邏輯
邏輯是正確推理的研究。它包括正式和非正式邏輯。形式邏輯是演繹有效的推論或邏輯真理的科學。它研究了由於僅存在論點的結構而與主題和內容無關的結構,因此結論如何從前提中得出。非正式邏輯與非正式謬論,批判性思維和論證理論有關。它檢查了以自然語言表達的論點,而正式邏輯則使用形式語言。當用作可數名詞時,“邏輯”一詞是指符合證明系統的邏輯形式系統。邏輯在許多領域中起著核心作用,例如哲學,數學,計算機科學和語言學。
邏輯研究論證,包括一組前提以及結論。一個例子是從“星期日”和“如果是星期天,我不必“結論我不必工作”的說法。前提和結論表達可能是真實或錯誤的主張或主張。命題的一個重要特徵是它們的內部結構。例如,複雜的命題是由邏輯詞彙鏈接的更簡單的命題組成的 (和)或 (如果...然後)。簡單的命題還具有諸如示例中的“星期日”或“工作”之類的部分。命題的真理通常取決於其所有部分的含義。但是,邏輯上的真實命題並非如此。它們之所以如此,是因為它們的邏輯結構與各個部分的特定含義無關。
參數可能是正確的或不正確的。如果其前提支持其結論,則一個論點是正確的。演繹論點具有最強的支持形式:如果他們的前提是真實的,那麼他們的結論也必須是真實的。放大論點不是這種情況,該論點獲得了該場所中未找到的真正新信息。日常話語和科學中的許多論點都是擴大的論點。它們被分為歸納和綁架的論點。歸納論點是統計概括,例如,基於許多個人觀察,都推斷出所有烏鴉都是黑色的。例如,綁架性論點是對最佳解釋的推論,例如,當醫生得出結論患者患有某種疾病來解釋他們遭受的症狀時。未達到正確推理標準的論點通常體現謬論。邏輯系統是評估參數正確性的理論框架。
自上古以來就已經研究了邏輯。早期方法包括亞里士多德邏輯,斯多葛邏輯, Nyaya和Mohism 。亞里士多德邏輯專注於以三段論形式推理。它被認為是西方世界的主要邏輯系統,直到它被現代正式邏輯取代為止,它源於19世紀後期的數學家(例如Gottlob Frege)的工作。如今,最常用的系統是經典邏輯。它由命題邏輯和一階邏輯組成。命題邏輯僅考慮完整命題之間的邏輯關係。一階邏輯還考慮了命題的內部部分,例如謂詞和量詞。擴展邏輯接受古典邏輯背後的基本直覺,並將其擴展到其他領域,例如形而上學,倫理學和認識論。另一方面,Deviant Logics拒絕某些經典直覺,並提供了邏輯基本定律的替代解釋。
定義
“邏輯”一詞源自希臘語“徽標”,其具有多種翻譯,例如理性,話語或語言。傳統上,邏輯被定義為對思想定律或正確推理的研究,通常從推論或論點來理解。推理是繪製推論的活動。論點是推論的外在表達。一個論點是一組前提和結論。邏輯對論點是否正確感興趣,即他們的前提是否支持結論。這些一般特徵在最廣泛的意義上,即正式和非正式邏輯都適用於邏輯,因為它們都關注評估參數的正確性。形式邏輯是傳統上主導的領域,一些邏輯學家將邏輯限制在形式上。
正式邏輯
形式邏輯也稱為符號邏輯,廣泛用於數學邏輯中。它使用一種形式的方法來研究推理:它用抽象的符號代替了混凝土表達式,以檢查獨立於其具體內容的參數的邏輯形式。從這個意義上講,它是主題中立的,因為它僅關注參數的抽象結構,而不關心其具體內容。
正式邏輯對演繹有效的論點感興趣,其前提的真理確保了他們的結論真相。這意味著前提是不可能的,結論是錯誤的。對於有效的參數,前提的邏輯結構和結論遵循一種稱為推理規則的模式。例如,模式ponens是一個推論規則,根據該規則,根據該形式的所有參數”(1) p ,(2)如果p則q ,(3)因此, q是有效的,與術語p和q站立無關為了。從這個意義上講,形式邏輯可以定義為有效推論的科學。另一種定義將邏輯視為對邏輯真理的研究。如果命題僅取決於其中使用的邏輯詞彙,則命題在邏輯上是正確的。這意味著它在所有可能的世界中,以及在其非邏輯術語的所有解釋下都是如此,例如“下雨,或者不是”。正式邏輯的這兩個定義並不相同,但它們密切相關。例如,如果從P到Q的推斷有效地有效,則說明“如果P則Q ”是一個邏輯真理。
正式邏輯使用形式語言表達和分析論點。他們通常具有非常有限的詞彙和精確的句法規則。這些規則指定瞭如何將它們的符號組合成構建句子,即所謂的良好形式的公式。正式邏輯的這種簡單性和精確性使其能夠制定精確的推論規則。他們確定給定的論點是否有效。由於對形式語言的依賴,因此無法直接研究自然語言論證。相反,在評估其有效性之前,需要將它們翻譯成正式語言。
術語“邏輯”也可以用作可數名詞的方式略有不同。從這個意義上講,邏輯是一個邏輯形式系統。彼此不同的邏輯彼此不同,因為它們接受的推論規則是有效的,並且用來表達它們的形式語言。從19世紀後期開始,已經提出了許多新的正式系統。關於使形式系統成為邏輯的原因存在分歧。例如,已經建議只有邏輯上完整的系統(例如一階邏輯)才能符合邏輯。由於這種原因,一些理論家否認高階邏輯在嚴格的意義上是邏輯。
非正式邏輯
