數學

公元前3世紀希臘數學家歐幾里得(保持卡尺),如拉斐爾從這個細節中雅典學校(1509–1511)[a]

數學(從古希臘μάθημαMáthēma“知識,學習,學習”)是一個知識領域,包括數字等主題(算術數字理論),[1]公式和相關結構(代數),[2]形狀及其所包含的空間(幾何學),[1]數量及其變化(結石分析)。[3][4][5]關於其確切範圍或認識論地位.[6][7]

大多數數學活動涉及通過純推理髮現和證明的特性抽像對象。這些對像是抽象來自大自然,例如自然數或者或 - 在現代數學中 - 規定了某些屬性的實體,稱為公理。一個證明由某些申請組成演繹規則已經知道的結果,包括先前證明的結果定理,公理和(在自然中抽象的情況下)一些基本特性被認為是所考慮的理論的真正起點。證明的結果稱為定理.

數學廣泛使用科學為了造型現象。這可以從實驗定律中提取定量預測。例如,可以使用牛頓重力定律結合數學計算。數學真理與任何實驗的獨立性都意味著,這種預測的準確性僅取決於模型描述現實的適當性。不准確的預測意味著需要改善或改變數學模型,而不是在模型本身中數學是錯誤的。例如,汞的圓錐體進液無法用牛頓的重力定律來解釋,但可以準確地解釋愛因斯坦'一般相對論。對愛因斯坦理論的實驗驗證表明,牛頓的重力定律在日常應用中只是近似但仍然準確的。

數學在許多領域至關重要,包括自然科學工程藥物金融計算機科學社會科學。一些數學領域,例如統計數據遊戲理論,與其應用密切相關,經常被分組應用數學。其他數學領域是獨立於任何應用程序開發的(因此被稱為純數學),但是以後通常會發現實際應用。[8][9]一個合適的例子是問題整數分解,回到歐幾里得,但是在使用之前沒有實際應用RSA加密系統(為了安全計算機網絡)。

在裡面數學史,一個概念證明及其相關數學嚴謹首先出現在希臘數學,最著名的是歐幾里得'元素.[10]數學以相對較慢的速度發展為止再生,當代數和無限微積分被添加到算術和幾何形狀中,作為數學的主要領域。從那時起,數學創新與科學發現導致數學發展迅速增加。在19世紀末,數學基礎危機導致系統化公理方法。反過來,這導致了數學領域及其應用領域的數量急劇增加。一個例子是數學主題分類,其中列出了數學的六十多個領域。

數學領域

之前再生,數學分為兩個主要領域:算術 - 關於操縱數字, 和幾何學 - 關於形狀的研究。一些偽鏡, 如命理學占星術,沒有明確區分數學。

文藝復興時期,出現了兩個主要區域。數學符號導致代數,大概是由研究和操縱公式.結石,由兩個子領域組成無限微積分積分,是研究連續功能,哪個建模不同數量之間通常非線性關係(變量)。該分為四個主要領域 - 算術,幾何,代數,微積分[需要驗證] - 一直持續到19世紀末。區域,例如天體力學固體力學然後通常被認為是數學的一部分,但現在被認為是屬於數學的物理。在此期間開發的一些受試者早於數學,並分為概率理論組合學,後來才被視為自治區。

在19世紀末,數學基礎危機以及由此產生的系統化公理方法導致了新數學領域的爆炸。今天,數學主題分類包含60多個第一級區域。這些領域中的一些與較老的部門相對應,如數字理論(現代名稱較高的算術)和幾何形狀。但是,其他幾個第一級區域的名稱中具有“幾何形狀”,或者通常被認為屬於幾何形狀。代數和微積分並未作為第一級區域出現,而是分別分為幾個第一級區域。在20世紀,其他一級領域出現(例如類別理論同源代數, 和計算機科學)或以前沒有被視為數學,例如數學邏輯基礎(包含模型理論計算理論集理論證明理論, 和代數邏輯)。

