量子疊加

狀態和變形的量子疊加

量子疊加是量子力學的基本原理。在古典力學中，諸如位置或動力之類的事情總是定義明確的。可能在任何給定時間都不知道它們是什麼，但這是理解的問題，而不是物理系統的問題。量子系統以不同離散狀態的疊加來解釋的方式相互作用。量子系統的測量結果給出了與隨機出現的任何可能狀態相對應的統計結果。

像經典物理學中的波一樣，可以將任意兩個（或更多）量子狀態添加在一起（“超級”），結果將是另一個有效的量子狀態。從數學上講， schrödinger方程是線性的，因此量子態溶液的任何線性組合也將是一種溶液。但是，與經典波不同，量子幅度幅度與運動無關：添加兩個相同的狀態不是有意義的。

量子系統波性質的物理觀察到的一個例子是在雙縫實驗中從電子束上的干擾峰。該模式與經典波的衍射獲得的模式非常相似。

另一個示例是量子信息處理中使用的量子邏輯量子態，它是“基礎狀態”和的量子疊加。這是量子狀態的狄拉克符號，當通過測量轉換為經典邏輯時，量子狀態始終將給出結果0。同樣是將始終轉換為1的狀態，與只能在與0相對應的狀態或對應於1相對應的狀態的狀態相反，量子可能在兩種狀態的疊加中。這意味著，量子的測量0或1的概率通常既不是0.0也不是1.0，並且對相同狀態的Qubit進行了多次測量，並不總是給出相同的結果。

概念

量子疊加的原理指出，如果物理系統可能是在許多配置之一（粒子或字段的分組）中之一，那麼最一般的狀態是所有這些可能性的組合，其中每種配置中的數量由複雜指定。數字。

例如，如果有兩個標記為0和1的配置，則最通用的狀態將是

c_{0}{\mid }0\rangle +c_{1}{\mid }1\rangle

係數為複數數字，描述了每種配置的多少。

保羅·迪拉克（ Paul Dirac）將該原則描述如下：

量子力學疊加的一般原理適用於任何一個動力系統的狀態[理論上可能而沒有相互干擾或矛盾]。它要求我們假設在這些狀態之間存在特殊的關係，以便每當系統肯定處於一個狀態時，我們都可以將其視為在兩個或其他兩個州中的每個州中的一部分。必須將原始狀態視為兩種或多個新狀態的疊加的結果，而這種方式無法在古典思想上構想。任何狀態都可以被視為兩個或多個其他狀態的疊加的結果，實際上是以無限的方式。相反，任何兩個或多個州都可能被超級實現新的狀態...

如果我們考慮兩個狀態A和B的疊加，則可以清楚地提出疊加過程的非古典性質B說，結果，一句話，當在狀態B中製作時，肯定會導致一些不同的結果。在超塑性狀態下對系統進行觀察的結果是什麼？答案是，根據概率定律，根據疊加過程中A和B的相對權重，結果有時將是A和B。它永遠不會與A和B [即A或B ]不同。因此，由疊加形成的狀態的中間特徵通過特定結果的概率表達了觀察結果的概率，這是在原始狀態的相應概率之間中間的，而不是通過結果本身在原始狀態的相應結果之間中間介於中間。

Anton Zeilinger指的是雙縫實驗的原型示例，已經闡述了量子疊加的創造和破壞：

“振幅的疊加……僅在沒有辦法知道粒子所採取的道路的情況下才能知道，這並不意味著觀察者實際上註意到什麼是有效的。發生。如果從實驗原則上可以訪問該路徑信息，或者即使在環境中分散並超出了恢復的任何技術可能性，但原則上仍然是“在那裡”，就足以破壞干擾模式。 '缺乏任何此類信息是量子乾擾出現的基本標準。

理論

例子

對於描述物理現象的方程式，疊加原則指出，線性方程的溶液的組合也是它的解決方案。如果這是正確的，則可以說等式遵守疊加原則。因此，如果狀態向量 $f 1$ ， $f 2$ 和 $f 3$ 每個求解ψ上的線性方程，則 $ψ= c 1 f 1 + c 2 f 2 f 2 + c 3 f 3$ 也將是一個解決方案，其中每個 $C$ 是A係數。 Schrödinger方程是線性的，因此量子力學遵循了這一點。

