數學
數學是一個知識領域，其中包括數字，公式和相關結構，形狀和所包含的空間的主題，數量及其變化。這些主題在現代數學中分別代表了數字理論，代數，幾何和分析的主要子學科。數學家之間對他們的學科的共同定義沒有一般共識。
大多數數學活動涉及發現抽像對象的屬性以及使用純粹的理由證明它們的屬性。這些對象由大自然的抽象組成，或者在現代數學中，被規定為具有某些屬性（稱為公理的特性）。證明包括一系列針對已經建立的結果的演繹規則的應用程序。這些結果包括先前證明的定理，公理和在自然界抽象的情況下 - 被認為是所考慮的理論的真正起點。
數學在自然科學，工程，醫學，金融，計算機科學和社會科學中至關重要。儘管數學廣泛用於建模現象，但數學的基本真理與任何科學實驗無關。數學的某些領域（例如統計和遊戲理論）與其應用密切相關，並且經常在應用數學下分組。其他領域是獨立於任何應用程序開發的（因此稱為純數學），但通常以後找到實際應用。例如，整數分解的問題，例如，在公元前300年，它可以追溯到歐幾里得，在RSA加密系統中使用之前，沒有實際應用，該應用程序現在廣泛用於計算機網絡的安全性。
從歷史上看，證明及其相關的數學嚴謹性的概念首先出現在希臘數學中，最著名的是歐幾里得的元素。自從其開始以來，數學主要分為幾何和算術（自然數和分數的操縱），直到16和17世紀，當時將代數和無限微積分引入為新領域。從那時起，數學創新與科學發現之間的相互作用導致兩者的發展相關。在19世紀末，數學的基礎危機導致了公理方法的系統化，這預示著數學領域的數量及其應用領域的急劇增加。當代數學主題分類列出了60多個數學領域。
詞源
數學一詞來自古希臘Máthēma （ μάθημα ），意思是“學到的東西”，“人們了解的東西”，因此也“研究”和“科學”。即使在古典時期，這個詞也具有“數學研究”的狹窄和更技術意義。它的形容詞是Mathēmatikós （ μαθηματικός ），意思是“與學習”或“勤奮”，這同樣進一步出現了“數學”。特別是， Mathēmatikḗtékhn是（ μαθηματικὴτέχνη ；拉丁語： ars Mathematica ）是“數學藝術”。
同樣，畢達哥拉斯主義的兩個主要思想流派之一被稱為Mathēmatikoi （Mathēmatikoi（μαθηματικοί）），當時是“學習者”，而不是現代意義上的“數學家”。畢達哥拉斯人可能是第一個將單詞使用的用法僅作為算術和幾何形狀的研究。到亞里士多德時期（公元前384 - 322年），這一含義已經完全確定。
在拉丁語中，直到1700年左右，數學一詞更常見的是“占星術”（或有時是“天文學”），而不是“數學”。含義逐漸變為目前的含義，從大約1500年到1800年。這種變化導致了幾種錯誤的翻譯：例如，聖奧古斯丁警告說，基督徒應該提防數學，意思是“占星家”，有時會被譴責為對數學家的譴責。 。
英語中明顯的複數形式可以追溯到基於希臘複數的taēmatiká（ τὰμμαθηματικά ）的拉丁中性多元數學數學（ CICERO ），大致意味著“所有事物”，儘管英語僅借用了形容詞數學的數學借用，但Al）並以物理和形而上學的模式重新形成了名詞數學，並從希臘文繼承。用英語，名詞數學採用一個單數動詞。它通常縮短為數學或北美數學。
數學領域
在文藝復興時期，數學被分為兩個主要領域：算術，關於數字的操縱和幾何形狀，有關形狀的研究。當時，某些類型的偽科學（例如命理學和占星術）與數學沒有明確區分。
在文藝復興時期，出現了另外兩個區域。數學符號導致代數，大概是由研究和對公式的操縱組成的。結石由兩個子場差分和積分組成，是對連續函數的研究，該函數對變量代表的變化數量之間通常非線性關係進行了建模。該分為四個主要領域 - 算術，幾何，代數，微積分 - 直到19世紀末。然後，數學家研究了天體力學和固體力學等領域，但現在被認為屬於物理學。在記錄的大部分歷史中，都對組合學的主題進行了研究，但直到17世紀才成為數學的單獨分支。
在19世紀末，數學的基礎危機和公理方法的系統化導致了新的數學領域的爆炸。 2020年數學主題分類包含不少於63個第一級領域。這些領域中的一些與較舊的劃分相對應，如數字理論（較高算術的現代名稱）和幾何形狀所述。其他幾個一級區域的名稱具有“幾何”，或者通常被認為是幾何學的一部分。代數和微積分並未作為第一級區域出現，而分別分為幾個第一級區域。 20世紀出現的其他一級領域，或者以前沒有被視為數學，例如數學邏輯和基礎。
數字理論
數字理論始於對數字的操縱，即自然數，後來擴展到整數，有理數數字理論曾經被稱為算術，但是如今，該術語主要用於數值計算。數字理論可以追溯到古代巴比倫，可能是中國。兩個著名的早期理論家是古希臘的歐幾里得和亞歷山大的司法。以其抽象形式的現代數字理論研究在很大程度上歸因於皮埃爾·德·費馬特（Pierre de Fermat）和萊昂哈德·歐爾（Leonhard Euler）。 Adrien-Marie Legendre和Carl Friedrich Gauss的貢獻，該領域完全實現了。
許多很容易陳述的數字問題具有需要復雜方法的解決方案，通常來自整個數學。一個突出的例子是費馬特的最後一個定理。這一猜想是由皮埃爾·德·費馬特（Pierre de Fermat）在1637年陳述的，但僅在1994年被安德魯·威爾斯（Andrew Wiles）證明，他使用了包括代數幾何學，類別理論和同源代數的方案理論的工具。另一個例子是戈德巴赫（Goldbach）的猜想，它斷言每個整數大於2的總和是兩個質量數的總和。儘管付出了巨大的努力，但克里斯蒂安·戈德巴赫（Christian Goldbach）於1742年說，它仍然未經證實。
