弧度

弧度
與該圓的半徑相同長度的圓圈的弧形,該圓形的角度為1弧度。周長的角度為弧度。
一般信息
單位系統SI
單位角度
象徵rad, r
轉換
1 rad in ......等於...
   Milliradians   1000 MRAD
   1 /
   學位    180/π° ≈ 57.296°
   Gradians   200 / π≈63.662g

radian用符號RAD表示,是國際單位系統(SI)中的角度單位,是許多數學領域使用的角度測量的標准單位。它的定義使一個弧度是圓形在圓的中心的角度,該角度的長度等於半徑。該單元以前是SI補充單元,目前是無量綱的SI派生單元,在SI中定義為1 rad = 1,並用Si基本單位儀表(M)表示為RAD = m/m 。通常認為沒有明確指定單元的角度是在弧度中測量的,尤其是在數學寫作中。

定義

一個radian定義為從圓的中心劃分的角度,該角度截距的弧形等於圓的半徑。更一般地,亞傾角角度的弧度等於弧長與圓的半徑的比率。也就是說,其中θ是弧度中的子鍵角,s為弧長,r為半徑。直角正是弧度。

對應於一場完整革命的旋轉角(360°)是周長的長度除以半徑,即或2π。因此,2π弧度等於360度。

關係2πrad = 360°可以使用弧長的公式來得出。由於radian是一個角度的量度,該角度由等於圓的半徑的弧度劃分。這可以進一步簡化。將兩側乘以360°的360°=2πrad。

單位符號

國際權重措施國際標準化組織RAD指定為Radian的象徵。 1909年使用的替代符號是c (“循環度量”),字母r或a上標R ,但這些變體很少使用,因為它們可能被誤認為是度符號(°)(°) )或半徑( R)。因此,今天的角度為1.2弧度為1.2 rad;古老符號可能包括1.2 R,1.2 Rad ,1.2 C或1.2 R。

在數學寫作中,通常會省略符號“ rad”。當在沒有任何符號的情況下量化角度時,假定弧度,並且是指均值時,則使用度符號°

多方面分析

平面角可以定義為θ = s / r ,其中θ是弧度的亞鍵角, s為弧長, r為半徑。一個radian對應於s = r的角度,因此1 radian = 1 m/m 。但是, RAD僅用於表達角度,而不是表達長度的比例。使用圓形扇區θ = 2 A / R 2的面積的類似計算得出1 m 2 / m 2的radian。關鍵事實是Radian是一個等於1無量綱單元。在SI 2019中,Radian被相應地定義為1 rad = 1 。這是數學和科學所有領域的長期實踐,用於利用RAD = 1

賈科莫·普蘭多(Giacomo Prando)寫道:“當前的狀態不可避免地導致了雷目的幽靈般的外表和消失在物理方程式的維度分析中”。例如,從皮帶輪上懸掛的繩子懸掛的物體會升高或掉落y = rθcenters ,其中r是皮帶輪的半徑, θ是皮帶輪在弧度中轉動的角度。當將R乘以θ時,弧度的單位從結果中消失。同樣,在滾輪的角速度的公式中, ω = v / r ,弧度出現在ω的單位中,但不在右側。 Anthony French稱這種現象為“力學教學中的多年生問題”。奧伯霍夫(Oberhofer)說,在維度分析中忽略弧度並根據慣例和上下文知識添加或刪除單位的弧度的典型建議是“教學上不滿意”。

1993年,美國物理教師協會指標委員會規定,只有在使用其他角度測量時才能獲得不同的數值,例如,角度測量量(RAD), rad速度(rad)(rad)(rad)(rad)(rad) (rad)(rad /s),角加速度(rad/s 2 )和扭轉剛度(n·m/rad),而不是扭矩(n·m)和角動量(kg·m 2 /s)的量。

