淨現值

淨現值（ NPV ）或淨現在價值（ NPW ）適用於在不同時間發生的一系列現金流。現金流的現值取決於現在和現金流之間的時間間隔。這也取決於年度有效折現率。 NPV負責貨幣的時間價值。它提供了一種評估和比較隨著時間的推移，現金流量分配的資本項目或金融產品的方法，例如貸款，投資，保險合同的支出以及許多其他申請。

金錢的時間價值決定時間影響現金流的價值。例如，貸方可能會提供99美分的承諾，從現在開始獲得每月1.00美元的承諾，但是即使對同一個人（貸方），將來將未來獲得同樣的20年的承諾，即使在這兩種情況下，投資回報都同樣確定。未來現金流的當前價值的下降是基於所選的收益率（或折現率）。例如，如果存在相同現金流的時間序列，那麼當前的現金流量最有價值，每個未來的現金流量都比以前的現金流有價值。如今的現金流比將來的現金流相同，因為現在可以立即投資並開始賺取回報，而未來的流量則不能。

NPV是通過計算每個投資時期的成本（負現金流）和福利（正現金流）來確定的。計算每個時期的現金流量後，每一個時值（PV）是通過定期回報率（市場決定的回報率）來折價其未來價值（請參見公式）來實現的。 NPV是所有折扣未來現金流量的總和。

由於其簡單性，NPV是確定項目或投資是否會導致淨利潤或損失的有用工具。 NPV陽性會導致利潤，而負NPV會導致損失。 NPV以目前的價值術語來衡量現金流量的過剩或短缺，高於資金成本。在無限資本預算的理論情況下，公司應以積極的NPV進行所有投資。但是，實際上，公司的資本約束將投資限制為NPV最高的項目，其成本現金流量或初始現金投資不超過公司的資本。 NPV是折現現金流（DCF）分析的中心工具，是使用貨幣時間價值評估長期項目的標準方法。它在經濟學，財務分析和財務會計中廣泛使用。

在所有未來的現金流量是正面的，或者傳入（例如本金和優惠券支付債券）的情況下，現金的唯一流失是購買價格，NPV僅僅是未來現金流量的PV，則減去購買價格（購買價格（這是其自己的PV）。 NPV可以描述為折現現金流入和現金流出的總和之間的“差額”。它比較了今天的貨幣現值與將來的貨幣現值，並考慮到通貨膨脹並返回。

一系列現金流的NPV將現金流量和折現率或折現曲線作為輸入，並輸出一個現值，即當前的公平價格。折現現金流（DCF）分析中的相反過程採用一系列現金流量，價格為輸入，並輸出折現率或內部收益率（IRR），這些收益率將作為NPV產生給定價格。該速率稱為收益率，廣泛用於債券交易中。

公式

每個現金流入/流出的折扣都回到其現值（PV）。然後將所有內容概括為NPV是所有術語的總和：

PV={\frac {R_{t}}{(1+i)^{t}}}

在哪裡：

$t$ 是現金流的時間
是折現率，即，在風險相似的投資中，每單位時間可能會賺取的回報
是現金流量，即現金流入 - 現金流出，時間t。出於教育目的，通常將其放置在總和的左側，以強調其（負）投資的作用。
$1/(1+i)^{t}$ 是折現因子，也稱為現值因子。

該公式的結果將年度現金淨現金乘以流量，並減少了初始現金的現金，但如果現金流量不相等，則將使用以前的公式來確定的現值每個現金流分開。任何現金流在12個月內的任何現金流量都不會以NPV目的打折，但是，第一年R ₀中通常的初始投資是負面現金流量的。

NPV也可以被認為是隨著時間的推移折扣福利和成本之間的差異。因此，NPV也可以寫為：

$NPV=PV(B)-PV(C)$

在哪裡：

$B$ 是收益還是現金流入
$C$ 是費用還是現金流出

給定（期間，現金流入，現金流出），由（，，）顯示的總數是：

$\mathrm {NPV} (i,N)=\sum _{t=0}^{N}{\frac {B_{t}}{(1+i)^{t}}}-\sum _{t=0}^{N}{\frac {C_{t}}{(1+i)^{t}}}$