例如，考慮一個具有兩種可能配置的電子：向上和向下。這描述了值的物理系統。

c_{1}{\mid }{\uparrow }\rangle +c_{2}{\mid }{\downarrow }\rangle

是最一般的狀態。但是，這些係數決定了系統以任何配置為單位的概率。指定配置的概率由係數的絕對值的平方給出。由於電子必須在這兩個狀態之一中，因此概率必須加到1。

p_{\text{up}}={\mid }c_{1}{\mid }^{2}

p_{\text{down}}={\mid }c_{2}\mid ^{2}

p_\text{up or down} = p_\text{up} + p_\text{down} = 1

繼續使用此示例，如果粒子可以向上和向下狀態，則它也可以處於一個數量為 $3 I /5的$ 狀態，而量為 $4/5$ 。

|\psi \rangle ={3 \over 5}i{\mid }{\uparrow }\rangle +{4 \over 5}{\mid }{\downarrow }\rangle .

在這種情況下，UP的概率為。下降的概率是。注意。

在描述中，只有不同組件的相對大小很重要，並且在復雜平面上彼此之間相互角度。通常通過宣布兩個彼此倍數的狀態就局勢的描述而言是相同的。其中任何一個都描述了任何非零的狀態

|\psi \rangle \approx \alpha |\psi \rangle

量子力學的基本定律是演化是線性的，這意味著，如果狀態a變成a'，並且b在10秒後變成b'，那麼10秒後，疊加後，疊加會變成a'和b '的混合物，與A和B相同的係數。

例如，如果我們有以下

{\mid }{\uparrow }\rangle \to {\mid }{\downarrow }\rangle

{\mid }{\downarrow }\rangle \to {\frac {3i}{5}}{\mid }{\uparrow }\rangle +{\frac {4}{5}}{\mid }{\downarrow }\rangle

然後，在那10秒之後，我們的州將變為

c_{1}{\mid }{\uparrow }\rangle +c_{2}{\mid }{\downarrow }\rangle \to c_{1}\left({\mid }{\downarrow }\rangle \right)+c_{2}\left({\frac {3i}{5}}{\mid }{\uparrow }\rangle +{\frac {4}{5}}{\mid }{\downarrow }\rangle \right)

到目前為止，只有2種配置，但是可能有很多。

在說明中，粒子可以具有任何位置，因此有不同的配置，其位置 $x$ 的任何值。這些是寫的：

|x\rangle

疊加原則確保有些狀態是所有位置的任意疊加，具有復雜的係數：

\sum_x \psi(x) |x\rangle

僅當索引x離散時，才定義此總和。如果索引結束了，則總和被積分代替。該數量稱為粒子的波函數。

如果我們考慮具有位置和旋轉的量子，那麼狀態是兩者的所有可能性的疊加：

\sum _{x}\psi _{+}(x)|x,{\uparrow }\rangle +\psi _{-}(x)|x,{\downarrow }\rangle \,

如果沒有某些物理知識，就無法制定量子機械系統的配置空間。輸入通常是允許的不同經典配置，但不包括位置和動量的重複。

一對顆粒可以是成對的任何組合。一個粒子位於位置x而另一個粒子在位置y處的狀態。最一般的狀態是對可能性的疊加：

\sum_{xy} A(x,y) |x,y\rangle \,

兩個粒子的描述比一個粒子的描述要大得多，這是尺寸數量的兩倍的函數。當兩個隨機變量的統計數據相關時，這在概率上也是如此。如果兩個粒子不相關，則其關節位置 $p（ x ， y ）$ 的概率分佈是在一個位置找到一個位置而另一個位置的概率的產物：

P(x,y) = P_x (x) P_y(y) \,

這意味著系統的波函數可以表示為波函數及其部分的產物：

A(x,y) = \psi_x(x)\psi_y(y) \,

.

