需求價格彈性

好需求的價格彈性（ $\text{[math]}$ ，PED ）是對數量對其價格的敏感程度的衡量標準。當價格上漲時，幾乎所有商品的數量都會降低，但對於某些人來說，它比其他商品降低了。價格彈性使價格變化百分比變化時，價格上漲百分之一時，其他所有內容都持續不變。如果彈性為-2，則意味著1％的價格上漲會導致數量減少2％。其他彈性衡量了數量如何隨其他變量的變化（例如消費者收入變化的收入彈性）。

除特殊情況外，價格彈性是負面的。如果據說良好的彈性為2，則幾乎總是意味著良好的彈性為-2，根據正式的定義。短語“更彈性”意味著善良的彈性具有更大的幅度，而忽略了標誌。 Veblen和Giffen商品是兩類的商品，具有正彈性，對需求法的罕見例外。當彈性小於絕對價值的彈性小於一個時，對商品的需求被認為是無彈性的：也就是說，價格變化對所需數量的影響相對較小。當彈性大於一種時，對善的需求被認為是彈性的。彈性為-2的好處具有彈性需求，因為數量的需求量是價格上漲的兩倍。彈性為-0.5的彈性需求是無彈性的，因為需求變化的變化是價格上漲的一半。

儘管價格上漲，但彈性的彈性根本不會改變。

設定價格時，收入最大化，使彈性正是一種。善良的彈性可用於預測該商品稅的發生率（或“負擔”）。各種研究方法用於確定價格彈性，包括測試市場，歷史銷售數據的分析和聯合分析。

定義

響應價格變化的需求變化稱為需求的價格彈性。它也可以定義為所需數量變化百分比與特定商品價格變化的百分比之比。對商品需求的價格彈性係數的公式是：

E_{\langle P\rangle }={\frac {\Delta Q/Q}{\Delta P/P}}

在哪裡 $\text{[math]}$ 是好需求的初始價格， $\text{[math]}$ 是多少變化， $\text{[math]}$ 是善的初始數量，並且 $\text{[math]}$ 它改變了多少。換句話說，我們可以說需求的價格彈性是由於給定百分比變化而導致商品需求的百分比變化。如果要求的數量從最初的200噸起20噸後，價格從初始價格上漲了5美元，那麼所需數量的數量下降了10％，而且價格上漲了5％，因此彈性為（-10％）/ （+5％）= -2。

需求的價格彈性通常為負面，因為當價格上漲時，需求的數量會下降，如“需求法”的描述。彈性大於0的兩種罕見類別的商品（如果價格更高，消費者就會購買更多）是Veblen和Giffen商品。由於需求的價格彈性對於絕大多數商品和服務的價格為負（與大多數其他彈性不同，這些彈性均取決於良好的價值和負值），因此經濟學家通常會刪除“負”一詞或減去標誌並參考對於需求的價格彈性為正價值（即，絕對價值項）。他們會說“遊艇具有兩個彈性”，這意味著彈性為-2。這是學生混亂的常見來源。

根據其彈性，據說有彈性需求（> 1），非彈性需求（<1）或單一彈性需求（= 1）。如果需求是彈性的，那麼所需的數量對價格非常敏感，例如，當價格上漲1％時，數量減少了10％。如果需求是無彈性的，那麼商品的需求對價格相對不敏感，數量的變化小於價格。如果需求是統一的彈性，則數量恰好下降了價格上漲的百分比。兩個重要的特殊情況是完全彈性的需求（=∞），即使價格的較小上漲也將需求量的數量降低到零。而且完全無彈性的需求（= 0），價格上漲使數量保持不變。上述彈性的衡量標準有時被稱為對善的需求的自身價格彈性，即，對貨物的價格彈性，以將其與對善的需求的彈性區分開來改變其他商品的價格，即獨立，補充或替代商品的價格。兩種良好的彈性被稱為需求的交叉價格彈性。如果汽油價格上漲1％會導致需要的汽車數量下降0.5％，則交叉價格的彈性為 $\text{[math]}$

隨著價格變化的大小變化，彈性定義的組合有兩個原因而變得不那麼可靠。首先，好的彈性不一定是恆定的。它在需求曲線的不同點上有所不同，因為價格變化1％具有數量效應，可能取決於初始價格高還是低。與常見的誤解相反，即使沿線需求曲線，價格彈性也不是恆定的，而是沿曲線變化。可以肯定的是，線性需求曲線的斜率是恆定的，但是即使 $\text{[math]}$ 是恆定的。確實存在一種非線性需求曲線形狀，彈性是恆定的： $\text{[math]}$ ，在哪裡 $\text{[math]}$ 是轉移常數， $\text{[math]}$ 是彈性。