當從廣義上理解時,邏輯涵蓋了正式和非正式邏輯。非正式邏輯使用非正式標準和標準來分析和評估論點的正確性。它的主要重點是日常話語。將形式邏輯的見解應用於自然語言論點時的困難引起了它的發展。在這方面,它考慮了正式邏輯無法解決的問題。兩者都提供了評估論點的正確性並將其與謬論區分開的標準。
已經提出了許多對非正式邏輯的特徵,但就其確切定義沒有一般性的共識。最字面的方法將術語“正式”和“非正式”視為用於表達論點的語言。根據這種觀點,非正式或自然語言的非正式邏輯研究論點。正式的邏輯只能通過首先將其轉換為形式語言,而非正式邏輯以其原始形式進行調查,從而間接檢查它們。從這種角度來看,論點是“鳥兒飛。鳴叫是鳥。因此,tweety蒼蠅。”屬於自然語言,並通過非正式邏輯進行檢查。但是正式翻譯”(1) ; (2) ; (3) “通過形式邏輯進行了研究。對自然語言論證的研究帶來了各種困難。例如,自然語言表達通常是模棱兩可的,含糊的和依賴於上下文的。另一種方法在廣泛的意義上定義了非正式邏輯,因為是對該規範性的研究從這個意義上講,標準,標準和論點。
另一個表徵通過研究非脫離參數的研究確定了非正式邏輯。這樣,它與由形式邏輯研究的演繹推理形成對比。非侵犯論點可能會結論,但不能確保其正確。一個例子是從經驗觀察中的歸納論點,即“到目前為止,我所見過的所有烏鴉都是黑人”到結論“所有烏鴉都是黑人”。
另一種方法是將非正式邏輯定義為非正式謬論的研究。非正式謬論是不正確的論點,在該論點的內容和上下文中存在錯誤。例如,錯誤的困境涉及通過排除可行的選項的內容錯誤。謬論是“您要么與我們同在,要么與我們反對;因此,您不與我們同在;因此,您反對我們”。一些理論家指出,正式邏輯研究論證的一般形式,而非正式邏輯研究特殊的論點實例。另一種方法是認為,正式邏輯僅考慮邏輯常數在正確的推論中的作用,而非正式邏輯也考慮了實質性概念的含義。進一步的方法集中於對有或沒有正式設備的邏輯主題的討論以及認識論在評估論點中的作用。
基本概念
前提,結論和真理
前提和結論
前提和結論是推論或論點的基本部分,因此在邏輯中起著核心作用。在有效的推論或正確的論點的情況下,結論是從前提或換句話說,前提支持結論。例如,“火星是紅色”的場所,“火星是一個星球”支持“火星是一個紅色星球”。對於大多數類型的邏輯,就認為前提和結論必須是真理者。這意味著它們具有真實價值:它們是真實的。當代哲學通常將它們視為命題或句子。命題是句子的表示,通常被視為抽像對象。例如,英語句子“樹是綠色”與德語句子“ der baum istgrün”不同,但都表達了相同的主張。
前提和結論的命題理論經常受到批評,因為它們依靠抽像對象。例如,哲學博物學家通常拒絕抽像對象的存在。其他論點涉及指定命題身份標準所涉及的挑戰。通過看到前提和結論不是作為命題,而是作為句子,即作為具體的語言對象,例如書頁上顯示的符號,可以避免這些異議。但是這種方法帶有其自身的新問題:句子通常與上下文有關和模棱兩可,這意味著論點的有效性不僅取決於其部分,而且還取決於其上下文和如何解釋。另一種方法是從心理術語中理解前提和結論,例如思想或判斷。這個立場被稱為心理學。它是20世紀初期的詳細討論,但今天並未被廣泛接受。
內部結構
前提和結論具有內部結構。作為命題或句子,它們可以簡單或複雜。一個複雜的命題將其他命題作為其成分,它們通過命題連接詞(例如“和”或“如果...然後”)相互聯繫。另一方面,簡單的命題沒有命題部分。但是它們也可以被認為是具有內部結構:它們由亞構象部分組成,例如奇異術語和謂詞。例如,可以通過將謂詞“紅色”應用於單數項“火星”來形成簡單的命題“火星是紅色”。相比之下,複雜的命題“火星是紅色的,金星是白色的”,由兩個由命題結締組織相關的簡單命題組成”。
命題是正確的,至少部分取決於其成分。對於使用真實功能命題連接形成的複雜命題,它們的真理僅取決於其各個部分的真實價值。但是,在簡單的命題及其亞構件部分的情況下,這種關係更加複雜。這些次介質部分具有自己的含義,例如指對像或對像類。它們形成的簡單命題是否取決於它們與現實的關係,即他們所指的對像是什麼樣的。該主題是由參考理論研究的。
邏輯真理
某些複雜的命題與其各個部分的實質性含義無關。例如,在經典邏輯中,複雜的命題“火星是紅色或火星不是紅色”是正確的,它獨立於其部分,例如簡單的命題“火星是紅色”,是真實的還是錯誤的。在這種情況下,事實稱為邏輯真理:如果其真理僅取決於其中使用的邏輯詞彙,則命題在邏輯上是正確的。這意味著它在其非邏輯術語的所有解釋下都是正確的。在某些模態邏輯中,這意味著在所有可能的世界中,命題都是正確的。一些理論家將邏輯定義為邏輯真理的研究。
真相表
