數學模型

數學模型是使用數學概念和語言對混凝土系統的抽象描述。開發數學模型的過程稱為數學建模。數學模型用於應用數學和自然科學（例如物理學，生物學，地球科學，化學）和工程學科（例如計算機科學，電氣工程），以及非物理系統，例如社會科學（例如經濟學，心理學，社會學，政治學）。它也可以本身作為主題教授。

使用數學模型來解決業務或軍事行動中的問題是運營研究領域的很大一部分。

數學模型也用於音樂，語言學和哲學（例如，在分析哲學中進行了強度）。模型可能有助於解釋系統並研究不同組件的影響，並對行為做出預測。

數學模型的要素

數學模型可以採用多種形式，包括動態系統，統計模型，微分方程或遊戲理論模型。這些模型和其他類型的模型可能與涉及各種抽象結構的給定模型重疊。通常，數學模型可能包括邏輯模型。在許多情況下，科學領域的質量取決於理論方面的數學模型與可重複實驗的結果一致。隨著發展更好的理論，理論數學模型和實驗測量之間缺乏一致性，通常會導致重要進步。

在物理科學中，傳統的數學模型包含以下大多數元素：

管理方程式
補充子模型
1. 定義方程
2. 構成方程
假設和約束
1. 初始和邊界條件
2. 經典約束和運動學方程

分類

數學模型的類型不同：

線性與非線性：如果數學模型中的所有運算符表現出線性，則將所得的數學模型定義為線性。否則將模型視為非線性。線性和非線性的定義取決於上下文，線性模型可能具有非線性表達式。例如，在統計線性模型中，假定關係在參數中是線性的，但是在預測變量中可能是非線性的。同樣，如果可以用線性差分運算符編寫一個微分方程，則說它是線性的，但是它仍然可以在其中具有非線性表達式。在數學編程模型中，如果目標函數和約束完全由線性方程表示，則該模型被視為線性模型。如果用非線性方程表示一個或多個目標函數或約束，則該模型被稱為非線性模型。
線性結構意味著可以將問題分解為可以獨立處理和/或以不同規模進行分析的更簡單的部分，並且在重新組建和重新定制時獲得的結果對於初始問題仍然有效。
非線性，即使在相當簡單的系統中，通常與混亂和不可逆性等現像有關。儘管有例外，但非線性系統和模型往往比線性更難學習。非線性問題的一種常見方法是線性化，但是如果一個人試圖研究不可逆性，這些方面與非線性密切相關，這可能是有問題的。
靜態與動態：動態模型解釋了系統狀態的時間相關變化，而靜態（或穩態）模型以平衡計算系統，因此是時間不變的。動態模型通常由微分方程或差方程表示。
顯式與隱式：如果已知總體模型的所有輸入參數，並且可以通過有限的一系列計算來計算輸出參數，則該模型被認為是顯式的。但是有時是已知的輸出參數，並且必須通過迭代過程（例如牛頓的方法或Broyden的方法）來解決相應的輸入。在這種情況下，該模型被認為是隱式的。例如，可以在特定的飛行條件和電源設置下設計熱力學週期（空氣和燃油流量，壓力和溫度），可以明確計算噴氣發動機的物理特性，例如渦輪機和噴嘴喉嚨區域在其他飛行條件下的操作週期和電源設置無法從恆定的物理特性中明確計算。
離散與連續：離散模型將對象視為離散的對象，例如分子模型中的粒子或統計模型中的狀態；連續模型以連續的方式表示對象，例如管流中流體的速度場，固體中的溫度和應力以及由於點電荷而在整個模型上連續應用的電場。
確定性與概率（隨機性）：確定性模型是一個模型，其中每組變量狀態都由模型中的參數和這些變量的先前狀態的一組唯一確定；因此，確定性模型始終在給定的一組初始條件下執行相同的方式。相反，在隨機模型（通常稱為“統計模型”）中，存在符號，並且可變狀態不是由唯一值來描述，而是通過概率分佈來描述。
演繹，感應或浮動：演繹模型是基於理論的邏輯結構。歸納模型來自經驗發現和概括。浮動模型既不基於理論也不是觀察，而只是預期結構的調用。數學在經濟學以外的社會科學中的應用已被毫無根據的模型受到批評。災難理論在科學中的應用已被描述為浮動模型。
遊戲理論中使用的戰略與非戰略模型在某種意義上是不同的，因為它們具有不兼容的激勵措施，例如競爭性物種或拍賣中的競標者。戰略模型假設玩家是自主決策者，他們合理地選擇最大化其目標功能的動作。使用戰略模型的關鍵挑戰是定義和計算解決方案概念，例如NASH平衡。戰略模型的一個有趣的屬性是，他們將有關遊戲規則的推理與對玩家行為的推理分開。