其次，百分比變化不是對稱的。取而代之的是，任意兩個值之間的百分比變化取決於選擇哪個值作為起始人值以及哪個最終值。例如，假設當價格從10美元上漲至16美元時，數量從100個單位下降到80。這是價格上漲60％，數量下降20％，彈性的價格為20％ $\text{[math]}$ 對於需求曲線的那部分。如果價格從16美元下降到10美元，數量從80個單位上升到100，但是價格下跌為37.5％，數量增長為25％，彈性為 $\text{[math]}$ 對於曲線的同一部分。這是索引編號問題的示例。

使用彈性定義的兩種改進來處理基本彈性公式的這些缺點：電弧彈性和點彈性。

弧彈性

休·道爾頓（Hugh Dalton）很早就引入了電弧彈性。它與普通的彈性問題非常相似，但是在索引編號問題中增加了。 ARC彈性是對不對稱問題的第二個解決方案，其彈性取決於需求曲線上的兩個給定點中的哪個是“原始”點將和哪個“新”，而“新”是為了計算計算百分比變化的百分比變化。 P和Q相對於兩個價格的平均值和兩個數量的平均值，而不僅僅是相對於一個點或另一點的變化。寬鬆地說，這給出了兩個點之間的實際需求曲線部分（即曲線的弧線）的“平均”彈性。結果，在這種情況下，這種措施被稱為弧彈性。弧彈性在數學上被定義為：

E_{d}={\frac {\left({\frac {P_{1}+P_{2}}{2}}\right)}{\left({\frac {Q_{d_{1}}+Q_{d_{2}}}{2}}\right)}}\times {\frac {\Delta Q_{d}}{\Delta P}}={\frac {P_{1}+P_{2}}{Q_{d_{1}}+Q_{d_{2}}}}\times {\frac {\Delta Q_{d}}{\Delta P}}

這種計算價格彈性的方法也稱為“中點公式”，因為平均價格和平均數量是兩個給定點之間直線中點的中點的坐標。該公式是中點方法的應用。但是，由於該公式隱含地假設這些點之間需求曲線的截面是線性的，因此實際需求曲線的曲率越大，其彈性的近似值就會越嚴格。

點彈性

需求方法的點彈性用於確定需求曲線內需求的變化，基本上，需求的變化是通過點彈性來衡量的。避免上述準確性問題的一種方法是最大程度地減少起價和最終價格和數量之間的差異。這是點彈性定義中採用的方法，該方法使用差分計算在需求曲線上任何給定點的價格和數量的無限變化的彈性：

E_{d}={\frac {\mathrm {d} Q_{d}}{\mathrm {d} P}}\times {\frac {P}{Q_{d}}}

換句話說，它等於第一個數量的絕對值 $\text{[math]}$ 乘以點的價格（ p ）除以其數量（ q _d ）。但是，只有在需求函數的公式，才能計算點彈性， $\text{[math]}$ ，因此，它的衍生品在價格方面， $\text{[math]}$ ，可以確定。

就部分差分計算而言，需求的點彈性可以定義如下：令 $\text{[math]}$ 成為商品的需求 $\text{[math]}$ 作為參數價格和財富的函數，讓 $\text{[math]}$ 對好的需求 $\text{[math]}$ 。對良好需求的彈性 $\text{[math]}$ 關於價格 $\text{[math]}$ 是

E_{x_{\ell },p_{k}}={\frac {\partial x_{\ell }(p,w)}{\partial p_{k}}}\cdot {\frac {p_{k}}{x_{\ell }(p,w)}}={\frac {\partial \log x_{\ell }(p,w)}{\partial \log p_{k}}}