真相表可用於展示邏輯連接方式的工作方式,或者復雜命題的真實價值如何取決於它們的各個部分。它們為每個輸入變量都有一個列。每行都對應於這些變量可以採用的真實值的一種可能的組合。對於英語文學中介紹的真相表,符號“ t”和“ f”或“ 1”和“ 0”通常用作真相價值“ true”和“ false”的縮寫。第一列列出了輸入變量的所有可能的真實值組合。其他列中的條目呈現由輸入值確定的相應表達式的真實值。例如,表達 “使用邏輯結締組織 (和)。它可以用來表達句子,例如“昨天是周日,天氣很好”。僅當兩個輸入變量, (“昨天是星期日”)和 (“天氣很好”),是真的。在所有其他情況下,整個表達都是錯誤的。其他重要的邏輯連接劑是 (不是), (或者), (如果...然後),並且 ( Sheffer Stroke )。鑑於條件命題 ,一個人可以形成相反的真理表 ,它的逆( ) ,及其對立( ) 。對於使用多種命題連接的更複雜表達式,也可以定義真實表。
p | q | p∧q | p∨q | P → Q | −P → €Q | p 問 |
---|---|---|---|---|---|---|
T | T | T | T | T | T | F |
T | F | F | T | F | T | T |
F | T | F | T | T | F | T |
F | F | F | F | T | T | T |
論點和推論
邏輯通常是根據論證或推論作為其正確性的研究來定義的。一個論點是一組前提和結論。推論是從這些前提到結論的推理過程。但是這些術語通常在邏輯上互換使用。論點是正確或不正確的,具體取決於其前提是否支持其結論。另一方面,前提和結論是正確或錯誤的,具體取決於它們是否符合現實。在正式邏輯中,一個合理的論點是一個既正確又有真實前提的論點。有時,簡單和復雜的參數之間會區分。一個複雜的論點是由一系列簡單的參數組成。這意味著一個論點的結論是後來論點的前提。為了使一個複雜的論點成功,鏈的每個鏈接都必須成功。
論點和推論是正確的或不正確的。如果他們是正確的,那麼他們的前提支持他們的結論。在不正確的情況下,缺少此支持。它可以採用與不同類型推理相對應的不同形式。最強的支持形式對應於演繹推理。但是,即使是演繹有效的論點,也可能仍然是好論點,因為他們的前提為他們的結論提供了非授權的支持。對於這種情況,使用術語的擴增或歸納推理。演繹論點與形式的邏輯相關,與放大論證與非正式邏輯之間的關係相反。
演繹
演繹有效的論點是其前提保證其結論的真相的論點。例如,論點“(1)所有青蛙都是兩棲動物;(2)沒有貓是兩棲動物;(3)因此,沒有貓是青蛙”是演繹有效的。對於演繹有效性,前提還是結論實際上是正確的。因此,論點“(1)所有青蛙都是哺乳動物;(2)沒有貓是哺乳動物;(3)因此,沒有貓是青蛙”也是有效的,因為結論必然是從前提來的。
根據阿爾弗雷德·塔斯基(Alfred Tarski)的有影響力的觀點,演繹論點具有三個基本特徵:(1)它們是正式的,即它們僅取決於前提的形式和結論; (2)它們是先驗的,即確定是否獲得的經驗無需經驗; (3)它們是模態,即,它們是由於對給定命題的邏輯必要性而與任何其他情況無關的。
由於具有第一個特徵,因此對形式的關注,通常用推理規則來確定演繹推理。推論規則指定了前提的形式和結論:必須如何構造它們才能有效。不遵循任何推論規則的論點無效。作案波尼斯是一個突出的推理規則。它具有“ p ;如果p ,則q ;因此q ”的形式。知道剛下雨了( )雨後街道濕了( ),可以使用Modus Ponens推斷出街道是濕的( )。
可以通過指出演繹有效的推論是具有真理的:前提是真實的,並且結論是錯誤的。由於具有此功能,因此通常斷言推論是無信息的,因為該結論無法得出該處尚未存在的新信息。但是,這一點並不總是被接受,因為這意味著例如,大多數數學是無信息的。不同的表徵區分了表面和深度信息。句子的表面信息是明確提供的信息。深度信息是句子中包含的全部內容,無論是明確而隱式的。根據這種觀點,演繹推論在深度層面上是無信息的。但是,通過明確說明隱式信息,它們可以在表面水平上具有很高的信息。例如,在數學證明中發生這種情況。
擴增
放大論點是其結論包含在其前提中找不到的其他信息的論點。在這方面,它們更有趣,因為它們包含有關深度水平的信息,而思想家可能會學到真正的新知識。但是,此功能具有一定的代價:前提支持結論,因為它們更有可能使自己的真理,但不能確保其真相。這意味著,即使其所有前提都是真實的,但擴大論點的結論也可能是錯誤的。這種特徵與非單調性和非義能力密切相關:在收到新信息或根據提出的新推論後,可能有必要撤回早期的結論。在日常話語和科學中發現的許多論點,放大推理起著核心作用。擴增的參數不會自動不正確。相反,他們只是遵循不同的正確性標準。他們為結論提供的支持通常是有程度的。這意味著強烈的擴增論點可能會得出結論,而弱點則不確定。結果,在某些情況下,正確和錯誤的論點之間的界線是模糊的,就像該處提供弱但不可忽略的支持時一樣。這與演繹論點形成鮮明對比,這些論點是有效的或無效的,介於兩者之間。
