC電路。然後總阻抗由

替換為z L = JΩL和Z C = 1 / JΩC並簡化，給出了

使用

它進一步簡化了

注意

但是對於所有其他值的ω值，阻抗都是有限的。

因此，與負載串聯連接的平行LC電路將充當帶有LC電路諧振頻率無限阻抗的帶擋濾波器，而與負載並行連接的平行LC電路將充當帶通濾波器。

拉普拉斯解決方案

LC電路可以使用拉普拉斯變換來求解。

我們首先以通常的方式定義電容器和電感器的電流和電感器之間的關係：

和

然後，通過應用Kirchoff的法律，我們可以到達系統的管理方程式

有初始條件和

做以下定義，

和

給予

現在，我們應用拉普拉斯變換。

拉普拉斯變換已將我們的微分方程變成了代數方程。在S域（頻域）中為V求解要簡單得多。

可以通過逆拉環變換轉換回時域：

對於第二個求和，等效的一部分需要：

對於第二個求和，等效的一部分需要：

最後一項取決於輸入電壓的確切形式。兩種常見的情況是Heaviside Step函數和正弦波。對於Heaviside步驟功能，我們得到

對於正弦函數作為輸入，我們得到：

在哪裡是振幅和應用函數的頻率。

使用部分分數方法：

雙方簡化

我們解決了A，B和C的方程式：

替換A，B和C的值：

隔離常數並使用等效分數來調整缺乏分子：

在每個求和上執行反向拉普拉斯變換：

使用拉普拉斯解決方案中的初始條件：

歷史

法國科學家費利克斯·薩瓦里（Felix Savary ）在1826年發現了電容器和電感器可以產生電振蕩的第一個證據。他發現，當萊登罐子通過鐵針周圍纏繞電線排放時，有時將針頭以一個方向磁化，有時會朝相反的方向磁化。他正確地推斷這是由於電線中的振盪放電電流引起的，這逆轉了針頭的來回磁化，直到它太小而無法產生效果，使針頭以隨機的方向磁化。美國物理學家約瑟夫·亨利（Joseph Henry）在1842年重複了薩瓦里（Savary）的實驗，並顯然是獨立的結論。

愛爾蘭科學家威廉·湯姆森（William Thomson ）（Kelvin勳爵）在數學上表明，通過電感的萊登罐子排放應具有振盪性，並得出其諧振頻率。英國無線電研究員奧利弗·洛奇（Oliver Lodge）通過一條長電線將大量的萊登罐子排放，在音頻範圍內創建了一個帶有共鳴頻率的調諧電路，當它放電時，它從火花中產生了音樂音調。 1857年，德國物理學家貝倫德·威廉·費德森（Berend Wilhelm Feddersen）在旋轉鏡子裡拍攝了一個共鳴的萊登罐子巡迴賽產生的火花，提供了振蕩的可見證據。 1868年，蘇格蘭物理學家詹姆斯·麥克斯韋（James Clerk Maxwell）計算了將交流電流應用於具有電感和電容的電路的效果，表明該響應在諧振頻率下最大。電氣共振曲線的第一個例子是在1887年由德國物理學家海因里希·赫茲（Heinrich Hertz）在他的開創性論文中發表的有關無線電波的開創性論文，顯示了從他的火花隙- LC共振探測器中獲得的火花長度作為頻率的函數。

調諧電路之間共振的第一個演示之一是洛奇（Lodge）在1889年左右的“同步罐子”實驗。他將兩個共振電路彼此相鄰放置，每個電路都由一個與火花隙連接到可調節的單轉線線圈的Leyden Jar。當將感應線圈的高電壓應用於一個調諧電路，形成火花並因此振盪電流時，只有在將電路調整至共振時，只有在另一個調諧電路中激發火花。洛奇（Lodge）和一些英國科學家偏愛這種效果的“語法”一詞，但“共鳴”一詞最終陷入困境。 LC電路的第一個實際用途是在1890年代在Spark-Gap無線電發射機中，以使接收器和發射器可以調諧到相同的頻率。洛奇（Lodge）於1897年提交了允許調整的無線電系統的第一項專利，儘管意大利無線電先驅Guglielmo Marconi於1900年發明了第一個實用系統。

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