弧度

弧度
一個圓圈長度與半徑該圓的概括角度1 Radian。周長的角度為2個角度π弧度。
一般信息
單位系統	si
單位	角度
象徵	rad
轉換
1 rad在 ...	...等於...
Milliradians	1000 MRAD
轉	1/2π轉動
學位	180/π°≈57.296°
Gradians	200/πg≈63.662g

這弧度，用符號表示rad，是角度在裡面國際單位體系（SI），是在許多區域中使用的角度測量的標准單位數學。該部門以前是SI補充單位（在1995年廢除該類別之前）。^[1]radian在SI中定義為無量綱的單元，1 rad = 1。^[2]因此，它的符號經常被省略，尤其是在數學寫作中。

定義

一個radian定義為從圓的中心劃分的角度，該圓的截止弧的長度等於圓的半徑。^[3]更普遍的是震級在一個亞傾角的弧度中，等於弧長與圓的半徑之比。那是，${\ displaystyle \ theta = {\ frac {s} {r}}}}}}$， 在哪裡θ是弧度的子傾角，s是弧長，r是半徑。一個直角完全是${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}}}}$弧度。^[4]

對應於一場完整革命的旋轉角（360°）是周長的長度除以半徑，是${\ displaystyle {\ frac {2 \ pi r} {r}}}}}}$， 或者2π。因此，2π弧度等於360度。

關係2πrad = 360°可以使用公式來得出弧長，${\ textstyle \ ell _ {\ text {arc}} = 2 \ pi r \ left（{\ tfrac {\ theta} {\ theta} {360^{\ circ}}}}}} \ right）}}$。由於radian是一個角度的量度，該角度由等於圓的半徑的弧度劃分，所以${\ textStyle 1 = 2 \ pi \ left（{\ tfrac {1 {\ text {rad}}}}}} {360^{\ circ}}}}} \ right）}$。這可以進一步簡化${\ textstyle 1 = {\ tfrac {2 \ pi {\ text {rad}}}}} {360^{\ circ}}}}}}}}$。將雙方乘以360°360°= 2πrad.

單位符號

這國際重量和措施^[4]和國際標準化組織^[5]指定rad作為radian的象徵。1909年使用的替代符號是^c（上標C，用於“圓形度量”），字母r或一個上標^r，^[6]但是這些變體很少使用，因為它們可能被誤認為度符號（°）或半徑（R）。因此，今天的角度為1.2弧度為1.2 rad；古老的符號可能包括1.2 R，1.2^rad，1.2^c，或1.2^r.

在數學寫作中，通常省略符號“ rad”。當在沒有任何符號的情況下量化角度時，假定弧度，當含義是指時，學位標誌°用來。

多方面分析

平面角定義為θ=s/r， 在哪裡θ是弧度的子傾角，s是弧長，r是半徑。一個radian對應於該角度的角度s=r， 因此1 Radian = 1 m/m.^[7]然而，rad僅用於表達角度，而不是表達長度的比例。^[4]使用類似的計算圓形部門的區域θ= 2一個/r²給出1個輻射為1 m²/m².^[8]關鍵事實是radian是一個無量綱的單元等於1。在2019年SI中，弧度被相應地定義為1 rad = 1.^[9]這是數學和整個科學領域的長期實踐，用於利用rad = 1.^[10][11]在1993年美國物理教師協會公制委員會規定，只有在使用其他角度測量時才能獲得不同的數值時，雷達才應明確出現在數量中，例如角度度量（rad），，角速度（rad/s），角加速度（rad/s²）， 和扭轉剛度（n·m/rad），而不是扭矩（n·m）和角動量（kg·m²/s）。^[12]

賈科莫·普蘭多（Giacomo Prando）說：“當前的狀況不可避免地會導致雷迪安（Radian）在物理方程式的維度分析中的幽靈般的外觀和消失。”^[13]例如，從皮帶輪上懸掛的繩子懸掛的物體會升起或掉落y=rθ厘米，哪裡r是滑輪的半徑，厘米，θ是皮帶輪在弧度上轉動的角度。繁殖時r經過θ弧度的單位從結果中消失了。同樣在公式中角速度滾輪，ω=v/r，弧度出現在ω但不在右側。^[14]安東尼·法國人稱這種現象為“力學教學中的多年生問題”。^[15]奧伯霍夫（Oberhofer）說，在維度分析中忽略弧度並根據慣例和上下文知識添加或刪除弧度的典型建議是“教學上不滿意”。^[16]