1927年，Heitler和London試圖定量地計算H ₂分子的地面穩態。計算基於兩個組成系統的氫原子的量子疊加-H ₂分子。這項嘗試的成功成為了共價紐帶的所有進一步發展的基礎。

類似於概率

在概率理論中，也有類似的原理。如果系統具有概率描述，則此描述給出了任何配置的概率，並給出了任何兩種不同的配置，有一個狀態部分是部分，部分是在正面的實際數字係數，概率的情況下，這些狀態說出了多少。每個都有。

例如，如果我們對粒子的位置具有概率分佈，則由“狀態”描述

\sum_x \rho(x) |x\rangle

概率密度函數在哪裡，一個正數測量在某個位置找到粒子的概率。

出於根本原因，進化方程在概率上也是線性的。如果粒子有一些從位置x到y的概率，從z到y ，則從半x和半z開始的狀態開始y的概率是概率的一半和一半混合物從每個選項中轉到y 。這是概率線性疊加的原理。

量子力學是不同的，因為數字可能是正面的或負的。儘管數字的複雜性質只是一倍，但如果您分別考慮真實和虛構的部分，則係數的跡像很重要。在概率上，兩個可能的結果總是添加在一起，因此，如果有更多選項可以到達點Z ，則概率總是會上升。在量子力學中，可以取消不同的可能性。

在具有有限數量狀態的概率理論中，概率始終可以乘以正數以使其總和等於一個。例如，如果有三個狀態概率系統：

x |1\rangle + y |2\rangle + z |3\rangle \,

概率是正數的地方。重新縮放x，y，z，這樣

x+y+z=1 \,

狀態空間的幾何形狀被揭示為三角形。通常，它是單純化。三角形或與角相對應的三角形中有特殊點，而這些點是其中一個概率等於1，而其他點為零。這些是可以肯定的位置的獨特位置。

在具有三個狀態的量子機械系統中，量子機械波函數再次是狀態的疊加，但是這次是數量的兩倍，沒有限制的符號：

A|1\rangle + B|2\rangle + C|3\rangle = (A_r + iA_i) |1\rangle + (B_r + i B_i) |2\rangle + (C_r + iC_i) |3\rangle \,

重新縮放變量，使得正方的總和為1，空間的幾何形狀被揭示為高維球體

A_r^2 + A_i^2 + B_r^2 + B_i^2 + C_r^2 + C_i^2 = 1 \,

.

球體具有大量的對稱性，可以在不同的坐標系統或鹼基中查看。因此，與概率理論不同，量子理論具有大量不同的基礎，可以很好地描述它。相位空間的幾何形狀可以看作是一個暗示，量子力學中的數量與概率相對應是疊加係數的絕對平方。

哈密頓進化

描述不同可能性幅度的數字定義了運動學，不同狀態的空間。動力學描述了這些數字如何隨時間變化。對於一個可以在無限多個離散位置中的任何一個粒子中，一個晶格上的粒子，疊加原理告訴您如何使狀態：

\sum_n \psi_n |n\rangle \,

因此，振幅的無限列表完全描述了粒子的量子狀態。此列表稱為狀態向量，正式地是希爾伯特空間的元素，即無限維複合矢量空間。通常代表國家是幅度的絕對正方形的總和是一個：

\sum \psi_n^*\psi_n = 1

對於由概率理論描述的粒子隨機行走在線上，類似的事情是概率列表，它給出了任何位置的概率。描述它們時間如何變化的數量是過渡概率，它的概率是從x開始，粒子以y的時間t結束。總和在所有可能性上給出了總和y的總概率