建造

在業務和工程中，數學模型可用於最大化某個輸出。所考慮的系統將需要某些輸入。將輸入與輸出相關的系統也取決於其他變量：決策變量，狀態變量，外源變量和隨機變量。

決策變量有時稱為自變量。外源變量有時稱為參數或常數。由於狀態變量取決於決策，輸入，隨機和外源變量，因此變量並非彼此獨立。此外，輸出變量取決於系統的狀態（由狀態變量表示）。

系統及其用戶的目標和約束可以表示為輸出變量或狀態變量的功能。目標函數將取決於模型用戶的觀點。根據上下文，目標函數也被稱為績效索引，因為它是用戶感興趣的一定程度。儘管目標函數的數量和約束可能沒有限制，但隨著數量的增加，使用或優化模型會更加涉及（計算上）。

例如，使用輸入輸出模型時，經濟學家通常會採用線性代數。具有許多變量的複雜數學模型可以通過使用一個符號代表幾個變量的向量來鞏固。

先驗信息

為了用典型的“黑匣子方法”分析某些東西，只能考慮刺激/響應的行為，以推斷（未知）框。該黑匣子系統的通常表示是框中的數據流程圖。

根據系統上的先驗信息，數學建模問題通常被分類為黑匣子或白框模型。黑框模型是一個沒有可用的先驗信息的系統。白色框型號（也稱為玻璃盒或清除盒）是一個可用的所有必要信息的系統。實際上，所有系統都位於黑框和白色框模型之間，因此該概念僅作為決定採用哪種方法的直觀指南。

通常，最好使用盡可能多的先驗信息來使模型更準確。因此，通常認為白框模型更容易，因為如果您正確使用了信息，則該模型將正確地行為。通常，先驗信息以了解與不同變量相關的函數類型的形式出現。例如，如果我們製作了醫學在人類系統中的工作方式的模型，我們知道血液中的藥物量通常是指數衰減的功能。但是我們仍然有幾個未知參數。藥物量衰減的速度如何，血液中的初始藥物量是多少？因此，此示例不是完全白色的框模型。這些參數必須通過某種方式估算，然後才能使用模型。

在黑框模型中，人們試圖估計變量和這些函數中數值參數之間關係的功能形式。例如，使用先驗信息，我們可以使用一組可能可以充分描述系統的功能。如果沒有先驗信息，我們將嘗試使用盡可能一般的功能來涵蓋所有不同的模型。黑盒模型經常使用的方法是神經網絡，通常不會對傳入數據做出假設。或者，作為非線性系統識別的一部分開發的NARMAX（具有外源輸入的非線性自迴旋移動平均模型）可以使用相關性和非線性和非線性存在的未知參數來選擇模型術語，確定模型結構並估算未知參數。噪音。與神經網絡相比，NARMAX模型的優勢在於，Narmax產生的模型可以寫下並與基礎過程相關，而神經網絡產生了不透明的近似值。

主觀信息

有時將主觀信息納入數學模型很有用。這可以基於直覺，經驗或專家意見或基於數學形式的便利性來完成。貝葉斯統計提供了一個理論框架，將這種主觀性納入嚴格的分析中：我們指定了先前的概率分佈（可以是主觀的），然後根據經驗數據更新此分佈。

一個何時需要這種方法的例子是，實驗者稍微彎曲硬幣並將其扔一次，記錄它是否出現頭部，然後賦予預測下一個翻轉抬頭的概率的任務。彎曲硬幣後，硬幣會出現頭部的真正可能性是未知的。因此，實驗者將需要對先前使用的分佈做出決定（也許是通過查看硬幣的形狀）。合併此類主觀信息對於獲得概率的準確估計可能很重要。

複雜

通常，模型複雜性涉及模型的簡單性和準確性之間的權衡。 Occam的剃須刀是一個與建模特別相關的原則，其必不可少的想法是，在大致相等的預測能力的模型中，最簡單的一個是最可取的。儘管增加的複雜性通常可以改善模型的現實主義，但它可能使模型難以理解和分析，並且還可能構成計算問題，包括數值不穩定性。托馬斯·庫恩（Thomas Kuhn）認為，隨著科學的發展，在範式轉變提供根本簡化之前的解釋往往變得更加複雜。

例如，在對飛機的飛行進行建模時，我們可以將飛機的每個機械部分嵌入我們的模型中，從而獲得系統的幾乎白色盒子。但是，添加如此大量細節的計算成本將有效地抑制這種模型的使用。此外，由於系統過於復雜，不確定性將增加，因為每個單獨的部分都會導致模型中的一定差異。因此，通常進行一些近似值以將模型降低到明智的大小是合適的。工程師通常可以接受一些近似值，以獲得更健壯和簡單的模型。例如，牛頓的古典力學是現實世界的近似模型。儘管如此，牛頓的模型對於大多數普通生活的情況就足夠了，也就是說，只要粒子速度遠低於光速，我們僅研究宏觀粒子即可。

