位置(幾何)

半徑向量代表一個點的位置關於原點O。在笛卡爾坐標系中

幾何形狀中,位置位置向量(也稱為位置向量半徑向量)是代表空間中點P歐幾里得向量。它的長度代表與任意參考原點O相關的距離,其方向代表了相對於給定的參考軸的角方向。通常表示為xrs ,它對應於從op的直線段。換句話說,正是位移翻譯將原點映射到p

術語位置向量主要用於差分幾何力學和偶爾矢量積分的田地。通常,這是在二維三維空間中使用的,但是很容易將其推廣到任何維度歐幾里得空間仿射空間

相對位置

q在點P方面的相對位置是由兩個絕對位置向量的減法(每個相對於原點)的減法而產生的歐幾里得向量:

在哪裡

兩個點之間的相對方向是它們的相對位置標準化為單位矢量

其中的分母是兩個點之間的距離, 。相對方向是一個結合向量,與普通方向相反,這是一個自由向量

定義和表示

三個維度

3D的空間曲線位置向量r通過標量t參數化。在r = a時,紅線是曲線的切線,藍色平面與曲線正常。

三個維度中,任何一組三維坐標及其相應的基礎向量都可用於定義空間點的位置 - 可以使用手頭任務的最簡單。

通常,一個人使用熟悉的笛卡爾坐標系,有時使用球形極性坐標圓柱坐標

其中t是一個參數,原因是它們的矩形或圓形對稱性。這些不同的坐標和相應的基礎向量代表相同的位置向量。更通用的曲線坐標可以使用,並且在連續力學一般相對論等上下文中(在後一種情況下,需要額外的時間坐標)。

n維度

線性代數允許抽象N維位置向量。位置向量可以表示為基礎向量的線性組合:

所有位置向量的集合構成位置空間(其元素是位置向量的向量空間),因為可以添加位置(添加向量)並縮放長度(標量乘法)以在空間中獲得另一個位置向量。 “空間”的概念是直觀的,因為每個X Ii = 1,2,…, n )可以具有任何值,因此值的收集定義了空間的點。

位置空間的尺寸n (也表示dim( r )= n )。向量r相對於基礎向量e ix i坐標。坐標的向量形成坐標矢量n -Tuplex 1x 2 ,…, x n )。

每個坐標X I可能會被參數化許多參數t 。一個參數X It )將描述一個彎曲的1D路徑,兩個參數X It 1t 2 )描述了彎曲的2D表面,三個X IT 1T 2T 3 )描述了彎曲的3D體積空間等等。

基集的線性跨度b = { e 1e 2 ,…, e n }等於位置空間r ,表示跨度( b )= r

申請

差異幾何形狀

位置向量場用於描述連續和可區分的空間曲線,在這種情況下,獨立參數不需要時間,而是(例如)曲線的電弧長度。

力學

在任何運動方程式中,位置向量rt )通常是最受歡迎的數量,因為此函數定義了粒子的運動(即一個點質量),即在某些時候相對於給定坐標系的位置

為了定義運動,每個坐標都可以按時間參數化;由於時間的每個連續值對應於坐標給出的連續空間位置的序列,因此許多連續位置的連續限制是粒子痕蹟的路徑。

在一個維度的情況下,該位置只有一個組件,因此有效地退化為標量坐標。例如,它可能是X方向或徑向R方向的向量。等效符號包括

衍生物

運動量的運動量:質量M ,位置R ,速度V ,加速度A

對於是時間t函數的位置向量r ,可以計算相對於t的時間衍生物。這些衍生物在運動學控制理論工程和其他科學的研究中具有共同的效用。

速度
其中d r無限的位移(矢量)
加速度
混蛋

這些位置的第一,第二和第三個衍生物的名稱通常用於基本運動學中。通過擴展,可以以類似的方式計算高階導數。對這些高階導數的研究可以改善原始位移函數的近似值。為了準確表示無限序列的總和,需要這樣的高階項才能準確地表示位移函數,從而實現了工程和物理學中的幾種分析技術。

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