P_y(t_0+t) = \sum_x P_x(t_0) K_{x\rightarrow y}(t) \,

概率保護的條件指出，從任何X開始，最終到達某個地方的總概率必須總計1：

\sum_y K_{x\rightarrow y} = 1 \,

因此，將保留總概率，k是所謂的隨機矩陣。

當沒有時間傳遞時，什麼都沒有改變：對於0次過去的時間，k矩陣為零，除了從狀態到自身。因此，在時間很短的情況下，最好談論概率變化率，而不是概率的絕對變化。

P_{y}(t+dt)=P_{y}(t)+dt\,\sum _{x}P_{x}R_{x\rightarrow y}\,

k矩陣的時間導數在哪裡：

R_{x\rightarrow y}={K_{x\rightarrow y}\,dt-\delta _{xy} \over dt}.\,

概率方程是一個微分方程，有時稱為主方程：

{dP_y \over dt} = \sum_x P_x R_{x\rightarrow y} \,

r矩陣是粒子從x到y過渡的概率。 k矩陣元素累加到一個的條件變成了r矩陣元素加起來為零的條件：

\sum_y R_{x\rightarrow y} = 0 \,

一個簡單的案例是，當r矩陣具有相等的概率何時將一個單位向左或右側移動，描述具有恆定隨機行走速率的粒子。在這種情況下，除非y為x + 1，x或x - 1，否則當y為x + 1或x -1時，r矩陣具有值C，並且為了使R矩陣係數的總和為相等的零，必須為-2c的值。因此，概率遵守離散的擴散方程：

{dP_{x} \over dt}=c(P_{x+1}-2P_{x}+P_{x-1})\,

當C適當地縮放C並且P分佈足夠平滑以至於以連續限制的系統時，將會變成：

{\partial P(x,t) \over \partial t} = c {\partial^2 P \over \partial x^2 } \,

這是擴散方程。

量子幅度給出了時間變化的速率，並且在數學上是完全相同的，除了它們是複數。有限時間k矩陣的類似物稱為u矩陣：

\psi_n(t) = \sum_m U_{nm}(t) \psi_m \,

由於振幅的絕對平方之和必須是恆定的，因此必須是統一的：

\sum_n U^*_{nm} U_{np} = \delta_{mp} \,

或者，用矩陣表示法，

U^\dagger U = I \,

U的變化速率稱為Hamiltonian H ，最多是I的傳統因素：

H_{mn} = i{d \over dt} U_{mn}

哈密頓量給出了粒子具有從m到n的幅度的速率。它乘以i的原因是，u是統一的條件轉化為條件：

(I+iH^{\dagger }\,dt)(I-iH\,dt)=I

H^\dagger - H = 0 \,

說h是隱居。 Hermitian矩陣H的特徵值是實際數量，其物理解釋為能量水平。如果I缺失的因素，則H矩陣將是抗Hermitian，並且純粹具有假想的特徵值，這不是傳統的量子力學方式代表可觀察到的量之類的能量。

對於一個具有相等幅度左右移動的粒子，除最近的鄰居外，Hermitian矩陣H為零。如果係數到處都是恆定的，那麼H是Hermitian的條件要求移動向左的幅度是振幅的複雜綴合物，以移動向右移動。運動方程是時間微分方程：

i{d \psi_n \over dt} = c^* \psi_{n+1} + c \psi_{n-1}

如果左右與對稱的情況，C是真實的。通過在時間上重新定義波函數的相位，僅重新定位在不同位置的幅度，因此身體狀況不變。但是此相位旋轉引入了線性術語。

i{d\psi _{n} \over dt}=c\psi _{n+1}-2c\psi _{n}+c\psi _{n-1},

這是採用連續限制的相位選擇的正確選擇。何時很大並且慢慢變化，以便可以將晶格視為一條線，這將成為自由的schrödinger方程：

i{ \partial \psi \over \partial t } = - {\partial^2 \psi \over \partial x^2}

如果h矩陣中還有一個額外的項，這是一個額外的相位旋轉，隨著點之間的變化，連續限量是具有勢能的schrödinger方程：

i{ \partial \psi \over \partial t} = - {\partial^2 \psi \over \partial x^2} + V(x) \psi

這些方程式描述了單個粒子在非相關量子力學中的運動。

假想時間的量子力學

量子力學和概率之間的類比非常強，因此它們之間存在許多數學聯繫。在離散時間的統計系統中，t = 1,2,3，由一個時間步的過渡矩陣描述，在有限的時間步長之後，可以將兩個點之間的概率表示為在所有路徑上的總和。走每條路徑的可能性：

K_{x\rightarrow y}(T) = \sum_{x(t)} \prod_t K_{x(t)x(t+1)} \,

總和在所有路徑上延伸的屬性和。量子力學中的類似表達是路徑積分。

概率中的通用過渡矩陣具有固定分佈，無論起點是什麼，這都是在任何時候都可以找到的概率。如果任何兩個路徑同時達到同一點的概率非零概率，則此固定分佈並不取決於初始條件。在概率理論中，當固定分佈具有特性時，隨機矩陣的概率m遵守詳細的平衡：