在哪裡：

是福利或現金流入。
是費用或現金流出的時間。

NPV可以在每個時間段內使用淨現金流量重寫：

\mathrm {NPV} (i,N)=\sum _{t=0}^{N}{\frac {R_{t}}{(1+i)^{t}}}

按照慣例，初始階段發生在當時，然後將現金在連續期間的現金流從中折現，依此類推。此外，假定所有未來的現金流都在每個時期結束時。對於恆定現金流，淨現值是一個有限的幾何級數，由以下方式給出：

\mathrm {NPV} (i,N,R)=R\left({\frac {1-\left({\frac {1}{1+i}}\right)^{N+1}}{1-\left({\frac {1}{1+i}}\right)}}\right),\quad i\neq 0

包含該術語在上述公式中很重要。一個典型的資本項目涉及具有正面現金流（投資回報率）的大型負現金流（初始投資）。關鍵評估是，對於給定的折現率，NPV是正（有利可圖）還是負面（損失）。 IRR是NPV正好為0的折現率。

資本效率

可以稍微調整NPV方法，以計算有多少資金為項目的投資投資貢獻了多少。這被稱為資本效率比率。下面給出了每美元投資（NPVI）的淨現值公式：

$\mathrm {NPVI} (i,N)=\sum _{t=1}^{N}{\frac {R_{t}}{(1+i)^{t}}}/\sum _{t=1}^{N}{\frac {C_{t}}{(1+i)^{t}}}$

在哪裡：

是現金流量，即現金流入 - 現金流出，時間t。
是時間t的淨現金流出。

例子

如果項目一生中的折扣福利為1億美元，並且整個項目一生的淨淨成本為6000萬美元，那麼NPVI為：

$\mathrm {NPVI} ={\frac {\$100M-\$60M}{\$60M}}$

$NPVI=0.6667$

那是針對該項目投資的每一美元，對該項目的NPV捐款0.6667美元。

替代折扣頻率

NPV公式假定收益和成本在每個時期結束時發生，從而產生更保守的NPV。但是，可能是現金流入和流出發生在時期開始時或期間中期。

中期折扣的NPV公式由：

$\mathrm {NPV} (i,N)=\sum _{t=0}^{N}{\frac {R_{t}}{(1+i)^{t-0.5}}}$

在項目的生命週期中，現金流通常分佈在每個時期（例如每年分佈），因此，年中代表了這些現金流量發生的平均時間點。因此，中期打折通常提供更準確的，儘管不保守的NPV。

使用期間折扣開始的NPV公式由以下方式給出：

$\mathrm {NPV} (i,N)=-Initial\ Investment+\sum _{t=1}^{N}{\frac {R_{t}}{(1+i)^{t-1}}}$

這導致最不保守的NPV。

折現率

用於將未來現金流動到現值的利率是此過程的關鍵變量。

公司的加權平均資本成本（稅後）經常使用，但許多人認為，使用更高的折現率調整風險，機會成本或其他因素是合適的。沿時間跨度進一步發生的現金流的較高利率的可變折現率可能用於反映長期債務的收益曲線溢價。

選擇折現率因素的另一種方法是確定如果投資於替代合資企業，該項目所需的資本可能會返回。例如，如果項目A所需的資本可以在其他地方獲得5％的賺取，請在NPV計算中使用此折現率，以允許在項目A和替代方案之間進行直接比較。與此概念有關的是使用公司的再投資率。重新投資率可以定義為平均投資的回報率。在分析資本約束環境中的項目時，使用再投資率，而不是公司的加權資本成本作為折現因子。它反映了投資的機會成本，而不是可能較低的資本成本。

使用可變折現率計算的NPV（如果在投資期間已知）可以更好地反映情況，而不是根據整個投資持續時間的恆定折現率計算出的情況。有關NPV與折現率之間的更詳細的關係，請參閱塞繆爾·貝克（Samuel Baker）撰寫的教程文章。

對於某些專業投資者而言，他們的投資資金致力於以指定的回報率為目標。在這種情況下，應將收益率選擇為NPV計算的折現率。這樣，可以在項目的盈利能力和所需的回報率之間進行直接比較。

