恰當的時機

在相對論，恰當的時機（來自拉丁語，含義自己的時間）時機世界線被定義為時間如一個鐘遵循該行。因此，它獨立於坐標，是洛倫茲標量.^[1]這適當的時間間隔在兩個之間事件在世界上，是正確的時間變化。此間隔是興趣的數量，因為適當的時間本身僅修復到任意添加劑常數，即在世界線沿線的某些事件中時鐘設置。

兩個事件之間的適當時間間隔不僅取決於事件，還取決於連接它們的世界線，因此，事件之間時鐘的運動。它被表示為世界線不可或缺的組成部分（類似於弧長在歐幾里得空間）。加速時鐘將在兩個事件之間測量與非加速度測量的事件之間的經過的時間較小（慣性）在相同兩個事件之間時鐘。這雙胞胎悖論是這種效果的一個例子。^[2]

深藍色垂直線表示測量坐標時間間隔的慣性觀察者t事件之間e₁和e₂。紅色曲線代表一個測量其適當時間間隔的時鐘τ在相同的兩個事件之間。

按照慣例，適當的時間通常由希臘字母表示τ（tau）區分它與協調時間由t。坐標時間是觀察者使用該觀察者自己的方法將時間分配給事件的兩個事件之間的時間。在特殊情況下，慣性觀察者特殊相對論，使用觀察者的時鐘和觀察者的同時定義來測量時間。

適當時間的概念由赫爾曼·敏科夫斯基1908年，^[3]並且是Minkowski圖.

數學形式主義

適當時間的形式定義涉及描述道路時空代表時鐘，觀察者或測試粒子，並且度量結構那個時空。適當的時間是偽里曼尼亞人弧長的世界線在四維時空。從數學角度來看，假定坐標時間是預定義的，並且需要適當的時間作為坐標時間的函數。另一方面，通過實驗測量適當的時間，並根據慣性時鐘的適當時間計算坐標時間。

適當的時間只能針對時空路徑定義，從而可以構建一組隨附的物理尺子和時鐘。相同的間距路徑的形式主義導致測量適當的距離而不是適當的時間。對於燈光般的路徑，沒有適當的時間概念，並且由於時空間隔為零，因此不確定。相反，是任意和身體無關的仿射參數必須引入無關的時間。^[4]^[5]^[6]^[7]^[8]^[9]

在特殊相對論中

與時機公約公制簽名，這Minkowski指標由

{\ displayStyle \ eta _ {\ mu \ nu} = {\ begin {pmatrix} 1＆0＆0＆0＆0＆0＆-1＆-1＆0＆0＆0＆0＆0＆-1＆-1＆0＆-1＆0＆0＆0＆0＆0＆0＆-1

和坐標

{\ displaystyle（x^{0}，x^{1}，x^{2}，x^{3}）=（ct，x，x，y，z）}

用於任意的洛倫茲框架。

在任何此類框架中，無限的間隔，此處假定的時間表，兩個事件之間的時間表示為

{\ displayStyle ds^{2} = c^{2} dt^{2} -dx^{2} -dy^{2} -dz^{2} -dz^{2} = \ eta _ {\ mu \ nu}\ mu} dx^{\ nu}，}，}

（1）

並在粒子的軌跡上分開點（思考時鐘）。可以在坐標中表達相同的間隔，以便在每一刻，粒子為在休息。這樣的框架稱為瞬時休息框架，在這裡用坐標表示 ${\ displayStyle（c \ tau，x _ {\ tau}，y _ {\ tau}，z _ {\ tau}）}$ 對於每個瞬間。由於間隔的不變性（在不同時間拍攝的瞬時休息框與Lorentz轉換有關）

{\ displayStyle ds^{2} = c^{2} d \ tau^{2} -dx _ {\ tau}^{2} {2} {2} -dy _ {\ tau}^{2}^{2} {2} -dz _ {\ tau}} = c ^{2} d \ tau ^{2}，}，}

由於在瞬時休息框架中，粒子或框架本身處於靜止狀態，即

{\ displaystyle dx _ {\ tau} = dy _ {\ tau} = dz _ {\ tau} = 0}

。由於間隔是假定的（即。

{\ displayStyle ds^{2}> 0}

），取以上的平方根^[10]

