Mathematica

Mathematica Principia （通常縮寫的PM ）是一項三卷，在數學家 - 菲洛森（Philosophers）撰寫的數學基礎上，Alfred North Whitehead和Bertrand Russell撰寫，並於1910年，1912年，1912年和1913年出版。版本具有第二版的重要介紹，附錄A取代了✱9和全新的附錄B和附錄c 。 PM被認為是羅素（Russell）1903年《數學原理》的續集，但正如PM所說，這成為一個不可行的建議，出於實用和哲學的原因：“目前的工作最初是由我們組成的，以第二卷的數學原理構成...但是隨著我們的進步，越來越明顯的是，這個主題比我們想像的要大得多；此外，在許多基本問題上，這些問題在以前的作品中變得晦澀難懂和令人懷疑，我們現在已經到達了我們的一切認為是令人滿意的解決方案。”

PM根據引言的三個目的：（1）最大程度地分析數學邏輯的思想和方法，並最大程度地減少原始概念，公理和推論規則的數量； （2）使用精確表達式允許的最方便符號准確地表達符號邏輯中的數學命題； （3）解決在20世紀初困擾邏輯和設定理論的悖論，就像羅素的悖論一樣。

第三個目標促使PM中採用類型理論。類型理論對公式採用語法限制，這些公式排除了對階級，屬性和功能的不受限制理解。這樣做的結果是，諸如Russell集合之類的物體的公式被證明是不明式的：它們違反了PM系統的語法限制。

毫無疑問， PM在數學和哲學史上非常重要：正如歐文（Irvine）所指出的那樣，它引起了對象徵邏輯的興趣，並通過普及來提高了該主題。它展示了符號邏輯的力量和能力；它展示了數學哲學和象徵性邏輯哲學的進步如何與巨大的富有成果齊頭並進。確實， PM部分是由於對邏輯主義的興趣所帶來的，所有數學真理都是邏輯真理的觀點。部分原因是PM在PM中的進步，儘管存在缺陷，但在包括Gödel的不完整定理中取得了許多進步。

儘管如此， PM符號不再被廣泛使用：這可能是最主要的原因是，實踐數學家傾向於假設背景基礎是Zermelo -Fraenkel Set理論的一種形式。儘管如此，對PM的學術，歷史和哲學興趣是偉大而又持續的：例如，現代圖書館將其列入了20世紀前100名英語非小說類書籍列表中。在同行評審的斯坦福大學哲學百科全書和學術研究人員繼續與Principia合作，無論是出於理解文本還是其作者的歷史原因，還是出於理解或發展原理的邏輯原因，也有多篇有關這項工作的文章。系統。

奠定基礎範圍

原理僅涵蓋了設定的理論，基數，序數和實數。不包括來自真實分析的更深入的定理，但是到第三卷結束時，專家清楚地表明，在採用的形式主義中，原則上可以開發大量已知的數學。同樣清楚的是，這種發展會多麼冗長。

計劃了幾何基礎的第四卷，但作者在第三次完成後承認智力精疲力盡。

理論基礎

正如KurtGödel對理論的批評中所指出的那樣，與形式主義理論不同， PM的“邏輯”理論沒有“正式主義語法的精確陳述”。此外，在理論中，幾乎可以立即觀察到，解釋（從模型理論意義上）是根據符號“⊢”（事實的主張），“〜”（邏輯上的）的真實價值來提出的。 ，和“ V”（邏輯包含或）。

真實價值： PM將“真實”和“虛假”的概念嵌入了概念“原始命題”中。原始的（純）形式主義理論不會提供形成“原始命題”的符號的含義 - 符號本身可能是絕對的任意和陌生的。該理論只會根據理論的語法來指定符號的行為方式。然後，通過分配“值”，模型將指定公式所說的內容的解釋。因此，在下面的正式kleene符號中，在括號中給出了符號通常含義的“解釋”，以及通過其最終如何被使用的暗示，例如“¬（不）”。但這不是純粹的形式主義理論。

當代建構形式理論

以下形式主義理論與PM的邏輯理論形成鮮明對比。當代正式系統將被構造如下：

1. 所使用的符號：此集合是開始集，其他符號可以出現，但僅根據這些開始符號定義。起始集可能是從Kleene 1952的以下集合：邏輯符號：“→”（表示，如果是，則為if-then和“⊃”），“＆”（and），“ v”（or），“ ”（“”（不是），“∀”（所有），“∃”（存在）；謂詞符號“ =”（等於）;功能符號“+”（算術添加），“∙”（算術乘法），'“”（繼任者）;單個符號“ 0”（零）;變量“ A ”，“ B ”，“ C ”等；和括號”（“和”）。
2. 符號字符串：該理論將通過串聯（並置）構建這些符號的“字符串”。
3. 形成規則：該理論指定語法規則（語法規則）通常為遞歸定義，以“ 0”開頭，並指定瞭如何構建可接受的字符串或“良好形式的公式”（WFFS）。這包括一個“替換”字符串的規則，用於稱為“變量”的符號。
4. 轉換規則：指定符號和符號序列行為的公理。
5. 推論，脫離法則 ：允許該理論從導致它的“前提”中“分離”一個“結論”的規則，然後丟棄“前提”（線的左側符號，或在行上方的符號，如果水平的）。如果不是這種情況，那麼替換將導致越來越長的字符串必須向前攜帶。的確，在使用Modus Ponens之後，除了結論之外，什麼都沒有，其餘的人永遠消失了。
   當代理論通常將其第一個公理指定為古典或作案波段或“超脫規則”：
   a ， a⊃b | b
   符號“│”通常寫為水平線，在這裡“⊃”表示“暗示”。符號A和B是字符串的“固定”。這種符號形式稱為“公理架構”（即，符號可能採用的特定形式數量可計）。可以以類似於IF的方式讀取這一點，但具有差異：如果A和A表示b，則符號字符串，則B （僅保留B供進一步使用）。但是這些符號沒有“解釋”（例如，沒有“真相表”或“真實價值”或“真相功能”），而模式ponens僅通過語法就可以機械地進行。

