天然對數

天然對數
天然對數
	自然對數函數的一部分圖。隨著X的增加，該函數慢慢生長至正無窮大，並且隨著X接近0（與X的任何功率定律相比，“慢慢”）慢慢變為負無窮大。
一般信息
一般定義
發明的動機	分析證明
應用領域	純粹和應用數學
域，代號和圖像
領域
CODOMAIN
圖像
特定值
值在 +∞	+∞
e	1
特定功能
漸近線
根	1
逆
衍生物
抗動力

數字的自然對數是其對數與數學常數 $e$ 的對數，這是一個非理性和先驗數的對數 $2.718 281828459$ 。 $X$ 的自然對數通常以 $LN X$ ， $Log E X的$ 形式寫成，或者有時（如果基本 $E$ 是隱式），則只需 $log x$ 即可。有時會添加括號，以清晰，給出 $LN（ x ）$ ， $log E （ x ）$ 或 $log（ x ）$ 。當與對數的論點不是單個符號以防止歧義時，這是尤其是這樣。

$X$ 的自然對數是E必須將 $E$ 提高到等於 $X$ 的力量。例如， $LN 7.5$ 為 $2.0149 ...$ ，因為 $E 2.0149 ... = 7.5$ 。 $e$ $本身$ 的自然對數 $是$ $1$ ，因為 $e 1 = e$ ，而自然對數為 $0$ ，因為 $e 0 = 1$ 。

可以為任何正實數 $A$ 定義自然對數，為曲線 $y = 1/ x$ 下的面積從 $1$ 到 $a$ （當 $0 < a <1$ 時該區域為負）。該定義的簡單性在許多其他涉及自然對數的公式中匹配，導致“自然”一詞。然後可以擴展自然對數的定義，以給出負數和所有非零複數數字的對數值，儘管這會導致多值函數：有關更多信息，請參見複雜對數。

自然對數函數如果被視為正真實變量的實現函數，則是指數函數的逆函數，導致身份：

{\begin{aligned}e^{\ln x}&=x\qquad {\text{ if }}x\in \mathbb {R} _{+}\\\ln e^{x}&=x\qquad {\text{ if }}x\in \mathbb {R} \end{aligned}}

像所有對數一樣，自然對數地圖乘以正數的繁殖加法：

\ln(x\cdot y)=\ln x+\ln y~.

對數可以針對除1以外的任何正鹼基，不僅是e。但是，其他鹼基中的對數僅因自然對數的恆定乘數而有所不同，並且可以用後者定義。

對數可用於求解未知作為其他數量的指數的方程。例如，對數用於解決指數衰減問題中的半衰期，衰減常數或未知時間。它們在數學和科學學科的許多分支中都很重要，並用於解決涉及復雜興趣的問題。

歷史

自然對數的概念是在1649年之前由Gregoire de Saint-Vincent和Alphonse Antonio de Sarasa制定的。他們的工作涉及雙曲線的二次 $= 1$ ，通過確定雙曲線扇區的面積。他們的解決方案生成了必要的“雙曲對數”函數，該功能具有與天然對數相關的屬性。

尼古拉斯·梅卡托（Nicholas Mercator）在他的作品《對數》（ Googarithmotechnia）中提到了自然對數，該對數於1668年出版，儘管數學老師約翰·斯佩德爾（John Speidell）已經編制了一張表格，說明了1619年實際上是自然對數的表。對於基礎 $e$ ，但這並不完全正確，因為並發症，值以整數表示。

符號慣例

符號 $ln x$ 和 $log e x$ 都明確指的是 $x$ 的自然對數，而沒有顯式底座的 $log x$ 也可能是指自然對數。這種用法在數學中很常見，以及一些科學環境以及許多編程語言。但是，在其他某些情況下，例如化學， $log x$ 可以用來表示共同的（基本10）對數。它也可以指計算機科學的背景下的二進制（基本2）對數，尤其是在時間複雜性的背景下。

