時空

在物理，時空是一個數學模型結合了慣性空間和時間歧管（x，y）非慣性參考框架空間和時間（x'，t'）四維與位置有關的模型（慣性參考框架）田地（物理）。一個四載體（x，y，z，t）由坐標軸加上時間可以與非慣性框架一起使用，以說明運動的細節，但不應將通常與時空模型混淆。時空圖概括時間縮放空間的影響特殊相對論，並有助於想像為什麼不同的觀察者在發生事件的何時和何時對不同的觀察者感知不同。

直到20世紀，假定宇宙的三維幾何形狀（其在坐標，距離和方向上）獨立於一維時間。物理學家艾爾伯特愛因斯坦幫助發展時空的想法作為他的一部分相對論。在他開創性的工作之前，科學家有兩個獨立的理論來解釋身體現象：艾薩克·牛頓物理定律描述了大量物體的運動，而詹姆斯·克萊克·麥克斯韋（James Clerk Maxwell）的電磁模型解釋了光的特性。但是，在1905年，愛因斯坦基於兩個假設的特殊相對論的工作：

• 物理定律是不變（即相同）慣性系統（即，非加速參考框架）
• 這光速在一個真空無論光源的運動如何，所有慣性觀察者都是相同的。

將這些假設一起進行的邏輯後果是四個維度的不可分割的連接（假定為獨立的空間和時間）。出現了許多違反直覺的後果：除了獨立於光源的運動外，光速還是恆定的，無論其測量的參考框架如何；當以不同的測量測量時，事件對的距離甚至時間順序會發生變化慣性框架（這是同時性的相對論）；速度的線性添加性不再是正確的。

愛因斯坦以運動學（移動身體的研究）。他的理論是一個進步洛倫茲的1904年電磁現象理論和龐加萊的電動力理論。儘管這些理論包括與愛因斯坦引入的方程式相同的方程式（即洛倫茲的變換），它們本質上是提議解釋各種實驗結果的臨時模型 - 包括著名的Michelson – Morley干涉儀實驗 - 很難適應現有的範例。

1908年，赫爾曼·敏科夫斯基 - 一位在蘇黎世的年輕愛因斯坦的數學教授之一，表明了對特殊相對論的幾何解釋，該解釋融合了時間和空間的三個空間維度，成為一個單一的四維連續體Minkowski空間。這種解釋的關鍵特徵是空間間隔的形式定義。儘管測量距離和時間之間事件在不同的參考幀中進行的測量值不同，時空間隔與記錄它們的慣性參考框架無關。^[1]

Minkowski對相對論的幾何解釋是對愛因斯坦的1915年發展至關重要相對論一般理論，他展示瞭如何質量和能量曲線平時偽里曼尼亞人歧管.

介紹

定義

非宗教主義古典力學零食時間作為通用數量的測量，在整個空間中都是均勻的，並且與空間分開。經典力學假設時間具有恆定的通過率，與觀察者的的狀態運動，或任何外部的東西。^[2]此外，它假設空間是歐幾里得;它假設空間遵循常識的幾何形狀。^[3]

在特殊相對論，時間不能與空間的三個維度分開，因為觀察到的速率在該物體中通過的速率取決於對象的速度相對於觀察者。一般相對論還提供瞭如何解釋引力場可以減慢觀察者在場外看到的對象的時間的流逝。

在普通空間中，一個位置由三個數字指定，稱為方面。在裡面笛卡爾坐標系，這些稱為x，y和z。時空中的位置稱為事件，並且需要指定四個數字：空間中的三維位置以及時間的位置（圖1）。事件由一組坐標表示x，y，z和t。因此時空是四維。數學事件的持續時間為零，代表時空中的一個點。

