實數
在數學中，實數是一個數字，可用於測量連續的一維數量，例如距離，持續時間或溫度。在這裡，連續意味著成對的值可以任意差異。每個實際數字幾乎都可以由無限十進制擴展來代表。
實際數字在微積分中是基本的（並且在所有數學中更普遍），尤其是它們在限制，連續性和衍生物的經典定義中的作用。
實數集表示為r或
實際數字包括有理數，例如整數-5和分數4/3 。其餘的實數稱為非理性數字。一些非理性數字（以及所有理由）是具有整數係數的多項式的根，例如平方根√2 = 1.414 ... ;這些稱為代數數。也有沒有的實數，例如π = 3.1415 ... ;這些稱為先驗數字。
實際數字可以被認為是稱為數字或真實行的行上的所有點，其中點對應於整數（ ...，-2，-1，0，1，2，... ）。 。
相反，分析幾何形狀是線上點（尤其是軸線）與實數的關聯，因此幾何位移與相應數字之間的差異成正比。
實際數字上面的非正式描述不足以確保涉及實數的定理證明的正確性。意識到需要更好的定義，並且對這種定義的闡述是19世紀數學的重大發展，並且是真實分析，實際功能的研究和實現序列的基礎。當前的公理定義是實數構成唯一（直至同構） dedekind commenter-commenter有序字段。實數的其他常見定義包括庫奇序列（理性數字）的等效類別， dedekind剪切和無限十進製表示。所有這些定義都滿足公理定義，因此是等效的。
表徵屬性
實際數字完全以其基本屬性為特徵，可以總結一下它們形成了Dedekind完整的有序字段。在這裡，“完全表徵”意味著任意兩個Dedekind完整有序字段之間存在獨特的同構，因此它們的元素具有完全相同的屬性。這意味著一個人可以操縱實數並與它們進行計算，而不知道如何定義它們。這就是數學家和物理學家在19世紀下半葉提供第一個正式定義之前幾個世紀的工作。有關這些正式定義及其等價證明的詳細信息，請參見實數的構造。
算術
實際數字形成有序字段。直覺上，這意味著基本算術的方法和規則適用於它們。更確切地說，有兩個二進制操作，加法和乘法以及一個具有以下屬性的總順序。
- 添加兩個實數A和B產生一個表示的真實數字
這是a和b的總和。
- 兩個實數A和B的乘法產生一個表示的實際數字表示
或者
這是A和B的產物。
- 加法和乘法都是交換性的，這意味著
和
對於每個實數A和B。
- 加法和乘法都是關聯的，這意味著
和
對於每個實數A ， B和C ，並且在兩種情況下都可以省略括號。
- 乘法在加法上分配，這意味著
對於每個實數A ， B和C。
- 有一個稱為零的實際數字，並表示為0 ，這是一個加法身份，這意味著
對於每個實際數字a 。
- 有一個真實的數字表示1 ，這是一個乘法身份，這意味著
對於每個實際數字a 。
- 每個實際數字a都有一個添加逆表示
這意味著
對於每個實際數字a 。
- 每個非零實數a都有一個乘法逆表示
或者
這意味著
對於每個非零實數a 。
- 總訂單表示
因為這是一個總訂單意味著兩個屬性：給定兩個實數A和B ，正好是之一
或者
是真的;而如果
和
那也有
- 該訂單與加法和乘法兼容，這意味著
對於每個實際數字C ，
暗示
和
可以從上述許多屬性中推導出許多其他屬性。尤其：
-
每個實際數字a
-
對於每個非零實數a
輔助操作
通常使用其他幾個操作，可以從上述操作中推導。
-
減法：兩個實數A和B的減法導致A的總和和B的添加逆- B ；那是，
-
部門：實數A的分區通過非零實際數字B表示
或者
並定義為a的繁殖， b的乘法逆；那是，
-
絕對值：實際數字A的絕對值，表示為
測量其距離零的距離，並定義為
輔助訂單關係
上述總訂單表示
-
比...更棒：
讀為“ A大於B ”，定義為
當且只有
-