在某種程度上，選擇折現率取決於將其放置的用途。如果目的只是簡單地確定項目是否會為公司增加價值，則使用公司的加權平均資本成本可能是適當的。如果試圖在替代投資之間做出決定以最大化公司的價值，那麼公司再投資率可能是一個更好的選擇。

風險調整後的淨現值（RNPV）

隨著時間的推移，使用可變率，或與“ AF AT RISK”現金流動不同的“保證”現金流量不同，可能是一種較高的方法，但很少在實踐中使用。在實踐中（尤其是國際上）使用折現率調整風險通常很難做到，而且很難做得很好。

使用折現因子調整風險的一種替代方法是使用風險調整後的淨現值（ RNPV ）或類似的方法明確糾正風險要素的現金流量，然後按公司的利率折現。

在決策中使用

NPV是投資或項目增加對公司的價值的指標。對於一個特定的項目，如果是正價值，則該項目處於t時期現金流入的狀態。如果是負值，則該項目處於t折現現金流出的狀態。可以接受具有正面NPV的適當風險的項目。這並不一定意味著應該進行它們，因為以資本為代價的NPV可能無法與其他可用投資進行比較。在財務理論中，如果兩個相互排斥的替代方案之間有選擇，則應選擇較高的NPV。淨現值的淨現值表明，項目或投資產生的預計收益超過了預期的成本（也以當前的美元為單位）。這個概念是淨創下價值規則的基礎，該規則表明，唯一應該進行的投資是NPV積極的投資。

NPV積極的投資是有利可圖的，但是NPV負數的投資不一定會導致淨損失：這只是項目的內部收益率低於所需的回報率。

如果...	它的意思是...	然後...
NPV> 0	投資將為公司增加價值	該項目可能被接受
NPV <0	投資將從公司中減值	該項目可能被拒絕
NPV = 0	投資既不會給公司收益，也不會失去價值	我們應該對是否接受還是拒絕該項目無動於衷。該項目沒有增加貨幣價值。決策應基於其他標準，例如，戰略定位或其他未明確包括的因素。

使用淨現值的優點和缺點

NPV是項目投資的指標，並且具有決策的幾個優點和缺點。

優點

NPV通過考慮貨幣的時間價值來包含該項目的所有相關時間和現金流，這與通過為股東創造最高財富的財富最大化的目標是一致的。

NPV公式是每個項目的現金流正時正時正定時模式和規模差異，並提供了不同投資選項的簡單，明確的美元價值比較。

假設已知折現率和未來現金流量，可以使用現代電子表格輕鬆計算NPV。對於一家考慮投資多個項目的公司，NPV的好處是增加。也就是說，根據公司可以投資的可用資本，可以匯總不同項目的NPV來計算最高的財富創造。

缺點

NPV方法有幾個缺點。

NPV方法不考慮隱藏的成本和項目規模。因此，對具有實質性隱藏成本的項目的投資決策可能不准確。

依賴於輸入參數，例如對未來現金流的知識

NPV在很大程度上取決於對未來現金流，其時間的了解，項目的長度，所需的初始投資和折現率。因此，只有當這些輸入參數正確時才能準確。儘管可以進行靈敏度分析，以檢查隨著輸入變量的變化，NPV如何變化，從而降低了NPV的不確定性。

依靠折現率和折現因子的選擇

NPV方法的準確性在很大程度上取決於選擇折現率的選擇以及折現因子，這代表了I vestment的真正風險溢價。假定折現率在投資期限內是恆定的；但是，折現率可能會隨著時間而變化。例如，隨著資本變化的成本，折現率可能會變化。 NPV方法還有其他缺點，例如它表現出對項目規模和資本成本的考慮不足。