數字理論

分佈質數是數量理論的中心研究點。這個烏拉姆螺旋用來說明它,特別是在條件下暗示獨立在成為某些二次多項式的價值之間。

數字理論始於操縱數字, 那是,自然數後來擴展到整數有理數數字理論以前稱為算術,但如今該術語主要用於數值計算。

許多易於說明的數字問題都有解決方案,這些解決方案需要跨數學的複雜方法。一個突出的例子是費馬特的最後定理。這個猜想是在1637年由皮埃爾·德·費馬特(Pierre de Fermat),但這是證明僅在1994年安德魯·威爾斯,誰使用了包括方案理論代數幾何形狀類別理論同源代數。另一個例子是戈德巴赫的猜想,這斷言每個甚至大於2的整數是兩個的總和質數。 1742年由克里斯蒂安·戈德巴赫(Christian Goldbach),儘管付出了巨大的努力,但它仍然未經證實。

數字理論包括幾個亞地區,包括分析數理論代數數理論數字的幾何形狀(以方法為導向),雙方方程, 和超越理論(面向問題)。

幾何學

幾何是數學最古老的分支之一。它始於有關形狀的經驗食譜,例如角度,主要是為了測量建築學.

基本的創新是古希臘人對證據的闡述:不足以通過測量驗證,例如,兩個長度相等。

基本創新是引入證明經過古希臘,要求每個斷言必須是證明。例如,通過測量驗證兩個長度是相等的,這是不夠的。必須通過以前接受的結果推理來證明它們的平等性(定理)和一些基本語句。基本陳述不受證據的約束,因為它們是不言而喻的(假設),或者它們是研究主題定義的一部分(公理)。該原理是所有數學的基礎,首先詳細闡述了幾何形狀,並被系統化歐幾里得公元前300年左右元素.

所結果的歐幾里得的幾何形狀是形狀及其安排的研究飛機在裡面歐幾里得平面(平面幾何形狀)和(三維)歐幾里得空間.[b]

歐幾里得的幾何形狀是開發的,沒有改變方法或範圍,直到17世紀雷內笛卡爾介紹了現在所謂的笛卡爾坐標。這是范式的重大變化,因為不是定義實數如長度線段(看數字行),它允許使用數字(其坐標)來表示點,並用於使用代數然後,結石解決幾何問題。這種分裂幾何形狀分為兩個部分,僅通過其方法不同,合成幾何形狀,使用純粹的幾何方法,並且分析幾何形狀,系統地使用坐標。

分析幾何形狀允許研究新形狀,特別是曲線與圓和線無關的;這些曲線被定義為功能圖(其研究導致差異幾何形狀),或隱式方程, 經常多項式方程(產生代數幾何形狀)。分析幾何形狀使您可以考慮空間高於三維比物理空間更大的維度。

19世紀重大的活動是發現非歐亞人幾何形狀,那些放棄平行假設。這個加入羅素的悖論,揭示數學基礎危機,通過質疑該假設的真相。危機的這一方面是通過系統化解決的公理方法,並且採用所選公理的真理不是數學問題。反過來,公理方法允許研究通過更改公理或考慮在特定轉換下不變的特性而獲得的各種幾何形狀空間。這將幾何學的亞地區數量和概括乘以:

代數

代數可能被視為操縱的藝術方程式公式.毒液(3世紀)和al-khwarizmi(9世紀)是代數的兩個主要先驅。第一個解決了未知之間的一些關係自然數(即方程)通過推論新關係直到獲得解決方案。第二個引入了用於轉換方程的系統方法(例如,將術語從方程式移動到另一側)。期限代數是從阿拉伯他用來命名這些方法之一的單詞他的主要論文.