在1936年至2022年之間，至少有十二位科學家提出了將Radian視為定義其自身“角度”維度的基礎單位的建議。^[17][18][19]昆西（Quincey）對提案的審查概述了兩類建議。第一個選項將半徑的單元更改為每個radian的米，但這與維度分析不兼容圈子，πr²。另一個選擇是引入尺寸常數。根據Quincey的說法，與SI相比，這種方法是“邏輯上嚴格的”，但需要“修改許多熟悉的數學方程式”。^[20]

特別是，昆西確定了托倫斯引入常數的提議η等於1反射式（1 rad）^-1）以類似於引入常數ε₀.^[20][a]隨著此更改，在圓心中心的角度的角度的公式，s=rθ，被修改為s=ηrθ，和泰勒系列為了正弦一個角度θ變成：^[19][21]

大寫功能罪是“完整”函數，該函數以角度為角度的參數，並且獨立於表達的單元，^[21]儘管罪_rad是傳統功能純數字假設其論點是在弧度中。^[22]${\ displayStyle \ operatatorName {sin}}$可以表示${\ displaystyle \ sin}$如果很明顯，完整的表格是指的。^[19][23]

SI可以將相對於此框架視為一個天然單位方程的系統η= 1假定存在或類似地1 rad = 1。這個Radian慣例允許省略η在數學公式中。^[24]

角度的尺寸常數是“相當奇怪的”，並且修改方程式添加尺寸常數的難度可能會阻止廣泛使用。^[19]將Radian定義為基本單元可能對軟件可能有用，在此，更長的方程式的缺點是最小的。^[25]例如，促進單位庫通過plane_angle方面，^[26]和Mathematica的單位系統類似地認為角度具有角度。^[27][28]

轉換

共同角度的轉換 轉 弧度 學位 Gradians 0轉 0 rad 0° 0g 1/24轉動 π/12rad 15° 16+2/3g 1/16轉動 π/8rad 22.5° 25g 1/12轉動 π/6rad 30° 33+1/3g 1/10轉動 π/5rad 36° 40g 1/8轉動 π/4rad 45° 50g 1/2π轉動 1 rad c.57.3° c.63.7g 1/6轉動 π/3rad 60° 66+2/3g 1/5轉動 2π/5rad 72° 80g 1/4轉動 π/2rad 90° 100g 1/3轉動 2π/3rad 120° 133+1/3g 2/5轉動 4π/5rad 144° 160g 1/2轉動 πrad 180° 200g 3/4轉動 3π/2rad 270° 300g 1轉 2πrad 360° 400g

在學位之間

如前所述，一個弧度等於${\ displaystyle {180^{\ circ}}}/{\ pi}}}$。因此，要從弧度轉換為學位，乘以${\ displaystyle {180^{\ circ}}}/{\ pi}}}$.

${\ displayStyle {\ text {gente in verees}}} = {\ text {radians}}}}} \ cdot {\ frac {\ frac {180^{\ circ}}} {\ pi}}}}}}}}}}}}}}}}$

例如：

${\ displayStyle 1 {\ text {rad}} = 1 \ cdot {\ frac {\ frac {180^{\ circ}}} {\ pi}}} \ oft 57.2958^{\ circ}}}}$

${\ displayStyle 2.5 {\ text {rad}} = 2.5 \ cdot {\ frac {\ frac {180^{\ circ}}} {\ pi}}} \ aid 143.2394^{\ crocc}}}$

${\ displayStyle {\ frac {\ pi} {3}}} {\ text {rad}} = {\ frac {\ frac {\ pi} {3} {3}} \ cdot {\ frac {\ frac {180^{\ circ}} {\ circ}} {\ pi} {\ pi} {} = 60^{\ circ}}$

相反，要從學位轉換為弧度，乘以${\ displaystyle {\ pi}/{180^{\ circ}}}}}$.

${\ displayStyle {\ text {radians}}} = {\ text {et text {Angle in DEGREES}}} \ CDOT {\ frac {\ frac {\ pi} {180^{\ circ}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

例如：

${\ displayStyle 1^{\ circ} = 1^{\ circ} \ cdot {\ frac {\ pi} {\ pi} {180^{\ circ}}} _$

${\ displayStyle 23^{\ circ} = 23^{\ circ} \ cdot {\ frac {\ pi} {\ pi} {180^{\ circ}}} _$

弧度可以轉換為轉（一個轉彎是與革命相對應的角度）通過將弧度數除以2π.

