比率
在數學中，比率（ ）顯示一個數字包含另一個數量。例如，如果一碗水果中有八個橙子和六個檸檬，則橙子與檸檬的比率為八到六個（即8：6，相當於比率4：3）。同樣，檸檬與橙子的比率為6：8（或3：4），橘子與水果總量的比率為8:14（或4：7）。
比率的數字可能是任何形式的數量，例如人數或對象的數量，例如長度，權重，時間等的測量。在大多數情況下，兩個數字都限制為正。
可以通過給出以“ A到B”或“ A：B”的構成數字來指定比率，或者僅給出其商的價值A/b。相等的商對應於相等的比率。表達兩個比率平等的陳述稱為比例。
因此，一個比率可以被視為有序的數字對，分子中的第一個數字和分母中的第二個數字，也可以將其視為該分數表示的值。計數比（非零）自然數給出的是有理數，有時可能是自然數。
物理科學（尤其是在計量學中）中採用的更具體的定義是用同一單元測量的兩個物理量之間的無量綱商。用不同單位測量的兩個數量的商可能稱為率。
符號和術語
數字A和B的比率可以表示為：
- A與B的比率
- A ： b
- a為b （接著是“ as c is d d d d ”；見下文）
- 用A為分子和B為分母的分數，代表商（即，由B劃分為b或）。這可以表示為簡單的或十進制的分數，也可以表示為百分比。
當比率以A：B形式寫入比率時，兩個點字符有時是結腸標點標記。在Unicode中，這是U+003a：結腸，儘管Unicode也提供了一個專用比率特徵，u+2236：比率。
表達兩個比率a ： b和c ： d的均等性的陳述稱為一個比例，以a ： b = c ： d或a ： b∷c ： d的形式寫入。後一種形式，當用英語寫或寫時，經常表示為
- （ a為b ）as（ c為d ）。
a ， b ， c和d稱為比例的條款。 A和D稱為極端， B和C稱為其手段。三個或多個比率的平等，例如： b = c ： d = e ： f ，稱為持續比例。
有時將比率與三個甚至更多的術語一起使用，例如，“兩個x四”的邊緣長度的比例為十英寸長。
- （未平面測量；當木材平滑時，前兩個數字略有減少）
有時會引用良好的混凝土混合物（以數量單位為單位）
對於（相當乾燥的）4/1零件的水泥與水的混合物，可以說水泥與水的比例為4：1，水泥的水泥是水的4倍，或者有4倍四分之一（1/4 ）和水泥一樣多。
這種比例比例為兩個術語的含義是，左側任何兩個項的比率等於右側的兩個術語的比率。
歷史和詞源
可以將“比率”一詞的來源追溯到古希臘語λόγος （徽標）。早期翻譯人員將其呈現為拉丁語（“原因”；如“理性”一詞）。對歐幾里得含義的更現代的解釋更類似於計算或估算。中世紀的作家使用比例（“比例”）一詞來指示比率和比例（“相稱性”）的比率平等。
歐幾里得收集了從早期來源的元素中出現的結果。畢達哥拉斯人開發了一種適用於數字的比率和比例理論。畢達哥拉斯人對數字的概念僅包括當今所謂的理性數字，對理論在幾何學中的有效性提出了懷疑，因為畢達哥拉斯人也發現，存在不可估量的比率（對應於非理性數字）。發現不假定可比性的比率理論的發現可能是由於cnidus的Eudoxus所致。元素第七本書中出現的比例理論的解釋反映了早期的相應性比率理論。
多種理論的存在似乎不必要地複雜，因為比率在很大程度上是用商及其前瞻性價值標識的。但是，這是一個相對較新的發展，可以看出，現代幾何教科書仍然使用不同的術語和符號來表達比率和商的符號。原因是雙重的：首先，前面提到的不願接受非理性數字作為真實數字，其次，缺乏廣泛使用的象徵主義來代替已經建立的比率術語，這將分數的完全接受為替代方案，直到16世紀。
歐幾里得的定義
歐幾里得元素的第五本書具有18個定義，所有定義與比率有關。此外，歐幾里得會使用如此常見的想法，以至於他沒有為它們包含定義。前兩個定義說，數量的一部分是“測量”它的另一個數量，相反，數量的倍數是它測量的另一個數量。在現代術語中，這意味著數量的倍數是，數量乘以大於一個的整數，而數量的一部分（意思是等分的部分）是一個部分，當乘以大於一個大於一個的整數時，就會給出一個部分數量。