建造

PM的理論既有與當代形式理論的顯著相似之處，又具有相似的差異。克萊恩（Kleene）指出：“從邏輯中扣除數學是直觀的公理學。公理旨在被相信，或者至少被認為是與世界有關的合理假設。”確實，與按照語法規則操縱符號的形式主義理論不同， PM介紹了“真實價值”的概念，即現實世界中的真理和虛假，實際上是“真理的主張”，幾乎是第五個和理論結構中的第六個要素（ PM 1962：4-36）：

1. 變量
2. 使用各種字母
3. 命題的基本函數：“〜”象徵的“矛盾函數”以及以“∨”為像徵的“邏輯總和或分離函數”被視為定義的原始和邏輯含義（下面的示例也用於說明9.下面的定義。 ） 作為
   p⊃q 。 _ = 。 〜P∨ Q DF 。 （ PM 1962：11）
   和邏輯產品定義為
   p 。問。 = 。 〜（ 〜p∨〜q ） df 。 （ PM 1962：12）
4. 等效性：邏輯等效性，而不是算術等效性：“柵極”作為用作符號的使用方式的證明，即，”因此，' p程q '代表'（ p q ） 。 （ q⊃ p ） '。 （ PM 1962：7）。請注意，討論符號PM標識“ [space] ... [space]”：：
   邏輯等價再次出現為一個定義：
   p 。 _ = 。 （ p⊃Q ） 。 （ Q⊃p ）（ PM 1962 ：12），
   注意括號的外觀。這種語法用法未指定，並且偶爾出現。括號確實在符號字符串中起著重要作用，但是，對於當代“ x ”，例如，符號“（ x ）”。
5. 真實價值：“命題的'真實價值'是真實的，如果是真實的，如果它是錯誤的，則虛假”（這句話是由於Gottlob Frege造成的）（ PM 1962：7）。
6. 斷言：“' ' ⊦。p可以讀''的確， '... so'so''⊦ ： p。⊃。q '的意思是'確實是p ， p 。 。 _ _ _ _ _ _
7. 推理： PM的Modus Ponens版本。 “ [如果]' ⊦。p '和'⊦（ p⊃q ）'發生了，則如果需要將其記錄在記錄下，就會發生' ⊦。Q '。推斷的過程不能簡化為符號。它的唯一記錄是出現“ ⊦。q ” [換句話說，左側的符號消失或可以消除]”（ PM 1962：9）。
8. 點的使用
9. 定義：這些在右端使用“ df”的“ =”符號。
10. 前面陳述的摘要：對原始思想“ 〜p ”和“ p Q ”和“⊦”的簡要討論，前綴符合命題。
11. 原始命題：公理或假設。這在第二版中得到了顯著修改。
12. 命題函數：第二版中“命題”的概念受到了顯著修改，包括通過邏輯符號鏈接的“原子”命題的引入，以形成“分子”命題，以及將分子命題取代到原子或分子命題中創建新表達式。
13. 值範圍和總變化
14. 模棱兩可的斷言和實際變量：在第二版中修改或放棄了這兩個部分。特別是，在第二版中放棄了第15節中定義的概念之間的區別。
15. 正式的含義和形式上的等價
16. 身份
17. 階級和關係
18. 關係的各種描述功能
19. 複數描述函數
20. 單位類

原始想法

參見1962 ：90–94，第一版：

• （1）基本命題。
• （2）功能的基本命題。
• （3）斷言：介紹“真理”和“虛假”的概念。
• （4）主張命題函數。
• （5）否定：“如果p是任何命題，則命題“ not- p ”或“ p是錯誤的”，將由“ 〜p ”代表。
• （6）析取：“如果p和q是任何命題，則命題“ p或q ，ie”， p是正確的，或者q是真實的，在其中替代方案不是相互排斥的，將由“ P表示” 。 ∨Q “”。
• （參見B節）

原始命題

第一版（請參見下面的討論，下面的討論）始於標誌“⊃”的定義。

✱1.01 。 p⊃q 。 _ = 。 〜P∨ Q。 DF 。

✱1.1 。真正的基本命題所暗示的任何東西都是真實的。 PP Modus Ponens

（ ✱1.11在第二版中被放棄。）

✱1.2 。 ⊦ ： P p 。 ⊃ 。 p 。 PP重言式原則

✱1.3 。 ⊦ ： q 。 ⊃ 。 p∨q 。 PP添加原理

✱1.4 。 ⊦ ： p∨Q 。 ⊃ 。 Q∨p 。 PP置換原則

✱1.5 。 ⊦ ： p∨ （ q∨r ） 。 ⊃ 。 Q∨ （ P r ）。 PP協會原則

✱1.6 。 ⊦ ：。 Q r 。 ⊃ ： p∨Q 。 ⊃ 。 p 。 PP總和原理

✱1.7 。如果p是基本命題，則〜p是基本命題。 pp

✱1.71 。如果p和q是基本命題，則p∨q是基本命題。 pp

✱1.72 。如果φp和ψp是基本命題的基本命題函數，將基本命題作為參數，則φp∨ψp是一個基本命題。 pp

連同第二版的附錄A放棄了整個第9部分。這包括六個原始命題✱9至✱9.15以及可降低性的公理。

通過引入Sheffer中風（“ |”）來象徵“不兼容”（即，如果兩個基本命題p和q都是真實的，則使修訂的理論變得困難。 nand （not-）。在修訂的理論中，引言列出了“原子命題”的概念，即“屬於邏輯的哲學部分”的“基準”。這些沒有命題的部分，並且不包含“全部”或“某些”的概念。例如：“這是紅色”或“這比那更早”。這樣的東西可以存在，即，即使他們的“無限枚舉”以取代“一般性”（即，“全部”的概念）。然後，然後“前進到分子命題”，這些命題都由“中風”鏈接。定義給出了“〜”，“∨”，“⊃”和“ 。 ”的等價。