數字理論包括幾個亞地區，包括分析數理論，代數數理論，數字的幾何形狀（以方法為導向）， Diophantine方程和超越理論（面向問題）。
幾何學
幾何是數學最古老的分支之一。它始於有關形狀的經驗食譜，例如線條，角度和圓圈，這些食譜主要是針對測量和建築的需求而開發的，但此後一直湧入許多其他子場。
基本的創新是古希臘人對證明概念的介紹，要求必須證明每一個主張。例如，通過測量驗證兩個長度相等是不夠的。必須通過先前接受的結果（定理）和一些基本語句來證明它們的平等性。基本陳述不受證據的約束，因為它們是不言而喻的（假設），或者是研究主題（公理）定義的一部分。該原理是所有數學的基礎，首先是為幾何而詳細闡述的，並在他的書元素中被歐幾里得（Euclid）進行了系統化。
所得的歐幾里得幾何形狀是對歐幾里得平面（平面幾何形狀）和三維歐幾里得空間中線，平面和圓形構建的形狀及其排列的研究。
歐幾里得的幾何形狀是開發的，沒有改變方法或範圍，直到17世紀，雷內·笛卡爾（RenéDescartes）引入了現在所謂的笛卡爾坐標。這構成了範式的重大變化：它不是將實數定義為線段的長度（請參見數字行），而是使用其坐標來表示點，即數字。因此，代數（及以後的微積分）可用於解決幾何問題。幾何形狀分為兩個新的子字段：使用純粹的幾何方法和分析幾何形狀的合成幾何形狀，它系統地使用坐標。
分析幾何形狀允許研究與圓和線無關的曲線。這樣的曲線可以定義為函數圖，其研究導致了差異幾何形狀。它們也可以定義為隱式方程，通常是多項式方程（產生代數幾何形狀）。分析幾何形狀還可以考慮高於三個維度的歐幾里得空間。
在19世紀，數學家發現了非歐國人的幾何形狀，這些幾何形狀不遵循平行的假設。通過質疑那個假設的真理，這一發現被視為加入了羅素的悖論，以揭示數學的基礎危機。危機的這一方面是通過系統化公理方法來解決的，並採用所選公理的真實性不是數學問題。反過來，公理方法允許研究通過更改公理或考慮在空間特定變換下不變的特性獲得的各種幾何形狀。
今天的幾何亞地區包括：
- 吉拉德·德薩格斯（Girard Desargues ）在16世紀引入的投射幾何形狀通過添加無窮大的點來擴展歐幾里得的幾何形狀。通過統一相交和平行線的處理方法，這簡化了經典幾何形狀的許多方面。
- 仿射幾何形狀，相對於並行性的性質的研究，獨立於長度的概念。
- 差異幾何形狀，曲線，表面及其概括的研究，這些幾何形狀是使用可區分函數定義的。
- 流形理論，對形狀的研究不一定嵌入在更大的空間中。
- Riemannian幾何形狀，彎曲空間中距離特性的研究。
- 代數幾何，曲線，表面及其概括的研究是使用多項式定義的。
- 拓撲，對持續變形的性質的研究。
- 離散的幾何形狀，對幾何形狀有限構型的研究。
- 凸幾何，凸組的研究，從其優化中的應用中汲取了重要性。
- 複雜的幾何形狀，通過用複數代替實數獲得的幾何形狀。
代數
代數是操縱方程式和公式的藝術。 Diophantus（3世紀）和Al-Khwarizmi （9世紀）是代數的兩個主要先驅。 Diophantus通過推論新的關係來解決涉及未知自然數的一些方程，直到獲得解決方案。 al-khwarizmi引入了用於轉換方程的系統方法，例如將術語從方程式移動到另一側。代數一詞源自阿拉伯語單詞al-jabr，意思是他用來命名其主要論文標題的這些方法之一的“破碎部分的團聚”。
代數本身就是一個領域，只有弗朗索瓦·維特（ FrançoisViète ）（1540–1603），他引入了代表未知數或未指定數字的變量的使用。變量允許數學家描述必須對使用數學公式表示的數字進行的操作。
直到19世紀，代數主要包括對線性方程（目前是線性代數）和單個未知的多項式方程組成的，該方程稱為代數方程（儘管仍在使用的術語中，但它可能模棱兩可）。在19世紀，數學家開始使用變量來表示數字以外的其他事物（例如矩陣，模塊化整數和幾何變換），在該數字上，算術操作的概括通常是有效的。代數結構的概念解決了這一點，該集合由其元素未指定的集合組成，其作用於集合元素的操作以及這些操作必須遵循的規則。因此，代數的範圍增長為包括代數結構的研究。該代數的對像被稱為現代代數或抽象代數，這是由艾米·諾伊特（Emmy Noether）的影響力和作品確定的。 （後一個術語主要出現在教育背景下，與基本代數相反，這與較舊的操縱公式的方式有關。）
在許多數學領域，某些類型的代數結構具有有用的且通常是基本的特性。他們的研究成為代數的自主部分，其中包括：
- 小組理論；
- 現場理論；
- 矢量空間，其研究基本與線性代數相同；
- 環理論；
- 是對換向環的研究的交換代數，包括對多項式的研究，是代數幾何形狀的基礎部分。
- 同源代數；
- 謊言代數和謊言群體理論；
- 布爾代數，廣泛用於計算機邏輯結構的研究。
代數結構類型作為數學對象的研究是通用代數和類別理論的目的。後者適用於每個數學結構（不僅代數）。它起源於引入，並與同源代數一起允許對非代數物體（例如拓撲空間）進行代數研究。該特定的應用領域稱為代數拓撲。
演算和分析