用於分類放大論點的術語是不一致的。一些作者,例如詹姆斯·霍桑(James Hawthorne),使用“歸納”一詞來涵蓋所有形式的非脫離論點。但是,從更狹窄的意義上講,歸納只是一種擴增的論點,而綁架性論證也是一種。一些哲學家,例如Leo Groarke,也允許導電論點另一種類型。從這個狹窄的意義上講,歸納通常被定義為統計概括的一種形式。在這種情況下,歸納論證的前提是許多單獨的觀察結果,它們都顯示出某種模式。然後,結論是這種模式始終獲得的一般定律。從這個意義上講,人們可以根據自己過去對大象的顏色的觀察來推斷“所有大像都是灰色”。歸納推論的一種緊密相關的形式是其結論,而不是一般定律,而是一個更具體的實例,因為當推斷出像還沒有看到大象時,也是灰色的。一些理論家(例如伊戈爾·杜文(Igor Douven))規定,歸納推斷僅基於統計考慮。這樣,它們可以與綁架性推理區分開。
綁架推理可能會或可能不會考慮統計觀察結果。在任何一種情況下,前提都為結論提供支持,因為結論是對前提為真實的最佳解釋。從這個意義上講,綁架也稱為最佳解釋的推斷。例如,考慮到清晨在廚房裡有一個麵包屑的盤子,可以推斷出一個人的主人有午夜小吃,太累了,無法清理桌子。這一結論是合理的,因為它是廚房當前狀態的最佳解釋。為了綁架,結論解釋了前提是不夠的。例如,昨晚盜賊闖入房屋,餓了工作並吃了午夜小吃的結論也將解釋廚房的狀況。但是,這個結論是沒有道理的,因為它不是最好的或很可能的解釋。
謬論
並非所有的論點都達到了正確的推理標準。當他們不這樣做時,通常將它們稱為謬論。他們的主要方面不是他們的結論是錯誤的,而是導致這一結論的推理存在一些缺陷。因此,即使結論是正確的,“今天是晴天;因此蜘蛛有八隻腿”是錯誤的。一些理論家,例如約翰·斯圖爾特·米爾(John Stuart Mill) ,通過要求他們似乎是正確的,給出了更嚴格的謬論定義。這樣,真正的謬論可以與僅由於粗心大意而造成的推理錯誤區分開。這就解釋了人們傾向於犯規的原因:因為它們具有誘人的元素,吸引人們承諾並接受它們。但是,這種對外觀的引用是有爭議的,因為它屬於心理學領域,而不是邏輯,並且由於不同人的外觀可能有所不同。
謬論通常分為正式和非正式謬論。對於正式的謬論,錯誤的根源是以論點的形式找到的。例如,否認先例是一種正式的謬誤,例如“如果奧賽羅是單身漢,那麼他是男性;奧賽羅不是單身漢;因此,奧賽羅不是男性”。但是大多數謬論屬於非正式謬論類別,學術文獻中討論了很多種類。它們的錯誤源通常在參數的內容或上下文中找到。非正式謬論有時被歸類為歧義性,推定謬論或相關性謬論的謬論。對於歧義性的謬論,自然語言的歧義和模糊性是其缺陷的原因,例如“羽毛是光;光是黑色不能是黑暗;因此羽毛不能是黑暗的”。推定謬論的前提是錯誤或不合理的前提,但否則可能是有效的。在相關性謬論的情況下,前提不支持結論,因為它們與之無關。
定義和戰略規則
大多數邏輯學家的主要重點是根據論證是正確或不正確的標準研究標準。如果違反這些標準,則會實現謬論。在正式邏輯的情況下,它們被稱為推理規則。它們是定義規則,它確定推論是否正確或允許哪些推論。定義規則與戰略規則形成鮮明對比。戰略規則規定了哪些推論動作是根據一組前提得出給定的結論所必需的。這種區別不僅適用於邏輯,還適用於遊戲。例如,在國際象棋中,定義規則規定主教只能對角線移動。另一方面,戰略規則描述瞭如何使用允許的動作來贏得遊戲,例如,通過控制中心和捍衛自己的國王。有人認為,邏輯學家應該更加重視戰略規則,因為它們與有效推理高度相關。
正式系統
正式的邏輯系統由一種形式語言以及一組公理和用於從這些公理中得出推斷的證明系統組成。在邏輯上,公理是沒有證據的陳述。它們用於證明其他陳述是合理的。一些理論家還包括一種語義,該語義指定形式語言的表達方式與真實對象的關係。從19世紀後期開始,已經提出了許多新的正式系統。
正式語言由字母和句法規則組成。字母是表達式中使用的一組基本符號。句法規則決定瞭如何佈置這些符號以產生良好的公式。例如,命題邏輯的句法規則決定了“ “是一個形成良好的公式,但” “不是因為邏輯連詞雙方都需要條款。
證明系統是構建正式證明的規則的集合。它是從一組公理中得出結論的工具。證明系統中的規則是根據公式的句法形式定義的,獨立於其特定內容。例如,連詞的經典規則引入說明從前提下和 。可以依次應用此類規則,從而提供了從前提產生結論的機械程序。有不同類型的證明系統,包括自然扣除和依次的計算。
語義是將形式語言表達式映射到其含義的系統。在許多邏輯系統中,表示是真實價值。例如,經典命題邏輯的語義分配公式無論何時,表示為“ true” 和是真的。從語義的角度來看,如果結論是正確的,則需要結論。
當邏輯系統的證明系統無法從一組前提中得出結論,除非其語義上有其語義上的結論。換句話說,其證明系統不能導致語義定義的錯誤結論。當系統的證明系統可以得出所有以其前提為例的結論時,系統就會完成。換句話說,其證明系統可以導致語義定義的任何真實結論。因此,合理性和完整性共同描述了一個系統,其有效性和需要完美融合的系統。