通過時空的粒子路徑可以被認為是事件的連續。可以將一系列事件鏈接在一起，形成一條線，該線代表粒子在時空中的進展。那條線稱為粒子的世界線.^[4]：105

從數學上講，時空是歧管也就是說，它在每個點附近出現在本地“平坦”，就像在足夠小的尺度上，地球儀看起來平坦一樣。^[5]一個比例因素，${\ displayStyle c}$（常規稱為光速）將在空間中測量的距離與及時測量的距離相關。這種量表因子的大小（在空間上的近30萬公里或190,000英里等同於一秒鐘），以及時空是一種多種多樣的事實，意味著在普通的，非權利的速度和正常的人類規模上距離，幾乎沒有人可能會觀察到，這與世界是歐幾里得人士可能觀察到的明顯不同。只有在1800年代中期的敏感科學測量出現，例如Fizeau實驗和Michelson – Morley實驗，基於歐幾里得空間的隱式假設，觀察與預測之間開始注意到令人困惑的差異。^[6]

圖1-1。時空中的每個位置均由四個數字標記參照系：空間中的位置和時間（可以將其視為讀取位於空間每個位置的時鐘的讀數）。“觀察者”根據自己的參考框架同步時鐘。

在特殊的相對論中，觀察者在大多數情況下將意味著一個參考框架正在測量一組對像或事件。這種用法與該術語的普通英語含義有很大不同。參考幀是固有的非局部構建體，根據該術語的使用，將觀察者說為具有位置是沒有意義的。在圖1-1中，想像一下，所考慮的框架配備了一個密集的時鐘晶格，在此參考框架內同步，在整個空間的三個維度中無限期地擴展。晶格內的任何特定位置都不重要。時鐘的晶格用於確定整個框架內發生的事件的時間和位置。期限觀察者指的是與一個慣性參考框架相關的整個時鐘合奏。^{[7]：17–22}在這種理想化的情況下，空間中的每個點都具有與之關聯的時鐘，因此時鍾立即註冊每個事件，事件及其記錄之間沒有時間延遲。然而，真正的觀察者將看到信號的發射與光速導致其檢測之間的延遲。在同步時鐘減少數據經過實驗，將收到信號的時間進行糾正以反映其實際時間，即通過理想的時鐘晶格記錄了信號的時間。

在許多關於特殊相對論的書籍，尤其是較舊的書籍中，“觀察者”一詞是在更普通的一詞中使用的。通常從採用含義的上下文可以清楚地看出。

物理學家區分什麼措施或者觀察（在將信號傳播延遲計算出來之後），而不是視覺上看到的情況，沒有這樣的校正。無法理解一個人觀察/觀察與看到的內容之間的區別是初學者相對論中有很多錯誤的根源。^[8]

歷史

圖1-2。米歇爾森（Michelson）和莫利（Morley）期望通過以太運動的運動將導致橫穿設備的兩個臂之間的光相位變化。對他們的負面結果，以太拖的最合乎邏輯的解釋是與恆星畸變的觀察發生衝突。

到1800年代中期，各種實驗，例如觀察Arago Spot和空氣與水的光速的差異測量被認為已證明了光的波性質，而不是局部理論.^[9]然後假定波的傳播需要一個揮舞著中等的;在光波的情況下，這被認為是一種假設發光的以太.^[注1]但是，建立這種假設介質的特性的各種嘗試產生了矛盾的結果。例如，Fizeau實驗1851年，由法國物理學家進行Hippolyte Fizeau，證明流水中的光速小於空氣中光速的總和，加上水的速度，取決於水的折射率。^[10]除其他問題，部分的依賴性以太拖該實驗對折射索引（取決於波長）的暗示，得出了不可能的結論。同時以不同的速度流動，以獲得不同的光的光。^[11]有名的Michelson – Morley實驗1887年（圖1-2）在假設的速度上對地球運動對光速沒有差異影響，最有可能的解釋是完全拖動的，與觀察恆星像差.^[6]

喬治·弗朗西斯·菲茨杰拉德（George Francis Fitzgerald）1889年^[12]和Hendrik Lorentz1892年，獨立提出，穿越固定以太的物質在物理上受其通過的影響，朝著運動方向收縮，而這恰好是解釋米歇爾森 - 莫利實驗的負面結果所必需的。（在橫向運動方向的方向上沒有長度變化。）