17世紀的數學家牛頓和萊布尼茲（ Newton ）和萊布尼茲（ Leibniz）獨立和同時引入了微積分，以前稱為Infitities微積分。從根本上講，這是對變量關係的研究。歐拉（Euler）在18世紀擴大了微積分，並引入了功能概念和許多其他結果。目前，“微積分”主要指該理論的基礎部分，而“分析”通常用於高級零件。
分析將進一步細分為實際分析，其中變量代表實數，而複雜分析，其中變量代表複數。分析包括許多其他數學領域共享的亞洲，其中包括：
- 多變量演算
- 功能分析，其中變量代表不同的函數；
- 整合，衡量理論和潛在理論都與連續體的概率理論密切相關；
- 普通微分方程；
- 部分微分方程；
- 數值分析主要用於在許多應用中出現的普通和部分微分方程解決方案的計算機計算。
離散數學
從廣義上講，離散的數學是對個體，可數學對象的研究。一個示例是所有整數的集合。由於這裡的研究對像是離散的，因此微積分和數學分析的方法並非直接應用。算法（尤其是它們的實施和計算複雜性）在離散數學中扮演著主要作用。
四種顏色定理和最佳球體包裝是20世紀下半葉解決離散數學的兩個主要問題。 P與NP問題至今仍對離散數學仍然很重要，因為它的解決方案可能會影響大量的計算困難問題。
離散數學包括：
- 組合主義者，列舉滿足某些限制的數學對象的藝術。最初，這些對像是給定集的元素或子集。這已擴展到各種對象，該對像在組合學和離散數學的其他部分之間建立了牢固的聯繫。例如，離散的幾何形狀包括計數幾何形狀的配置
- 圖理論和超圖
- 編碼理論，包括錯誤糾正代碼和密碼學的一部分
- 矩形理論
- 離散的幾何形狀
- 離散概率分佈
- 遊戲理論（儘管還研究了連續遊戲，但最常見的遊戲，例如國際象棋和撲克）
- 離散優化，包括組合優化，整數編程，約束編程
數學邏輯和集理論
自19世紀末以來，數學邏輯和集合理論的兩個主題就屬於數學。在此期間之前，集合不被認為是數學對象，邏輯雖然用於數學證明，但屬於哲學，也沒有由數學家進行專門研究。
在Cantor對無限集的研究之前，數學家不願考慮實際的無限收藏，並認為無限是無休止的枚舉的結果。康托爾（Cantor）的作品不僅考慮了實際的無限集，而且表明這意味著無限大小的無窮大，這使許多數學家冒犯了許多數學家。這導致了關於坎託的佈景理論的爭議。
在同一時期，數學的各個領域得出結論，以前的基本數學對象的直覺定義不足以確保數學嚴格。此類直觀定義的示例是“一組是對象的集合”，“自然數是用於計數的東西”，“一個點是一個在各個方向上零長度的形狀”，”曲線是曲線留下的痕跡一個移動點”，等等。
這成為數學的基礎危機。最終通過在形式化集合理論中系統化公理方法來解決主流數學。粗略地說，每個數學對像都是由所有相似對象的集合以及這些對象必須具有的屬性定義的。例如，在Peano算術中，自然數是由“零是一個數字”定義的，“每個數字都有一個唯一的繼任者”，“但零零的每個數字都有一個唯一的前身”，以及一些推理規則。大衛·希爾伯特（David Hilbert）在1910年左右創立的現代形式主義哲學中體現了這種數學抽象。
以這種方式定義對象的“性質”是數學家留給哲學家的哲學問題，即使許多數學家對這種性質有意見，並使用他們的觀點（有時被稱為“直覺”）指導他們的學習和證據。該方法允許考慮“邏輯”（即允許的推論規則），定理，證明等作為數學對象，並證明有關它們的定理。例如，戈德爾的不完整定理斷言，粗略地說，在每個包含自然數字的正式系統中，都有真實的定理（在更強的系統中可以證明），但在系統內部不可證明。在20世紀上半葉，由布魯威爾（Brouwer）領導的數學家在20世紀上半葉挑戰了這種數學基礎的方法，布魯維爾（Brouwer）促進了直覺邏輯，該邏輯明確缺乏被排除的中間定律。
這些問題和辯論導致了數學邏輯的廣泛擴展，諸如模型理論（在其他理論中建模一些邏輯理論），證明理論，類型理論，計算性理論和計算複雜性理論等亞地區。儘管在計算機興起之前引入了數學邏輯的這些方面，但它們在編譯器設計，程序認證，證明助手和計算機科學的其他方面的使用又對這些邏輯理論的擴展做出了貢獻。
統計和其他決策科學
統計領域是使用基於數學方法的程序特別概率理論來收集和處理數據樣本的數學應用程序。統計學家通過隨機抽樣或隨機實驗生成數據。統計樣本或實驗的設計確定將使用的分析方法。使用統計模型和推理理論，使用模型選擇和估計進行了觀察性研究的數據分析。然後應根據新數據對模型和結果預測進行測試。
統計理論研究了決策問題，例如最大程度地減少統計行動的風險（預期損失），例如在例如參數估計，假設檢驗和選擇最佳的過程中使用程序。在這些傳統的數學統計領域中，通過在特定的約束下將目標函數（如預期損失或成本）最小化來提出統計決策問題。例如，設計調查通常涉及最大程度地減少以給定信心水平估算人口平均值的成本。由於其使用優化，統計學的數學理論與其他決策科學（例如運營研究，控制理論和數學經濟學）重疊。
計算數學
計算數學是對人類數字能力通常太大的數學問題的研究。使用功能分析和近似理論的分析問題的數值分析研究方法；數值分析廣泛包括對近似和離散化的研究，並特別關注四捨五入錯誤。數值分析以及更廣泛的科學計算還研究了數學科學的非分析主題，尤其是算法 -基質和圖理論。計算數學的其他領域包括計算機代數和符號計算。
歷史
古老的