定義

自然對數可以以幾種等效的方式定義。

指數倒數

最一般的定義是相反的函數，因此。因為對於任何實際輸入是積極的且可逆的，所以對於任何正x，此定義的定義都很好。對於復數，不可逆轉，因此多值函數也是如此。因此，為了做出適當的單輸出功能，我們需要將其限制在通常用的特定主體分支中。作為逆函數，可以通過反轉通常的定義來定義：

e^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}

這樣做會產生：

\ln(z)=\lim _{n\to \infty }n\cdot ({\sqrt[{n}]{z}}-1)

因此，該定義從

根源

的主要分支中得出了自己的主要分支。

積分定義

雙曲線下的區域滿足對數規則。這裡 $a （ s ， t ）$ 表示 $S$ 和 $T$ 之間的雙曲線下的區域。

正值 $A$ 的自然對數可以定義為在 $x = 1$ 和 $x = a$ 之間方程 $y = 1/ x$ 的雙曲線圖下的區域。這是不可或缺的

\ln a=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.

如果A進入，則該區域的面積為負，對數為負。

此函數是一個對數，因為它滿足對數的基本乘法屬性：

\ln(ab)=\ln a+\ln b.

可以通過將定義 $LN AB$ 的積分分配為兩個部分，然後在第二部分中將可變替換 $x =$ （so so $dx = a dt$ ）進行分配，可以證明這一點：

{\begin{aligned}\ln ab=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\,dx&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\,dx\\[5pt]&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{1}^{b}{\frac {1}{at}}a\,dt\\[5pt]&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\,dt\\[5pt]&=\ln a+\ln b.\end{aligned}}

用基本的話來說，這只是在水平方向和垂直 $方向$ 上縮放 $1/ a$ 。在此轉換下，區域不會改變，但是 $A$ 和 $AB$ 之間的區域被重新配置。由於函數 $A /（ AX ）$ 等於函數 $1 / X$ ，因此所得區域精確地為 $LN b$ 。

然後可以將數字 $E$ 定義為唯一的實際數字 $A$ ，使得 $ln a = 1$ 。

自然對數也具有不可分割的積分錶示，可以通過Fubini定理得出如下：

\ln \left(x\right)=\int _{1}^{x}{\frac {1}{u}}du=\int _{1}^{x}\int _{0}^{\infty }e^{-tu}\ dt\ du=\int _{0}^{\infty }\int _{1}^{x}e^{-tu}\ du\ dt=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}-e^{-tx}}{t}}dt

特性

自然對數具有以下數學屬性：

$\ln 1=0$
$\ln e=1$
$\ln(xy)=\ln x+\ln y\quad {\text{for }}\;x>0\;{\text{and }}\;y>0$
$\ln(x/y)=\ln x-\ln y$
$\ln(x^{y})=y\ln x\quad {\text{for }}\;x>0$
$\ln x<\ln y\quad {\text{for }}\;0<x<y$
$\lim _{{x\to 0}}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1$
$\lim _{\alpha \to 0}{\frac {x^{\alpha }-1}{\alpha }}=\ln x\quad {\text{for }}\;x>0$
${\frac {x-1}{x}}\leq \ln x\leq x-1\quad {\text{for}}\quad x>0$
$\ln {(1+x^{\alpha })}\leq \alpha x\quad {\text{for}}\quad x\geq 0\;{\text{and }}\;\alpha \geq 1$

證明

該聲明是正確的，我們現在向所有人展示，這是通過微積分基本定理完成的證明。因此，我們想證明

{\frac {d}{dx}}\ln {(1+x^{\alpha })}={\frac {\alpha x^{\alpha -1}}{1+x^{\alpha }}}\leq \alpha ={\frac {d}{dx}}(\alpha x)

（請注意，我們尚未證明此陳述是正確的。）如果這是正確的，那麼通過將中間語句乘以正數和減法，我們將獲得

x^{\alpha -1}\leq x^{\alpha }+1

x^{\alpha -1}(1-x)\leq 1

由於左側為負或零，因此此語句在很大程度上是正確的。因為這仍然是正確的，因為左側的兩個因素都小於1（回想一下）。因此，最後一個陳述是真實的，通過以相反順序重複我們的步驟，我們發現

{\frac {d}{dx}}\ln {(1+x^{\alpha })}\leq {\frac {d}{dx}}(\alpha x)

對全部。這完成了證明。

另一種證據是在給定條件下觀察到這一點。這可以通過規範不平等來證明，例如。進行對數並使用完成證明。

衍生物

自然對數的衍生物作為正真實的實現函數，由

{\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.