邏輯系統
邏輯系統是評估推理和論點的正確性的理論框架。在兩千多年的時間裡,亞里士多德邏輯被視為西方世界的邏輯典範,但該領域的現代發展導致了邏輯系統的巨大擴散。一種突出的分類將現代形式的邏輯系統分為經典邏輯,擴展邏輯和偏差邏輯。
亞里士多德
亞里士多德邏輯包括各種各樣的主題。它們包括有關本體論類別和科學解釋問題的形而上學論文。但是從更狹窄的意義上講,它與術語邏輯或音節學相同。三段論是一種涉及三個命題的論點形式:兩個前提和一個結論。每個命題都有三個基本部分:一個主題,謂詞和一個將主體與謂詞相連的副物。例如,命題“蘇格拉底是明智的”命題是由“蘇格拉底”,謂詞“明智”和copula的主題組成的。主題和謂詞是命題的術語。亞里士多德邏輯不包含由簡單命題組成的複雜命題。在這方面,它與命題邏輯不同,其中任何兩個命題都可以使用邏輯上的連接(例如“和”)鏈接,以形成一個新的複雜命題。
在亞里士多德的邏輯中,該主題可以是普遍的,特別的,不確定的或單數的。例如,“所有人”一詞是“所有人都是凡人”的普遍主題。可以通過用特定的術語“某些人”,無限期的“人類”或單一的術語“蘇格拉底”代替它來形成類似的命題。
亞里士多德邏輯僅包括用於實體簡單屬性的謂詞。但是它缺乏與實體之間關係相對應的謂詞。可以通過兩種方式將謂詞鏈接到該主題:通過確認或拒絕它。例如,命題“蘇格拉底不是貓”涉及對主題“蘇格拉底”的謂詞“貓”的否定。使用受試者和謂詞的組合,可以形成多種命題和三段論。三段論的特徵是,前提是相互聯繫的事實,並通過在每種情況下共享一個謂詞來互相聯繫。因此,這三個命題包含三個謂詞,稱為主要術語,次序和中期。亞里士多德邏輯的中心方面涉及根據命題的形成方式將所有可能的三段論分類為有效和無效的參數。例如,三段論“所有人都是凡人;蘇格拉底是一個人;因此蘇格拉底是凡人”是有效的。三段論“所有貓都是致命的;蘇格拉底都是凡人;因此,蘇格拉底是貓”,另一方面,蘇格拉底是無效的。
古典
古典邏輯與傳統或亞里士多德邏輯不同。它包括命題邏輯和一階邏輯。它是基於大多數邏輯學家共享的基本邏輯直覺的意義上的“古典”。這些直覺包括被排除的中間定律,消除雙重否定,爆炸原則和真理的雙重性。它最初是為了分析數學論點而開發的,並且後來也被應用於其他領域。由於這種關注數學,因此不包括與許多其他哲學重要性主題相關的邏輯詞彙。概念的示例它可忽略的是必要性和可能性與道德義務和許可問題之間的對比。同樣,它也不解決過去,現在和未來之間的關係。此類問題通過擴展邏輯解決。它們建立在古典邏輯的基本直覺的基礎上,並通過引入新的邏輯詞彙來擴展它。這樣,確切的邏輯方法應用於諸如倫理或認識論之類的領域,這些領域超出了數學範圍。
命題邏輯
命題邏輯包括正式的系統,其中使用邏輯連接詞原子命題構建公式。例如,命題邏輯代表兩個原子命題的結合和作為複雜公式 。與謂詞邏輯不同,術語和謂詞是最小的單元,命題邏輯將充分的命題作為其最基本的組成部分。因此,命題邏輯只能代表邏輯關係,而邏輯關係是由簡單的命題構建的方式。但是它不能代表由命題的內部結構產生的推論。
一階邏輯
一階邏輯包括與命題邏輯相同的命題連接,但與之不同,因為它闡明了命題的內部結構。這是通過諸如單數術語之類的設備進行的,這些設備指的是特定對象,謂詞,這些對像是指屬性和關係以及量詞,它們像“某些”和“ all”一樣對待概念。例如,為了表達“這個烏鴉是黑色”的命題,可以使用謂詞對於“黑色”和單一術語的物業指烏鴉形成表達 。為了表明某些對像是黑色的,是存在的量詞與變量結合形成命題 。一階邏輯包含各種推理規則,這些規則確定表達方式表達方式可以形成有效的參數,例如,人們可以推斷從 。
擴展
擴展邏輯是接受經典邏輯的基本原理的邏輯系統。他們引入了其他符號和原則,將其應用於形而上學,倫理和認識論等領域。
模態邏輯
模態邏輯是經典邏輯的擴展。它以其原始形式,有時稱為“靜脈模態邏輯”,引入了兩個新符號: 表達可能的事情是可能的表示有必要的東西。例如,如果公式代表句子“蘇格拉底是銀行家”,然後是公式闡明“蘇格拉底可能是銀行家”的句子。為了將這些符號包括在邏輯形式主義中,模態邏輯引入了決定它們在推論中扮演的角色的新推理規則。推論規則指出,如果有必要的話,那也是可能的。這意味著跟隨 。另一項原則指出,如果需要一個命題,那麼它的否定是不可能的,反之亦然。這意味著等同於 。
模態邏輯的其他形式引入了相似的符號,但將不同的含義與它們相關聯,將模態邏輯應用於其他字段。例如,道邏輯涉及道德領域並引入符號來表達義務和許可的思想,即描述代理人是否必須執行某個行動或允許執行它。時間模態邏輯中的模態操作員表達了時間關係。例如,他們可以用來表達一次發生的事情,或者一直在發生某些事情。在認識論中,認知模態邏輯被用來代表了解某事與僅認為情況形成鮮明對比的思想。
高階邏輯