二次公式簡潔地表達所有人的解決方案二次方程

代數才開始成為一個特定區域FrançoisViète(1540–1603),他介紹了字母的使用(變量)表示未知或未指定的數字。這允許簡潔地描述操作必須在變量表示的數字上完成。

直到19世紀,代數主要由研究線性方程組這就是現在稱為線性代數, 和多項式方程單人未知,被稱為代數方程(儘管可能模棱兩可,但仍在使用的術語)。在19世紀,變量開始代表數字以外的其他事物(例如矩陣模塊化整數, 和幾何變換),算術操作的概括通常是有效的。概念代數結構解決這個問題,由其要素未指定,對集合要素的操作以及這些操作必須遵循的規則。因此,代數的範圍基本上演變為代數結構的研究。這個代數的對像被稱為現代代數或者抽象代數;後一個術語主要出現在教育背景下,反對基本代數,這與較舊的操縱公式的方式有關。

Rubik的立方體:對其可能舉動的研究是一種具體應用小組理論

在許多數學領域,某些類型的代數結構具有有用的且通常是基本的特性。他們的研究成為代數的自主部分,包括:

對代數結構類型作為數學對象的研究是通用代數類別理論。後者適用於每個數學結構(不僅代數)。從起源於此,它與同源代數一起引入,以允許對非代數物體的代數研究,例如拓撲空間;這個特定的應用程序稱為代數拓撲.

積分和分析

微積分,以前稱為無限微積分,是在17世紀引入的牛頓萊布尼茲,獨立,同時。從根本上講,這是對兩個變化數量的關係的研究,稱為變量,如果一個人依賴另一個。微積分在18世紀擴大了歐拉,隨著概念的引入功能,以及許多其他結果。目前的“微積分”主要是指該理論的基本部分,“分析”通常用於高級零件。

分析進一步細分為真實分析,變量代表實數複雜分析變量代表的位置複雜數字。分析包括許多亞群島,與其他數學領域共享一些分區;他們包括:

離散數學

離散數學是最近出現的數學廣泛區域,匯總了幾個現有的領域,這些領域涉及有限的數學領域數學結構和未找到連續變化的過程。這些領域的共同點是離散的方面,標準方法結石數學分析不要直接申請。[C]這些領域的共同點算法, 他們的執行和他們計算複雜性扮演主要角色。儘管有許多不同的研究對象,但它們經常共享類似的方法。

離散數學包括:

四顏色定理最佳球體包裝自20世紀下半葉以來已經解決了離散數學的兩個主要問題。開放問題p = np對於離散數學來說很重要,因為它的解決方案將影響分散數學的大部分部分,而不論解決方案如何。

組合學

組合物可能主要被視為列舉規定的對象集的藝術。這組合學的歷史始於挖掘組合技術的古代社會。現代數學意義上的組合學術語用法是由萊比尼茲在17世紀,[11]雖然歐拉添加了許多現代工具,例如生成功能.

組合學已用於研究在純數學中引起的枚舉問題代數數字理論概率理論拓撲幾何學[12]以及許多領域應用數學。由於可能被列舉的各種對象,因此通常根據所考慮的對像或所使用的方法進行細分理論,包括:

組合經常用於圖理論,以及算法分析.

數學邏輯和集理論

自19世紀末以來,這些主題一直屬於數學。在此期間之前,不被認為是數學對象, 和邏輯,儘管用於數學證明, 曾經屬於哲學,並且沒有由數學家專門研究。

康托爾無限集,數學家不願意考慮實際上是無限的收藏,並考慮無窮成為無盡的結果枚舉。康托爾的作品不僅考慮了實際的無限集,因此冒犯了許多數學家,而且表明這意味著不同的無限大小(請參閱康托爾的對角論證)以及無法計算甚至明確描述的數學對象的存在(例如,哈默爾基地實數有理數)。這導致了關於Cantor套裝理論的爭議.