新簡介將“基本命題”定義為原子和分子位置。然後，它用單個原始命題代替了所有原始命題✱1.2至✱1.72 ，用中風構成的單個原始命題：

“如果p ， q ， r是基本命題，則可以給定p和p |（ q | r ），我們可以推斷r 。這是一個原始命題。”

新簡介將“存在”（現在為“有時為true”）和“全部”（重新鑄造為“始終為true”）保持符號。附錄A加強了“矩陣”或“謂詞函數”（“原始思想”， PM 1962：164）的概念，並將四個新的原始命題呈現為✱8.1–✱8.13 。

✱88 。乘法公理

✱120 。無窮大的公理

後果分支和降低的公理

在簡單類型的理論中，對像是各種“類型”的元素。類型隱含地構建如下。_{如果τ1 ，} ... _{， τm}是_類型在集合理論中，這本質上是_τ1 ×...× _τm的子集的集合。特別是有一個命題的類型，並且可能有一種“個人”的類型（IOTA）構建了其他類型。羅素（Russell）和懷特海德（Whitehead）從其他類型中建立類型的符號相當麻煩，這裡的符號歸因於教堂。

在PM的分支類型理論中，所有對像都是各種分離類型的元素。分支類型的類型被隱式地構建，如下所示。如果_τ1 ，...，...， _τm ， _σ1 ，...， _σn被分解了類型，則像簡單類型的理論一樣（ _τ1 ，...，...， _τm ， _σ1 ，... _τ1 ，...， _τm ， _σ1 ，...， _σn的“謂詞”命題函數的， _σn ）。但是，也有分支類型（ _τ1 ，...， _τm | _σ1 ，...， _σn ）可以認為是從_τ1的命題函數類別，... _τm從通過量化_σ1 ，...， _σn的命題函數（ τ1，...， _... ， _τm ， _σ1 ，...， _σn ）。當n = 0（因此沒有σs）時，這些命題函數稱為謂語函數或矩陣。這可能會令人困惑，因為現代數學實踐不能區分謂語和非呈現功能，並且在任何情況下，PM永遠不會確切地定義“謂詞函數”實際上是什麼：這是一種原始概念。

羅素（Russell）和懷特黑德（Whitehead）發現，在維持謂語和非培養函數之間的差異的同時，不可能開發數學，因此他們引入了可降低性的公理，說對於每個非預義函數，都有相同值的謂語函數。在實踐中，該公理本質上是指（ _τ1 ，...， _τm | _σ1 ，...， _σn ）的元素可以用類型（ _τ1 ，...，...， _τm）識別。 ），這會導致分支類型的層次結構崩潰為簡單類型的理論。 （嚴格來說，PM允許兩個命題函數在所有參數上具有相同的價值觀，這與現代數學實踐不同，在現代數學實踐中，通常一個人通常會標識兩個這樣的功能。）

在Zermelo集理論中，可以如下對PM的分支類型理論進行建模。一個人選擇一套是個人的類型。例如，我可能是一組自然數，也可能是原子集（在具有原子的集合理論中）或任何其他集合感興趣的原子。然後，如果_τ1 ，...， _τm是類型，則類型（ _τ1 ， ...， _τm ）是乘積_τ1 ×...× _τM的功率集，也可以非正式地將其視為該產品（命題謂詞）函數的集合。 - 元素集{true，false}。分支類型（ _τ1 ，...， _τm | _σ1 ，...， _σn ）可以建模為類型的乘積（ _τ1 ，...，...， _τm ， _σ1 ，... ， _σN ）帶有N量詞（∀或∃）的序列集，該序列指示應應用於每個變量_σi的量詞。 （一個人可以通過允許以任何順序量化σ來稍微改變這一點，或者允許它們在某些τs之前發生，但是除了簿記以外，這幾乎沒有什麼不同。

符號

一位作者觀察到：“這項工作的符號已被20世紀隨後的邏輯發展所取代，以至於初學者根本沒有閱讀PM的範圍”；儘管許多符號內容都可以轉換為現代符號，但原始符號本身是“學術爭議的主題”，並且某些符號“體現了實質性的邏輯學說，因此不能簡單地被當代象徵主義代替。

庫爾特·戈德爾（KurtGödel）對符號非常批評：“最重要的是，即使在證據的統計中必要的情況下，省略了形式主義語法的確切陳述。”這反映在下面的示例“ p ”，“ q ”，“ r ”和“ th”的示例中，可以形成字符串“ p⊃q r ”。 PM需要定義此符號在其他符號方面的含義；在當代治療中，“形成規則”（導致“形成良好公式”的句法規則）將阻止該字符串的形成。

符號的來源：第一章“思想和符號的初步解釋”始於符號的基本部分的來源（符號=⊃⊃ -λvε和點系統）：

“本工作中採用的符號是基於Peano的，以下解釋在某種程度上是基於他前綴前綴Mathematico的模型[IE，Peano 1889]。他的許多符號也是如此”（ PM 1927：4）。

PM將Peano的ɔ改為⊃，還採用了Peano後來的一些符號，例如℩和i，Peano的練習顛倒了字母。

PM從弗雷格（Frege）1879年的Begriffsschrift中採用斷言標誌“⊦”：

“（i）可能會讀'這是的確，'”