高階邏輯不是通過使用模態運算符,而是通過引入新形式的量化來擴展經典邏輯。量詞對應於諸如“全”或“某些”之類的術語。在經典的一階邏輯中,量詞僅應用於個體。公式” “ (某些蘋果很甜)是存在量化器的一個例子” “應用於單個變量” “在高階邏輯中,還允許對謂詞進行量化。這增加了其表達能力。例如,為了表達瑪麗和約翰具有某些品質的想法,可以使用公式” “ 。在這種情況下,存在的量詞將應用於謂詞變量” “ 。附加的表達能力對於數學特別有用,因為它允許更簡潔的數學理論表述。但是,它具有有關其元邏輯屬性和本體論含義的缺點,這就是為什麼一階邏輯仍然更常用的原因。
異常
異常邏輯是邏輯系統,拒絕經典邏輯的一些基本直覺。因此,它們通常不被視為其補充,而是其競爭對手。差異的邏輯系統彼此不同,要么是因為它們拒絕不同的經典直覺,要么是因為他們提出了同一問題的不同替代方案。
直覺邏輯是經典邏輯的受限版本。它使用相同的符號,但排除了一些推理規則。例如,根據消除雙重否定的定律,如果句子不是真的,那是真的。這意味著跟隨 。這是經典邏輯中推斷的有效規則,但在直覺邏輯中是無效的。另一個古典原則不是直覺邏輯的一部分是被排除的中間定律。它指出,對於每個句子,它或其否定都是正確的。這意味著形式的每個主張是真的。這些與經典邏輯的偏差基於這樣的觀念:真理是通過使用證據驗證來建立的。直覺邏輯在建設性數學領域尤為突出,這強調需要找到或構建一個特定示例以證明其存在。
多價值邏輯通過拒絕雙重原則而脫離了古典性,這要求所有命題都是正確或錯誤的。例如, Jan olukasiewicz和Stephen Cole Kleene都提出了三元邏輯,這些邏輯具有第三個真實價值,表示聲明的真實價值是不確定的。這些邏輯已應用於語言學領域。模糊邏輯是多估的邏輯,具有無限數量的“真實程度”,以0到1之間的真實數為代表。
paracensistent邏輯是可以處理矛盾的邏輯系統。它們的配製是為了避免爆炸的原則:對他們而言,矛盾的情況並非如此。它們通常是出於辯態主義的動機,即矛盾是真實的,或者現實本身是矛盾的。格雷厄姆·普里斯特(Graham Priest)是當代的有影響力的支持者,類似的觀點也歸因於喬治·威廉·弗里德里希·黑格爾(Georg Wilhelm Friedrich Hegel) 。
非正式
非正式邏輯通常以較不繫統的方式進行。它通常關注更具體的問題,例如研究特定類型的謬誤或研究論證的某些方面。但是,還提出了一些非正式邏輯框架,這些框架試圖提供對參數正確性的系統表徵。
非正式邏輯的務實或對話方法將論點視為語音的行為,而不僅僅是一組前提和結論。隨著語音的行為,它們發生在某種情況下,例如對話,它影響了對與錯論的標準。道格拉斯·N·沃爾頓(Douglas N. Walton)的著名版本將對話視為兩個玩家之間的遊戲。每個玩家的初始位置的特徵是他們所提出的主張以及他們打算證明的結論。對話是說服力的遊戲:每個玩家的目標是說服對手自己的結論。這是通過提出爭論來實現的:參數是遊戲的舉動。他們影響了玩家提出的主張。獲勝的舉動是一個成功的論點,它將對手的承諾作為前提,並表明自己的結論如何得出。這通常是不可能的。因此,通常有必要將一系列參數作為中介步驟,每個論點都使對手更接近一個人的預期結論。除了這些積極的論點更接近勝利之外,還有負面論據,通過否認對手的結論來阻止對手的勝利。論點是否正確取決於它是否促進了對話的進度。另一方面,謬論違反了適當的辯論規則的標準。這些標準還取決於對話的類型。例如,管理科學話語的標準與業務談判的標準不同。
另一方面,非正式邏輯的認知方法著重於論點的認知作用。這是基於這樣的觀念,即旨在提高我們的知識的論點。他們通過將合理的信念與尚未合理的信念聯繫起來來實現這一目標。正確的論點成功地擴展了知識,而謬論是認知失敗:他們不能證明其結論的信念是合理的。例如,乞討問題的謬誤是謬論,因為它無法為其結論提供獨立的理由,即使它是演繹有效的。從這個意義上講,邏輯規範性在於認知成功或理性。貝葉斯方法是認知方法的一個例子。貝葉斯主義的核心不僅僅是代理人是否相信某種東西,而是他們相信的程度,即所謂的信任。信仰程度被認為是所信奉的命題中的主觀概率,即代理人如何確定命題是正確的。從這種角度來看,推理通常可以解釋為改變一個人的憑據的過程,通常是對新傳入信息的反應。正確的推理及其基於概率定律,例如條件化原則。另一方面,不良或非理性的推理違反了這些法律。
研究領域
邏輯在各個領域進行了研究。在許多情況下,這是通過將其正式方法應用於範圍之外的特定主題(例如道德或計算機科學)來完成的。在其他情況下,邏輯本身是在另一學科中成為研究主題。這可以以各種方式發生。例如,它可能涉及研究與邏輯學家使用的基本概念相關的哲學假設。其他方法包括通過數學結構來解釋和分析邏輯,以及研究和比較形式邏輯系統的抽象屬性。
邏輯和哲學邏輯的哲學