在同一時期,數學的各個領域得出結論,以前的基本數學對象的直覺定義不足以確保數學嚴謹。此類直觀定義的示例是“一組是對象的集合”,自然數是用於計數“”的方法,一個點是一個在各個方向上零長度的形狀”,曲線是一個移動點留下的痕跡”,等等。

這變成了數學基礎危機.[13]它最終通過系統化而在主流數學中解決公理方法內部形式化的集合理論。粗略地說,每個數學對像都是由所有相似對象的集合以及這些對象必須具有的屬性定義的。例如,在Peano算術, 這自然數由“零是一個數字”定義,“每個數字”為唯一後繼者,“但零的每個數字都有一個唯一的前身”和一些推理規則。定義對象的“性質”是數學家留給哲學家的哲學問題,即使許多數學家對這種性質有意見,並使用他們的觀點(有時被稱為“直覺”)指導他們的學習和證據。

這種方法允許考慮“邏輯”(即,允許的推論規則集),定理,證明等作為數學對象,並證明有關它們的定理。例如,戈德爾的不完整定理斷言,粗略地說,在包含自然數的每個理論中,都有真實的定理(在較大的理論中可以證明),但在理論中不能證明。

數學基礎的這種方法在20世紀上半葉挑戰了數學家布魯瓦,促進直覺邏輯不包括排除中間的法律.

這些問題和辯論導致了數學邏輯的廣泛擴展,例如模型理論(建模其他理論中的一些邏輯理論),證明理論類型理論計算理論計算複雜性理論。儘管在崛起之前引入了數學邏輯的這些方面電腦,他們在編譯器設計,計劃認證證明助手和其他方面計算機科學反過來又為這些邏輯理論的擴展做出了貢獻。[14]

應用數學

應用數學關注科學通常使用的數學方法,工程商業, 和行業。因此,“應用數學”是數學科學專業知識。期限應用數學還描述了數學家在實際問題上工作的專業專業;作為專注於實際問題的專業,應用數學著重於“數學模型的配方,研究和使用”。

過去,實際應用激發了數學理論的發展,然後在純數學中成為研究的主題,其中數學主要是為了自身而開發的。因此,應用數學的活性與研究與研究純數學.

統計和其他決策科學

應用數學與統計學學科具有顯著的重疊,其理論是數學上的,尤其是概率理論。統計學家(作為研究項目的一部分工作)“創建有意義的數據”隨機採樣並隨機實驗[15]統計樣本或實驗的設計指定數據的分析(在數據可用之前)。重新考慮來自實驗和样本的數據或分析數據時觀察性研究,統計學家使用的藝術“理解數據”造型和理論推理-和模型選擇估計;估計的模型和結果預測應該測試新數據.[D]

統計理論學習決策問題例如最小化風險(預期損失)統計動作,例如使用程序例如,在參數估計假設檢驗, 和選擇最好的。在這些傳統領域數學統計,通過最小化統計決定問題目標功能,就像預期的損失或成本,在特定的約束下:例如,設計調查通常涉及最大程度地減少以給定信心水平估算人口平均值的成本。[16]因為它的使用優化,統計學的數學理論與其他決策科學, 如行動調查控制理論, 和數學經濟學.[17]

計算數學

計算數學提出和研究方法數學問題對於人類數值容量而言,通常太大。數值分析研究方法分析使用功能分析近似理論;數值分析廣泛包括近似離散化特別關注四捨五入錯誤。數值分析,更廣泛地,科學計算還研究了數學科學的非分析主題,尤其是算法-矩陣-和-圖理論。計算數學的其他領域包括計算機代數符號計算.

歷史

數學歷史可以看作是一系列不斷增長的系列抽象。從進化上講,有史以來第一個抽像是由許多動物共享的[18]可能是數字:意識到,兩個蘋果的集合和兩個橙子的集合(例如)有一些共同點,即成員的數量。如索爾在骨頭上發現,除了認識到如何數數物理對象,史前人們可能還認識到如何計算抽像數量,例如時間,季節,季節或幾年。[19][20]