缺乏對非金融指標的考慮

NPV計算純粹是財務上的，因此不考慮可能與投資決策相關的非金融指標。

比較互斥項目的困難

將相互排斥的項目與不同的投資視野進行比較可能很困難。由於假定不平等的項目具有重複的投資視野，因此可以使用NPV方法比較最佳持續時間NPV。

解釋為整體變換

淨現值的時間二散公式

\mathrm {NPV} (i,N)=\sum _{t=0}^{N}{\frac {R_{t}}{(1+i)^{t}}}

也可以以連續的變化寫

\mathrm {NPV} (i)=\int _{t=0}^{\infty }(1+i)^{-t}\cdot r(t)\,dt

在哪裡

r （ t ）是每次貨幣以貨幣為單位的流動現金率，而投資結束後， r （ t ）= 0。

淨現值可以被視為與積分運算符的z轉換現金流相似的Z轉換現金流，包括從實際數字空間或更精確的s = ln（1 + i ）類似於利率i的複數s 。

F(s)=\left\{{\mathcal {L}}f\right\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt

從此遵循控制論，控制理論和系統動力學的簡化。複數數字的假想部分描述了振盪行為（與豬肉週期，蜘蛛網定理以及商品價格和供應報價之間的相位轉移相比），而實際零件負責表示複合興趣的效果（比較與阻尼）。

例子

公司必須決定是否引入新產品系列。該公司在 $t = 0$ 時立即支付100,000。回想一下，對於即將發出的現金流量，成本為負，因此現金流量為-100,000。公司假設該產品將在 $T = 1$ 開始的12年中提供同等的10,000個。為簡單起見，假設該公司在最初的100,000個成本後不會有現金流。這也使簡化的假設是，收到或支付的淨現金被集中在每年最後一天發生的一次交易中。在12年結束時，該產品不再提供任何現金流，並且沒有任何額外費用而停產。假設有效的年折現率為10％。

每年可以計算現值（ $t = 0$ 時值）：

年	現金周轉	目前價值
t = 0	${\frac {-100,000}{(1+0.10)^{0}}}$	−100,000
t = 1	${\frac {10,000}{(1+0.10)^{1}}}$	9,090.91
t = 2	${\frac {10,000}{(1+0.10)^{2}}}$	8,264.46
t = 3	${\frac {10,000}{(1+0.10)^{3}}}$	7,513.15
t = 4	${\frac {10,000}{(1+0.10)^{4}}}$	6,830.13
t = 5	${\frac {10,000}{(1+0.10)^{5}}}$	6,209.21
t = 6	${\frac {10,000}{(1+0.10)^{6}}}$	5,644.74
t = 7	${\frac {10,000}{(1+0.10)^{7}}}$	5,131.58
t = 8	${\frac {10,000}{(1+0.10)^{8}}}$	4,665.07
t = 9	${\frac {10,000}{(1+0.10)^{9}}}$	4,240.98
t = 10	${\frac {10,000}{(1+0.10)^{10}}}$	3,855.43
t = 11	${\frac {10,000}{(1+0.10)^{11}}}$	3,504.94
t = 12	${\frac {10,000}{(1+0.10)^{12}}}$	3,186.31

傳入現金流的總價值為68,136.91。即將卸下的現金流的總價值僅為時間 $t = 0$ 的100,000。因此：

\mathrm {NPV} =PV({\text{benefits}})-PV({\text{costs}})

在此示例中：

{\begin{aligned}\mathrm {NPV} &=68,136.91-100,000\\&=-31,863.09\end{aligned}}

觀察到，隨著t的增加，每種現金流量的現金流量下降時的現金流量減少。例如，最終傳入現金流的未來價值為10,000，在 $t = 12$ 時的現金流量為3,186.31的現值（ $t = 0$ ）。折扣的對立面是更複雜的。以相反的例子為例，相當於以 $t = 0$ （現值）為3,186.31投資3,186.31，利率為10％，複合了12年，這導致10,000的現金流量為 $t = 12$ （未來價值）。

在這種情況下，NPV的重要性變得很明顯。儘管傳入的現金流量（ $10,000\times12 = 120,000$ ）似乎超過了現金流量（100,000），但未使用折現率調整未來現金流量。因此，該項目似乎誤解了盈利。但是，當現金流量打折時，它表明該項目將導致淨虧損31,863.09。因此，NPV計算表明該項目應被忽略，因為對該項目進行投資相當於 $t = 0$ 時損失31,863.09。貨幣的時間價值的概念表明，除非經過調整以反映其在同一時期（在這種情況下， $t = 0$ ），否則無法準確比較現金流量。必須確定每個未來現金流量的現值，以便在不同時間段內提供現金流量之間的任何有意義的比較。這種類型的分析中有一些固有的假設：