邏輯哲學是研究邏輯範圍和性質的哲學學科。它檢查了許多在邏輯上隱含的預設,例如如何定義其基本概念或與之相關的形而上學假設。它還關注如何對邏輯系統進行分類並考慮他們所產生的本體論承諾。哲學邏輯是邏輯哲學中的領域之一。它研究了邏輯方法在形而上學,倫理和認識論等領域的哲學問題上的應用。該應用程序通常以擴展或變形邏輯系統的形式發生。
金屬製劑
Metalogic是研究形式邏輯系統特性的詢問領域。例如,當開發新的正式系統時,金屬學家可以研究它以確定可以在其中證明哪些公式。他們還可以研究是否可以開發出一種算法來找到每個公式的證明,以及其中的每個可證明的公式是否都是重言式。最後,他們可以將其與其他邏輯系統進行比較,以了解其獨特的特徵。 Metalogic的一個關鍵問題涉及語法與語義之間的關係。正式系統的句法規則決定瞭如何從前提中推斷結論,即如何制定證據。形式系統的語義控制哪些句子是真實的,哪些是錯誤的。這決定了論點的有效性,因為對於有效的論點,前提是不可能的,結論是錯誤的。語法與語義之間的關係涉及諸如每個有效論證是否可證明以及每個可證明的論點是否有效的問題。 Metalogicians還研究邏輯系統是否完整,聲音和一致。他們對系統是否可決定以及具有什麼表現力感興趣。在檢查和製定金屬法規時,金屬學家通常嚴重依賴抽象的數學推理。這樣,他們的目標是就這些主題得出確切而一般的結論。
數學邏輯
“數學邏輯”一詞有時用作“形式邏輯”的同義詞。但是從更加限制的意義上講,它是指數學中邏輯的研究。主要的次要群包括模型理論,證明理論,集合理論和計算理論。數學邏輯中的研究通常涉及邏輯形式系統的數學特性。但是,它還可以包括嘗試使用邏輯來分析數學推理或建立基於邏輯的數學基礎的嘗試。後者是20世紀初數學邏輯的主要關注點,該邏輯探討了哲學家戈特洛布·弗雷格(Gottlob Frege),阿爾弗雷德·諾斯·諾斯·諾斯·懷特海德(Alfred North Whitehead )和伯特蘭·羅素(Bertrand Russell)等哲學家邏輯學計劃的邏輯主義計劃。數學理論應該是邏輯重言式,他們的程序是通過將數學減少到邏輯的方式來表明這一點。從羅素(Russell)的悖論在他的Grundgesetze中癱瘓到戈德爾(Gödel)的不完整定理對希爾伯特(Hilbert)計劃的擊敗,許多試圖意識到該計劃的嘗試失敗了。
集合理論起源於喬治·康托爾(Georg Cantor)對無限的研究,它一直是數學邏輯中許多最具挑戰性和最重要問題的來源。它們包括Cantor的定理,選擇的公理的狀態,連續假設的獨立性問題以及關於大型基本公理的現代辯論。
計算性理論是數學邏輯的分支,研究了解決計算問題的有效程序。它的主要目標之一是了解是否可以使用算法解決給定的問題。例如,鑑於對積極整數的一定主張,它檢查是否可以找到算法來確定該主張是否為真。計算性理論使用各種理論工具和模型(例如圖靈機)來探索這種類型的問題。
計算邏輯
計算邏輯是邏輯和計算機科學的分支,它研究瞭如何使用計算機實施數學推理和邏輯形式主義。這包括例如自動定理掠奪,這些掠奪者採用推理規則來逐步構建從一組前提到預期結論而無需人類干預的結論。邏輯編程語言專門設計用於使用邏輯公式表達事實,並從這些事實中得出推論。例如, Prolog是一種基於謂詞邏輯的邏輯編程語言。計算機科學家還將概念從邏輯應用於計算問題。克勞德·香農(Claude Shannon)的作品在這方面具有影響力。他展示瞭如何使用布爾邏輯來理解和實施計算機電路。這可以使用電子邏輯門,即具有一個或多個輸入的電子電路,通常是一個輸出來實現。命題的真實價值由電壓級別表示。這樣,可以通過將相應的電壓應用於電路的輸入並通過測量輸出電壓來確定函數的值來模擬邏輯函數。
自然語言的形式語義
正式語義是邏輯,語言學和語言哲學的子領域。語義的學科研究語言的含義。正式的語義使用符號邏輯和數學領域的正式工具來提供自然語言表達的含義的精確理論。它理解通常與真理條件有關的含義,即檢查句子是真實或錯誤的情況。它的中心方法論假設之一是組成的原則。它指出,複雜表達的含義取決於其部分的含義以及它們的組合方式。例如,動詞短語“ Walk and Sing”的含義取決於單個表達式“ Walk”和“ Sing”的含義。正式語義中的許多理論都取決於模型理論。這意味著他們採用集合理論來構建模型,然後解釋與本模型中元素有關的表達含義。例如,“步行”一詞可以被解釋為模型中所有分享步行屬性的人的集合。理查德·蒙塔古(Richard Montague)和芭芭拉(Barbara Partee)是該領域的早期有影響力的理論家,他們將分析重點放在英語上。
邏輯認識論
邏輯研究的認識論如何知道論點有效或命題在邏輯上是正確的。這包括諸如如何證明偽造彈力是有效的推理規則或矛盾是錯誤的問題。傳統上主導的觀點是,這種邏輯理解形式屬於先驗知識。在這方面,經常認為,思想有一個特殊的教師來研究純思想之間的關係,並且該教師還負責逮捕邏輯真理。類似的方法從語言慣例方面了解邏輯規則。從這種角度來看,邏輯定律從定義上是真實的:它們只是表達邏輯詞彙的含義。