因此，要斷言pm pm的命題：

“ ⊦。p 。 ” （ PM 1927：92）

（觀察到，與原始點一樣，左點是正方形的，大小大於右側的整個停止。）

PM中其餘的大部分符號都是由Whitehead發明的。

“數學邏輯”符號介紹（公式✱1–✱5.71）

PM的點的使用方式類似於括號。每個點（或多個點）代表左或右括號或邏輯符號。一個以上的點表示括號的“深度”，例如，“ 。 ”，“ ： ”或“ ：。 ”，“” :: “。但是，右括號或左括號的位置並未在符號中明確指示，而必須從某些複雜且有時模棱兩可的規則中推導出來。此外，當點代表邏輯符號時，必須使用類似規則來推導其左右操作數。第一個必須基於上下文決定圓點是否代表左或右括號或邏輯符號。然後，一個人必須決定另一個相應的括號是多遠：在這裡繼續進行，直到一個人遇到較大數量的點，或者接下來具有相等或更大的“力”或線末端的接下來數量的點。符號旁邊的點⊃，=，= df的力比（ x ），（ ∃x ）等旁邊的點大的點，其力比指示邏輯產物的點更大。

示例1.行

✱3.4 。 ⊢ ： p 。問。 ⊃ 。 p⊃q

對應於

⊢（（p∧q）⊃（p⊃q））。

斷言 - 符號之後的兩個點站在一起表明，所斷言的是整個行：由於有兩個，因此它們的範圍大於其右邊任何一個點的範圍。它們被左括號的站立在圓點所在的位置和公式末端的右括號所取代，因此：

⊢ （ p。Q。Y。P⊃Q ）。

（實際上，這些包裹整個公式的最外層的括號通常被抑制。）單個點中的第一個位於兩個命題變量之間，代表連詞。它屬於第三組，並且範圍最窄。在這裡，它被“∧”連詞的現代符號所取代，因此

⊢ （ p∧q。⊃。p Q）。

其餘的兩個單點挑選了整個公式的主結合。他們說明了點符號在挑選出比周圍的連接劑相對重要的連接劑時的實用性。 “⊃”左側的一個被一對括號所取代，右側是點的位置，而左側的括號則盡可能地向左走，而無需越過一組更大的力點，這種情況是遵循斷言符號的兩個點，因此

⊢（（（p∧Q） ⊃。p Q）

“⊃”右側的點被左括號所取代，左括號和右括號的左括號和一個右括號所取代，它可以盡可能地向右走，而無需超越一組更大的點已經建立的範圍力（在這種情況下，遵循斷言符號的兩個點）。因此，替換“⊃”右側的點的右括號放在右括號的前面，該括號的前面替換了possertion-sign之後的兩個點，因此

⊢（（p∧q）⊃（p⊃q））。

示例2，具有雙重，三重和四倍點：

✱9.521 。 ⊢:：（∃x）。 φx。 ⊃。問：⊃：。 （∃X）。 φx。 v。 R：⊃。 QVR

代表

（（（（（（（（∃x）（φx））））⊃（q））⊃（（（（（（（（（（∃x）（φx））），（r）））v（r ））⊃（qvr）））

示例3，帶有雙點表示邏輯符號（從第1卷，第10頁）：

p⊃Q ： q⊃r.⊃ 。 p _

代表

（ p⊃q ）∧（（（ q r ） ⊃（ p r ））

如果雙點表示邏輯符號∧，並且可以看作是具有較高優先級為非邏輯單點。

在✱14節的稍後，括號“ []”出現，在第✱20和以下節中，括號“ {}”出現。這些符號是否具有特定的含義或僅用於視覺澄清尚不清楚。不幸的是，單個點（也是“ ： ”，“” ：。 “，”，“ :: ”等）也用於象徵“邏輯產品”（當代邏輯，通常由“＆”或“或“∧”象徵）。

邏輯含義由Peano的“ɔ”簡化為“⊃”，邏輯否定由細長的Tilde，即，“〜”（當代“〜”或“¬”），邏輯或“ V”。符號“ =”與“ df”一起用於指示“定義為“”，而在第13節及以後的節中，“ =” =“定義為（數學上）與“相同”與“相同”，即當代數學“平等”（參見第13節中的討論）。邏輯等效性由“程度”表示（當代”（僅在”）； “基本”命題函數是以習慣方式編寫的，例如“ f （ p ）”，但後來該函數符號直接出現在沒有括號的變量之前，例如括號，例如“ φx ”，“ χx ”，等等。

例如， PM介紹了“邏輯產品”的定義，如下所示：

✱3.01 。 p 。問。 = 。 〜（ 〜p v〜 q ） df 。

其中“ p。q ”是p和q的邏輯產物。

✱3.02 。 p⊃Q⊃r 。 _ _ = 。 p⊃q 。 _ Q r df 。

該定義僅用於縮寫證明。

公式轉換為當代符號：各種作者使用替代符號，因此無法給出確定的翻譯。但是，由於下面的庫爾特·戈德爾（KurtGödel）等批評，關於公式的“形成規則”（語法），最好的當代治療將非常精確。

第一個公式可能會轉換為現代象徵主義，如下所示：

（ p ＆ q ）= _df （〜（ 〜p v〜 q ））

交替

（ p ＆ q ）= _df （¬（− p v- q ））

交替

（ p∧q ）= _df （¬（− p v- q ））

ETC。

第二個公式可能會轉換為如下：

（ P → Q → R ）= _DF （ P → Q ）＆（ Q → R ）

但是請注意，這不是（邏輯上）等於（ P →（ Q → R ）），也不等於（（ P → Q ）→ R ），並且這兩個在邏輯上也不等於。

“ B節的表觀變量理論”符號簡介（公式✱8–✱14.34）

這些部分涉及現在所謂的謂詞邏輯，以及具有身份（平等）的謂詞邏輯。

• NB：由於批評和進步的結果，第二版PM （1927）用新的✱8 （附錄A）取代了✱9 。該新部分消除了第一版的真實變量和表觀變量之間的區別，它消除了“原始思想的主張”命題函數的主張。和謝弗中風：