在1936年至2022年之間,至少有十二位科學家提出了將Radian視為“平面角”基本數量(和尺寸)的測量基礎單位。昆西對提案的審查概述了兩類建議。第一個選項將半徑的單位更改為每個弧度的米,但這與圓面積πr 2的尺寸分析不相容。另一個選擇是引入一個尺寸常數。根據Quincey的說法,與SI相比,這種方法是“邏輯上的嚴格”,但需要“修改許多熟悉的數學方程式”。角度的尺寸常數是“相當奇怪的”,並且修改方程式添加尺寸常數的難度可能會阻止廣泛使用。

特別是,Quincey以類似於引入常數ε0方式引入托倫斯的提議,以引入等於1反射液(1 rad -1 )的常數η 。隨著這種變化,將圓的中心的角度劃分為s = rθ的角度被修改為s = ηrθ ,taylor序列的taylor序列是角度θ正弦:變為:

在哪裡 。資本化函數罪是“完整”函數,它具有具有角度維度的參數,並且獨立於表達的單元,而辛拉德(Sinrad)是純數字上的傳統函數,假定其參數為弧度。如果明確表示完整的形式,則可以表示。

當前的Si可以將相對於此框架視為自然單位系統,其中方程η = 1被認為可以保持或類似地, 1 rad = 1 。這種Radian慣例允許在數學公式中省略η

將Radian定義為基本單元可能對軟件可能有用,在此,更長方程的缺點是最小的。例如, Boost單位庫定義了用A的角度單元plane_angle維度和Mathematica的單元系統類似地將角度視為具有角度的角度。

轉換

共同角度的轉換
弧度學位Gradians
0轉0 rad0 g
1/72_π / 36 rad5 + 5/9 g _
1/24_π / 12 rad15°16 + 2/3 g _
1/16_π / 8 rad22.5°25 g
1/12_π / 6 rad30°33 + 1/3 g _
1/10_π / 5 rad36°40 g
1/8_π / 4 rad45°50
1 / 1 rad大約57.3°大約63.7 g
1/6_π / 3 rad60°66 + 2/3 g _
1/5_ / 5 rad72°80 g
1/4_π / 2 rad90°100
1/3_ / 3 rad120°133 + 1/3 g _
2/5_ / 5 rad144°160 g
1/2_πrad180°200 g
3/4_ / 2 rad270°300
1轉2πrad360°400

在學位之間

如前所述,一個弧度等於。因此,要從弧度轉換為度,乘以。

例如:

相反,要從學位轉換為弧度,乘以。

例如:

可以通過將弧度的數量除以 ,將弧度轉換為轉彎(一個轉彎是與革命相對應的角度)。

在Gradians之間

弧度等於一圈,從定義上講是400名Gradians(400 gons或400g)。從弧度轉變為Gradians,並從Gradians轉換為弧度。例如,

用法

數學

一些共同的角度,以弧度測量。該圖中的所有大型多邊形都是常規多邊形

微積分和大多數其他數學分支以外的數學分支中,角度是在弧度中測量的。這是因為弧度具有數學自然性,從而導致一些重要結果的更優雅的表述。

當功能的參數以弧度表達時,可以優雅地陳述涉及三角功能分析。例如,弧度的使用導致簡單的極限公式

這是數學中許多其他身份的基礎,包括

由於這些和其他屬性,三角函數出現在與數學問題的解決方案中,這些函數與函數的幾何含義顯然沒有關係(例如,差分方程的解決方案,積分的評估等)。在所有這種情況下,發現函數的參數最自然地以幾何環境中對應的形式與角度的radian測量相對應。

當使用弧度時,三角功能還具有簡單而優雅的系列擴展。例如,當x在弧度中時, taylor系列sin x變成:

如果x以度為單位,則該系列將包含涉及π / 180冪的混亂因素:如果x是度數的數量,則弧度的數量為y = πx / 180 ,因此

以類似的精神,可以優雅地陳述正弦和余弦函數與餘弦函數之間重要的關係(例如,參見Euler的公式),當函數的論點在弧度中(否則)時,可以優雅地說明。

物理

當需要角度測量時,弧度廣泛用於物理中。例如,角速度通常以每秒(rad/s)單位radian表示。每秒一次革命對應於每秒弧度。

同樣,用於角加速度的單元通常是每秒雷達每秒的弧度(rad/s 2 )。

為了進行維度分析,角速度和角加速度的單位分別為S -1和S -2

同樣,兩個波的相位差也可以使用radian作為單位表示。例如,如果兩個波的相位差為( n · n是一個整數,則它們被認為是相位的,而如果兩個波的相位差為( n · + π ),則n整數,它們被認為是反相。

相互的弧度或反向弧度(rad -1 )與派生單元有關,例如每個雷達(對於角波長)或radian(相當於牛頓 - 米特)的焦耳。

前綴和變體

弧度用於雷值的公制前綴Milliradian (MRAD)是Radian(0.001 rad)的千分之一,即1 rad = 10 3 mrad 。一個圓圈中有 ×1000毫米(≈6283.185mrad)。因此,米里拉德人不到一個整個圓圈的角度1/6283 。該圓的角度測量單位是通過伸縮視力製造商使用(stadiaMetric)段中使用的(stadiaMetric)的常見來使用的。激光束的差異通常也在milliradians中測量。

Angular Mil北約和其他軍事組織在槍支目標中使用的米拉迪亞人的近似。每個角MIL代表一個1/6400 ,比Milliradian小15 / 8 %或1.875%。對於通常在定位工作中發現的小角度,在計算中使用數字6400的便利性超過了它引入的小數學錯誤。過去,其他槍擊系統已使用不同的近似值為1 / 2000π 。例如,瑞典使用1/6300 Streck ,蘇聯使用1/6000 北約米爾(Nato Mil)以1000 m的範圍為1 m(在如此小的角度,曲率可忽略不計)。

小於milli的前綴可用於測量極小角度。 Microdians(μrad, 10 -6 rad )和納米式(Nrad,Nrad, 10 -9 rad )用於天文學,也可以用於測量具有超低差異的激光器的光束質量。更常見的是ARC第二,即π / 648,000 rad(約4.8481 microradians)。


Radian(rad)的Si倍數
潛艇倍數
價值SI符號姓名價值SI符號姓名
10 -1 raddrad十二座10 1 rad達拉德decaradian
10 -2 rad克拉德Centiradian10 2 rad赫拉德赫克托拉德
10 -3 radMRADMilliradian10 3 rad克拉德kiloradian
10 -6 radμradMicrodian10 6 radMRADMegaradian
10 -9 rad恩拉德納米式10 9 rad畢業吉吉拉德人
10 -12 radpradPicoradian10 12 radTradTeraradian
10 -15 rad弗拉德Femtoradian10 15 radpradPetaradian
10 -18 rad阿拉德阿托拉德人10 18 rad埃拉德Exaradian
10 -21 radZradZeptoradian10 21 radZradZettaradian
10 -24 radYradYoctoradian10 24 radYradYottaradian
10 -27 radrrad隆頓人10 27 radrrad羅納拉德人
10 -30 radQRADquectoradian10 30 radQRAD奎塔拉德人

歷史

20世紀前

數學家很早就使用了通過弧長度測量角度的想法。例如, al-kashi (c。1400)將所謂的直徑零件用作單位,其中一個直徑零件為1/60雷達他們還使用了直徑部分的性亞基。牛頓在1672年談到了“人體圓形運動的角度量”,但僅將其用作相對度量來開發天文算法。

Radian措施概念通常歸功於羅傑·科特斯(Roger Cotes) ,他於1716年去世。在社論評論的一章中,史密斯(Smith)介紹了一個尚未倖存的小說道,這可能是對一個雷達的首次發表的計算。史密斯(Smith)在名字中以外的所有事物中描述了Radian - “現在,這個數字等於180度,就像一個圓的半徑到半圓環的半徑,這是1至3.141592653589” - ,並認識到其自然性是角度度量的單位。