如何確定自然對數的衍生物取決於它的定義方式。如果自然對數定義為積分

\ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt,

然後，衍生物立即遵循微積分基本定理的第一部分。

另一方面，如果自然對數定義為（自然）指數函數的倒數，則可以使用對數的屬性和指數函數的定義來找到衍生物（對於 $x > 0$ ）。

從數字的定義來指數函數可以定義為

e^{x}=\lim _{u\to 0}(1+u)^{x/u}=\lim _{h\to 0}(1+hx)^{1/h},

在哪裡

然後可以從第一原則中找到衍生物。

{\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\ln x&=\lim _{h\to 0}{\frac {\ln(x+h)-\ln x}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {1}{h}}\ln \left({\frac {x+h}{x}}\right)\right]\\&=\lim _{h\to 0}\left[\ln \left(1+{\frac {h}{x}}\right)^{\frac {1}{h}}\right]\quad &&{\text{all above for logarithmic properties}}\\&=\ln \left[\lim _{h\to 0}\left(1+{\frac {h}{x}}\right)^{\frac {1}{h}}\right]\quad &&{\text{for continuity of the logarithm}}\\&=\ln e^{1/x}\quad &&{\text{for the definition of }}e^{x}=\lim _{h\to 0}(1+hx)^{1/h}\\&={\frac {1}{x}}\quad &&{\text{for the definition of the ln as inverse function.}}\end{aligned}}

另外，我們有：

{\frac {d}{dx}}\ln ax={\frac {d}{dx}}(\ln a+\ln x)={\frac {d}{dx}}\ln a+{\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.

因此，與其逆函數不同，函數的常數不會改變差異。

系列

$LN（1 + X ）$ 的Taylor多項式僅在 $-1 < x\leq1$ 的範圍內提供準確的近似值。除了一些 $x > 1$ 之外，較高程度的泰勒多項式近似近似。

由於自然對數在0處不確定，因此與許多其他基本功能不同，本身沒有麥克勞蛋白系列。取而代之的是，一個人在其他點上尋找泰勒的擴展。例如，如果那樣

{\begin{aligned}\ln x&=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt=\int _{0}^{x-1}{\frac {1}{1+u}}\,du\\&=\int _{0}^{x-1}(1-u+u^{2}-u^{3}+\cdots )\,du\\&=(x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}+\cdots \\&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}(x-1)^{k}}{k}}.\end{aligned}}

這是泰勒（Taylor）系列的大約1.。變量的變化產生了Mercator系列：

\ln(1+x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}x^{k}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,

有效和

萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler），忽略了，儘管如此，該系列將諧波系列等於自然對數；也就是說，無窮大的對數。如今，更正式的是，可以證明在n處截斷的諧波序列接近n的對數，當n很大時，差異會融合到Euler -Mascheroni常數。

該圖是 $LN（1 + X ）$ 的圖，其某些泰勒多項式左右。這些近似僅在 $-1 < x\leq1 的$ 區域中收斂到該函數。在該區域之外，較高的泰勒多項式將函數的近似值變為差異。

積極整數n的一個有用的特殊情況是：

\ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{kn^{k}}}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{2n^{2}}}+{\frac {1}{3n^{3}}}-{\frac {1}{4n^{4}}}+\cdots

如果那樣

{\begin{aligned}\ln(x)&=-\ln \left({\frac {1}{x}}\right)=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}({\frac {1}{x}}-1)^{k}}{k}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(x-1)^{k}}{kx^{k}}}\\&={\frac {x-1}{x}}+{\frac {(x-1)^{2}}{2x^{2}}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3x^{3}}}+{\frac {(x-1)^{4}}{4x^{4}}}+\cdots \end{aligned}}