{\ displayStyle ds = cd \ tau，}

或者

{\ displaystyle d \ tau = {\ frac {ds} {c}}}。}。}

給定這種差分錶達

τ

，適當的時間間隔定義為

${\ displaystyle \ delta \ tau = \ int _ {p} d \ tau = \ int {\ frac {ds} {c}}}}。$ （2）

這裡 $p$ 是從某些初始事件到某個最終事件的世界線，該事件的順序是按要求根據時鐘以後發生的最終事件比初始事件進行的。

使用（1）再一次，間隔的不變性，一個人可能會寫^[11]

${\ displayStyle {\ begin {aligned} \ delta \ tau＆= \ int _ {p} {\ frac {\ frac {1} {c}}} {\ sqrt {\ eta {\ eta _ {dx^{\ nu}}}} \\＆= \ int _ {p} {\ sqrt {dt^{2} {2} - {dx^{2} \ over c^{2}}}}}}} - c^{2}}} - {dz^{2} \ voce c^{2}}}}}}} \\＆= \ int {\ sqrt {\ sqrt {1 - {\ frac {1}\ left [\ left（{\ frac {dx} {dt}}} \ right）^{2}+莎frac {dz} {dt}} \ right）^{2} \ right]}}} dt \\＆= \ int {\ sqrt {\ sqrt {1 - {\ frac {\ frac {v（t）^{2}}}} {c^{c^{c^{2}}}}}} dt = \ int {\ frac {dt} {\ gamma（t）}}，\ end end {aligned}}}}$ （3）

在哪裡 $v （ t ）$ 是坐標時間的坐標速度 $t$ ，和 $x （ t ）$ ， $y （ t ）$ ，和 $z （ t ）$ 是空間坐標。第一個表達是顯然洛倫茲不變。它們都是Lorentz不變的，因為根據定義，適當的時間間隔與坐標無關。

如果 $t ， x ， y ， z$ ，通過一個參數化範圍 $λ$ ，這可以寫成

{\ displayStyle \ delta \ tau = \ int {\ sqrt {\ left（{{\ frac {dt} {d \ lambda}}} \ right）} \ left [\ left（{\ frac {dx} {d \ lambda}}} \ right）^{2}+\ lest（{\ frac {dy dy} {d \ lambda}}\ left（{\ frac {dz} {d \ lambda}}} \ right）^{2} \ right]}}}} \，d \ lambda。}

如果粒子的運動是恆定的，則表達式簡化為

{\ displayStyle \ delta \ tau = {\ sqrt {\ left（\ delta t \ right）^{2} {2} - {\ frac {\ left（\ delta x \ right）}} - {\ frac {\ left（\ delta y \ right）^{2}}} {c^{2}}}}}}}} - {\ frac {\ left（\ delta z \ right）^{2}}}}}}，}，}

其中δ表示初始事件和最終事件之間的坐標變化。特殊相對論的定義直接概括為一般相對論，如下所示。

一般相對論

適當的時間定義一般相對論如下：給定一個偽里曼尼亞人歧管與本地坐標 $x μ$ 並配備了度量張量 $g μν$ ，適當的時間間隔 $Δ τ$ 沿著時速路徑的兩個事件之間 $p$ 由線積分^[12]

{\ displayStyle \ delta \ tau = \ int _ {p} \，d \ tau = \ int _ {p} {\ frac {\ frac {1} {c}}} {\ sqrt {\ sqrt {g _ {g _ {\ mu \ nu} \ dx^{\ mu} \; dx^{\ nu}}}}。}

（4）

在坐標變化下，這種表達是不變的。它（以適當的坐標）將特殊相對論的表達降低平時.

以相同的方式可以選擇坐標 $x 1 ， x 2 ， x 3 = const$ 在特殊相對論中，這也可以在一般相對論中完成。然後，在這些坐標中，^[13]

{\ displayStyle \ delta \ tau = \ int _ {p} d \ tau = \ int _ {p} {\ frac {1} {c}} {c}} {\ sqrt {g_ {g_ {00}}}}}} dx^dx^{0}。}

此表達式概括了定義（2）並可以作為定義。然後使用間隔的不變性，方程式（4）以相同的方式跟隨它（3）跟隨（2），除了允許此處任意坐標更改。

特殊相對論的示例

示例1：雙“悖論”