歷史

加上經濟“彈性”係數的概念，阿爾弗雷德·馬歇爾（Alfred Marshall）在1890年發表的經濟學原則中定義了“需求彈性”。阿爾弗雷德·馬歇爾（Alfred Marshall）在發明了彈性概念後僅四年才發明了需求的價格彈性。。他利用Cournot的基本創建需求曲線來獲取需求價格彈性的方程式。他將需求的價格彈性描述為：“我們一般可以說： - 市場需求中需求的彈性（或響應性）很大或很小，因為對於給定的價格下跌，需求的增加或很少，並且減少了價格上漲的大部分或很少”。他認為這是因為“關於一個人對商品的渴望的唯一普遍定律是它減少了……但是這種減少可能會很慢或迅速。如果它很慢……價格下跌會導致相對較大的價格他的購買增加了。但是，如果價格迅速，價格下跌只會導致他購買的價格很小。在前一種情況下……他的需求的彈性很棒。案例...他需求的彈性很小。 ”從數學上講，馬歇爾PED是基於點價格定義的，使用差分來計算彈性。

決定因素

確定彈性的壓倒性因素是價格變化後，消費者的意願和能力是推遲有關善良並尋找替代品的即時消費決策（“等待和尋找”）。因此，許多因素會影響對商品需求的彈性：

替代商品的可用性: 可用的替代品越近，彈性的可能性就越高，如果人們的價格變化較小，人們就可以輕鬆地從一種商品轉換為另一種好處。有很強的替代效果。如果沒有可用的替代品，則替代效果將很小，需求不彈性。
善的定義廣度: 善（或服務）的定義越廣，彈性就越低。例如，如果有大量替代品，X公司的魚和薯條的需求彈性往往會相對較高，而通常食物的需求彈性非常低，因為不存在替代品。特定的食物（冰淇淋，肉，菠菜）或其中的家庭（乳製品，肉類，海產品）可能會更加彈性。
收入百分比: 產品價格所代表的消費者收入的百分比越高，彈性越高，因為人們在購買商品時會增加關注，因為其成本；收入效應很大。當貨物僅代表預算的一部分時，收入效應將是微不足道的，需求不彈性，
必要性: 越必要的好處是，彈性越低，無論價格如何，人們都會嘗試購買彈性，例如胰島素對於需要它的胰島素。
期間: 對於大多數商品而言，價格變化的時間越長，彈性的可能性就越高，因為越來越多的消費者發現他們有時間和傾向於尋找替代品。例如，當燃油價格突然上漲時，消費者在短期內仍可能會填充空的坦克，但是當價格在幾年內保持高價時，更多的消費者將通過改用拼車或公共交通來減少對燃料的需求，並投資車輛。燃油經濟性更高或採取其他措施。但是，這不適合諸如汽車本身之類的消費者耐用物。最終，消費者可能有必要替換目前的汽車，因此人們期望需求減少彈性。
品牌忠誠度: 對某個品牌的依戀（無論是出於傳統還是由於專有的障礙），可以超越對價格變化的敏感性，從而導致更多的彈性需求。
誰付款: 如果購買者不直接支付他們消耗的貨物（例如使用公司費用帳戶），則需求可能會更加彈性。
上癮性: 本質上更令人上癮的商品往往具有非彈性PED（PED <1的絕對價值）。此類例子包括香煙，海洛因和酒精。這是因為消費者將這種商品視為必需品，因此儘管價格發生了重大變化，但被迫購買它們。

與邊際收入有關

以下等式保留：

R'=P\,\left(1+{\dfrac {1}{E_{d}}}\right)

在哪裡

r '是邊際收入

P是價格

證明：

將總收入定義為r

R'={\frac {\partial R}{\partial Q}}={\frac {\partial }{\partial Q}}(P\,Q)=P+Q\,{\frac {\partial P}{\partial Q}}

E_{d}={\dfrac {\partial Q}{\partial P}}\cdot {\dfrac {P}{Q}}\Rightarrow E_{d}\cdot {\frac {Q}{P}}={\frac {\partial Q}{\partial P}}\Rightarrow {\frac {P}{E_{d}\cdot Q}}={\frac {\partial P}{\partial Q}}

R'=P+Q\cdot {\frac {P}{E_{d}\cdot Q}}=P\,\left(1+{\frac {1}{E_{d}}}\right)

在需求曲線和邊際收入曲線的圖表上，在邊際收入為正的所有數量上，需求將是彈性的。需求是單位彈性的，在邊際收入為零的數量上。在邊際收入為負數的所有數量上，需求都是無彈的。