投資者同樣可以接受的所有可能投資項目的投資範圍（例如，一個3年的項目不一定是可取的，而不是20年的項目。）
10％的折現率是適當（穩定）的利率，可折現每個項目的預期現金流。每個項目都同樣投機。
如果股東直接承擔同等的風險水平，則無法獲得超過10％的資金回報。（如果投資者可以在其他地方做得更好，則公司不應進行任何項目，並且應通過股息和股票回購將超額資本移交給股東。）

更現實的問題還需要考慮其他因素，通常包括：較小的時間存儲桶，稅收計算（包括現金流動時間），通貨膨脹，貨幣兌換波動，對沖或不良的商品成本，技術過時的風險，潛在的未來競爭性競爭力因素，不平衡或不可預測的現金流以及更現實的打撈價值假設以及許多其他因素。

一個更簡單的示例是一定時間內傳入現金流的淨現值，將贏得5億美元的Powerball彩票。如果一個人不選擇“現金”選項，他們將每年支付20年的$ 25,000,000 ，總計5億美元2.85億美元，NPV的5億美元付費。請參閱上面可能影響付款金額的“其他因素”。兩種情況都在稅前。

常見的陷阱

例如，如果該項目的_晚期通常為負面（例如，工業或採礦項目可能具有清理和恢復成本），那麼在那個階段，公司欠款，因此高折扣率並不謹慎但是太樂觀了。有些人認為這是NPV的問題。避免此問題的一種方法是包括在初始投資之後為任何損失提供資金的明確規定，即明確計算融資此類損失的成本。
另一個常見的陷阱是通過向折現率增加溢價來調整風險。儘管銀行可能會為一個風險項目收取更高的利率，但這並不意味著這是調整風險淨現值的有效方法，儘管在某些特定情況下可能是合理的近似值。從以下方面可以看出這種方法可能無法正常工作的一個原因：如果產生某些風險導致某些損失，那麼NPV的折現率將使此類損失的效果降低到其真實的財務成本以下。嚴格的風險方法需要通過精算或蒙特卡洛技術明確識別和評估風險，並明確計算融資任何損失的成本。
風險溢價的複雜性可能導致另一個問題。 R是無風險率和風險溢價的綜合。結果，未來的現金流量都被無風險利率和風險溢價所折扣，並且隨後的每個現金流都會使這種影響更加複雜。這種複合導致的NPV要比其他計算得出的要低得多。確定性同等模型可用於考慮風險溢價，而不會使其對現值的影響更加複雜。
依靠NPV的另一個問題是，它沒有提供執行某個項目的收益或損失的總體情況。為了看到相對於項目投資的百分比增益，通常，內部收益率或其他效率措施被用作NPV的補充。
非專家用戶經常根據興趣後基於現金流量計算NPV的錯誤。這是錯誤的，因為它會兼顧金錢的時間價值。自由現金流應用作NPV計算的基礎。
當使用Microsoft的Excel時，“ = NPV（...）”公式提出了兩個假設，導致解決方案不正確。首先是，輸入陣列中每個項目之間的時間量是恆定且等距的（例如，項目1和第2項之間的30天時間）可能並非總是根據所折扣現金流量正確的。第二個項目是該函數將在數組的第一個位置假設該項目為周期1不是周期零。然後，這會導致錯誤地將所有數組項目額外打折。這兩個錯誤最簡單的解決方案是使用“ = xnpv（...）”公式。

軟件支持

許多基於計算機的電子表格程序具有用於PV和NPV的內置公式。

歷史

淨現值至少可以追溯到19世紀。卡爾·馬克思（Karl Marx）將NPV稱為虛擬資本，計算為“大寫”，寫作：

虛擬資本的形成稱為資本化。每次定期重複的收入都通過根據平均利率進行計算，作為資本以這種利率來實現的收入。

在主流新古典經濟學中，NPV被正式化並由歐文·費舍爾（Irving Fisher）在1907年的利率中被正式廣泛，並從1950年代開始的教科書中包括在財務文本中。