小於或等於：
讀為“ A小於或等於B ”或“ A不大於B ”，定義為
或等效地為
-
大於或等於：
讀為“ A大於或等於B ”或“ A不少於B ”，定義為
或等效地為
整數和分數作為實數
實際數量0和1通常用自然數0和1識別。這允許識別任何自然數n ， n實數等於1的總和。
可以通過確定負面整數來追求此標識
這些標識使得
上述標識是有道理的，因為自然數，整數和實數通常不是由其個體性質定義的，而是通過定義屬性（公理）來定義。因此，通過這些實數滿足Peano Axioms可以滿足Peano Axioms的識別是合理的，並以1個為後繼函數來添加。
正式地，一個人具有自然數的有序單體的外觀同態
這些標識是正式的符號濫用，通常是無害的。只有在非常具體的情況下，人們才必須避免它們並通過明確使用上述同構形態來代替它們。建設性數學和計算機編程就是這種情況。在後一種情況下，這些同態被解釋為類型轉換，通常可以由編譯器自動完成。
Dedekind完整性
以前的屬性不會將實數與有理數區分開。 Dedekind完整性提供了這種區別，該內容指出，具有上限的每組實數都可以接受上限。這意味著以下內容。一組實數
Dedekind完整性意味著其他類型的完整性（請參見下文），但也有一些重要的後果。
-
Archimedean屬性：對於每個實際號碼X ，都有一個整數n ，這樣
（拿，
在哪裡
- 等效地，如果x是一個積極的實際數字，則有一個積極的整數n ，這樣
。
- 每個正實數X具有正方形的正方形，也就是說，存在一個正實數
這樣
- 每個具有實際係數的單變量多項式具有至少一個真實的根（如果領先係數為正，則將多項式值為負值的實數的最小上限為最小的上限）。
最後兩個屬性總結了實際數字形成真實的封閉字段。這意味著代數的基本定理的真實版本，即，每個具有實際係數的多項式都可以計入具有實際係數的多項式。
十進製表示
實際數字的關鍵屬性是它們的小數表示。十進製表示由非負整數K和小數位數的無限序列（非陰性整數小於10）組成）
那是寫的
（通常，人們認為，沒有一般性的損失，要么
這樣的小數表示，將獨特的非負實數指定為通過截斷序列獲得的十進制組分的最小上限。更準確地說，在正整數n下，位置n處序列的截斷是有限序列
序列定義的實際數字是
相反，如果非負實際數字A ，則可以定義歸納的小數表示A的小數表示，如下所示。定義
一個人可以使用實數的定義屬性來表明A是最小的上限
可以通過更換來獲得另一個小數表示
總而言之，實際數字和十進製表示之間有一個兩者的培訓，並不會以無限的尾隨9結束。
前面的考慮直接適用於每個數字基礎
拓撲完整
使用實數的主要原因是許多序列具有限制。更正式的是，實物是完整的（從指標空間或統一空間的意義上，這與上一節中的訂單的DEDEKIND完整性不同）：
如果對任何ε> 0，則實際數字的序列（ x n ）稱為cauchy序列，存在整數n （可能取決於ε），使得距離x n -x m |對於所有大於n的N和M ，對於所有N和M小於ε。該定義最初由凱奇（Cauchy）提供，正式的事實是， X n最終會任意地彼此接近。
如果序列（ x n ）的元素最終到達任意接近x ，則會收斂到極限x ，也就是說，如果存在任何ε> 0，則存在一個整數n （可能取決於ε），使得距離| x n -x |對於N大於n，小於ε。
每個收斂序列都是凱奇的序列，而相反的序列對於實際數字是正確的，這意味著實數的拓撲空間是完整的。
一組理性數字尚未完成。例如，序列（1; 1.4; 1.41; 1.414; 1.4142; 1.41421; ...），其中每個術語添加了2個正方形的小數為2的十進制膨脹的數字是cauchy，但它不會收斂到一個有理數（相反，實際數字為2）。