數學歷史是一系列不斷增長的抽象系列。從進化上講，有史以來發現的第一個抽像是由許多動物共享的一種，可能是數字：例如，意識到，例如，兩個蘋果的集合和兩個橘子（例如）有一些共同點，即其中有兩個。正如在骨頭上發現的alties所證明的那樣，除了認識到如何計算物理物體外，史前人可能還知道如何計算抽像數量，例如時間 - 日子，季節或幾年。
直到公元前3000年左右，巴比倫人和埃及人開始使用算術，代數和幾何學來進行稅收和其他財務計算，進行建築和建設以及天文學的證據，才出現更複雜的數學證據。美索不達米亞和埃及的最古老的數學文本是2000年至1800年。許多早期文本都提到了畢達哥拉斯的三元組，因此，通過推斷，畢達哥拉斯定理似乎是基本算術和幾何學之後最古老，最廣泛的數學概念。在巴比倫數學中，基本算術（加法，減法，乘法和分裂）首先出現在考古記錄中。巴比倫人還擁有一個位置值系統，並使用了一個sexageage的數字系統，該系統仍在使用，該系統仍在用於測量角度和時間。
在公元前6世紀，希臘數學開始成為一種獨特的學科，一些古希臘人（例如畢達哥拉斯人）似乎本身就認為這是一個主題。大約公元前300年，歐幾里得通過假設和第一原理組織了數學知識，這些知識演變為當今數學中使用的公理方法，包括定義，公理，定理和證明。他的書《元素》被普遍認為是有史以來最成功，最有影響力的教科書。最偉大的數學家通常認為是錫拉丘茲（ Syracuse ）的阿基米德（C。287 - c。212 ） 。他開發了用於計算革命的表面積和固體體積的公式，並利用疲憊的方法來計算拋物線的弧線下的面積，並以無限序列的概述為例，而與現代的演算並不相同。希臘數學的其他值得注意的成就是錐形部分（ Perga的Apollonius ，公元前3世紀），三角學（ Nicaea的Hipparchus ，公元前2世紀），以及代數的開端（Diophantus，Diophantus，3世紀，第3世紀）。
當今世界上使用的印度教 - 阿拉伯數字系統及其使用的規則在印度的第一個千年廣告中發展，並通過伊斯蘭數學傳播到西方世界。印度數學的其他知名發展包括正弦和餘弦的現代定義和近似，以及無限系列的早期形式。
中世紀，後來
在伊斯蘭的黃金時代，尤其是在9世紀和10世紀，數學看到了許多關於希臘數學的重要創新。伊斯蘭數學最顯著的成就是代數的發展。伊斯蘭時期的其他成就包括球形三角學的進步以及將小數點添加到阿拉伯數字系統中。這一時期的許多著名數學家都是波斯語，例如Al-Khwarismi， Omar Khayyam和Sharaf al-Dīnal-ṭūsī 。希臘語和阿拉伯數學文本又在中世紀被轉化為拉丁語，並在歐洲提供。
在近代初期，數學開始以西歐的加速速度發展，創新徹底改變了數學，例如FrançoisViète（1540-1603）引入了變量和符號符號，並引入了John Napier In In In In In In In In In oblegarithms 。 1614年，它極大地簡化了數值計算，特別是對於天文學和海洋導航，雷內·笛卡爾（RenéDescartes）（1596-1650）引入了將幾何形狀減少到代數的坐標，以及以撒牛頓（Isaac Newton） （1642–1726/27）和伊薩克萊布尼茲（1646–1716）。萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler，1707–1783）是18世紀最著名的數學家，將這些創新統一為具有標準化術語的單個語料庫，並通過發現並證明了許多定理。
也許19世紀最重要的數學家是德國數學家卡爾·高斯（Carl Gauss），他為代數，分析，差異幾何，矩陣理論，數字理論和統計等領域做出了許多貢獻。在20世紀初期，庫爾特·戈德爾（KurtGödel）通過出版其不完整定理來改變數學，這部分錶明，任何一致的公理系統（如果足夠強大）可以描述算術 - 將包含無法證明的真實命題。
此後，數學已經大大擴展了，並且在數學與科學之間存在著富有成果的互動，從而使兩者受益。到今天為止，數學發現繼續進行。根據Mikhail B. Sevryuk的說法，在2006年1月的《美國數學學會公報》中，“自1940年以來的數學評論數據庫中包含的論文和書籍數量（MR運營的第一年）現在已超過1.9每年，數據庫中添加了百萬，超過7.5萬個項目。這台海洋中絕大多數作品都包含新的數學定理及其證明。”
符號符號和術語
數學符號在科學和工程中廣泛用於以簡潔，明確和準確的方式來表示複雜的概念和屬性。該符號由用於表示操作，未指定數字，關係和任何其他數學對象的符號組成，然後將它們組裝成表達式和公式。更確切地說，數字和其他數學對象由稱為變量的符號表示，這些變量通常是拉丁字母或希臘字母，通常包括下標。操作和關係通常由特定符號或字形表示，例如 +（plus），×（乘法），（積分），=（等於（等於）和<（小於）。所有這些符號通常按照特定規則分組，以形成表達式和公式。通常，表達式和公式並不單獨出現，而是包含在當前語言的句子中，在當前語言的句子中，表達式起著名詞短語和公式的作用，扮演了條款的角色。
數學已經開發了豐富的術語，涵蓋了許多研究各種抽象，理想化對象及其相互作用的特性的廣泛領域。它基於嚴格的定義，為通信提供了標準的基礎。公理或假設是一種數學語句，無需證明而被認為是真實的。如果數學陳述尚未得到證明（或證實），則稱其為猜想。通過採用演繹推理的一系列嚴格論點，被證明是真實的陳述成為一個定理。主要用於證明另一個定理的專門定理稱為引理。構成更一般發現的一部分的經過驗證的實例稱為推論。