現在，佔據積極的整數n，我們得到了：

\ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(n+1)^{k}}}={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{2(n+1)^{2}}}+{\frac {1}{3(n+1)^{3}}}+{\frac {1}{4(n+1)^{4}}}+\cdots

如果那樣

\ln(x)=\ln \left({\frac {2x}{2}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\frac {x-1}{x+1}}}{1-{\frac {x-1}{x+1}}}}\right)=\ln \left(1+{\frac {x-1}{x+1}}\right)-\ln \left(1-{\frac {x-1}{x+1}}\right).

自從

{\begin{aligned}\ln(1+y)-\ln(1-y)&=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i}}\left((-1)^{i-1}y^{i}-(-1)^{i-1}(-y)^{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {y^{i}}{i}}\left((-1)^{i-1}+1\right)\\&=y\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {y^{i-1}}{i}}\left((-1)^{i-1}+1\right){\overset {i-1\to 2k}{=}}\;2y\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y^{2k}}{2k+1}},\end{aligned}}

我們到達

{\begin{aligned}\ln(x)&={\frac {2(x-1)}{x+1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}{\left({\frac {(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}}\right)}^{k}\\&={\frac {2(x-1)}{x+1}}\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{3}}{\frac {(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}}+{\frac {1}{5}}{\left({\frac {(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}}\right)}^{2}+\cdots \right).\end{aligned}}

再次將替代用於積極整數n，我們得到了：

{\begin{aligned}\ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)&={\frac {2}{2n+1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)((2n+1)^{2})^{k}}}\\&=2\left({\frac {1}{2n+1}}+{\frac {1}{3(2n+1)^{3}}}+{\frac {1}{5(2n+1)^{5}}}+\cdots \right).\end{aligned}}

到目前為止，這是此處描述的系列中最快的融合。

天然對數也可以表示為無限的產品：

\ln(x)=(x-1)\prod _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{2^{k}}]{x}}}}\right)

可能有兩個例子：

\ln(2)=\left({\frac {2}{1+{\sqrt {2}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{4}]{2}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{8}]{2}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{16}]{2}}}}\right)...

\pi =(2i+2)\left({\frac {2}{1+{\sqrt {i}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{4}]{i}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{8}]{i}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{16}]{i}}}}\right)...

通過這種身份，我們可以輕鬆地得到：

{\frac {1}{\ln(x)}}={\frac {x}{x-1}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2^{-k}x^{2^{-k}}}{1+x^{2^{-k}}}}

例如：

{\frac {1}{\ln(2)}}=2-{\frac {\sqrt {2}}{2+2{\sqrt {2}}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{2}}{4+4{\sqrt[{4}]{2}}}}-{\frac {\sqrt[{8}]{2}}{8+8{\sqrt[{8}]{2}}}}\cdots

整合的自然對數

自然對數允許簡單地整合形式的函數：g（x）的抗動力。由於鏈條規則和以下事實，情況就是這樣：

{\frac {d}{dx}}\ln \left|x\right|={\frac {1}{x}},\ \ x\neq 0

換句話說，當整合不包括的真實行的間隔時，

\int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln |x|+C

其中

c

是一個任意集成常數。

同樣，當積分在一個間隔之上時，

\int {{\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx}=\ln |f(x)|+C.

例如，考慮不包括無限位置的時間間隔的積分：

\int \tan x\,dx=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}\,dx=-\int {\frac {{\frac {d}{dx}}\cos x}{\cos x}}\,dx=-\ln \left|\cos x\right|+C=\ln \left|\sec x\right|+C.

可以使用零件的集成來整合自然對數：

\int \ln x\,dx=x\ln x-x+C.