真實的完整性屬性是構建微積分和更普遍的數學分析的基礎。特別是，序列是cauchy序列的測試允許證明一個序列具有極限，而無需計算它，甚至不知道它。
例如，指數函數的標準序列
收斂到每個X的實際數字，因為總和
可以通過選擇足夠大的n來任意將其製成小（獨立於M ）。這證明了該序列是Cauchy，因此融合了，表明
“完整的訂購字段”
實際數字通常被描述為“完整的有序字段”，這一短語可以通過多種方式解釋。
首先，可以完成訂單。很容易看出，沒有有序的字段可以是晶狀體結合的，因為它沒有最大的元素（給定元素z ， z + 1較大）。
此外，可以訂購訂單，請參見§公理方法。在本節末尾的唯一性結果證明，當這是“完整”的意義時，使用“完整有序字段”一詞中的“ the the the the the the the”。這種完整感與Dedekind Cuts的構建最密切相關，因為該構建從有序的領域開始（理性），然後以標準方式形成了它的Dedekind-Completion。
這兩個完整的概念忽略了現場結構。但是，有序的組（在這種情況下為田地的加性群體）定義了統一的結構，均勻的結構具有完整性的概念。 §完整性中的描述是一種特殊情況。 （我們指的是統一空間中的完整性概念，而不是相關且眾所周知的度量空間概念，因為公制空間的定義依賴於已經具有實數的特徵。）
但是，大衛·希爾伯特（David Hilbert ）最初使用“完整的阿基米德田”一詞，他的意思仍然是其他東西。他的意思是，實際數字構成了最大的阿基米德田地，從某種意義上說
基數
從某種意義上說，雖然所有自然數的集合{1，2，3，4，...}，所有實數的集合都是無數的，並且所有實數都是無限集，但沒有一個 -從實數到自然數的一項功能。所有實數集的基數用
陳述沒有嚴格大於基數的真實子集
其他屬性
作為拓撲空間，實數是可分離的。這是因為可計數的一組理性在實際數字上是密集的。非理性數字在實際數字上也很稠密，但是它們是不可數用的，並且具有與真實的相同的基數。
實數形成度量空間： x和y之間的距離定義為絕對值| x -y | 。由於成為一個完全有序的集合，他們還具有訂單拓撲；由指標和由秩序產生的拓撲產生的拓撲是相同的，但對拓撲產生了不同的呈現方式 - 以階梯為序的拓撲，在指標拓撲中，作為epsilon-balls。 Dedekind Cuts構造使用訂單拓撲演示，而Cauchy序列構造則使用度量拓撲表現。真實物質形成可縮度（因此已連接並簡單地連接），可分離的和完整的度量空間。有多種屬性獨特地指定它們。例如，所有無界，連接和可分離的順序拓撲都必須對真實物質同構。
每個非負實際數字都有一個平方根
REALS具有規範度量，即Lebesgue度量，這是其結構上的HAAR度量，作為拓撲組的標準化，使單位間隔[0; 1]具有措施1.例如Vitali集。
REAL的最高公理是指實物的子集，因此是二階邏輯語句。僅憑一階邏輯來表徵真實物質： löwenheim– skolem定理意味著存在一個可數的實數的可計數密集子集，這些實數的濃密子集與真實數字本身一樣滿足一階邏輯中完全相同的句子。一組超元數滿足與
場
順序排序的定理意味著，如果假定選擇的公理，則可以井井有條：
實際數字可以是可計算的，也可以是無法兼容的；算法是隨機的還是不隨機的；並且要么是隨機的算術。
歷史
包括理性數字
，包括整數
，這又包括自然數
埃及人在公元前1000年左右使用了簡單的部分；吠陀的“舒爾巴·蘇特拉斯”（“和弦規則”） c。公元前600年包括可能的第一次“使用”非理性數字。非理性的概念被早期的印度數學家（例如Manava ）（公元前750 - 690年）隱含地接受，他意識到某些數字的正方形（例如2和61）無法完全確定。畢達哥拉斯（Pythagoras）領導的希臘數學家大約500次，也意識到2的平方根是不合理的。