巴比倫數學平板電腦Plimpton 322,可追溯到公元前1800年。

直到3000左右才出現更複雜數學的證據公元前, 當。。。的時候巴比倫人埃及人開始使用算術代數, 和幾何學用於稅收和其他財務計算,建築和建設以及天文學.[21]最古老的數學文本美索不達米亞埃及從2000年到1800年。許多早期文字提到畢達哥拉斯三元組因此,通過推斷,勾股定理似乎是基本算術和幾何形狀之後最古老,最廣泛的數學概念。它在巴比倫數學基本算術(添加減法乘法, 和分配)首先出現在考古記錄中。巴比倫人還擁有一個位置值系統,並使用了sexageSimal當今仍在使用的數字系統來測量角度和時間。[22]

阿基米德使用了精疲力盡的方法,在此處描繪,以近似pi.

從公元前6世紀開始畢達哥拉斯, 和希臘數學古希臘開始對數學作為主題的系統研究。[23]公元前300年左右,歐幾里得介紹了公理方法今天仍在數學中使用,包括定義,公理,定理和證明。他的書,元素,被普遍認為是有史以來最成功,最有影響力的教科書。[24]最偉大的古代數學家通常被認為是阿基米德(公元前287 - 212年)錫拉丘茲.[25]他開發了用於計算表面積和體積的公式革命的固體並使用了精疲力盡的方法計算區域在一個弧線下拋物線無限系列的求和,以與現代演算不同的方式。[26]希臘數學的其他值得注意的成就是圓錐切片(Perga的Apollonius,公元前3世紀),[27]三角學(Nicaea的Hipparchus,公元前2世紀),[28]以及代數的開端(毒液,公元3世紀)。[29]

Bakhshali手稿,可追溯到公元前2世紀和公元2世紀。

印度 - 阿拉伯數字系統以及當今世界上使用的運營規則,在第一千年廣告中發展印度並傳輸到西方世界通過伊斯蘭數學。印度數學的其他知名發展包括現代定義和近似正弦餘弦,以及早期的形式無限系列.

來自al-khwārizmī的頁面代數
Leonardo fibonacci,意大利數學家介紹了印度 - 阿拉伯數字系統印度數學家對西方世界發明了第一到4世紀。

在此期間伊斯蘭黃金時代,尤其是在9世紀和10世紀,數學有許多關於希臘數學的重要創新。最顯著的成就伊斯蘭數學是的發展代數。伊斯蘭時期的其他成就包括球形三角學以及加入小數點到阿拉伯數字系統。[30]從這個時期的許多著名數學家都是波斯語,例如al-khwarismi奧馬爾·卡亞姆(Omar Khayyam)Sharaf al-Dīnal-ṭūsī.

在此期間現代早期,數學開始以加速的速度發展西歐。的發展結石經過艾薩克·牛頓Gottfried Leibniz在17世紀,數學徹底改變了數學。萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler)是18世紀最著名的數學家,貢獻了許多定理和發現。也許19世紀最重要的數學家是德國數學家卡爾高斯,他們為諸如領域做出了許多貢獻代數分析差異幾何形狀矩陣理論數字理論, 和統計數據。在20世紀初,庫爾特·戈德爾(KurtGödel)通過出版他的數學來改變數學不完整定理這部分錶明,任何一致的公理系統(如果足夠強大,可以描述算術)都將包含無法證明的真實命題。

此後,數學已經大大擴展了,數學與科學,兩者都受益。到今天,數學發現繼續進行。根據Mikhail B. Sevryuk的說法,在2006年1月發行美國數學學會公告,“文章和書籍的數量數學評論自1940年以來的數據庫(MR操作的第一年)現在超過190萬,每年將添加超過7.5萬個項目。這個海洋中絕大多數作品都包含新數學定理和他們證明。”[31]

詞源

這個單詞數學來自古希臘Máthēma(μάθημα),意思是“學到的東西”,[32]“一個人知道的,”因此,“研究”和“科學”。即使在古典時期,“數學”一詞即使在古典時期也具有更狹窄,更技術性的“數學研究”。[33]它的形容詞Mathēmatikós(μαθηματικός),意思是“與學習有關”或“勤奮”,這同樣進一步意思是“數學”。尤其是,Mathēmatikḗtékhnē(μαθηματικὴ τέχνη拉丁ars mathematica)是指“數學藝術”。