到1904年，洛倫茲（Lorentz洛倫茲的變換），但具有根本不同的解釋。^[13]作為一個理論動力學（對力和扭矩的研究及其對運動的影響），他的理論假定物質的物理成分的實際物理變形。^{[14]：163–174}洛倫茲的方程式預測了他所說的數量當地時間，他可以解釋光的像差，Fizeau實驗和其他現象。但是，洛倫茲認為本地時間只是一種輔助數學工具，這是一種技巧，可以簡化從一個系統到另一個系統的轉換。

世紀之交的其他物理學家和數學家接近到達目前所謂的時空。愛因斯坦本人指出，隨著許多人揭開各種難題的挑戰，“相對論的特殊理論，如果我們在回想起來，就會在1905年進行發現。”^[15]

Hendrik Lorentz

HenriPoincaré

艾爾伯特愛因斯坦

赫爾曼·敏科夫斯基

圖1-3。

一個重要的例子是HenriPoincaré，^{[16][17]：73–80，93–95}他在1898年認為兩個事件的同時性是慣例問題。^{[18][筆記2]}1900年，他認識到洛倫茲的“當地時間”實際上是通過明確應用時鐘來指示的操作定義假設恆定光速的時鐘同步。^[注3]在1900年和1904年，他通過強調他所說的有效性來提出以太固有的固有性。相對性原則，在1905/1906^[19]他在數學上完善了洛倫茲的電子理論，以使其符合相對論的假設。在討論有關洛倫茲不變引力的各種假設的同時，他通過定義各種四維時空引入了創新的概念四個向量，即四位置，四速度， 和四力.^[20][21]然而，他沒有在隨後的論文中追求四維形式主義，並指出這一研究似乎“帶來了極大的痛苦，才能獲得有限的利潤”，最終得出結論：“三維語言似乎最適合我們世界的描述”。^[21]此外，直到1909年，龐加萊仍繼續相信洛倫茲轉型的動態解釋。^{[14]：163–174}出於這些和其他原因，大多數科學史學家認為，龐加萊沒有發明現在所謂的特殊相對論。^[17][14]

1905年，愛因斯坦（Einstein）在其現代理解中引入了特殊的相對論（即使不使用時期形式的技術）作為時空理論。^[17][14]儘管他的結果在數學上等同於洛倫茲和龐加萊的結果，但愛因斯坦表明，洛倫茲的轉變不是物質與以太之間相互作用的結果，而是關注時空本身的本質。他通過認識到整個理論可以建立在兩個假設上：相對論的原理和光速原則。

愛因斯坦根據運動學（對運動的研究無參考）而不是動態。他的介紹對象的工作充滿了生動的圖像，涉及運動時鐘之間的光信號，仔細測量移動桿的長度以及其他此類示例。^[22][注4]

此外，愛因斯坦在1905年取代了以前的嘗試電磁質量 - 通過介紹將軍的能源關係質量和能量的等效性，這對他隨後的表述有用等價原理1907年，宣布慣性和重力質量的等效性。通過使用質量 - 能量等效，愛因斯坦還表明，人體的重力質量與其能量含量成正比，這是發展的早期結果之一一般相對論。雖然看來他一開始沒有幾何思考時空，但^[24]：219愛因斯坦一般相對論的進一步發展充分融合了時空形式。

愛因斯坦（Einstein）於1905年出版時，他的另一位競爭對手，他的前數學教授赫爾曼·敏科夫斯基，也達到了特殊相對論的大多數基本要素。麥克斯出生講述了他與Minkowski舉行的會議，試圖成為Minkowski的學生/合作者：^[25]

我去了科隆，遇到了Minkowski，並聽到了1908年9月2日發表的他著名的演講“空間和時間”。在觀察者的不同本地時間相對於彼此移動；因為他已經獨立得出了相同的結論，但沒有出版它們，因為他希望首先能夠以其所有的輝煌來製定數學結構。他從未提出優先權，並始終在愛因斯坦（Einstein）中得到了他在大發現中的全部份額。