• 矩陣：在當代用法中， PM的矩陣是（至少用於命題函數），真實表，即，命題或謂詞功能的所有真實值。
• Sheffer Stroke ：是當代的邏輯NAND （不及），即“不兼容”，含義：

“給定兩個命題p和q ，然後' p | q '的意思是“命題p與命題q不兼容”，即，如果兩個命題p和q均為真實，那麼只有這樣，只有當時p | q評估為false。” ✱8節之後，謝弗（Sheffer Stroke）認為沒有用法。

第✱10節：存在和通用的“運算符” ： PM添加“（ x ）”代表所有x “ IE，” ∀x ”的當代象徵主義，並且它使用向後的serifed e代表“存在” “，即，”（ǝX）”，即，當代“∃X”。典型的符號將與以下幾個相似：

“（ x ） 。φx ”表示變量x的所有值，函數φ評估為true”

“（ ǝx ） 。φx ”表示變量x的某些值，函數φ評估為true”

第✱10，✱11，✱12節：變量擴展到所有個體的屬性：第10節介紹了“變量”的“屬性”的概念。 PM給出一個示例：φ是指示“是希臘語”的函數，ψ表示“是一個人”，χ表示“是致命的”這些功能，然後應用於可變x 。 PM現在可以寫作並評估：

（ X ） 。 ψx

上面的符號表示“對於所有x ， x都是男人”。鑑於個人的集合，可以評估上述公式的真理或虛假。例如，鑑於個人{蘇格拉底，柏拉圖，羅素，宙斯}的限制收集，如果我們允許宙斯成為一個人，則上述評估為“真”。但是它失敗了：

（ X ） 。 φx

因為羅素不是希臘人。它失敗了

（ X ） 。 χX

因為宙斯不是致命的。

配備此符號PM可以創建公式以表達以下公式：“如果所有希臘人都是男人，如果所有人都是凡人，那麼所有希臘人都是凡人”。 （ PM 1962：138）

（ X ） 。 φx xψx ： （ x ） 。 ψx xχx ： ⊃ ： （ x ） 。 φx⊃取χx

另一個例子：公式：

✱10.01 。 （ ǝx ） 。 φx 。 = 。 〜（ x ） 。 〜φx df 。

表示“代表斷言的符號'存在至少一個滿足函數φ'的x的符號是由代表斷言的符號定義的''是不正確的，因為鑑於x的所有值，x的所有值都沒有x滿足φ' ”。

象徵主義_⊃x和“ _◦x ”出現在✱10.02和✱10.03 。兩者都是將變量X綁定到邏輯運算符的通用性的縮寫（即所有）。當代符號將簡單地使用均等（“ =”）符號之外的括號：

✱10.02φx⊃xx _x x 。 _ = 。 （ X ） 。 φx⊃ψx df _

當代符號： ∀x （φ（ x ）→ψ（ x ））（或變體）

✱10.03φxx _x x x 。 = 。 （ X ） 。 φx xψx df

當代符號： ∀x （φ（ x ）↔︎ψ（ x ））（或變體）

PM將第一個像徵主義歸因於Peano。

第11節將這種象徵主義應用於兩個變量。因此，以下符號： _⊃x ， _⊃y ，⊃x _，y都可以出現在一個公式中。

✱12節重新引入了“矩陣”（當代真實表）的概念，邏輯類型的概念，尤其是一階和二階函數和命題的概念。

新的象徵主義“φ ！ x ”表示一階功能的任何值。如果將繞行的“ ＾”放在變量上，則是y的“個體”值，這意味著“ ŷ ”表示“個體”（例如，真實表中的一行）；由於命題函數的基質/伸展性質，這種區別是必要的。

現在配備了矩陣概念， PM可以斷言其有爭議的可降低性公理：一個或兩個變量的函數（兩個都足以用於PM的使用） ，其中給出了其所有值（IE，矩陣）為（邏輯上）等效（“程”）與同一變量的某些“謂詞”函數。下面給出一個可變性的定義作為符號的說明（ PM 1962：166-167）：

✱12.1⊢ ： （ ǝf ） ： φx 。 x _x 。 F ！ x pp ;

PP是一個“原始命題”（“假定沒有證明的命題”）（ PM 1962：12，即，當代“ Axioms”），增加了第1節中定義的7（以✱1.1Modus Ponens開頭）。這些要與包括主張標誌“⊢”，“否”，“邏輯”，“邏輯”或“ v”的“原始思想”，“基本命題”和“基本命題函數”的概念；這些與PM一樣接近符號形成規則，即語法。

這意味著：“我們斷言以下的真實：存在具有屬性的函數f ，該屬性是：鑑於x的所有值，它們在函數φ中的評估（即，導致其矩陣）在邏輯上等同於在相同的f上評估的一些f x 。的值（反之亦然，因此邏輯等價）”。換句話說：給定由應用於變量x的屬性φ確定的矩陣，存在一個函數f ，當應用於x上時，在邏輯上等同於矩陣。或：每個矩陣φx可以用應用於x的函數f表示，反之亦然。

✱13：身份操作員“ =” ：這是一個以兩種不同方式使用符號的定義，如PM的報價所述：

✱13.01 。 x = y 。 = ： （φ） ： φ ！ X 。 ⊃ 。 φ ！ Y DF

方法：

“此定義指出，當x所滿足x所滿足的每個謂詞函數時， x和y都被稱為相同...與定義的平等符號的確相同。”

