標量（數學）

標量是用於定義向量空間的字段的元素。在線性代數中，通過標量乘法的操作（在矢量空間中定義），可以將字段的實數或一般元素稱為標量，並與關聯向量空間中的向量相關，其中可以將向量乘以標量乘以標量。定義的產生另一個向量的方法。一般而言，可以通過使用任何字段而不是實數（例如複數）來定義矢量空間。然後，該向量空間的標量將是相關場的元素（例如復數）。

可以在向量空間上定義標量產品操作 - 不要與標量乘法混淆，從而使兩個向量以定義的方式乘以產生標量。配備標量產品的矢量空間稱為內部產品空間。

多個標量描述的數量（例如具有方向和幅度）稱為矢量。術語標量有時也非正式地用來表示矢量，矩陣，張量或其他通常是“複合”值，實際上將“化合物”值降低為單個組件。因此，例如，正式為1×1矩陣的1× N矩陣和N ×1矩陣的乘積通常被認為是標量。四元組的實際組成部分也稱為其標量部分。

術語標量矩陣用於表示ki形式的矩陣，其中k是標量， i是身份矩陣。

詞源

標量詞源自拉丁語單詞stalaris ，這是一種形容詞的形式形式的scala （拉丁語“梯子”），英語單詞尺度也來自於此。數學中“標量”一詞的第一個記錄用法發生在FrançoisViète的分析藝術（在Artem Analyticem Isagoge中）（1591年）：

以與另一種的性質相符的性質相稱地上升或下降的幅度可能稱為標量術語。

（拉丁語：幅度quae quae ex genere ad sua vi比較比例的adscendunt vel vel descendunt，vacentur量表。 ）

根據牛津英語詞典的引用，第一個記錄了“標量”一詞英語中的用法在1846年與WR漢密爾頓一起使用，指的是四個季度的真實部分：

根據發生的問題，代數實際的部分可能會收到所有值，其中所有值都包含在一個從陰性到正無窮大的數字進程中；因此，我們將其稱為標量部分。

定義和屬性

矢量空間標量

向量空間定義為一組向量（添加劑Abelian組），一組標量（字段）和一個標量乘法操作，該操作將標量k和vector v帶來形成另一個向量k v 。例如，在坐標空間中，標量乘法產量。在（線性）函數空間中， $kf$ 是函數 $x\mapstok （f （ x ））$ 。

標量可以從任何字段中獲取，包括理性，代數，真實和復數以及有限字段。

標量作為向量組件

根據線性代數的基本定理，每個向量空間都有一個基礎。因此，場上k上的每個向量空間都是與相應的坐標矢量空間同構的，其中每個坐標由k的元素組成（例如，坐標（ a ₁ ， a ₂ ，...，... ， _n ），其中_ai∈K和n是考慮的矢量空間的維度。）。例如，維數n的每個實際矢量空間都是n維真實空間r ⁿ的同構。

規範矢量空間中的標量

另外，可以配備向量空間V的標準函數，該函數分配給V a vector v a scalar || v ||。根據定義，將V乘以標量K還將其規範乘以| K |。如果|| v ||被解釋為V的長度，可以將此操作描述為k縮放V的長度。配備標準的矢量空間稱為標準矢量空間（或規範線性空間）。

規範通常被定義為V的標量字段K的元素，該元素將後者限制為支持符號概念的字段。此外，如果V具有2個或更高的尺寸，則K必須在平方根下關閉，以及四個算術操作。因此，有理數Q被排除在外，但是SURD場是可以接受的。因此，並非每個標量產品空間都是規範的矢量空間。

模塊中的標量

當要求集量表形成一個字段的要求時，它只需要形成一個環（例如，不需要定義標量的劃分，或者標量無需交換），則結果更一般代數結構稱為模塊。

在這種情況下，“標量”可能是複雜的對象。例如，如果r是一個環，則可以將產品空間r ⁿ的向量與N × n矩陣一起製成，並將其作為標量為標量的輸入。另一個例子來自歧管理論，其中切線束的各節空間在歧管上真實函數的代數上形成一個模塊。

縮放轉換

向量空間和模塊的標量乘法是一種縮放的特殊情況，一種線性轉換。