但是，歐幾里得併未定義此處使用的術語“測量”一詞，但是，可以推斷，如果將數量作為測量單位，並且將第二個數量作為這些單位的積分數量，則第一個數量將第二。這些定義是重複的，幾乎是單詞的，如第七本書中的定義3和5。
定義3描述了一個比率的一般方式。從數學意義上講，它並不嚴格，有些則將其歸因於歐幾里得的編輯，而不是歐幾里得本人。歐幾里得將一個比率定義為兩種類型的量之間的比率，因此，根據此定義，定義了兩個長度或兩個區域的比率，而不是長度和麵積的比率。定義4使它更加嚴格。它指出，當每個倍數超過另一個時，存在兩個量的比率。在現代符號中，如果存在整數M和N ，則數量P和Q之間存在比率。該條件稱為Archimedes屬性。
定義5是最複雜，最困難的。它定義了兩個比率相等的含義。如今，這可以通過簡單地說出當術語的商相等時的比率是相等的，但是這種定義對歐幾里得毫無意義。在現代符號中，歐幾里得對平等的定義是給定數量p ， q ， r和s ， p ： q r ： s if and if and，僅當對於任何積極的整數m和np < mq ， np = mq或np時， > MQ分別為NR < MS ， NR = MS或NR > MS 。該定義具有Dedekind削減的親和力，因為NP均為NP ，而P / Q則符合MQ ，因為P / Q站在合理的數字M / N （將這兩個術語除以NQ ）。
定義6說，具有相同比率的數量是比例或成比例的。歐幾里得使用希臘語ἀναλόγον（類似物），這與λόγος具有相同的根，並且與英語單詞“模擬”有關。
定義7定義了一個比率小於或大於另一個比率的含義，並且基於定義5中的想法。在現代符號中，它說給定數量p ， q ， r和s ， p ： q > r ： s如果有正整數M和N ，則NP > MQ和NR≤ms 。
與定義3一樣，定義8被某些人視為歐幾里得的編輯者後來的插入。當p ： q∷q ： r時，它定義了三個術語p ， q和r 。將其擴展到四個術語p ， q ， r和s作為p ： q∷q ： r r r ： s ，等等。具有連續項比率相等的具有屬性的序列稱為幾何發展。定義9和10應用此問題，說如果P ， Q和R是比例的，那麼P ： R是P ： Q的重複比率，如果P ， Q ， R和S是比例的，那麼P ： S是一式三份比率p ： q 。
條款數量和分數的使用
通常，比較兩個實體比的數量可以表示為從比率得出的分數。例如，以2：3的比例，第一個實體的數量，大小，體積或數量是第二實體的數量。
如果有2個橙子和3個蘋果，則橙色與蘋果的比例為2：3，橙子與水果總數的比率為2：5。這些比率也可以以分數形式表達：蘋果的橙色與蘋果一樣多，而2/5的水果是橙子。如果將橙汁濃縮物用比1：4的水稀釋，則濃縮物的一部分與四個部分的水混合，總共五個部分；橙汁濃縮物的量為1/4，而橙汁濃縮量的量為總液體的1/5。在比率和分數方面，重要的是要清楚地比較什麼與什麼相比，而初學者通常會出錯。
也可以從超過兩個實體的比率中推斷出分數；但是，具有兩個以上實體的比率不能完全轉換為單個部分，因為分數只能比較兩個數量。可以使用一個單獨的部分來比較比率所覆蓋的任何兩個實體的數量：例如，從2：3：7的比率開始，我們可以推斷出第二實體的數量是第三實體的數量。
比例和百分比
如果我們將涉及比率涉及的所有數量乘以相同的數字，則比率仍然有效。例如，3：2的比率與12：8相同。通常，將術語降低到最低的共同點，或者以每百分比（百分比）的零件表達它們。
如果混合物在比率5：9：4：2中包含A，B，C和D的物質，那麼B，C，C和2部分的每9個部分中有5個部分。AS5+9 +4+2 = 20，總混合物包含A（20分中的5個），B的9/20，C的4/20和2/20。如果我們將所有數字除以總和乘以100，我們轉換為百分比：25 ％A，45％B，20％C和10％D（相當於寫比例為25：45：20：10）。
如果兩個或多個比例量包含特定情況下的所有數量，則據說“整個”包含零件的總和：例如，一個裝有兩個蘋果和三個橙子的水果籃，沒有其他水果在兩個零件蘋果和三個零件上。在這種情況下，或40％的全部是蘋果，或整體的60％是橙子。以比例為3; 7。特定數量與“整體”的比較稱為比例。