在Gradians之間

${\ displayStyle 2 \ pi}$弧度等於一個轉動，根據定義400Gradians（400成員或400^g）。從弧度轉變為Gradians乘以${\ displayStyle 200^{\ text {g}}/\ pi}$並從Gradians轉變為弧度乘以${\ displaystyle \ pi /200^{\ text {g}}}}}$。例如，

${\ displayStyle 1.2 {\ text {rad}} = 1.2 \ cdot {\ frac {\ frac {\ frac {\ text {g}}}}} {\ pi}}} \ lift 76.3944^{\ text}}$

${\ displayStyle 50^{\ text {g}} = 50^{\ text {g}}} \ cdot {\ frac {\ pi} {\ pi} {200^{\ text {g}}}}}}}}}}}}}rad}}}}$

用法

數學

在結石以及大多數其他數學分支超越實用幾何學，在弧度中測量角度。這是因為弧度具有數學自然性，從而導致一些重要結果的更優雅的表述。

結果是分析涉及三角函數當功能的論點以弧度表達時，可以優雅地說明。例如，弧度的使用導致簡單限制公式

${\ displaystyle \ lim _ {h \ rightarrow 0} {\ frac {\ sin h} {h}}} = 1，}$

這是數學中許多其他身份的基礎，包括

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ sin x = \ cos x}$

${\ displaystyle {\ frac {d^{2}}} {dx^{2}}}} \ sin x = - \ sin x。}$

由於這些屬性和其他屬性，三角函數出現在數學問題的解決方案中，這些函數與函數的幾何含義並不明顯相關（例如，解決方案的解決方案微分方程${\ displaystyle {\ tfrac {d^{2} y} {dx^{2}}}} = - y}$，整體評估${\ displaystyle \ textstyle \ int {\ frac {dx} {1+x^{2}}}}，}，}，}$等等）。在所有這種情況下，發現函數的參數最自然地以幾何環境中對應的形式與角度的徑向測量相對應。

當使用弧度時，三角功能還具有簡單而優雅的系列擴展。例如，當x在弧度，泰勒系列為了犯罪x變成：

${\ displayStyle \ sin x = x - {\ frac {x^{3}}} {3！}}}+{\ frac {x^{5}}} {5！}}}}}}}} - {\ frac {x^{7} {7}} {7！}}+\ cdots。}$

如果x以程度表達，然後該系列包含涉及力量的混亂因素π/180：如果x是學位的數量，弧度的數量是y=πx/ 180， 所以

${\ displaystyle \ sin x _ {\ mathrm {deg}} = \ sin y _ _ {\ mathrm {rad}} = {\ frac {\ frac {\ pi} {180} {180}} x- \ lest（}}} \ right）^{3} \ {\ frac {x^{3}} {3！}}}+\ left（{\ frac {\ pi} {\ pi} {180}}}} \ right）frac {x^{5}} {5！}} - \ left（{\ frac {\ pi} {\ pi} {180}}} \ right）^{7} {7} \ {\ frac {x^{7}}}}+\ cdots。}$

以類似的精神，正弦和余弦功能與餘弦功能之間的數學重要關係與指數函數（例如，見歐拉的公式當函數的論點在弧度中（否則）時，可以優雅地說明。

物理

Radian廣泛使用物理當需要角度測量時。例如，角速度通常在單元中表達radian每秒（rad/s）。每秒一革對應於2π弧度每秒。

同樣，用於角加速度通常是每秒radian每秒（rad/s²）。

為了...的目的多方面分析，角速度和角加速度的單位是S^-1和s^-2分別。

同樣，相差也可以使用Radian作為單元表示兩個波。例如，如果兩個波的相差為（nÅ2π）弧度n是整數，他們被認為是階段，而如果兩個波的相差為（nÅ2π+π） 和n一個整數，它們被認為是反相。

前綴和變體

公制前綴對於潛水員，弧光燈使用。一種米利拉德（MRAD）是Radian（0.001 Rad）的千分之一，即1 rad = 10³MRAD。有2個π×1000毫米數（≈6283.185mrad）圓圈。所以一個米拉迪安人在下面1/6283由一個完整圓的角度劃分的角度。這個圓的角度測量單位是常見的望遠鏡景點製造商使用（stadiametric）記錄在網狀。這發散的激光光束通常也在毫米數中測量。

這角米是使用Milliradian的近似北約和其他軍事組織槍手和定位。每個角度的MIL代表1/6400一個圓圈15/8％或1.875％比Milliradian小。對於通常在定位工作中發現的小角度，在計算中使用數字6400的便利性大於其引入的小數學錯誤。過去，其他槍支系統已使用不同的近似1/2000π;例如瑞典使用1/6300Streck和蘇聯二手1/6000。北約米爾（Nato Mil）以1000 m的範圍（在如此小的角度上，曲率可忽略不計）約1 m。

小於milli的前綴可用於測量極小角度。Microdians（μrad，10^-6rad）和納米亞人（nrad，10^-9rad）用於天文學，也可用於測量具有超低差異的激光器的光束質量。更常見的是弧第二，那是π/648,000RAD（約4.8481個Microradians）。