同樣,兩個主要的思想流派之一畢達哥拉斯主義被稱為Mathēmatikoi(μαθηματικοί) - 當時的意思是“學習者”,而不是現代意義上的“數學家”。

在拉丁語中,英文直到1700年左右,該學期數學更常見的意思是”占星術”(或有時”天文學”)而不是“數學”;含義逐漸更改為1500年至1800年。這導致了幾種誤導。例如,聖奧古斯丁警告基督徒應提防Mathematici,這意味著占星家有時會被誤導為對數學家的譴責。[34]

明顯複數英語形式,例如法語複數形式les mathématiques(和較不常用的單數衍生物la mathématique),回到拉丁語中性複數mathematica(西塞羅),基於希臘複數tamathēmatiká(τὰ μαθηματικά),由亞里士多德(公元前384 - 322年),含義大致是“萬物數學”,儘管英語僅借用形容詞是合理的數學(AL)並形成名詞數學重新,之後物理形而上學,這是從希臘繼承的。[35]用英語,名詞數學採用一個單數動詞。通常會縮短數學或者,在北美,數學.[36]

建議的定義

確切的定義或認識論地位數學。[6][7]許多專業的數學家對數學的定義沒有興趣,或者認為它是不可定義的。[6]關於數學是藝術還是科學,甚至沒有達成共識。[7]有人只是說:“數學是數學家的工作。”[6]

亞里士多德將數學定義為“數量科學”,直到18世紀,這個定義才盛行。但是,亞里士多德還指出,僅關注數量可能不會將數學與物理學等科學區分開。在他看來,抽象和研究數量是一種與實際實例“可分開”的屬性,將數學與眾不同。[37]

在19世紀,對數學的研究在嚴格的嚴格性上增加並開始解決諸如小組理論投影幾何形狀數學家和哲學家開始提出各種新定義,這與數量和測量沒有明確的關係。[38]直到今天,哲學家繼續解決問題數學哲學,例如本質數學證明.[39]

邏輯推理

數學家努力通過系統的推理來發展其結果,以避免錯誤的“定理”。這些錯誤的證明通常是由違規的直覺引起的,並且在數學的歷史中很普遍。允許演繹推理,一些基本假設需要明確作為公理。傳統上,這些公理是基於常識而選擇的,但現代公理通常表示正式保證原始概念,例如簡單的對象和關係。

一個的有效性數學證明從根本上是一個問題嚴格,誤解嚴謹是對數學的一些共同誤解的顯著原因。數學語言可能比日常演講中給普通詞的精確度更高或者只要。其他詞,例如打開場地投資於特定數學概念的新含義。有時甚至是全新的術語(例如同構)是創造的。這種技術詞彙既精確又緊湊,這使得能夠在心理上處理複雜的想法。數學家將這種語言和邏輯的精度稱為“嚴格”。

隨著時間的流逝,數學期望的嚴格期望有所不同:希臘人期望的詳細論點,但艾薩克·牛頓鼎盛時期,採用的方法不太嚴格。牛頓使用的定義中固有的問題導致了19世​​紀仔細的分析和正式證明的複興。在20世紀初,伯特蘭·羅素阿爾弗雷德北懷特黑德會發布他們的Mathematica Principia,試圖證明所有數學概念和語句都可以定義,然後完全通過符號邏輯。這是一個更廣泛的哲學計劃的一部分邏輯,它將數學視為邏輯的擴展。

儘管數學的簡化,許多證據需要數百頁才能表達。出現計算機輔助證明已允許證明長度進一步擴展。如果證明軟件有缺陷,並且難以檢查,則輔助證明可能是錯誤的。[E][40]另一方面,證明助手允許驗證無法用手寫的證據給出的細節,並確定長期證明的正確性,例如255頁Feit – Thompson定理.[F]