中世紀帶來了零，負數，整數和分數的接受，首先是印度和中國數學家，然後是阿拉伯數學家，他們也是第一個將非理性數字視為代數對象的人（後者是可能的根據代數的發展）。阿拉伯數學家將“數字”和“大小”的概念融合為更籠統的實數。埃及數學家AbūKāmilShujāibn Aslam （約850–930）是第一個接受非理性數字作為二次方程的解決方案，或作為方程式中的係數（通常是以方形的形式，立方根，立方根根和第四個根）。在歐洲，與數值單位不可符合的這種數字稱為非理性或Surd （“聾啞”）。
在16世紀，西蒙·史蒂文（Simon Stevin）為現代十進制符號創造了基礎，並堅持認為這方面的理性和非理性數字之間沒有差異。
在17世紀，笛卡爾介紹了“真實”一詞來描述多項式的根，並將其與“虛構”區分開。
在18世紀和19世紀，關於非理性和先驗數字有很多工作。蘭伯特（1761）給出了有缺陷的證據，證明π不能是理性的。 Legendre （1794）完成了證明，並表明π不是有理數的平方根。 Liouville （1840）表明， E或E 2都不能成為整數二次方程的根，然後確定了先驗數的存在。 Cantor （1873）擴展並大大簡化了此證明。 Hermite （1873）證明了E是先驗的， Lindemann （1882）表明π是先驗。 Weierstrass（1885）， Hilbert （1893）， Hurwitz和Gordan簡化了Lindemann的證據。
微積分的開發人員使用實數並沒有嚴格定義它們。第一個嚴格的定義是由康托爾（Cantor）於1871年發表的。1874年，他表明所有實數的集合都是無限的，但所有代數數字的集合都是無限的。康托爾的第一個不可估量證明與他著名的對角線論點不同。
正式定義
實際號碼系統
公理方法
讓
- 集合
- 場
- 如果x≥y ，則x + z≥y + z ;
- 如果x≥0和y≥0 ，則xy≥0 。
- 該順序是Dedekind complete，這意味著每個非空的子集
最後一個屬性適用於實際數字，但不適用於有理數（或其他更奇特的有序字段）。例如， 
這些屬性暗示了Archimedean屬性（其他完整性的定義並不暗示），該屬性指出，整數集合在真實中沒有上限。實際上，如果這是錯誤的，那麼整數將具有最少的上限n 。然後， n - 1不會是上限，並且會有一個整數n ，因此n > n - 1 ，因此是n + 1> n ，這與n的上限屬性是矛盾的。
實際數字是由上述屬性唯一指定的。更確切地說，給定任意兩個dedekind complete的有序字段
對於另一個公理化
有理數的構造
實際數字可以作為理性數字的完成構建，以使得由十進製或二進制擴展定義的序列（例如（3; 3.1; 3.1; 3.14; 3.14; 3.141; 3.1415; ...）會收斂到唯一的實際數字- 在這種情況下π 。有關實際數字的詳細信息和其他結構，請參見實數的構造。
應用和連接
物理
在物理科學中，大多數物理常數（例如通用引力常數）和物理變量（例如位置，質量，速度和電荷）都是使用實數建模的。實際上，使用數學結構，通常是基於實際數量的數學結構（通常是平滑的歧管或希爾伯特空間）來描述基本的物理理論，例如經典力學，電磁，量子力學，一般相對論和標準模型具有有限的準確性和精度。
物理學家偶爾提出，更基本的理論將用不形成連續體的數量代替實數，但是這些建議仍然投機。
邏輯
實際數字最常使用集合理論的zermelo – fraenkel公理化形式化，但是一些數學家研究了實際數字，並以其他數學的邏輯基礎來研究實數。特別是，還以相反的數學和建設性數學研究了實數。