如果該比率僅由兩個值組成，則可以將其表示為分數，尤其是小數分數。例如，較舊的電視具有4：3的縱橫比，這意味著寬度為高度的4/3（也可以表示為1.33：1或僅1.33舍入到兩個小數點位置）。最近的寬屏電視具有16：9的縱橫比，或1.78舍入到兩個小數位。流行的寬屏電影格式之一是2.35：1或簡單地2.35。將比率表示為十進制分數可以簡化其比較。比較1.33、1.78和2.35時，很明顯哪種格式提供了更寬的圖像。這種比較僅在比較值一致時才起作用，例如始終表達與高度相關的寬度。
減少
通過將每個數量除以所有數量的共同因素，可以降低比率（如分數所示）。至於分數，最簡單的形式被認為是比率中的數字是最小的整數。
因此，比率40:60在含義與比率2：3相等，後者是通過將兩個量除以20的方式從前者獲得的。數學上，我們寫40:60 = 2：3，或等效地40：60： 2：3。言語當量為“ 40 to 60 AS 2為2為3”。
具有數量和不能進一步降低（使用整數）的整數的比例被認為是最簡單的或最低的。
有時，以1： x或x ：1的形式編寫比率，其中x不一定是整數，以啟用不同比率的比較。例如，比率4：5可以寫入1：1.25（將兩側除以4），也可以寫為0.8：1（將兩側劃分為5）。
如果上下文使含義清晰明了，則有時以1個形式的比例編寫了一個沒有1的比率符號（但是，從數學上講，這使其成為因素或乘數。
非理性比率
也可以在不可兌現的數量（將比例作為分數的值等於非理性數量的數量）之間建立比率。畢達哥拉斯人發現的最早發現的示例是對角線D的長度與正方形的側面S的長度的比例，這是2的平方根，正式的另一個例子是圓圈的比率。它的直徑，稱為π，不僅是一個非理性的數字，而且是先驗數。
眾所周知的是兩個（大部分）長度A和B的黃金比例，這是由比例定義的
- 或者，等效
將比率作為分數和具有值x的比率，得出方程式
- 或者
因此，它具有積極的，非理性的解決方案，至少A和B中的一個必須是不合理的，才能達到黃金比率。數學中黃金比率發生的一個例子是兩個連續斐波那契數的比率的限制值：即使所有這些比率都是兩個整數的比率，因此這些理性比率的序列的極限是非理性的黃金比率。
同樣， A和B的銀比由比例定義
- 對應於
該方程具有積極的，非理性的解決方案，因此以銀色比例至少兩個量A和B中的一個必須是不合理的。
賠率
賠率（如賭博中）表示為一個比率。例如，“ 7至3對抗”的賠率（7：3）意味著，每三個機會都不會發生七個機會。成功的可能性為30％。在每十項試驗中，預計將有三場胜利和七次失利。
單位
比率可能是無單位的，例如，即使它們的測量單位最初不同，它們也將數量與相同維度的單位相關聯。例如，可以通過將第一個值更改為60秒來減少1分鐘：40秒，因此比率變為60秒：40秒。一旦單元相同，就可以省略它們，並且比率可以降低到3：2。
另一方面，有非二級的商人，也稱為速率（有時也稱為比率）。在化學中，質量濃度比通常表示為重量/體積分數。例如，3％w/v的濃度通常意味著每100毫升溶液中的3 g物質。這不能像重量/重量或體積/體積分數一樣轉換為無量綱比率。
三角坐標
相對於帶頂點A ， B和C和側面AB ， BC和CA的三角形相對於三角形的位置通常以延長比例形式表示為三角坐標。
在Barycentric坐標中，具有坐標α，β，γ的點是，如果將重量放在頂點上，則在三角形的形狀和大小中，將重量的金屬碎片完全平衡，而權重的比率是B為α ： β ， B和C的權重比為β ： γ ，因此A和C的權重比為α ： γ 。
在三線性坐標中，一個具有坐標的點x ： y ： z具有垂直距離BC側（從頂點a ）和側面Ca （從頂點b對面）的比例為x ：y， y ，側面ca和側ca（橫跨AB）從c ）以比率y ： z ，因此以x ： z的比例為bc和ab 。
由於所有信息均以比率表示（通過α，β，γ，X，Y和z表示的單個數字本身沒有含義），因此使用Barycentric或Trinearecordinates進行三角分析，無論三角形的大小都適用。