數學中使用的許多技術術語是新系統主義，例如多項式和同構形態。其他技術術語是通用語言的單詞，其準確的含義可能與它們的共同含義略有不同。例如，在數學中，“或”表示“一個，另一個或兩者”，而在通用語言中，它是模棱兩可的，或者是“一個或另一個”，而不是兩者”（在數學中，後者稱為“獨家”或者”）。最後，許多數學術語是具有完全不同含義的常用詞。這可能導致句子是正確且真正的數學斷言的句子，但對於沒有必需背景的人來說似乎是胡說八道。例如，“每個免費模塊都是平坦的”，“一個字段始終是戒指”。
與科學的關係
數學在大多數科學中都用於建模現象，然後允許通過實驗定律進行預測。數學真理與任何實驗的獨立性都意味著這種預測的準確性僅取決於模型的充分性。不准確的預測，而不是由無效的數學概念引起的，而是意味著需要更改所使用的數學模型。例如，只有在愛因斯坦（Einstein ）的總體相對論出現後，才能解釋汞的圍欄進動，這將牛頓的重力定律替換為更好的數學模型。
數學是否是一門科學仍然存在哲學上的辯論。但是，實際上，數學家通常會與科學家分組，數學與物理科學有很多共同點。像他們一樣，它是可偽造的，這意味著在數學中，如果結果或理論是錯誤的，則可以通過提供反例來證明這一點。與科學類似，理論和結果（定理）通常是從實驗中獲得的。在數學中，實驗可能包括對選定示例的計算或數學對象的數字或其他表示形式（通常沒有物理支持的心理表示）。例如，當被問及他是如何提出定理時，高斯曾經回答“durchplanmässigestattonieren”（通過系統的實驗）。但是，一些作者強調，數學不依靠經驗證據而與現代科學概念有所不同。
純粹和應用數學
直到19世紀，西方數學的發展主要是由技術和科學的需求激發的，並且在純數學和應用數學之間沒有明確的區別。例如，引入了自然數和算術以進行計數，幾何是通過測量，建築和天文學的動機。後來，艾薩克·牛頓（Isaac Newton）引入了無窮小節微積分，用於用他的重力法解釋行星的運動。此外，大多數數學家也是科學家，許多科學家也是數學家。但是，在古希臘，純數學的傳統發生了一個顯著的例外。
在19世紀， Karl Weierstrass和Richard Dedekind等數學家越來越集中於內部問題，即純數學。這導致將數學分為純數學和應用數學，後者通常被認為是數學純粹主義者之間的價值較低。但是，兩者之間的界線經常被模糊。
第二次世界大戰的後果導致了美國和其他地方應用數學的發展激增。從純數學的角度來看，發現為應用程序開發的許多理論都很有趣，並且純數學的許多結果被證明在數學之外具有應用。反過來，對這些應用的研究可能會對“純理論”提供新的見解。
第一種情況的一個例子是分佈理論，該理論由勞倫特·施瓦茨（Laurent Schwartz）驗證量子力學中所做的計算，這立即成為（純）數學分析的重要工具。第二種情況的一個例子是實數的一階理論的可決定性，一個純數學的問題被阿爾弗雷德·塔斯基（Alfred Tarski）證明是正確的，它的算法是無法實現的，因為計算複雜性也是如此。高的。為了獲得可以實施的算法並可以解決多項式方程和不平等的系統，喬治·柯林斯（George Collins）引入了圓柱代數分解，該圓柱代數分解成為實際代數幾何學的基本工具。
在當今，純數學和應用數學之間的區別更多是數學家的個人研究目的的問題，而不是數學對廣泛領域的劃分。數學主題分類具有“一般應用數學”部分，但沒有提及“純數學”。但是，這些術語仍然用於某些大學系的名稱，例如在劍橋大學的數學學院。
不合理的有效性
數學的不合理有效性是一種現象，該現像是由物理學家Eugene Wigner命名並首先提出的。事實是，許多數學理論（甚至“最純”）具有其初始對象之外的應用程序。這些應用可能完全不在其數學的初始領域之外，並且可能涉及物理現象，而物理現像是在引入數學理論時完全未知的。數學理論的意外應用的示例可以在數學的許多領域中找到。
一個值得注意的例子是自然數的主要分解，在通過RSA加密系統的安全互聯網通信的共同使用之前，發現了2，000年以上。第二個歷史例子是橢圓理論。它們是由古希臘數學家研究的，作為圓錐形部分（即錐與飛機的交集）。約翰內斯·開普勒（Johannes Kepler）在將近2000年後發現，行星的軌跡是橢圓。
在19世紀，幾何形狀的內部發展（純數學）導致了非歐幾里得幾何形狀的定義和研究，該幾何形狀的空間高於三和歧管。目前，這些概念似乎與物理現實完全脫節，但是在20世紀初，艾伯特·愛因斯坦（Albert Einstein）開發了相對論，從根本上使用這些概念。特別是，特殊相對論的時空是尺寸四的非歐幾里得空間，一般相對的時空是維度四的（彎曲的）歧管。
數學與物理學之間相互作用的一個顯著方面是數學推動物理學研究的時候。在這兩種情況下，正電子和重子的發現都說明了這一點，這些理論方程都無法解釋，這導致猜想存在未知粒子的存在，並蒐索了這些粒子。在這兩種情況下，幾年後都通過特定的實驗發現了這些顆粒。
特定科學
物理
在現代歷史上，數學和物理學互相影響。現代物理學大量使用數學，也是主要數學發展的動機。
計算
20世紀技術的興起為新科學開闢了道路：計算。該領域在幾種方面與數學密切相關。理論計算機科學本質上是數學上的。通信技術應用了可能非常古老的數學分支（例如，算術），尤其是在傳輸安全性，密碼學和編碼理論方面。離散數學在計算機科學的許多領域都有用，例如複雜性理論，信息論，圖理論等。