\rho_n K_{n\rightarrow m} = \rho_m K_{m\rightarrow n} \,

詳細的餘額表明，固定分佈中從m到n的總概率，這是從m乘以M跳到m到n的概率的概率，等於從n到m的概率，因此沿任何躍點，平衡中的概率的總概率流量為零。當n = m時，該條件會自動滿足，因此在寫入過渡概率r矩陣的條件時具有相同的形式。

\rho_n R_{n\rightarrow m} = \rho_m R_{m\rightarrow n} \,

當r矩陣遵守詳細的餘額時，可以使用固定分佈重新定義概率的規模，以便它們不再將其總和到1：

p'_n = \sqrt{\rho_n}\;p_n \,

在新的坐標中，r矩陣被重新縮放如下：

\sqrt{\rho_n} R_{n\rightarrow m} {1\over \sqrt{\rho_m}} = H_{nm} \,

H是對稱的

H_{nm} = H_{mn} \,

該矩陣H定義了量子機械系統：

i{d \over dt} \psi_n = \sum H_{nm} \psi_m \,

哈密頓量與統計系統的r矩陣的特徵值相同。特徵向量也是相同的，除了在重新定義的基礎上表示。統計系統的固定分佈是哈密頓量的基態，其能量完全為零，而其他所有能量都是正的。如果h被指出以找到u矩陣：

U(t) = e^{-iHt} \,

允許t進行複雜的值，通過花費時間假想，可以找到k'矩陣。

K'(t) = e^{-Ht} \,

對於在時間逆轉下不變的量子系統，可以使哈密頓量成為真實和對稱的量子系統，因此時間反轉在波功能上的作用只是複雜的結合。如果這樣的哈密頓量具有獨特的最低能量狀態，具有正面的波動功能，因為它通常是出於物理原因，它在假想時間內與隨機系統相連。隨機系統和量子系統之間的這種關係闡明了超對稱性。

實驗和應用

已經進行了涉及相對較大（按量子物理學的標準）對象的疊加的成功實驗。

光子已經實現了“貓狀態”。
鈹離子已被困在超塑性狀態下。
已經用像乳球一樣大的分子和功能化的寡磷脂進行了雙縫實驗，直到2000年原子。
一個2013年的實驗超偽分子，每個分子都包含15,000個質子，中子和電子。這些分子是為其良好的熱穩定性選擇的化合物，並在600 K的溫度下蒸發成束。從高度純化的化學物質中製備了束，但仍包含不同分子物種的混合物。每種分子只會干擾自己，如質譜法所證實。
涉及超導量子乾擾裝置（“ squid”）的實驗已與“貓狀態”思想實驗的主題相關聯。

通過使用非常低的溫度，進行了非常精細的實驗排列，以近隔離地保護，並在魷魚電流之間，製備和檢測之間保留中間狀態的連貫性。這樣的魷魚電流是大約數十億個電子的連貫的物理組件。由於其連貫性，這種組裝可以被視為宏觀量化實體的“集體狀態”。對於疊加的原理，在製備後，但在檢測到它之前，它可能被視為表現出中間狀態。它不是一個單粒子狀態，例如在討論干涉的討論中，例如，迪拉克（Dirac）在上面所述的著名格言中。此外，儘管“中間”狀態可能會被寬鬆地認為，但它並未作為次級量子分析儀的輸出而產生，該量子分析儀是從主分析儀中餵養的純狀態的，因此這不是嚴格疊加的例子並定義狹義。

然而，在準備後，但是在測量之前，可以將這種魷魚狀態視為一種“純”狀態，它是順時針和抗鎖定的當前狀態的疊加。在魷魚中，可以在非常低的溫度下幾乎隔離地將集體電子狀態進行物理製備，從而導致受保護的相干中間狀態。這裡值得注意的是，有兩個完善的自我建立的集體國家表現出如此穩定性。在順時針和抗鎖狀態之間來回來回的電子隧道，而不是形成一個單一的中間狀態，在這種狀態下沒有明確的當前流動感。