非平等符號“≠”使其外觀作為定義在✱13.02 。

✱14：描述：

“描述是形式的短語” y術語滿足φ的術語，其中φŷ是一個且僅一個參數滿足的函數。”

從這個下午，使用兩個新符號，一個正向“ E”和一個倒置的iota“℩”。這是一個示例：

✱14.02 。 e ！ （ ℩y ）（ φy ） 。 = ：（ ǝb ） ： φy 。 y _y 。 y = b df 。

這有這樣的含義：

“滿足φ的存在”，它才能達到何時，並且僅在φŷ被一個值滿足y且沒有其他值時。”（ PM 1967：173-174）

階級和關係理論符號簡介

文本從第14節躍升至基礎部分✱20階級的一般理論和✱21一般關係理論。 “關係”是當代集合理論作為有序對的集合。 ✱20和✱22節介紹了許多仍在當代使用中的符號。其中包括符號“ε”，“⊂”，“∩”，“”，“ - ”，“λ”和“ v”：“ε”表示“是”（ PM 1962：188）; “⊂”（ ✱22.01 ）表示“在”中包含，是“的子集”； “∩”（ ✱22.02 ）表示類（集合）的交點（邏輯產物）; “∪”（ ✱22.03 ）表示類（sets）的聯合（邏輯總和）; “ - ”（ ✱22.03 ）表示類別的否定（set）； “λ”表示零類； “ v”表示話語的普遍階級或宇宙。

小希臘字母（除“ε”，“”，“π”，“φ”，“ψ”，“”，“χ”和“θ”）代表類（例如，“α”，“β”，“γ ”，“γ”） “，”δ”等）（ PM 1962：188）：

xεα

“使用單個字母代替諸如ẑ （ φz ）或ẑ （φ ！ z ）之類的符號幾乎是必不可少的，因為否則該符號迅速變得難以容忍的。因此，' xεα '將表示' x是一個α'''的成員。 （ PM 1962：188）

α∪–α = V

集合及其逆的聯合是通用（已完成）集合。

α ∩ –α = Λ

集合及其倒數的交點是null（空）集。

當將關係中的關係應用於關係的關係中時，符號“⊂”，“∩”，“∪”，“ - ”獲取一個點：例如：“⊍”，“∸”。

“ class”（set）的概念和符號：在第一版中， PM斷言，不需要新的原始想法來定義“班級”的含義，只有兩個新的“原始命題”稱為公理分別降低階級和關係的性能（ PM 1962：25）。但是在可以定義此概念之前， PM認為有必要創建一個奇特的符號“ ẑ （ φz ）”，即它稱為“虛擬對象”。 （ PM 1962：188）

⊢ ： xεẑ （ φz ） 。 。 （ φx ）

“ IE，' x是（ φẑ ）確定的類的成員，[邏輯上]等同於' x滿足（ φẑ ），或to'（ φx ）為true。'”。 （ PM 1962：25）

至少PM可以告訴讀者這些虛擬對象的行為如何，因為“班級是完全確定其成員資格何時知道的，也就是說，不能有兩個不同的類具有相同的成員資格”（ PM 1962：26）。這是由以下平等象徵的（類似於上面的✱13.01 ：

ẑ （ φz ）= ẑ （ ψz ） 。 ◦ ： （ x ） ： φx 。 。 ψx

“這最後是類的區別特徵，並證明我們將ẑ （ ψz ）視為由[函數] ψẑ確定的類。” （ PM 1962：188）

也許可以通過對第二版介紹中的課程的討論來更清楚地表明，該課程處理可降低性的公理並用概念代替：“所有功能的所有功能都是擴展的”（ PM 1962：xxxix），即，即，IE，，

φx x _x x x 。 ⊃ 。 （ x ） ： ƒ（ φẑ ）◦（ ψẑ ）（ PM 1962：xxxix）

這具有合理的含義：“對於x的所有值， x的函數φ和ψ的真實值在邏輯上是等效的，則給定φẑ和ψ的函數ƒ在邏輯上是等效的。” PM斷言這是“顯而易見的”：

“這是顯而易見的，因為φ僅通過在[邏輯 - ]函數中替換為p，q，r，...的值在ƒ（ φẑ ）中發生，並且如果φx x x 。在[邏輯]函數中代替P代表P代表與ψx的替換相同的真實價值。因此，我們不再有任何理由區分函數類別，因為我們在上述優點

φx x _x x x 。 ⊃ 。 （ X ） 。 φ = 。 ψẑ ”。

觀察右側的平等“ =”符號的更改。 PM繼續說明將繼續掛在“ ẑ （ φz ）”的符號上，但這僅等於φẑ ，這是一個類。 （所有引號： PM 1962：xxxix）。

一致性和批評

根據卡爾納普（Carnap）的“數學邏輯基礎”，羅素（Russell）想要一種理論，可以說可以說是從純粹的邏輯公理中得出所有數學的理論。然而，除了類型理論的基本公理外，還需要主要數學數學，這似乎是另外三個似乎不正確的公理，因為僅僅是邏輯的問題，即無窮大的公理，選擇的公理和可還原性的公理。由於前兩個是存在的公理，因此羅素（Russell）的數學陳述取決於它們作為條件。但是，需要降低性才能確保正式的陳述甚至適當地表達了真實分析的陳述，因此根據陳述，不能將其視為有條件的陳述。弗蘭克·拉姆西（Frank Ramsey）試圖爭辯說，羅素對類型理論的影響是不必要的，因此可以刪除可降低，但這些論點似乎沒有定論。