作為回報，計算對於獲得新結果也至關重要。這是一組稱為實驗數學的技術，它是使用實驗來發現數學見解的一組技術。最著名的例子是四色定理，該定理於1976年在計算機的幫助下被證明。這徹底改變了傳統數學，規則是數學家應驗證證據的每個部分。在1998年，球體包裝上的開普勒猜想似乎也通過計算機部分證明。此後，一支國際團隊致力於撰寫正式證明。它在2015年完成（並經過驗證）。
一旦正式編寫，就可以使用稱為證明助手的程序來驗證證明。這些程序在不確定證據的正確性的情況下很有用。
理論計算機科學中的一個主要開放問題是P與NP相比。這是七個千年獎的問題之一。
生物學和化學
生物學廣泛使用概率 - 例如生態學或神經生物學。但是，關於生物學概率的大多數討論都集中在進化適應性的概念上。
生態學大量使用建模來模擬人群動態，研究生態系統，例如捕食者 - 捕集模型，測量污染擴散或評估氣候變化。人群的動力學可以通過耦合的微分方程（例如Lotka – Volterra方程）進行建模。但是，存在模型驗證的問題。當建模的結果影響政治決策時，這尤其是敏銳的。矛盾模型的存在可以使各國可以選擇最有利的模型。
基因型進化可以用強壯的韋恩伯格原理建模。
Phylogeography使用概率模型。
Medicine使用統計假設檢驗，在臨床試驗的數據上運行，以確定新治療是否有效。
自20世紀初以來，化學已使用計算來模擬三個維度的分子。事實證明，生物學中的大分子的形式是可變的，並決定了作用。這種建模使用歐幾里得的幾何形狀；相鄰的原子形成一個多面體，其距離和角度是由相互作用定律固定的。
地球科學
結構地質和氣候學使用概率模型來預測天然災難的風險。同樣，由於大量使用模型，氣象，海洋學和行星學也使用數學。
社會科學
社會科學中使用的數學領域包括概率/統計和微分方程（隨機或確定性）。這些領域用於社會學，心理學，經濟學，金融和語言學等領域。
數學經濟學的基本假設是理性的個體演員 -同性戀經濟學（點亮。 “經濟人”）。在此模型中，每個人都試圖最大程度地發揮自己的利益，並始終使用完美的信息做出最佳選擇。這種對經濟學的原子觀念使其可以相對容易地數學化，因為單個計算被轉移到數學計算中。這種數學建模允許人們探測經濟機制，而“文學”分析將很難發現。例如，對經濟周期的解釋並非微不足道。沒有數學建模，就很難超越簡單的統計觀察或未經證實的投機。
但是，許多人拒絕或批評了同性戀經濟的概念。經濟學家指出，真正的人通常會有有限的信息，並且通常會做出不良的選擇。另外，如實驗室實驗所示，人們關心公平，有時甚至是利他主義，而不僅僅是個人利益。根據評論家的說法，數學化是允許材料科學價化的貼面。
在20世紀初，有一項運動以表達公式的歷史運動。 1922年，尼古拉·康德拉特耶夫（Nikolai Kondratiev）辨別了約50年的康德拉特耶夫（Kondratiev）週期，該週期解釋了經濟增長或危機的階段。到19世紀末，尼古拉斯·雷米·布魯克（Nicolas-RemiBrück）和查爾斯·亨利·拉格朗（Charles Henri Lagrange）將他們的分析擴展到地緣政治上。他們想建立巨大運動的歷史存在，這些運動使人們陷入了上流，然後逐漸衰落。最近，彼得·特爾欽（Peter Turchin）自1990年代以來一直致力於開發臨床動力學。 （特別是，他發現了Turchin循環，該週期預測暴力在短時間內的間隔約50年，在較長的周期中疊加了約200至300年。
即便如此，社會科學的數學化並非沒有危險。在有爭議的書籍《時尚胡說八道》 （1997年）中，索卡爾和布里蒙特譴責了社會科學中對科學術語的毫無根據或濫用科學術語的使用，尤其是來自數學或物理學的術語。複雜系統的研究（失業的演變，商業資本，人口的人口發展等）使用基本數學知識。但是，計算標準的選擇，尤其是對於失業或模型，可能會引起爭議。
與占星術和深奧主義的關係
一些著名的數學家也被認為是著名的占星家。例如，托勒密，阿拉伯天文學家， Regiomantus ， Cardano ， Kepler或John Dee 。在中世紀，占星術被認為是包括數學在內的科學。西奧多·辛格（Theodor Zwinger）在他的百科全書中寫道，占星術是一門數學科學，研究了“身體在其他身體上的活躍運動”。他保留了數學的需求，需要“以[恆星]的影響概率計算，以預見其“連詞和對立”。
占星術不再被認為是一門科學。
哲學
現實
數學與物質現實之間的聯繫導致了至少自畢達哥拉斯（Pythagoras）以來的哲學辯論。古老的哲學家柏拉圖認為，反映物質現實的抽象本身就是一個現實，存在於空間和時間之外。結果，數學對像以某種方式在抽像中以某種方式存在的哲學觀點通常被稱為柏拉圖主義。與他們可能的哲學觀點無關，現代數學家通常被視為柏拉圖主義者，因為他們將學習對象視為真實對象。
Armand Borel總結了數學現實的觀點，如下所示，並提供了Gh Hardy ， Charles Hermite ， HenriPoincaré和Albert Einstein的引用，以支持他的觀點。
一旦我們確信它以與我們的同一形式相同的形式存在，我們可以考慮並一起討論它。由於數學的語言是如此精確，因此理想情況下適合定義存在這種共識的概念。我認為，這足以為我們提供一種客觀存在的感覺，數學的現實...