埃德溫·休伊特（Edwin Hewitt） ，亞伯拉罕·羅賓遜（Abraham Robinson）和其他人通過引入無限和無限的數字擴展了實數集的超現實數字，以更接近Leibniz ，Eulniz， Euler ，Cauchy， Cauchy和其他人的原始直覺，從而構建了無窮小的演算。
愛德華·尼爾森（Edward Nelson ）的內部集合理論通過引入一元謂詞“標準”來豐富zermelo – fraenkel集理論。在這種方法中，無限量是實數集的（非標準）元素（而不是像魯濱遜理論一樣）。
連續假設認為，實數集的基數是
計算
電子計算器和計算機無法在任意實際數字上運行，因為有限的計算機不能直接存儲無限的數字或其他無限表示。他們通常甚至不以任意定義的實數操作，這是不方便的操縱。
取而代之的是，計算機通常與稱為浮點數數字的有限精確近似值一起工作，該表示法類似於科學符號。可實現的精度受每個數字分配的數據存儲空間的限制，無論是定點，浮點數，任意推薦的數字，還是其他一些表示形式。大多數科學計算都使用二進制浮點算術，通常是64位表示，精度約為16個小數位數。實數滿足通常的算術規則，但浮點數不滿意。數值分析領域研究了以近似算術實現的數值算法的穩定性和準確性。
或者，計算機代數係統可以通過為其操縱符號公式來準確地操作非理性數量（例如
如果存在一種產生其數字的算法，則將實際數字稱為可計算。因為只有很多算法，但是數量不可計算的算法，所以幾乎所有實數都無法計算。此外，兩個可計算數字的平等是一個不可確定的問題。一些建構主義者只接受只能計算的真實物的存在。一組可確定的數字更廣泛，但仍然只能數。
集理論
在集合理論，特別是描述性集理論中， Baire空間被用作實際數字的替代物，因為後者俱有某些拓撲特性（連接性），這是一種技術不便。 Baire空間的元素稱為“真實”。
詞彙和符號
所有實數的集合表示
通常會注意到一組正實數和負實數
符號
在數學中，真實被用作形容詞，這意味著基礎字段是實數（或真實字段）的字段。例如，真實矩陣，真實多項式和真實代數。該單詞也被用作名詞，意思是一個真實的數字（如“所有真實的集合”中）。
概括和擴展
實數可以概括和擴展到多個不同的方向：
- 複數包含所有多項式方程的解決方案，因此與實數不同。但是，複數不是有序字段。
- 親密擴展的實數係統添加了兩個元素+∞和-∞ 。這是一個緊湊的空間。它不再是一個字段，甚至是添加劑組，但仍然有總訂單。而且，這是一個完整的格子。
- 真實的投影線僅添加一個值∞ 。它也是一個緊湊的空間。同樣，它不再是一個字段，甚至是添加劑組。但是，它允許將非零元素劃分為零。它具有通過分離關係描述的循環順序。
- 長的真實線糊ℵ1 * +ℵℵ + ℵ1副本的真實行加上單個點（此處ℵ1 *表示ℵ1的反向排序），以創建一個與實際數字“局部”相同的訂單集但是有點更長的時間；例如，在長實際行中有一個訂單的嵌入ℵ1 ，但在實際數字中沒有。漫長的真實線是最大的有序套件，它是完整的和本地的acragimedean。與前兩個示例一樣，該集合不再是字段或加法組。
- 擴展真實的有序字段是超現實數字和超現實數字。它們倆都包含無限的和無限的數量，因此是非架構的有序場。
- 希爾伯特空間上的自動伴侶操作員（例如，自我伴侶平方復雜矩陣）在許多方面都概括了真實：它們可以訂購（儘管不是完全有序），它們是完整的，所有的特徵值都是真實的，它們形成了一個真正的聯想代數。正定運算符對應於正實數，而正常運算符對應於復數。
也可以看看
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