為一個雙胞胎悖論場景，讓一個觀察者一個誰在一個 - 坐標（0,0,0,0）和（10年，0、0、0）慣性。這意味著一個留在 ${\ displaystyle x = y = z = 0}$ 10年一個 - 坐標時間。適當的時間間隔一個在兩個事件之間

{\ displayStyle \ delta \ tau _ {a} = {\ sqrt {（10 {\ text {artive}}}）^{2}}}} = 10 {\ text {artive {arews}}。}。

因此，在特殊的相對性坐標系中“休息”意味著正確的時間和坐標時間相同。

現在讓另一個觀察者B誰在x從（0,0,0,0）持續5年的方向一個 - 坐標時間為0.866c至（5年，4.33光年，0，0）。到達那裡，B加速並沿另一個空間方向旅行5年一個 - （10年，0、0、0）的求和時間。對於旅行的每條腿，可以使用適當的時間間隔來計算一個 - 坐標，由

{\ displayStyle \ delta \ tau _ {leg} = {\ sqrt {（{{\ text {5年}}）sqrt {6.25 \; \ mathrm {lays} ^{2}}}}} = {\ text {2.5年}}。}。}

因此，觀察者的總正確時間B從（0,0,0,0）到（5年，4.33光年，0，0），然後到（10年，0、0、0）為

{\ displaystyle \ delta \ tau _ {b} = 2 \ delta \ delta \ tau _ {leg} = {\ text {5年}}。

因此，表明正確的時間方程式包含了時間擴張效果。實際上，對於Sr（特殊相對論）時空的對象，以速度為速度v一段時間 ${\ displaystyle \ delta t}$ ，適當的時間間隔是

{\ displayStyle \ delta \ tau = {\ sqrt {\ delta t^{2} - \ lest（{\ frac {\ frac {v_ {x} \ delta t} {c} {c}} {c}}}}}} \ right）{\ frac {v_ {y} \ delta t} {c}}} \ reirg）}} = \ delta t {\ sqrt {1- {\ frac {v^{2}}} {c^{2}}}}}}}}，}，}

這是SR時間擴張公式。

示例2：旋轉磁盤

一個圍繞另一個慣性觀察者旋轉的觀察者在加速的參考框架中。對於這樣的觀察者，增量（ ${\ displayStyle d \ tau}$ ）需要適當的時間方程式的形式，以及對所採用路徑的參數化描述，如下所示。

讓一個觀察者C在磁盤上旋轉xy平面以坐標的角度速率 ${\ DisplayStyle \ Omega}$ 誰處於距離r從磁盤的中心，磁盤的中心處 $x = y = z = 0$ 。觀察者的路徑C是（誰）給的 ${\ displayStyle（t，\，r \ cos（\ omega t），\，r \ sin（\ omega t），\，0）}}$ ，在哪裡 ${\ displayStyle t}$ 是當前的坐標時間。什麼時候r和 ${\ DisplayStyle \ Omega}$ 是恆定的 ${\ displaystyle dx = -r \ omega \ sin（\ omega t）\，dt}$ 和 ${\ displaystyle dy = r \ omega \ cos（\ omega t）\，dt}$ 。然後將適當的時間公式變為

{\ displayStyle d \ tau = {\ sqrt {dt^{2} - \ lest（{\ frac {r \ omega} {c}}} {c}}} \ right）\; dt^{2} - \ lest（{\ frac {r \ omega} {c}}}} \ right）^{2} \ cos^{2} {2}（\ omega t）\; dt^{2}}}}}}}}}}}}}}}}= dt {\ sqrt {1- \ left（{\ frac {r \ omega} {c}}}} \ right）^{2}}}}}。

因此，對於觀察者，在恆定距離旋轉r從時空中的給定點以恆定的角度速率ω在坐標時間之間 ${\ displaystyle t_ {1}}$ 和 ${\ displaystyle t_ {2}}}$ ，經歷的適當時間將是

{\ displayStyle \ int _ {t_ {1}}}^{t_ {2}} d \ tau =（t_ {2} -t_ {1}）{\ sqrt {\ sqrt {1- \ lest（{\ frac {\ frac {r \ omega} {c}}} \ right）^{2}}}} = \ delta t {\ sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}，}，}