然而，柏拉圖主義和對抽象的同時觀點並不能解釋數學的不合理效力。
提出的定義
關於數學或其認識論地位的定義尚無一般共識，即它在其他人類活動中的位置。許多專業的數學家對數學的定義不感興趣，或者認為這是不可定義的。關於數學是藝術還是科學，甚至沒有達成共識。有人只是說：“數學是數學家的作用”。這是有道理的，因為他們中有一個關於數學和沒有的數學的共識。大多數提出的定義試圖通過其研究對象來定義數學。
亞里士多德將數學定義為“數量科學”，直到18世紀，這個定義才盛行。但是，亞里士多德還指出，僅關注數量可能並不能將數學與物理學等科學區分開。在他看來，抽象和研究數量是一種與實際實例“可分開”的屬性，將數學與眾不同。在19世紀，當數學家開始解決與物理現實沒有明確關係的主題（例如無限的集合）時，給出了各種新的定義。自20世紀初以來出現並繼續出現的大量新數學領域，通過這個研究對象來定義數學成為一項不可能的任務。
定義數學的另一種方法是使用其方法。因此，一旦可以證明定理，就可以將研究領域作為數學有資格 - 其有效性依賴於證據，即純粹邏輯上的扣除。其他人則認為數學是對公理設置理論的研究，因為這項研究現在是現代數學的基礎學科。
嚴格
數學推理需要嚴格。這意味著這些定義必須絕對明確，並且必須將證據還原為一系列推論規則的應用，而無需任何經驗證據和直覺。嚴格的推理不是針對數學特定的，但是，在數學中，嚴格的標準要比其他地方高得多。儘管數學的簡潔性，但嚴格的證明仍需要數百頁來表達。計算機輔助證明的出現允許證明長度進一步擴展，例如255頁的feit – Thompson定理。這種趨勢的結果是準經驗主義證據的哲學，不能被認為是無誤的，但具有概率。
數學中嚴格的概念可以追溯到古希臘，他們的社會鼓勵了邏輯，演繹推理。但是，這種嚴格的方法將傾向於阻止對新方法的探索，例如非理性的數字和概念。在16世紀，通過使用符號符號來增強了證明嚴格證明的方法。在18世紀，社會過渡導致數學家通過教學獲得了維護，這使人們對數學的基本概念進行了更仔細的思考。這產生了更嚴格的方法，同時從幾何方法過渡到代數，然後是算術證明。
在19世紀末，看來數學基本概念的定義還不夠準確，無法避免悖論（非歐幾里得的幾何形狀和Weierstrass功能）和矛盾（Russell的Paradox）。通過將公理與數學理論的辯護推斷規則納入了解決方案來解決。古希臘人開創的公理方法的重新引入。它導致“嚴格”不再是數學中的相關概念，因為證明是正確的或錯誤的，而“嚴格的證明”只是一種胸膜。一個特殊的嚴謹概念出現在證明的社會化方面，其中可能會被其他數學家駁斥。在接受證明已有多年甚至幾十年後，就可以被認為是可靠的。
然而，“嚴格”的概念對於向初學者進行教學的數學證明可能仍然有用。
培訓和實踐
教育
數學具有跨越文化界限和時間段的顯著能力。作為人類活動，數學實踐具有社會方面，其中包括教育，職業，認可，普及等。在教育中，數學是課程的核心部分，構成了STEM學術學科的重要組成部分。專業數學家的重要職業包括數學老師或教授，統計學家，精算師，財務分析師，經濟學家，會計師，商品交易員或計算機顧問。
考古證據表明，數學教學早在公元前第二個千年就發生在古代巴比倫。在古代近東的抄寫數學培訓中，已經發掘了可比的證據，然後是Greco-Roman世界，從公元前300年左右開始。最古老的已知數學教科書是Rhind Papyrus ，可追溯到c。公元前1650年在埃及。由於書籍的稀缺，自吠陀時期（約公元前1500年至500年）以來，使用了記憶的口頭傳統來傳達古代印度的數學教義。在唐朝帝國（公元618 - 907年）期間，採用數學課程進行公務員考試，以加入國家官僚機構。
遵循黑暗時代，宗教學校作為四肢的一部分提供了數學教育。教學法的正式教學始於16世紀和17世紀的耶穌會學校。直到19世紀，大多數數學課程一直處於基本和實際層面，直到19世紀開始在法國和德國開始蓬勃發展。最古老的日記在數學方面講學的期刊是L'EnseignementMathématique ，該期刊於1899年開始出版。科學技術的西方進步導致許多民族國家建立了集中的教育系統，並以數學為核心成分，以此為核心組成部分- 以此為核心。軍事應用。儘管課程的內容各不相同，但目前幾乎所有國家都在大量時間向學生教學。