1765年,萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler)隱式採用了雷達(Radian)作為角度單位。具體而言,Euler將角速度定義為“旋轉運動中的角速度是該點的速度,其距離旋轉軸的距離由一個人表示。” Euler可能是第一個採用此慣例的人,稱為Radian慣例,它為角速度ω = v / r提供了簡單的公式。如§維度分析中所述,Radian慣例已被廣泛採用,其他約定的缺點是需要尺寸常數,例如ω = v /( ηr

radian一詞普遍存在之前,該單元通常稱為角度的圓度度量拉迪安(Radian )一詞於1873年6月5日首次出現在貝爾法斯特皇后學院(Queen's College )的詹姆斯·湯姆森(James Thomson)(詹姆斯·湯姆森(James Thomson))中。他早在1871年就使用了該術語,而在1869年,當時的聖安德魯斯大學托馬斯·穆爾(Thomas Muir)radradialradian術語之間進行了動搖。 1874年,在與繆爾(Muir)採用拉迪安(Radian)的詹姆斯·湯姆森(James Thomson)進行了磋商之後。此後,一段時間內就沒有普遍採用Radian這個名字。 1890年出版時, Longmans的學校三角學仍然稱為Radian循環措施

亞歷山大·麥克法蘭(Alexander MacFarlane)在1893年寫道:“圓形比率的真正分析論點不是弧與半徑的比率,而是一個扇形面積與半徑上正方形的比率的比率。”由於某種原因,該論文被從與世界哥倫比亞在芝加哥舉行的哥倫比亞博覽會有關的數學大會論文集中撤回(在第167頁上得到認可),並私下發表在他的《太空分析》 (1894年)中。 MacFarlane達到了這個想法或區域的比率,同時考慮了類似定義的雙曲線角度的基礎。

作為SI單元

如保羅·昆西(Paul Quincey)等。寫道:“在國際單位體系(SI)中,角度的地位長期以來一直是爭議和混亂的根源。” 1960年, CGPM建立了SI,Radian與Steradian一起被歸類為“補充單位”。該特殊類被正式視為“是基本單位或派生單位”,因為CGPM無法決定Radian是基本單位還是派生單位。理查德·尼爾森(Richard Nelson)寫道:“這種歧義(在補充單位的分類中)促使人們對他們的適當解釋進行了充滿激情的討論。” 1980年5月,使用常數的α0 = 1 rad ,將弧度為SI基本單位的建議委員會(CCU)考慮了一項建議,但拒絕了當前實踐的動盪。

1980年10月,CGPM決定補充單位是無量綱的單元連貫且方便的,其中數量平面角和實體角可能被視為基本數量”,並且“ [將Radian和Steradian視為SI基本單元的可能性]損害了Si的內部連貫性,僅基於七個基本單位”。 1995年,CGPM消除了補充單元的類別,並將Radian和Steradian定義為“無量綱的派生單元,其名稱和符號可能但不需要在其他SI派生單元的表達式中使用,因為很方便”。米哈伊爾·卡利寧(Mikhail Kalinin)在2019年的寫作批評了1980年的CGPM決定是“毫無根據的”,並說1995年的CGPM決定使用了不一致的論點,並引入了“許多差異,不一致和矛盾的差異”。

在2013年CCU的會議上,彼得·莫爾(Peter Mohr)發表了介紹,該介紹涉嫌將Radian定義為無量綱的單位而不是基本單位而引起的矛盾。 CCU總統伊恩·米爾斯(Ian M. Mills)宣布這是一個“巨大的問題”,而在SI中,CCU工作組的角度和無量綱的工作組已建立。 CCU最近在2021年開會,但沒有達成共識。少數成員強烈認為Radian應該是一個基本單位,但是大多數人認為現狀是可以接受的,或者更改會導致更多的問題。建立了一個任務組,以“審查SI補充單位的歷史使用,並考慮重新引入是否有益”,以及其他活動。

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