符號符號

萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler)創建並普及了當今使用的許多數學符號。

除了特殊語言外,當代數學還大量使用特殊符號。這些符號也通過簡化數學思想的表達並允許常規來促進嚴格操作遵循一致的規則。現代符號使數學對熟練的效率提高了,儘管初學者可以發現它令人生畏。

今天使用的大多數數學符號是在15世紀之後發明的,有許多貢獻萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler)(1707–1783)。[41][驗證失敗]在此之前,數學論點通常用單詞寫出,從而限制了數學發現。[42]

從19世紀開始,一個被稱為的思想流派形式主義發達。對於形式主義者來說,數學主要是關於正式系統結合它們的符號和規則。從這個角度來看,即使是公理也只是特權公式公理系統,而無需從系統中的其他元素派生而得出。形式主義的最大實例是大衛·希爾伯特(David Hilbert)在20世紀初的電話,經常被稱為希爾伯特的計劃,以這種方式編碼所有數學。

庫爾特·戈德爾(KurtGödel)證明這一目標從根本上是不可能的不完整定理,這表明任何足夠豐富的正式系統甚至可以描述簡單的算術都無法保證其自身的完整性或一致性。儘管如此,形式主義概念繼續影響數學,默認情況下預計該點陳述在固定理論公式。僅接受非常例外的結果,因為不適合一個公理系統或另一個系統。[43]

抽象知識

Isaac Newton
Gottfried Wilhelm von Leibniz
艾薩克·牛頓(左)和Gottfried Wilhelm Leibniz開發了無限微積分。

實際上,數學家通常與科學家分組,數學與物理科學有很多共同點,特別是假設的演繹推理。數學家提出數學假設,稱為猜想, 使用反複試驗直覺也與科學家類似。[44]實驗數學諸如模擬之類的計算方法在數學中也繼續增長。

如今,所有科學都構成了數學家研究的問題,相反,數學的結果通常會導致科學中的新問題和實現。例如,物理學家理查德·費曼(Richard Feynman)結合數學推理和物理見解,以發明路徑積分公式量子力學.弦理論另一方面,是一個提出的框架,用於統一許多現代物理學,從而激發了數學的新技術和結果。[45]

德國數學家卡爾·弗里德里希高斯(Carl Friedrich Gauss)甚至甚至稱數學為“科學女王”[46]最近,Marcus du Sautoy已經將數學描述為“科學發現背後的主要驅動力”。[47]但是,一些作者強調,數學與現代科學觀念不同:它不依賴經驗證據.[48][49][50][51]

自從科學革命,與其他研究領域一樣,這也導致了專業化。截至2010年,最新數學主題分類美國數學學會識別數百個子場,完整的分類達到46頁。[52]通常,子領域的許多概念可以無限期地與其他數學分支保持隔離。結果可能主要用作支持其他定理和技術的腳手架,或者它們可能與子場外任何事物沒有明確的關係。

數學表現出一種顯著發展的趨勢,隨著時間的流逝,數學家經常發現令人驚訝的應用或概念之間的聯繫。一個非常有影響力的例子是Erlangen程序Felix Klein,這建立了幾何和代數之間的創新和深刻聯繫。反過來,這為更大的抽像打開了兩個領域,並產生了全新的子場。

通常在應用數學完全針對抽象的問題和概念,被稱為抽象問題純數學。與數學的其他部門一樣,邊界是流體的。最初考慮到特定應用程序的想法通常在後來概括,因此加入了數學概念的一般庫存。應用數學的幾個領域甚至已與實際領域合併,以自己的權利,例如統計,例如統計學,行動調查, 和計算機科學.