替代資本預算方法

調整後的現值（APV）：調整後的現值，如果僅由所有權權益融資以及融資的所有收益的現值，則是項目的淨現值。
回報率（ARR）：類似於IRR和MIRR的比率
成本效益分析：包括現金以外的其他問題，例如節省時間。
內部收益率（IRR）：計算項目的回報率，同時忽略了要獲得的絕對金額。
修改後的內部收益率（MIRR）：類似於IRR，但對現金流量再投資做出了明確的假設。有時稱為增長率。
投資回收期：衡量現金流入所需的時間等於原始支出所需的時間。它衡量風險，而不是返回。
實際選項：哪個嘗試重視NPV中假定的管理靈活性。
同等年度成本（EAC）：一種資本預算技術，可用於比較兩個或多個具有不同壽命的項目。

調整後值

調整後值（APV）是Stewart Myers在1974年介紹的評估方法。這個想法是要重視該項目，就好像所有股票都融資（“未置信”），然後添加債務稅保護的現值以及其他副作用。

會計回報率

回報的會計率，也稱為平均收益率或ARR是資本預算中使用的財務比率。該比率沒有考慮到貨幣時間價值的概念。 ARR計算從擬議資本投資的淨收入產生的回報。 ARR是一個百分比回報。說，如果ARR = 7％，則意味著該項目預計將從投資（每年）的每一美元中賺取7美分。如果ARR等於或大於所需的收益率，則可以接受項目。如果小於所需率，則應拒絕。比較投資時，ARR越高，投資越有吸引力。在評估項目時，超過一半的大公司計算ARR。

成本效益分析

成本效益分析（CBA），有時也稱為福利 - 成本分析，是一種估計替代方案優勢和缺點的系統方法。它用於確定選項，該選項為獲得收益提供最佳方法，同時保存例如交易，活動和功能業務需求。 CBA可用於比較完成或潛在的行動方案，並根據決策，項目或政策的成本估算或評估價值。它通常用於評估業務或政策決策（尤其是公共政策），商業交易和項目投資。例如，在製定法規或放鬆管制之前，美國證券交易委員會必須進行成本效益分析。

要確定投資（或決定）是否合理，請確定其收益是否超過其成本。
為了比較投資（或決策）的基礎，將每個期權的總預期成本與其預期收益進行比較。

內部收益率

內部收益率（IRR）是量化項目或投資機會的優點的一種方法。該計算被稱為內部，因為它僅取決於正在分析的投資的現金流量，並排除了外部因素，例如其他地方可用的收益，無風險的利率，通貨膨脹，資本成本或財務風險。

修改的內部回報率

修改後的內部收益率（MIRR）是投資吸引力的財務指標。它用於資本預算中，對替代投資的規模相等。顧名思義，MIRR是內部收益率（IRR）的修改，因此旨在解決IRR的某些問題。

投資回收期

資本預算的投資回收期是指收回投資中支出或達到收支平衡點所需的時間。

同等年度費用

在金融中，同等年度成本（EAC）是在整個壽命中擁有和運營資產的每年成本。它是通過將項目的負NPV除以“年金因子的現值”來計算的：

$EAC={\frac {-NPV}{A_{t,r}}}$ ，在哪裡 ${A_{t,r}}={\frac {1-{\frac {1}{(1+r)^{t}}}}{r}}$

其中r是年利率，

T是年數。

另外，可以通過將項目的NPV乘以“貸款還款因素”來獲得EAC。

在比較不平等壽命的投資項目時，EAC通常用作資本預算的決策工具。但是，被比較的項目必須具有同樣的風險：否則，不得使用EAC。

該技術於1923年在工程文獻中首次討論，因此，EAC似乎是工程師採用的一種最喜歡的技術，而會計師傾向於更喜歡淨現值（NPV）分析。這種偏愛被描述為專業教育的問題，而不是對任何一種方法的實際優點進行評估。然而，在後一組中，加拿大管理會計師協會認可了EAC，早在1959年就在出版的專著中進行了討論（這是在會計教科書中首次提及NPV的一年）。

也可以看看

盈利能力指數