請注意，更好的準確性並不一定意味著更好的模型。統計模型容易過度擬合，這意味著模型過多地適合數據，並且失去了將其推廣到以前未觀察到的新事件的能力。

培訓，調整和配件

任何不是純白色框的模型都包含一些可用於將模型擬合到旨在描述的系統的參數。如果建模是通過人工神經網絡或其他機器學習進行的，則將參數的優化稱為訓練，而模型超參數的優化稱為調整，通常使用交叉驗證。在通過明確給定的數學函數的更常規的建模中，參數通常由曲線擬合確定。

評估和評估

建模過程的關鍵部分是評估給定數學模型是否準確描述系統。這個問題可能很難回答，因為它涉及幾種不同類型的評估。

經驗數據的預測

通常，模型評估中最簡單的部分是檢查模型是否預測了模型開發中未使用的實驗測量或其他經驗數據。在具有參數的模型中，一種常見的方法是將數據拆分為兩個不相交的子集：培訓數據和驗證數據。培訓數據用於估計模型參數。即使這些數據沒有用於設置模型的參數，即使這些數據未使用這些數據，精確的模型也將密切匹配。這種做法被稱為統計中的交叉驗證。

定義一個指標來測量觀察到的數據和預測數據之間的距離是評估模型擬合的有用工具。在統計，決策理論和一些經濟模型中，損失功能也起著相似的作用。

儘管測試參數的適當性是相當簡單的，但是測試模型的一般數學形式的有效性可能更困難。通常，與涉及微分方程的模型相比，已經開發了更多的數學工具來測試統計模型的擬合。來自非參數統計數據的工具有時可以用來評估數據擬合已知分佈的程度或提出的一般模型，該模型僅對模型的數學形式提供最小的假設。

模型範圍

評估模型的範圍，即確定模型適用的情況可能不那麼直接。如果模型是根據一組數據構建的，則必須確定已知數據是“典型”數據集的系統或情況。

該模型是否很好地描述了數據點之間系統的屬性的問題稱為插值，並且在觀察到的數據之外的事件或數據點相同的問題稱為外推。

作為模型範圍典型限制的一個例子，在評估牛頓古典力學時，我們可以注意到，牛頓在沒有高級設備的情況下進行了測量，因此他無法測量以接近光速的速度行駛的顆粒的特性。同樣，他不測量分子和其他小顆粒的運動，而是僅僅是宏粒子。毫不奇怪，他的模型不能很好地推斷出這些領域，即使他的模型足以容納普通的生命物理學。

哲學考慮

許多類型的建模隱含地涉及有關因果關係的主張。這通常是（但並非總是）涉及微分方程的模型。由於建模的目的是提高我們對世界的理解，因此模型的有效性不僅取決於其與經驗觀察的合適性，而且還取決於其推斷到最初描述的情況以外的情況或數據的能力。人們可以將其視為定性和定量預測之間的區別。人們還可以說，除非它提供了一些洞察力，否則該模型是毫無價值的，這些見解超出了對所研究現象的直接調查已知的內容。

這樣的批評的一個例子是，最佳覓食理論的數學模型並沒有提供超越進化的常識結論和生態學的其他基本原理的見解。

還應注意的是，雖然數學建模使用數學概念和語言，但它本身並不是數學的分支，不一定符合任何數學邏輯，而是某些科學或其他技術主題的分支，具有相應的概念和相應的概念和論證標準。

自然科學的重要性

數學模型在自然科學中非常重要，尤其是物理學。物理理論幾乎總是使用數學模型表達。

在整個歷史上，已經開發了越來越準確的數學模型。牛頓的定律準確地描述了許多日常現象，但是在某些限制下，必須使用相對論和量子力學的理論。

在物理學中使用理想化的模型來簡化事物是常見的。無質量的繩索，點顆粒，理想氣體和盒子中的粒子是物理中使用的許多簡化模型之一。物理定律用簡單的方程式表示，例如牛頓定律，麥克斯韋方程和schrödinger方程。這些定律是製定實際情況數學模型的基礎。許多真實情況非常複雜，因此在計算機上進行了大致建模，該模型在計算上可行的模型是根據基本定律或基本定律製成的近似模型製成的。例如，分子可以通過分子軌道模型對schrödinger方程的近似溶液進行建模。在工程學中，物理模型通常是通過數學方法（例如有限元分析）製成的。