也許更令人驚訝的是,當思想朝另一個方向流動,甚至“最純粹”的數學都會導致意外的預測或應用。例如,數字理論在現代佔據中心位置密碼學,在物理學中,來自麥克斯韋方程搶先的無線電波和光的速度的實驗證據。物理學家Eugene Wigner將此現象命名為“數學的不合理有效性”。[9]

至少從畢達哥拉斯(Pythagoras)開始,抽像數學與物質現實之間的不可思議的聯繫導致了哲學上的辯論。古代哲學家柏拉圖認為這是可能的,因為物質現實反映了外部存在的抽像對象。結果,數學對像以某種方式在抽像中以某種方式存在的觀點通常稱為柏拉圖主義。儘管大多數數學家通常不關心柏拉圖主義提出的問題,但即使在當代時代,有些有哲學意識的人也會做到並確定為柏拉圖主義者。[53]

創造力和直覺

對正確性和嚴格性的需求並不意味著數學沒有創造力的位置。相反,大多數數學工作超出死記硬背的計算都需要巧妙的問題解決,並直觀地探索新穎的觀點。

數學上的傾向不僅看到創造力,而且會看到審美的數學價值,通常被描述為優雅。素質喜歡簡單對稱,完整性和普遍性在證明和技術中特別有價值。G. H. Hardy數學家的道歉表達了這樣一種信念,即這些美學考慮本身足以證明對純數學的研究是合理的。他還確定了其他標準,例如意義,意外性和必然性,這些標準有助於數學美學。[54]

保羅·埃爾德(Paul Erd)提到“書”,這是最美麗的證明的神聖集合,更具諷刺意味的是。受埃爾德斯的啟發,已經發表了一系列特別簡潔和啟示性的數學論點的集合書中的證明。一些特別優雅結果的例子是歐幾里得證明有很多無限的質數快速傅立葉變換為了諧波分析.

有些人認為將數學視為一門科學是在七個傳統中淡化其藝術和歷史大量的美術作品.[55]這種觀點的差異的一種方式是,關於數學結果是否為數學結果的哲學辯論創建(如藝術中)或發現(如科學)。[56]受歡迎程度娛樂性數學是許多人在解決數學問題中發現的愉悅的另一個跡象。

在20世紀,數學家L. E. J. Brouwer甚至發起了一種被稱為哲學觀點直覺主義,這主要在腦海中以某些創造性的過程來識別數學。[57]直覺主義反過來是一種稱為的立場的味道建構主義,只有可以直接構建數學對象,而不僅僅是通過間接保證的數學對像有效。這導致致力於建構主義者拒絕某些結果,尤其是這樣的論點存在證明基於排除中間的法律.[58]

最後,建構主義和直覺主義都沒有流離失所古典數學或獲得主流接受。但是,這些計劃激發了特定的發展,例如直覺邏輯以及其他基本見解,這些見解本身就受到讚賞。[58]

社會上

即使困難,數學也具有出色的跨越文化邊界和時間段的能力。但是,作為人類活動,數學實踐也有社會方面,包括教育,職業,認可等等問題。

獎項和獎品問題

數學中最負盛名的獎項是田野勳章[59][60]成立於1936年,每四年(第二次世界大戰除外)授予多達四個人。[61][62]它是諾貝爾獎的數學等效物。[62]

其他享有聲望的獎項包括:

著名的23名清單開放問題,稱為”希爾伯特的問題”,由德國數學家於1900年編寫大衛·希爾伯特(David Hilbert).[69]該清單在數學家中獲得了偉大的名人[70],至少有13個問題(取決於如何解釋)已經解決。[69]七個重要問題的新清單,標題為“千年獎問題”,於2000年出版。只有一個Riemann假設,重複了希爾伯特的一個問題之一。解決這些問題的任何一個解決方案都帶有100萬美元的獎勵。[71]目前,這些問題中只有一個龐加萊的猜想,已解決。[72]

也可以看看

筆記

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  3. ^但是,有時會使用一些高級分析方法。例如,方法複雜分析應用於生成系列.
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  6. ^包含完整證明的書有1000多頁。

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參考書目

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