除了公理作為邏輯真理的狀態之外，人們還可以詢問有關PM等系統的以下問題：

• 是否可以源自公理（不一致問題）和
• 是否存在一個數學陳述，該陳述既不能被證明也無法證實，也沒有被否認。

已知命題邏輯本身是一致的，但是對於Princionia的集合理論的公理尚未建立同樣的邏輯。 （請參閱希爾伯特的第二個問題。）羅素和懷特黑德懷疑PM中的系統不完整：例如，他們指出它似乎不夠強大，無法證明基本_ℵΩ存在。但是，人們可以詢問某些遞歸的公理擴展是否完整且一致。

戈德爾1930，1931

在1930年，戈德爾的完整性定理表明，一階謂詞邏輯本身在弱的意義上是完整的 - 也就是說，在某些公理模型中，從給定的公理組中無法證實的任何句子實際上都必須是錯誤的。但是，這並不是Principia Mathematica所需要的更強的完整感，因為給定的公理系統（例如Mathematica的Principia Mathematica）可能具有許多模型，在某些情況下，給定的陳述是真實的，而在另一些陳述中，該陳述中的陳述是是錯誤的，因此該語句由公理不確定。

戈德爾的不完整定理對這兩個相關問題產生了意想不到的啟示。

戈德爾的第一個不完整定理表明，對於算術陳述，沒有任何原理的遞歸擴展既一致又完整。 （如上所述，普里亞本身對於某些非弧度陳述來說是不完整的。）根據定理，在每個足夠強大的遞歸邏輯系統（例如Principia ）中，存在一個基本上讀的陳述g ， “聲明G無法證明。”這樣的陳述是一種捕獲22 ：如果G是可證明的，則是錯誤的，因此系統不一致；如果G無法證明，則是真的，因此系統是不完整的。

Gödel的第二個不完整定理（1931）表明，沒有正式的系統擴展基本算術的系統來證明其自身的一致性。因此，除非系統中存在矛盾（在這種情況下可以證明真實和錯誤），否則“原理系統中沒有矛盾”的說法無法證明。

Wittgenstein 1919，1939

在第二版的PM上，羅素將其可降低的公理刪除為新的公理（儘管他沒有這樣說）。 Gödel1944：126以這種方式描述它：

“這種變化與新的公理有關，即功能只能在命題中出現在“通過其值”，即廣泛地，即使是從建設性的角度來看……這是非常無法選擇的……。命令”。從準穩定的立場到完全伸展的立場的這種變化也將謂詞邏輯限制為第二階，即功能的函數：“我們可以決定數學是將自己局限於遵守上述假設的函數的功能”（ PM 2nd 2nd版本第401頁，附錄C）。

這項新提案導致了可怕的結果。 “擴展姿態”和限制二階謂詞邏輯意味著，命題函數擴展到所有個人，例如“所有'x'is blue”，現在必須列出所有滿足的'x'（在）該命題在可能的無限連詞中列出：例如x _{1 x} 2∧。 。 。 ∧x _n∧ 。 。 ..具有諷刺意味的是，這一變化是由於維特根斯坦（Wittgenstein）在1919年的Tractatus Logico-philosophicus中受到批評的結果。正如羅素（Russell）在第二版PM引言中所描述的：

“還有另一條課程，由Wittgenstein†（† Tractatus Logico-philosophicus ， *5.54ff）推薦。它的價值觀。[...] [通過後果工作]看來，我仍然是真實的（儘管通常需要新的證據）；感應性樞機主教和序言的理論倖存；但是，似乎無限理論的理論似乎Dedekindian且井井有條的系列很大程度上崩潰了，因此，不合理的和實際數字通常無法充分處理。坎托（ Cantor）證明了2 ⁿ > n會崩潰，除非n是有限的。” （ PM第二版重印1962年：XIV，也參見新附錄C）。

換句話說，不能現實地指定無限列表的事實意味著，在無限意義上（即連續體），“數字”的概念無法由PM第二版中提出的新理論描述。

維特根斯坦（Wittgenstein）在他的數學基礎上的演講中，劍橋1939年以各種理由批評原理，例如：

• 它聲稱可以揭示算術的基本基礎。但是，我們的日常算術實踐（例如計數）是基本的。因為如果計數和原理之間存在持續的差異，則將其視為原理中錯誤的證據（例如，原理沒有正確地表徵數字或添加），而不是作為日常計數錯誤的證據。
• 原理中的計算方法只能在實踐中使用很少。要使用大量數量（例如，數十億）計算，公式將變得太長，並且必須使用一些換檔方法，毫無疑問，這將依賴於諸如計數之類的日常技術（或否則是非基礎，因此可疑方法，例如歸納）。因此，主要的原理取決於日常技術，反之亦然。

但是，維特根斯坦確實承認，儘管普里亞可能會使日常算術的某些方面更清晰。

戈德爾1944年

戈德爾（Gödel）在1944年的文章《羅素的數學邏輯》（Mathagical Logic）中提供了“對邏輯思想順序的批判性但同情的討論”。他寫了：

令人遺憾的是，這是對數學邏輯的第一個全面和徹底的介紹，並且從中得出數學的推導，因此在基礎上非常缺乏正式的精度（包含在Principia的✱1-✱21中[即，第✱1–✱5 （命題邏輯）， ✱8–14 （具有身份/平等的謂詞邏輯）， ✱20 （集合理論簡介）和✱21 （關係理論簡介））在這方面代表與弗雷格（Frege）相比，倒退了相當大的一步。最重要的是，缺少的是形式主義語法的精確陳述。即使在證據的堅定性需要的情況下，句法考慮也被省略了……對於替換規則和替換定義符號的規則尤為懷疑……這主要是替代的規則，這將是必須證明。