已經提出了涉及流感病毒的實驗。
已經構建了一個壓電“調諧叉”，可以將其放入振動和非振動狀態的疊加中。諧振器包含約10萬億原子。
最近的研究表明，植物內的葉綠素似乎可以利用量子疊加的特徵，以實現運輸能量的效率，從而使顏料蛋白的間隔距離得多，超出了其他可能的可能性。
已經提出了一個實驗，使用機電振盪器將細菌細胞冷卻至10 MK。在該溫度下，所有新陳代謝都將被停止，並且細胞實際上可能是確定的化學物種。為了檢測干擾，有必要將細胞大量提供為相同且可檢測到的虛擬化學物種的純樣品。尚不清楚細菌細胞是否可以滿足這一要求。在實驗過程中，他們將處於暫停動畫狀態。

在量子計算短語“貓狀態”中，通常是指ghz狀態，ghz狀態是特殊的Qubits Qubits ，其中Qubits的量子位於所有均為0，所有量子均為1； IE，

|\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigg (}|00\ldots 0\rangle +|11\ldots 1\rangle {\bigg )}.

正式解釋

將疊加原理應用於量子機械粒子，粒子的構型都是位置，因此疊加使空間中的波浪形成複雜的波。線性疊加的係數是一個波浪，描述粒子盡可能最好，並且其幅度根據Huygens原理干擾。

對於量子力學中的任何物理屬性，都有該屬性具有一定價值的所有狀態列表。這些狀態必然使用垂直度的歐幾里得概念彼此垂直，該概念來自平方之和長度之和，除了它們也不是我彼此的倍數。此垂直狀態的列表具有關聯的值，該值是物理屬性的值。疊加原則可以保證任何狀態都可以寫成這種形式的狀態與復雜係數的結合。

將每個狀態用物理量的值q寫為某個基礎，作為向量的向量，每個n值的數字列表n of n值的n值列表，該矢量具有物理量值的值q。現在，通過乘以所有矢量組件並將其添加係數以使矩陣形成矩陣，從而形成向量的外產物

A_{nm} = \sum_q q \psi^{*q}_n \psi^q_m

總和擴展到Q的所有可能值。該矩陣必然是對稱的，因為它是由正交狀態形成的，並且具有特徵值q。矩陣A稱為與物理數量相關的可觀察到的。它具有特徵值和特徵向量的特性，確定了該數量有確定值的物理量和狀態。

每個物理數量都有與之關聯的冬宮線性操作員，並且該物理量的值確定的狀態是該線性操作員的特徵狀態。兩個或多個特徵狀態的線性組合導致兩個或多個數量值的量子疊加。如果測量數量，則物理量的值將是隨機的，概率等於線性組合中疊加係數的平方。測量後，狀態將立即由對應於測得的特徵值對應的特徵向量給出。

物理解釋

自然要問為什麼普通的日常物體和事件似乎沒有顯示量子機械特徵，例如疊加。確實，有時這被認為是“神秘的”，例如理查德·費曼（Richard Feynman）。 1935年， ErwinSchrödinger設計了一個著名的思想實驗，現在被稱為Schrödinger'sCat ，該實驗強調了量子力學與古典物理學之間的這種不和諧。一種現代的觀點是，這個謎是通過量子的腐蝕來解釋的。宏觀系統（例如貓）可能會隨著時間的流逝而演變成經典不同的量子狀態（例如“活著”和“死”）。實現這一目標的機制是重大研究的主題。一種機製表明，貓的狀態與其環境狀態糾纏在一起（例如，周圍大氣中的分子）。當對環境的可能量子狀態進行平均（除非可以精確控制環境的量子狀態，否則在物理上合理的程序），CAT的結果混合量子狀態非常接近CAT具有的經典概率狀態就像在這種情況下的經典觀察者所期望的那樣，有些確定的死亡或活著的可能性。另一個提出的理論類別是，基本的時間演化方程不完整，需要添加某種類型的基本林德布拉德式，這種添加的原因和附加項的形式因理論而異。一個流行的理論是連續的自發定位，其中lindblad術語與狀態的空間分離成正比。這也導致了準經典的概率狀態。