對整個收入的影響

考慮價格變動的公司必須知道價格變化對總收入的影響會產生什麼影響。收入只是單價時間數量的產物：

{\text{Revenue}}=PQ_{d}

通常，任何價格變化都會有兩種影響：

價格效果: 對於非彈性商品，單價上漲將傾向於增加收入，而價格下降將傾向於下降。（彈性商品的效果是逆轉的）。
數量效應: 單價上漲的上漲將往往會導致銷售的單位較少，而單價下跌將傾向於導致銷售更多的單位。

對於非彈性貨物，由於價格和數量之間關係之間的關係反向性質（即需求法則），這兩種影響會影響相反方向的總收入。但是，在確定價格上漲還是降低價格時，公司需要知道淨效果將是什麼。彈性提供了答案：總收入的百分比變化大約等於所需數量的百分比變化以及價格變化百分比。（一個變化將是正面的，另一個是負面的。）數量的百分比變化與彈性的價格變化百分比有關：因此，收入的百分比變化可以通過知道彈性和單獨價格變化的百分比來計算。

結果，彈性和收入之間的關係可以以任何物品來描述：

當對商品需求的價格彈性是完全無彈性的（ E _D = 0）時，價格的變化不會影響對商品所需的數量。提高價格將始終導致總收入增加。可以在這裡歸類生存所需的商品；如果另一種選擇是死亡，理性的人將願意為商品支付任何費用。例如，一個沙漠中的一個人虛弱而渴的渴望，無論他多麼死亡，他的錢來都會很容易地給他錢包裡的所有錢，無論他多麼死。他的需求並不取決於價格。
當需求的價格彈性相對非彈性（-1 < e _d <0）時，所需數量的百分比變化的百分比小於價格的百分比。因此，當價格提高時，總收入增加，反之亦然。
當需求的價格彈性為單位（或單一）彈性（ E _D = -1）時，所需數量的變化百分比等於價格，因此價格變化不會影響總收入。
當需求的價格彈性相對彈性（-∞< e _d <−1）時，所需數量的變化百分比大於價格的百分比。因此，當價格提高時，總收入下跌，反之亦然。
當需求的價格彈性是完全彈性的（ E _D是-∞ ）時，價格的任何上漲，無論多麼小，都會導致數量需要降低到零。因此，當價格提高時，總收入降至零。這種情況對於具有法律定義的價值（例如法定貨幣）的商品是典型的；如果以超過五美元的價格出售了五美元的賬單，沒有人會購買（除非有經濟笑話的需求]具有自己的固有價值）。

因此，正如隨附的圖所示，在需求彈性是單一的情況下，價格和數量的結合，總收入最大化。

重要的是要意識到，需求的價格彈性不一定在所有價格範圍內穩定。隨附圖中的線性需求曲線說明價格的變化也會改變彈性：曲線上每個點的價格彈性都不同。

對稅收率的影響

需求彈性與供應的價格彈性結合使用，可以用來評估每單位稅的發生率（或“負擔”）在何處下降，或者預測徵收稅收的情況下會下降。例如，當需求完全無彈性時，從定義上講，如果價格上漲，消費者別無選擇，可以購買商品或服務，因此所需數量將保持恆定。因此，供應商可以通過全部稅額提高價格，消費者最終將支付全部費用。在相反的情況下，當需求完全彈性時，如果價格上漲，消費者俱有無限能力切換到替代方案的能力，因此他們將停止完全購買相關的商品或服務 - 要求的水平將降至零。結果，公司不能通過提高價格來通過任何部分稅，因此他們將被迫自己支付所有稅款。

實際上，需求可能只有相對彈性或相對不彈性，即在極端彈性或非彈性的極端情況之間。那麼，與PES相比，需求的彈性越高，生產者負擔的負擔越重。相反，與供應相比，需求越多，對消費者的負擔越重。一般的原則是，通過切換到替代方案，該黨（即消費者或生產者）避免稅收的機會較少，將承擔更大比例的稅收負擔。最後，整個稅收負擔是由各個家庭承擔的，因為它們是公司使用的生產手段的最終所有者（請參閱收入的循環流）。

PED和PE也可能影響與稅收制度相關的死權損失。當PED，PES或兩者都是無彈性時，死權損失低於具有較高彈性的可比情況。

最佳定價

價格彈性的最常見應用之一是確定最大化收入或利潤的價格。

持續的彈性和最佳定價

如果使用一個點彈性來對有限價格範圍的需求變化進行建模，則彈性在有限價格範圍內隱含地假定為恆定。可以將定義一個產品的價格彈性的方程式重寫（省略輔助變量）作為線性方程。

