位置(幾何)

在幾何形狀中,位置或位置向量(也稱為位置向量或半徑向量)是代表空間中點P的歐幾里得向量。它的長度代表與任意參考原點O相關的距離,其方向代表了相對於給定的參考軸的角方向。通常表示為x , r或s ,它對應於從o到p的直線段。換句話說,正是位移或翻譯將原點映射到p :
術語位置向量主要用於差分幾何,力學和偶爾矢量積分的田地。通常,這是在二維或三維空間中使用的,但是很容易將其推廣到任何維度的歐幾里得空間和仿射空間。
相對位置
點q在點P方面的相對位置是由兩個絕對位置向量的減法(每個相對於原點)的減法而產生的歐幾里得向量:
在哪裡 。
兩個點之間的相對方向是它們的相對位置標準化為單位矢量:
其中的分母是兩個點之間的距離, 。相對方向是一個結合向量,與普通方向相反,這是一個自由向量。
定義和表示
三個維度

在三個維度中,任何一組三維坐標及其相應的基礎向量都可用於定義空間點的位置 - 可以使用手頭任務的最簡單。
通常,一個人使用熟悉的笛卡爾坐標系,有時使用球形極性坐標或圓柱坐標:
其中t是一個參數,原因是它們的矩形或圓形對稱性。這些不同的坐標和相應的基礎向量代表相同的位置向量。更通用的曲線坐標可以使用,並且在連續力學和一般相對論等上下文中(在後一種情況下,需要額外的時間坐標)。
n維度
線性代數允許抽象N維位置向量。位置向量可以表示為基礎向量的線性組合:
所有位置向量的集合構成位置空間(其元素是位置向量的向量空間),因為可以添加位置(添加向量)並縮放長度(標量乘法)以在空間中獲得另一個位置向量。 “空間”的概念是直觀的,因為每個X I ( i = 1,2,…, n )可以具有任何值,因此值的收集定義了空間的點。
位置空間的尺寸為n (也表示dim( r )= n )。向量r相對於基礎向量e i是x i的坐標。坐標的向量形成坐標矢量或n -Tuple ( x 1 , x 2 ,…, x n )。
每個坐標X I可能會被參數化許多參數t 。一個參數X I ( t )將描述一個彎曲的1D路徑,兩個參數X I ( t 1 , t 2 )描述了彎曲的2D表面,三個X I ( T 1 , T 2 , T 3 )描述了彎曲的3D體積空間等等。
基集的線性跨度b = { e 1 , e 2 ,…, e n }等於位置空間r ,表示跨度( b )= r 。
申請
差異幾何形狀
位置向量場用於描述連續和可區分的空間曲線,在這種情況下,獨立參數不需要時間,而是(例如)曲線的電弧長度。
力學
在任何運動方程式中,位置向量r ( t )通常是最受歡迎的數量,因為此函數定義了粒子的運動(即一個點質量),即在某些時候相對於給定坐標系的位置。
為了定義運動,每個坐標都可以按時間參數化;由於時間的每個連續值對應於坐標給出的連續空間位置的序列,因此許多連續位置的連續限制是粒子痕蹟的路徑。
在一個維度的情況下,該位置只有一個組件,因此有效地退化為標量坐標。例如,它可能是X方向或徑向R方向的向量。等效符號包括
衍生物

對於是時間t函數的位置向量r ,可以計算相對於t的時間衍生物。這些衍生物在運動學,控制理論,工程和其他科學的研究中具有共同的效用。
這些位置的第一,第二和第三個衍生物的名稱通常用於基本運動學中。通過擴展,可以以類似的方式計算高階導數。對這些高階導數的研究可以改善原始位移函數的近似值。為了準確表示無限序列的總和,需要這樣的高階項才能準確地表示位移函數,從而實現了工程和物理學中的幾種分析技術。