讓：

u=\ln x\Rightarrow du={\frac {dx}{x}}

dv=dx\Rightarrow v=x

然後：

{\begin{aligned}\int \ln x\,dx&=x\ln x-\int {\frac {x}{x}}\,dx\\&=x\ln x-\int 1\,dx\\&=x\ln x-x+C\end{aligned}}

有效的計算

對於x> 1的其中，x的值越接近1，其泰勒級數的收斂速度越快。以1為中心。可以利用與對數相關的身份來利用這一點：

{\begin{aligned}\ln 123.456&=\ln(1.23456\cdot 10^{2})\\&=\ln 1.23456+\ln(10^{2})\\&=\ln 1.23456+2\ln 10\\&\approx \ln 1.23456+2\cdot 2.3025851.\end{aligned}}

通過參考數值表並執行上述操作，在計算器之前使用此類技術。

天然對數10

自然對數為10，大約等於 $2.302 58509$ ，例如在科學符號中表示的自然對數的計算中起作用，因為曼蒂薩（Mantissa）乘以10：10：

\ln(a\cdot 10^{n})=\ln a+n\ln 10.

這意味著，可以使用相對較小的小數組的對數有效地計算出非常大或非常小的數字的對數 $[1，10）$ 。

高精準度

為了用許多精度計算自然對數，泰勒系列方法不有效，因為收斂速度很慢。尤其是如果X接近1，一個很好的選擇是使用Halley的方法或Newton的方法將指數函數倒置，因為指數函數的系列系列更快地收斂。為了找到使用Halley的方法給出Y的價值，或等效地使用Newton的方法給出，迭代簡化為

y_{n+1}=y_{n}+2\cdot {\frac {x-\exp(y_{n})}{x+\exp(y_{n})}}

具有立方收斂到的。

高精度計算的另一個替代方案是公式

\ln x\approx {\frac {\pi }{2M(1,4/s)}}-m\ln 2,

其中

m

表示算術幾何平均值為1和

4/ s

，而

s=x2^{m}>2^{p/2},

使用m選擇，以便獲得精確的精確度。（出於大多數目的，對於M的8值就足夠了。）實際上，如果使用此方法，則可以使用自然對數的牛頓反轉來有效地計算指數函數。（常數和π可以使用幾個已知快速融合序列中的任何一個預先計算到所需的精度。）或者，可以使用以下公式：

\ln x={\frac {\pi }{M\left(\theta _{2}^{2}(1/x),\theta _{3}^{2}(1/x)\right)}},\quad x\in (1,\infty )

在哪裡

\theta _{2}(x)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }x^{(n+1/2)^{2}},\quad \theta _{3}(x)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }x^{n^{2}}

是Jacobi Theta函數。

根據威廉·卡漢（William Kahan）的提案，並在1979年首次在休惠特（Hewlett-Packard） HP-41C計算器中實施（僅顯示為“ LN1”下），某些計算器，操作系統（例如Berkeley Unix 4.3BSD ），計算機，計算機代數係統和編程語言（例如， C99 ）提供了一個特殊的天然對數加1函數，替代命名為lnp1或log1p ，以通過傳遞接近零的參數 $x$ 的函數 $log1p（ x ）$ ，返回值 $ln（1+ x ）$ ，而不是將接近 $1$ 的值傳遞給返回 $ln（ y ）$ 的函數。函數 $log1p$ 避免在浮點算術中，絕對項1的近來取消，第二項從天然對數的泰勒膨脹中獲得。這使參數，結果和中間步驟都保持在接近零的位置，可以將它們最準確地表示為浮點數。

除了基本 $E$ 外， IEEE 754-2008標準還為二進制和十進制對數附近1附近的對數函數定義了相似的對數函數： $log 2 （1 + x ）$ 和 $log 10 （1 + x ）$ 。

同樣存在類似的逆函數，名為“ ExpM1 ”，“ ExpM”或“ EXP1M”，所有這些都具有 $ExpM1（ X ）= Exp（ x ）-1$ 的含義。

根據反屈曲切線的身份，

\mathrm {log1p} (x)=\log(1+x)=2~\mathrm {artanh} \left({\frac {x}{2+x}}\right)\,,