作為

v = rΩ

對於旋轉觀察者。該結果與線性運動示例相同，並顯示了適當的時間公式的積分形式的一般應用。

一般相對論的示例

SR和一般相對性（GR）之間的差異是，在GR中，一個人可以使用任何是該解決方案的度量愛因斯坦場方程，不僅是Minkowski指標。由於彎曲空間中的慣性運動缺少其在SR中具有的簡單表達式，因此必須始終使用適當時間方程的線積分形式。

示例3：旋轉磁盤（再次）

合適的坐標轉換對Minkowski度量的完成，創建坐標，其中旋轉磁盤上的對象保持在相同的空間坐標位置。新坐標是

{\ displaystyle r = {\ sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}}}}

和

{\ displaystyle \ theta = \ arctan \ left（{\ frac {y} {x}}}} \ right） - \ omega t。}

這t和z坐標保持不變。在這個新的坐標系中，增量適當的時間方程是

{\ displayStyle d \ tau = {\ sqrt {\ left [1- \ left（{\ frac {\ frac {r \ omega} {c}} {c}}}}} \ right）^{2} \ right]{dr^{2}} {c^{2}}}}} - {\ frac {r^{2} \，d \ theta^{2}}}} {c^{2}}}}}}}}}}}} - {\ frac {dz^{2}}} {C^{2}}}} -2 {\ frac {r^{2} \ omega \，dt \，d \ theta} {c^{2}}}}}}}}}}。

和r，θ，和z隨著時間的流逝，這簡化為

{\ displayStyle d \ tau = dt {\ sqrt {1- \ left（{\ frac {r \ omega} {c}}} {c}}} \ right）^{2}}}}，}，}，}，}

與示例2中的相同。

現在，讓旋轉磁盤和慣性休息的物體相對於磁盤的中心和慣性休息。r從中。這個對像有一個協調動作由 $dθ = - ω DT$ ，它描述了旋轉觀察者視圖中慣性的反旋轉對象。現在適當的時間方程式變為

{\ displayStyle d \ tau = {\ sqrt {\ left [1- \ left（{\ frac {\ frac {r \ omega} {c}} {c}}}} \ right）^{2} \ right] dt^{2}{\ frac {r \ omega} {c}}} \ right）^{2} \，dt^{2} +2 \ 2 \ left（{\ frac {r \ omega}\，dt^{2}}}} = dt。}

因此，對於慣性的固定觀察者，再次發現坐標時間和適當的時間以相同的相對性理論的內部自諧度的預期和所需的速度相同。^[14]

示例4：Schwarzschild解決方案 - 地球上的時間

這Schwarzschild解決方案具有增量的適當時間方程式

{\ displayStyle d \ tau = {\ sqrt {\ left（1- {\ frac {\ frac {2m} {r}} {r}}} \ right）dt^{2} {2} - {\ frac {1}左（1- {\ frac {2m} {r}}} \ right）^{ - 1} dr^{2} - {\ frac {r^{2}}} {c^{2}}}}} d \ phi^{2} - {\ frac {r ^{2}} {c ^{2}}}}} \ sin ^{2}（\ phi）\，d \ theta ^{2}}}，}，}，}

在哪裡

t與地球相對於慣性休息和慣性休息的時鐘是按時間進行校準的
r是徑向坐標（實際上是距地球中心的距離），
ɸ是共同坐標坐標，是與北極在弧度.
θ是一種縱向坐標，類似於地球表面的經度，但獨立於地球的經度迴轉。這也在弧度中給出。
m是個幾何化地球的質量m=通用/c²，
- m是地球的質量，
- G是個引力常數.

為了證明適當的時間關係的使用，此處將使用一些涉及地球的子例子。

為了地球， $m = 5.9742 \times 1024 公斤$ ，意思是 $m = 4.4354 \times 10 -3 m$ 。站在北極時，我們可以假設 ${\ displayStyle dr = d \ theta = d \ phi = 0}$ （這意味著我們既不向上或向下或沿著地球表面移動）。在這種情況下，Schwarzschild解決方案適當的時間方程 ${\ textstyle d \ tau = dt \，{\ sqrt {1-2m/r}}}}}}}$ 。然後將地球的極性半徑作為徑向坐標（或 ${\ displayStyle r = {\ text {6,356,752米}}}}}}$ ），我們發現

{\ displayStyle d \ tau = {\ sqrt {\ left（1-1.3908 \ times 10^{ - 9} { - 9} \ right）\; dt^{2}}}}} = \ left（1-6.9540 \ times 10^{ - 10} \ right）\，dt。}