不同的數學模型使用不同的幾何形狀，這些幾何形狀不一定是對宇宙幾何形狀的準確描述。歐幾里得的幾何形狀在古典物理學中備受使用，而特殊的相對論和一般相對論是使用不是歐幾里得的幾何形狀的理論的例子。

一些應用程序

通常，當工程師分析要控製或優化的系統時，他們會使用數學模型。在分析中，工程師可以構建系統的描述模型，以作為系統如何工作的假設，或試圖估計不可預見的事件如何影響系統。同樣，在控制系統時，工程師可以在模擬中嘗試不同的控制方法。

數學模型通常通過一組變量和一組方程來描述系統，以在變量之間建立關係。變量可能是多種類型的；例如，真實或整數數字，布爾值或字符串。變量代表系統的某些屬性，例如，經常以信號，計時數據，計數器和事件出現的形式進行測量的系統輸出。實際模型是描述不同變量之間關係的一組函數。

例子

計算機科學中流行的示例之一是各種機器的數學模型，一個示例是確定性有限自動機（DFA），它被定義為抽象的數學概念，但是由於DFA的確定性性質，它在硬件中是可以實現的。和解決各種特定問題的軟件。例如，以下是帶有二進製字母的DFA M，它要求輸入包含偶數0s：

M=(Q,\Sigma ,\delta ,q_{0},F)

在哪裡

$Q=\{S_{1},S_{2}\},$
$\Sigma =\{0,1\},$
$q_{0}=S_{1},$
$F=\{S_{1}\},$ 和
由以下狀態轉變表定義：

	0	1
S ₁	$S_{2}$	$S_{1}$
S ₂	$S_{1}$	$S_{2}$

該狀態表示到目前為止輸入中有均勻的0，而表示奇數。輸入中的1不會改變自動機的狀態。當輸入結束時，狀態將顯示輸入是否包含偶數0s。如果輸入確實包含偶數為0，則將在狀態下完成接受狀態，因此將接受輸入字符串。

識別的語言是正則表達式1*（0（1*）0（1*））*的常規語言，其中“*”是kleene star，例如，1*表示任何非負號（可能是符號“ 1”的零）。

在沒有思考的情況下進行的許多日常活動都是數學模型的用途。地球區域對小平面表面的地理圖投影是一種模型，可用於許多目的，例如計劃旅行。
另一個簡單的活動是使用距離行進的方程式是時間和速度的乘積，可以從其初始位置，方向和行進速度來預測車輛的位置。當更正式使用時，這被稱為死亡。以這種方式進行數學建模不一定需要形式數學。已經證明動物使用死亡估算。
人口增長。人口增長的一個簡單（雖然近似）模型是馬爾薩斯的增長模型。邏輯功能及其擴展是一個更現實的人口增長模型。
電勢場中粒子的模型。在此模型中，我們將粒子視為質量點，它描述了空間中的軌跡，該軌跡由使其在空間中的函數作為時間的函數進行建模。電勢場由函數和軌跡給出，即函數是微分方程的解決方案： $-{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} (t)}{\mathrm {d} t^{2}}}m={\frac {\partial V[\mathbf {r} (t)]}{\partial x}}\mathbf {\hat {x}} +{\frac {\partial V[\mathbf {r} (t)]}{\partial y}}\mathbf {\hat {y}} +{\frac {\partial V[\mathbf {r} (t)]}{\partial z}}\mathbf {\hat {z}} ,$ 也可以寫為 $m{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} (t)}{\mathrm {d} t^{2}}}=-\nabla V[\mathbf {r} (t)].$

請注意，該模型假設粒子是一個點質量，在我們使用此模型的許多情況下，它肯定是錯誤的。例如，作為行星運動的模型。

消費者的理性行為模型。在此模型中，我們假設一個消費者面臨著標記為每種商品的商品選擇的選擇，假定消費者俱有序數效用功能（在某種意義上，只有兩個公用事業之間差異的跡象，而不是每個公用事業之間的差異的標誌公用事業是有意義的），具體取決於所消耗的商品數量。該模型進一步假設消費者的預算用於購買向量的預算，以最大化該模型中理性行為問題，然後成為數學優化問題，也就是說： $\max \,U(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ 約束： $\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}\leq M,$ $x_{i}\geq 0\;\;\;{\text{ for all }}i=1,2,\dots ,n.$ 該模型已在各種經濟環境中使用，例如在一般平衡理論中以顯示經濟平衡的存在和帕累托效率。
鄰居感應模型是一個模型，該模型解釋了最初混亂的真菌網絡的蘑菇形成。
在計算機科學中，數學模型可用於模擬計算機網絡。
在力學中，數學模型可用於分析火箭模型的運動。