在學校期間，數學能力和積極的期望與對該領域的職業興趣有著密切的聯繫。諸如教師，父母和同伴群體的反饋動機之類的外在因素可能會影響數學的興趣水平。一些學習數學的學生可能會對自己在該主題的表現產生憂慮或擔心。這被稱為數學焦慮或數學恐懼症，被認為是影響學習成績的疾病中最突出的。由於父母和教師態度，社會刻板印象和個人特徵等各種因素，數學焦慮會發展。通過與父母和老師的互動以及針對個人的量身定制治療方法，幫助抵消焦慮可能來自教學方法的變化。
心理學（美學，創造力和直覺）
數學定理的有效性僅取決於其證明的嚴格性，理論上可以通過計算機程序自動完成。這並不意味著在數學工作中沒有創造力的地方。相反，許多重要的數學結果（定理）是其他數學家無法解決的問題的解決方案，解決方案的方法可能是解決過程的基本方法。一個極端的例子是Apery的定理： Roger Apery僅提供了證明的想法，幾個月後，其他三位數學家才給予正式證明。
創造力和嚴謹性並不是數學家活動的唯一心理方面。一些數學家可以將他們的活動視為遊戲，更具體地說是解決難題。在娛樂性數學中強調了數學活動的這一方面。
數學家可以找到數學的審美價值。像美麗一樣，很難定義，它通常與優雅相關，它涉及簡單，對稱性，完整性和通用性等品質。在數學家的道歉中，GH Hardy表示，審美考慮本身足以證明對純數學的研究是合理的。他還確定了有助於數學美學的其他標準，例如意義，意外和必然性。保羅·埃德斯（PaulErdős）通過談到“書”，這是最美麗的證明的一個神聖集合，更具諷刺意味的是。這本書的1998年書籍證明是受埃爾德斯（Erdős）啟發的，是特別簡潔和啟示的數學論點的集合。包括特別優雅結果的一些例子是Euclid的證據證明，有很多質數和快速的傅立葉變換用於諧波分析。
有些人認為將數學考慮在於科學是在七種傳統文科藝術中淡化其藝術和歷史。這種觀點的差異的一種方式是，關於是否創建數學結果（如在藝術中）或發現（如科學）的哲學辯論中。休閒數學的普及是許多人在解決數學問題中發現的愉悅感的另一個跡象。
在20世紀，數學家Lej Brouwer甚至發起了一種被稱為直覺主義的哲學觀點，該觀點主要在腦海中以某些創造性的過程來識別數學。直覺主義反過來又是一種稱為建構主義的立場的味道，它只能將數學對象直接構造為有效，而不僅僅是通過邏輯間接保證。這導致致力於建構主義者拒絕某些結果，尤其是基於被排除的中間定律的存在諸如存在的證據之類的論點。
最後，建構主義和直覺主義都沒有取代古典數學或實現主流的接受。但是，這些計劃激發了特定的發展，例如直覺邏輯和其他基本見解，這些邏輯本身就受到讚賞。
文化影響
藝術表達
注意到在西部耳朵上聽起來很好的聲音是聲音的基本振動頻率以簡單的比率。例如，一個八度使頻率增加一倍，而完美的第五則乘以它。
人類以及其他一些動物發現對稱模式更加美麗。從數學上講，對象的對稱性形成一個稱為對稱組的組。
例如，鏡面對稱性的基團是兩個元素的環狀組。 Rorschach測試是這種對稱性不變的人物，蝴蝶和動物體（至少在表面上）也是如此。海面上的波浪具有翻譯對稱性：通過波峰之間的距離移動一個人的觀點不會改變海洋的視野。此外，分形具有（通常是近似）自相似性。
普及
流行的數學是無需技術術語介紹數學的行為。出現數學可能很難，因為公眾患有數學焦慮和數學對像是高度抽象的。但是，流行的數學寫作可以通過使用應用程序或文化聯繫來克服這一點。儘管如此，數學很少是印刷或電視媒體中普及的話題。
獎項和獎品問題
數學上最負盛名的獎項是田野勳章，成立於1936年，每四年（第二次世界大戰周圍除外）最多四個人。它被認為是諾貝爾獎的數學等效物。
其他著名的數學獎項包括：
- 亞伯獎於2002年成立，於2003年首次頒發
- Chern終身成就勳章，於2009年推出，並於2010年首次授予
- 自1970年以來頒發的AMS Leroy P. Steele獎
- 狼數學獎，也用於終身成就，於1978年成立
德國數學家戴維·希爾伯特（David Hilbert）在1900年編寫了一個名為“希爾伯特問題”的23個開放問題的著名清單。該清單在數學家中取得了偉大的名人，從2022年開始，至少有13個問題（取決於如何解釋）得到了解決。
2000年出版了一個名為“千年獎問題”的七個重要問題的新清單。其中只有一個是里曼假設，重複了希爾伯特的一個問題之一。解決這些問題的任何一個解決方案都帶有100萬美元的獎勵。迄今為止，僅解決了這些問題之一，即龐加萊的猜想。