在無法實現

log1p（ x ）

的系統上，給出

X

的小值的高精度值。

計算複雜性

使用算術幾何平均值（對於上述兩種方法）計算自然對數的計算複雜性是。在這裡，n是要評估自然對數的精度的數字，而m（n）是乘以兩個n位數的計算複雜性。

繼續分數

儘管沒有簡單的持續分數可用，但仍有一些概括的持續分數包括：

{\begin{aligned}\ln(1+x)&={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \\[5pt]&={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+{\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\ddots }}}}}}}}}}\end{aligned}}

{\begin{aligned}\ln \left(1+{\frac {x}{y}}\right)&={\cfrac {x}{y+{\cfrac {1x}{2+{\cfrac {1x}{3y+{\cfrac {2x}{2+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}\\[5pt]&={\cfrac {2x}{2y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}

這些持續的分數（尤其是最後一小部分）迅速地匯總了接近1的值。但是，可以通過反复添加較小數量的較小數量的自然對數可以輕鬆地計算出較大數字的對數，並且具有類似的快速收斂。

例如，由於2 = 1.25 ³ ×1.024，因此2的天然對數可以計算為：

{\begin{aligned}\ln 2&=3\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+\ln \left(1+{\frac {3}{125}}\right)\\[8pt]&={\cfrac {6}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {6}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^{2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}.\end{aligned}}

此外，由於10 = 1.25 ¹⁰ ×1.024 ³ ，即使是10的天然對數也可以類似地計算為：

{\begin{aligned}\ln 10&=10\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+3\ln \left(1+{\frac {3}{125}}\right)\\[10pt]&={\cfrac {20}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {18}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^{2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}.\end{aligned}}

自然對數的倒數也可以通過這種方式寫入：

{\frac {1}{\ln(x)}}={\frac {2x}{x^{2}-1}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {x^{2}+1}{4x}}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {x^{2}+1}{4x}}}}}}\ldots

例如：

{\frac {1}{\ln(2)}}={\frac {4}{3}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {5}{8}}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {5}{8}}}}}}\ldots

複雜的對數

指數函數可以擴展到一個函數，該函數可為任何任意的複數 $z$ 提供一個複雜的數字作為 $E Z$ ；只需將無限序列與 $x$ = Z複合體一起使用。可以倒入該指數函數以形成一個複雜的對數，該對數表現出普通對數的大多數屬性。涉及兩個困難：沒有 $X$ 具有 $E X = 0$ ;事實證明 $E 2Iπ = 1 = E 0$ 。由於乘法屬性仍然適用於復雜的指數函數，因此對於所有復雜的 $Z$ 和整數 $k$ ， $E Z = E Z + 2kiπ$ 。

因此，對數不能為整個複雜平面定義，即使如此，它也是多價 - 任何復雜的對數都可以通過隨意添加2iπ的任何整數倍數來更改為“等效”對數。複雜的對數只能在切割平面上單一值。例如，ln i =Iπ / 2或 $5Iπ / 2$ 或 $-3Iπ / 2$ 等；儘管 $i 4 = 1，4 ln i$ 可以定義為 $2Iπ$ ，或 $10iπ$ 或 $-6iπ$ ，依此類推。

自然對數功能在復雜平面上的圖（主要分支）
$z = re（ln（ x + yi ））$
$z = | （im（ln（ x + yi ））） |$
$z = | （ln（ x + yi ）） |$
前三個圖的疊加

天然對數
自然對數函數的一部分圖。隨著 $X$ 的增加，該函數慢慢生長至正無窮大，並且隨著 $X$ 接近0（與 $X$ 的任何功率定律相比，“慢慢”）慢慢變為負無窮大。
一般信息
一般定義	$\ln x=\log _{e}x$
發明的動機	分析證明
應用領域	純粹和應用數學
域，代號和圖像
領域	$\mathbb {R} _{>0}$
CODOMAIN	$\mathbb {R}$
圖像	$\mathbb {R}$
特定值
值在 +∞	+∞
$e$	1
特定功能
漸近線	$x=0$
根	1
逆	$\exp x$
衍生物	${\dfrac {d}{dx}}\ln x={\dfrac {1}{x}},x>0$
抗動力	$\int \ln x\,dx=x\left(\ln x-1\right)+C$