在赤道，地球的半徑是 $r = 6378137 m$ 。另外，需要考慮地球的旋轉。這賦予觀察者的角速度 ${\ displayStyle d \ theta /dt}$ 2π由恆星時期地球旋轉的86162.4秒。所以 ${\ displaystyle d \ theta = 7.2923 \ times 10^{ - 5} \，dt}$ 。然後將適當的時間方程式產生

{\ displayStyle d \ tau = {\ sqrt {\ left（1-1.3908 \ times 10^{ - 9} \ right）dt^{2} {2} -2.4069 \ times 10^{ - 12} { - 12}}} = \ left（1-6.9660 \ times 10^{ - 10} \ right）\，dt。}

從非權威主義的角度來看，這應該與先前的結果相同。該示例說明瞭如何使用適當的時間方程式，即使地球旋轉，因此不能如Schwarzschild解決方案所假設的球面對稱。更準確地描述旋轉的影響Kerr公制可能用過了。

也可以看看

腳註

^Zwiebach 2004，p。 25
^霍利，約翰·F。Holcomb，J Katherine A.（2005）。現代宇宙學的基礎（插圖編輯）。牛津大學出版社。p。204。ISBN 978-0-19-853096-1.第204頁的提取物
^Minkowski 1908，第53–111頁
^Lovelock＆Rund 1989，第256頁
^溫伯格1972，第76頁
^Poisson 2004，第7頁
^Landau＆Lifshitz 1975，p。 245
^一些作者在適當時間的定義中包括燈光般的間隔，還包括空間般的適當距離作為假想的適當時間，例如Lawden 2012，第17、116頁
^Kopeikin，Efroimsky＆Kaplan 2011，p。 275
^Zwiebach 2004，p。 25
^Foster＆Nightingale 1978，p。 56
^Foster＆Nightingale 1978，p。 57
^Landau＆Lifshitz 1975，p。 251
^庫克2004，第214–219頁

參考

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福斯特，J。； J.D. Nightingale（1978）。一般相對論的簡短課程。埃塞克斯：朗曼科學技術.ISBN 0-582-44194-3.
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科皮金，謝爾蓋；Efroimsky，邁克爾；Kaplan，George（2011）。太陽系的相對論天文學。約翰·威利（John Wiley＆Sons）。ISBN 978-3-527-40856-6.
Landau，L。D.；Lifshitz，E。M.（1975）。田野的古典理論。理論物理學的過程。卷。2（第4版）。牛津：Butterworth -Heinemann.ISBN 0-7506-2768-9.
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溫伯格，史蒂文（1972），引力與宇宙學：相對論一般理論的原理和應用，紐約：約翰·威利（John Wiley＆Sons），ISBN 978-0-471-92567-5
Zwiebach，巴頓（2004）。弦理論的第一門課程（第一版）。劍橋大學出版社.ISBN 0-521-83143-1.

[1] Zwiebach 2004，p。 25

[2] 霍利，約翰·F。Holcomb，J Katherine A.（2005）。現代宇宙學的基礎（插圖編輯）。牛津大學出版社。p。204。ISBN 978-0-19-853096-1.第204頁的提取物

[3] Minkowski 1908，第53–111頁

[4] Lovelock＆Rund 1989，第256頁

[5] 溫伯格1972，第76頁

[6] Poisson 2004，第7頁

[7] Landau＆Lifshitz 1975，p。 245

[8] 一些作者在適當時間的定義中包括燈光般的間隔，還包括空間般的適當距離作為假想的適當時間，例如Lawden 2012，第17、116頁

[9] Kopeikin，Efroimsky＆Kaplan 2011，p。 275

[10] Zwiebach 2004，p。 25

[11] Foster＆Nightingale 1978，p。 56

[12] Foster＆Nightingale 1978，p。 57

[13] Landau＆Lifshitz 1975，p。 251

[14] 庫克2004，第214–219頁

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時間測量和標準
時間表數量級計量學
國際標準	協調的通用時間抵消 UT ΔT DUT1 國際地球旋轉和參考系統服務 ISO 31-1 ISO 8601 國際原子時間 12小時時鐘 24小時時鐘 Barycentric坐標時間氣室動力學時間民事時代夏令時節省時間地理坐標時間國際日期變更線 IERS參考子午線躍第二太陽時間陸地時間時區第180子午線
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