內容

第一部分數學邏輯。卷I✱1至✱43

本節介紹了命題和謂詞演算，並提供了類，關係和類型的基本特性。

第二部分的prolegomena到基本算術。卷I✱50至✱97

該部分涵蓋了關係的各種特性，尤其是基本算術所需的關係。

第三部分基本算術。第II卷100至✱126

這涵蓋了紅衣主教的定義和基本特性。紅衣主教被定義為類似類別的等效類（與ZFC相反，ZFC是基本主教是一種特殊的von Neumann序數）。每種類型都有與之相關的紅衣主教集合，並且比較不同類型的紅衣主教需要大量簿記。 PM定義了樞機主教的加法，乘法和指示，並比較有限和無限樞機主教的不同定義。 ✱120.03是無窮大的公理。

第四部分關係算術。第II卷150至✱186

“關係數”是同構關係的等效類別。 PM定義了對任意關係的添加，乘法和指數的類似物。添加和乘法類似於ZFC中序數的添加和乘法的通常定義，儘管PM中關係的指定的定義與ZFC中使用的通常相當。

第五部分系列。第II卷200至✱234和第III卷250至✱276

該涵蓋系列，這是PM的術語，現在稱為完全有序的集合。特別是它涵蓋了完整的系列，系列與順序拓撲之間的連續功能（儘管它們當然不使用此術語），有序的系列序列和無“差距”（嚴格在任何兩個給定成員之間的成員）的序列。

第六部分的數量。第三卷300至✱375

本節構建了整數環，理性和實數領域以及“向量 - 家庭”，這與現在稱為Abelian群體的Torsors有關。

與設定理論的比較

本節將PM中的系統與ZFC的通常數學基礎進行了比較。 PM系統的強度與Zermelo集理論大致可比（或更確切地說是它的一個版本，其中分離公理具有所有量化器的界限）。

• PM中的命題邏輯和謂詞演算系統基本與現在使用的系統相同，只是符號和術語已經改變。
• PM和SET理論之間最明顯的區別是，在PM中，所有對象屬於多種不相交類型之一。這意味著每種（無限）類型的所有內容都會重複：例如，每種類型都有其自己的序列，紅衣主教，實數等。這導致了很多簿記，以相互關聯各種類型。
• 在ZFC中，函數通常被編碼為有序對的集合。在PM功能中的處理方式有所不同。首先，“函數”的意思是“命題函數”，這是一個值為真或錯誤的東西。其次，函數不是由其值確定的：可以擁有幾個不同的函數都採用相同的值（例如，一個人可能將2 x +2和2（ x +1）視為與計算機程序的不同函數用於評估它們是不同的）。由有序對給出的ZFC中的功能與PM所謂的“矩陣”相對應，並且PM中更通用的功能是通過對某些變量進行量化來編碼的。特別是PM可以區分使用定量定義的函數和未定義使用定義的函數，而ZFC並未對此進行區分。
• PM沒有替換公理的類似物，儘管這並不是很重要的，因為該公理在集合理論之外的數學中很少使用。
• PM強調關係是一種基本概念，而在現代數學實踐中，它是功能而不是關係，而不是被視為更基本的。例如，類別理論強調形態或功能，而不是關係。 （但是，有一個類似物的類似物稱為寓言，該類別模型而不是函數，並且與PM的類型系統非常相似。）
• 在PM中，紅衣主教定義為類似類別的類別，而在ZFC中，紅衣主教是特殊的序言。在PM中，每種類型都有不同的紅衣主教集合，其中有一些複雜的機械用於在類型之間移動的紅衣主教，而在ZFC中，只有1種基數。由於PM與更換的公理不相等，因此無法證明存在大於_ℵΩ的紅衣主教的存在。
• 在PM中，序列被視為有序集的等效類別，與紅衣主教一樣，每種類型的序數集合都不同。在ZFC中，只有一個列出的集合，通常定義為von Neumann序列。 PM的一個奇怪的怪癖是，它們沒有與1相對應的序數，這會導致其定理中許多不必要的並發症。 PM中序數指數^αβ的定義不等於ZFC中通常的定義，並且具有一些相當不受歡迎的特性：例如，它在β中不是連續的，並且沒有很好的排序（甚至不是序數）。
• 自PM中的構造以來，隨著時間的流逝，ZFC中整數，理性和實數的構造已被大大簡化。

版本之間的差異

除了校正錯誤的印刷外，PM的主要文本在第一版和第二版之間也沒有變化。卷1和2中的主要文本被重置，因此每個文本的頁面少於每個頁面。在第二版中，第3卷沒有重置，在相同的頁面編號上以相同的攝影重印；仍然進行了更正。第一版中的頁面總數（不包括端紙）為1,996；在第二個，2,000。第1卷有五個新添加：

• 羅素（Russell）的54頁介紹描述瞭如果他們有更多的時間和精力，他們會做出的變化。他建議的主要變化是消除了有爭議的公理，儘管他承認自己沒有令人滿意的替代方法。他似乎也更喜歡一個函數應由其價值決定的想法（在現代數學實踐中的平常情況）。
• 附錄A，編號為 *8，15頁，圍繞Sheffer中風。
• 附錄B，編號為 *89，討論誘導，而無需降低公理。
• 附錄C，8頁，討論命題功能。
• 最後一個8頁的定義列表，為所使用的500張符號提供了急需的索引。

1962年，劍橋大學出版社（Cambridge University Press）發表了縮寫平裝版，其中包含第二版的第1卷：新簡介（和舊文本），最高為 *56的主文本，以及附錄A和C。

版本

第一版由商人書籍， ISBN 978-1-60386-182-3， ISBN 978-1-60386-183-0， ISBN 978-1-60386-184-7轉載。

也可以看看

• 公理集理論
• 布爾代數
• 信息處理語言- PM中定理的首次計算演示
• 數學哲學簡介