一些理論家,例如希拉里·普特南(Hilary Putnam)和佩內洛普(Penelope Maddy) ,反對這樣的觀點,即邏輯是可以先驗的。他們認為邏輯真理取決於經驗世界。這通常與以下說法相結合:邏輯明確法則在世界的結構特徵中發現了普遍的規律性。根據這種觀點,可以通過研究基本科學的一般模式來探索它們。例如,有人認為,量子力學的某些見解反駁了經典邏輯中的分佈原理,該原理指出公式等同於 。該主張可以用作一個論點,即量子邏輯是正確的邏輯系統,應取代經典邏輯。
歷史
邏輯是在上古時期在幾種文化中獨立開發的。一個主要的早期貢獻者是亞里士多德(Aristotle),他在他的Organon和先前的分析中發展了術語邏輯。他負責引入假設的三段論和時間模態邏輯。進一步的創新包括歸納邏輯以及對新邏輯概念的討論,例如術語,可預測,三段論和命題。亞里士多德邏輯在歐洲和中東的古典和中世紀時期都受到高度評價。直到19世紀初,它一直在西方廣泛使用。現在,它已被後來的工作所取代,儘管現代邏輯系統中仍然存在許多關鍵見解。
伊本·西納(Ibn Sina)(Avicenna)是Avicennian Logic的創始人,該邏輯取代了亞里士多德邏輯為伊斯蘭世界中邏輯的主要邏輯體系。它影響了西方中世紀作家,例如奧克漢姆的阿爾伯斯·馬格努斯和威廉。伊本·西娜(Ibn Sina)在假設的三段論和命題演算上寫道。他開發了一種原始的“時間調製”的三段論理論,涉及時間邏輯和模態邏輯。他還利用了歸納邏輯,例如他的一致性,差異和伴隨的變化方法,這對科學方法至關重要。 Fakhr al-Din al-Razi是另一位有影響力的穆斯林邏輯學家。他批評亞里士多德的音節學,並製定了早期的歸納邏輯系統,預示了約翰·斯圖爾特·米爾(John Stuart Mill)開發的歸納邏輯系統。
在中世紀,對亞里士多德邏輯進行了許多翻譯和解釋。 Boethius的作品特別有影響。除了將亞里士多德的作品翻譯成拉丁語外,他還製作了有關邏輯的教科書。後來,吸引了伊本·辛納(Ibn Sina)和伊本·拉什(Ibn Rushd)(阿維羅斯(Averroes))等伊斯蘭哲學家的作品。這擴大了中世紀基督教學者可用的古代作品的範圍,因為在拉丁評論中保存的穆斯林學者可以使用更多的希臘作品。 1323年,奧克漢姆(Ockham)有影響力的Summa Logicae的威廉(William)發行了。這是一本關於邏輯的全面論文,討論了許多邏輯的基本概念,並提供了對命題類型及其真實條件的系統性解釋。
在中國哲學上,名稱和摩爾主義學校特別有影響力。名稱學校的重點是使用語言和悖論。例如,貢森(Gongsun)長期提出了白馬悖論,該悖論捍衛了一馬匹不是馬的論點。 Mohism學校還承認語言對邏輯的重要性,並試圖將這些領域的思想與道德領域聯繫起來。
在印度,對邏輯的研究主要是由Nyaya ,佛教和Ja那教的學校進行的。它不是被視為單獨的學術學科,對其主題的討論通常發生在認識論和對話或論證理論的背景下。在Nyaya,推論被理解為知識的來源( Pramāṇa )。它遵循對象的感知,並試圖得出有關此對象原因的結論。佛教和Ja那教邏輯學校也發現了對認識論關係的類似強調,在該學校中,推理用於擴大通過其他來源獲得的知識。後來的一些Nyaya理論屬於Navya-Ynyāya學校,類似於現代的邏輯形式,例如Gottlob Frege在感官和參考之間的區別以及他對數字的定義。
亞里士多德(Aristotle)開發的三段論邏輯在西方占主導地位,直到19世紀中葉,當時對數學基礎的興趣激發了現代符號邏輯的發展。許多人將Gottlob Frege的Begriffsschrift視為現代邏輯的發源地。戈特弗里德·威廉·萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz )對普遍形式語言的觀念通常被認為是先驅。其他開拓者是喬治·布爾(George Boole) ,他發明了布爾代數為邏輯的數學系統,而查爾斯·皮爾斯(Charles Peirce )則發展了親戚的邏輯。反過來,阿爾弗雷德·北懷特黑德(Alfred North Whitehead)和貝特蘭·羅素(Bertrand Russell)在其作品Mathematica中凝結了許多這些見解。現代邏輯引入了新穎的概念,例如功能,量詞和關係謂詞。現代象徵邏輯的標誌是它使用形式語言精確地編纂了其見解。在這方面,它偏離了主要依靠自然語言的早期邏輯學家。特別影響的是一階邏輯的發展,該邏輯通常被視為現代邏輯的標準系統。它的分析性一般性允許數學形式化,並推動了集合理論的研究。它還使阿爾弗雷德·塔斯基(Alfred Tarski)的模型理論方法成為可能,並為現代數學邏輯提供了基礎。