LQ=K+E\times LP

在哪裡

\text{[math]}

是彈性，而且

\text{[math]}

是常數。

同樣，交叉彈性方程的 $\text{[math]}$ 產品可以寫為一組 $\text{[math]}$ 同時線性方程。

LQ_{\ell }=K_{\ell }+E_{\ell ,k}\times LP^{k}

在哪裡

\text{[math]}

和

\text{[math]}

，和

\text{[math]}

是常數；字母索引的外觀作為上索引和同一術語中的較低索引意味著對該索引的總結。

該方程式的這種形式表明，在價格範圍內假定恆定的點彈性無法確定什麼價格產生的最大值 $\text{[math]}$ ;同樣，他們也無法預測產生最高的價格 $\text{[math]}$ 或最大收入。

恆定彈性只能通過在幾個方面計算點彈性來預測最佳定價，以確定價格彈性等於-1（或者對於多種產品，彈性矩陣是負身份矩陣的一組價格）。

非固定彈性和最佳定價

如果擴展價格彈性的定義以在需求單位之間產生二次關係（ $\text{[math]}$ ）和價格，然後可以計算最大化的價格 $\text{[math]}$ ，，，， $\text{[math]}$ 和收入。一種產品的基本方程

LQ=K+E_{1}\times LP+E_{2}\times LP^{2}

並且幾種產品的相應方程式變為

LQ_{\ell }=K_{\ell }+E1_{\ell ,k}\times LP^{k}+E2_{\ell ,k}\times (LP^{k})^{2}

Excel模型可用來計算持續的彈性，並使用非固定彈性來估計價格，以優化一種產品或多種產品的收入或利潤。

收入最大化策略的局限性

在大多數情況下，例如具有非零可變成本的情況，最大化價格的價格不是利潤最大化的價格。對於這些情況，使用一種技術最大化是更合適的。

選定的價格彈性

各種研究方法用於計算現實生活中的價格彈性，包括對公共和私人的歷史銷售數據的分析，以及對客戶偏好的當今調查，以建立能夠建模此類更改的測試市場。另外，可以使用聯合分析（可以對用戶偏好的排名進行統計分析）。在偏好獨立條件下，可以根據需求的收入彈性來計算價格彈性的近似估計。這種方法已通過一系列商品（例如食品，醫療保健，教育，娛樂等）在經驗上得到了驗證。

儘管大多數需求時間表的彈性因價格而異，但可以假設它們持續彈性進行建模。使用這種方法，各種商品的彈性（旨在充當上述理論的例子）如下。有關這些商品和服務為什麼可能顯示出彈性的建議，請參見上面的有關價格彈性決定因素的部分。

香煙（美國）
- -0.3至-0.6（一般）
- -0.6至-0.7（青年）
酒精飲料（美國）
- 截至1972年（啤酒）-0.3或-0.7至-0.9
- -1.0（葡萄酒）
- -1.5（烈酒）
航空公司旅行（美國）
- -0.3（頭等艙）
- -0.9（折扣）
- -1.5（享樂旅行者）
家畜
- -0.5至-0.6（肉雞）
石油（世界）
- −0.4
汽車燃料
- -0.09（短期）
- -0.31（長期）
- -0.085至-0.13（2013年沙特阿拉伯短期價格變化的非線性變化）
電影院參觀（我們）
- -0.87（常規）
現場表演藝術（劇院等）
- -0.4至-0.9
醫學（美國）
- -0.31（醫療保險）
- -0.03至-0.06（兒科訪問）
專利
- −0.45
米
- -0.47（奧地利）
- -0.8 0 （孟加拉國）
- -0.8 0 （中國）
- -0.25（日本）
- -0.55（我們）

商標
- -0.25至-0.40（國際市場）
運輸
- -0.20（公共汽車旅行我們）
- -2.8 0 （福特緊湊型汽車）
- -0.52（通勤停車）
大麻（美國）
- −0.655
軟飲料
- -0.8至-1.0（一般）
- -3.8（可口可樂）
- -4.4（山露）
鋼
- -0.2至-0.3
電信
- -0.405（移動）
- -0.434（寬帶）
蛋
- -0.1（美國：家庭）
- -0.35（加拿大）
- -0.55（南非）
高爾夫球
- -0.3至-0.7
大學教育
- 接近0