歷史

20世紀之前

數學家很早就使用了通過弧長度測量角度的想法。例如，al-Kashi（c。1400）使用了所謂的直徑零件作為單位，一個直徑部分是1/60弧度。他們還使用了直徑部分的性亞基。^[29]牛頓在1672年談到了“人體圓形運動的角度量”，但僅將其用作發展天文算法的相對度量。^[30]

概念這拉迪安措施通常被認為是羅傑·科特斯他的堂兄羅伯特·史密斯（Robert Smith）於1716年去世。Harmonia mensurarum.^[31]在社論評論的一章中，史密斯（Smith）介紹了一項尚未倖存的小說道的音符，這可能是對一個雷達語的第一個發表計算。史密斯（Smith）在名字中以外的其他所有內容中描述了弧度，並將其自然性視為角度度量的單位。^[32][33]

1765年，萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）隱式採用了拉迪亞（Radian）作為角度單位。^[30]具體而言，Euler將角速度定義為“旋轉運動中的角速度是該點的速度，其距離迴旋軸的距離由一個人表示。”^[34]Euler可能是第一個採用此公約的人，稱為Radian公約，這給出了簡單的角速度公式ω=v/r。如所討論的§ 多方面分析，Radian慣例已被廣泛採用，其他公約的缺點是需要尺寸常數ω=v/（ηr）.^[24]

在學期之前弧度變得廣泛，該單元通常被稱為圓形度量一個角度。^[35]期限弧度於1873年6月5日首次出現在印刷詹姆斯·湯姆森（兄弟開爾文勳爵） 在皇后學院，貝爾法斯特。他早在1871年就使用了該術語，而在1869年托馬斯·繆爾（Thomas Muir），然後聖安德魯斯大學，在術語之間搖擺rad，徑向， 和弧度。1874年，在與繆爾（Muir）的詹姆斯·湯姆森（James Thomson）進行了磋商之後弧度.^[36][37][38]名字弧度此後一段時間並沒有普遍採用。Longmans的學校三角學仍然稱為radian圓形度量1890年出版。^[39]

作為SI單元

如保羅·昆西（Paul Quincey）等。寫道：“角度的狀態國際單位體系（SI）長期以來一直是爭議和混亂的根源。”^[40]1960年，CGPM建立了SI，Radian與Steradian一起被歸類為“補充單位”。該特殊類被正式視為“是基本單位或派生單位”，因為CGPM無法決定Radian是基本單位還是派生單位。^[41]理查德·尼爾森（Richard Nelson）寫道：“這種歧義（在補充單位的分類中）促使人們對他們的適當解釋進行了充滿活力的討論。”^[42]1980年5月單位諮詢委員會（CCU）被認為是使弧度成為Si基本單元的建議α₀= 1 rad，^[43][24]但拒絕了它，以避免當前練習的動盪。^[24]

1980年10月，CGPM決定補充單位是無量綱的單元^[42]基於“ [不存在[形式主義]，同時存在相干和方便，並且可以將數量平面角和實體角度視為基本數量的數量，並且[將Radian和Steradian視為Si的可能性基本單位]僅基於七個基本單位損害了SI的內部連貫性”。^[44]1995年，CGPM消除了補充單元的類別，並將Radian和Steradian定義為“無量綱的派生單元，其名稱和符號可能但不需要在其他SI派生單元的表達式中使用，並且很方便地使用”。^[45]米哈伊爾·卡利寧（Mikhail Kalinin）在2019年的寫作批評1980年的CGPM決定是“毫無根據的”，並說1995年的CGPM決定使用了不一致的論點，並引入了“眾多差異，不一致和SI言語中的矛盾”。^[46]

在2013年CCU會議上，彼得·莫爾（Peter Mohr）發表了關於將雷迪安定義為無量綱單位而不是基本單位的涉嫌矛盾的演講。CCU總統伊恩·米爾斯（Ian M. Mills）宣布這是一個“強大的問題”，CCU在SI的角度和無量綱數量的CCU工作組建立了。^[47]CCU最近在2021年見面^[更新]但沒有達成共識。少數成員強烈認為radian應該是基本單位，但是大多數人認為現狀是可以接受的，或者這種變化會導致更多的問題。建立了一個任務組，以“審查SI補充單位的歷史使用，並考慮重新引入是否有益”，以及其他活動。^[48][49]

也可以看看

• 角頻率
• 分鐘和第二弧
• 斯特拉德，弧度的高維類似物，該類似物測量實體角度
• 三角學

筆記

參考

外部鏈接

• Wikimedia Commons與Radian有關的媒體