Minkowski至少自1905年夏天以來，Minkowski和大衛·希爾伯特（David Hilbert）當時著名的物理學家參加了一項高級研討會，以研究Lorentz，Poincaré等人的論文。但是，毫無疑問，毫無疑問Minkowski開始製定具有他名字的特殊相對論的幾何表述，或者他受Poincaré對Lorentz Transformation的四維解釋的影響。他是否曾經充分讚賞愛因斯坦對洛倫茲轉型的理解的關鍵貢獻，也不清楚，將愛因斯坦的工作視為洛倫茲作品的擴展。^[26]

圖1–4。Minkowski在1908年提出的手工色彩透明度拉姆和Zeit演講

1907年11月5日（在他去世前一年多一點），Minkowski在戈丁根數學學會的演講中介紹了他對時空的幾何解釋，標題為標題，相對性原則（DasRelativitätsprinzip）。^[注5]1908年9月21日，Minkowski發表了他的著名演講，時空（拉姆和Zeit），^[27]給德國科學家和醫生學會。開頭的話時空包括Minkowski的著名陳述，即“從此以後，空間和時間本身的時間將完全減少到陰影，只有兩者的某種結合才能保留獨立性”。時空包括時空圖的第一個公開介紹（圖1-4），並包括一個顯著的證明，即不變間隔（在下面討論），加上經驗觀察，即光的速度是有限的，允許衍生整個特殊相對論。^[注6]

時空概念和洛倫茲組與某些類型的領域，雙曲線， 或者保形幾何形狀他們的轉型群體已經在19世紀發展不變間隔類似於時空間隔被使用。^[注7]

愛因斯坦最初對Minkowski對特殊相對論的幾何解釋不屑一顧überflüssigeGelehrsamkeit（多餘的學習性）。然而，為了完成他對1907年開始的廣泛相對論的搜索，對相對論的幾何解釋被證明是至關重要的，1916年，愛因斯坦完全承認他對Minkowski的債務，其解釋極大地促進了對一般相對論的過渡。^{[14]：151–152}由於還有其他類型的時空，例如一般相對論的彎曲時空，因此特殊相對論的時空被稱為Minkowski時空。

特殊相對論的時空

時空間隔

在三個方面，距離${\ displaystyle \ delta {d}}$可以使用勾股定理：

${\ displayStyle（\ delta {d}）^{2} =（\ delta {x}）^{2}+（\ delta {y}）}$

雖然兩個觀眾可以衡量x，y， 和z使用不同的坐標系的兩個點的位置，兩者之間的距離將相同（假設它們是使用相同單元測量的）。距離是“不變的”。

但是，在特殊的相對論中，如果一個觀察者在移動時，兩個不同的觀察者在兩個不同的觀察者衡量的情況下，兩點之間的距離不再相同，因為洛倫茲收縮。如果兩個點在時間和太空中分開，情況就更加複雜。例如，如果一個觀察者看到兩個事件發生在同一位置，但是在不同的時間，相對於第一個觀察者而移動的人將看到兩個事件發生在不同的地方，因為（從他們的角度來看）他們是固定的，事件的位置正在退縮或接近。因此，必須使用不同的度量來測量兩個事件之間的有效“距離”。

在四維時空中，對距離的類似物是間隔。儘管時間是第四維的，但與空間維度的處理方式不同。因此，Minkowski空間在重要方面與眾不同四維歐幾里得空間。將空間和時間合併到時空的基本原因是空間和時間分別不是不變的，也就是說，在適當的條件下，不同的觀察者會在兩個之間的時間長度上不同意事件（因為時間擴張）或兩個事件之間的距離（因為長度收縮）。但是特殊相對論提供了一種新的不變性，稱為時空間隔，結合了空間和及時的距離。所有測量兩個事件之間時間和距離的觀察者最終都會計算相同的時空間隔。假設一個觀察者測量兩個事件是在時間分離的${\ displaystyle \ delta t}$和空間距離${\ displaystyle \ delta x。}$然後空間間隔${\ displayStyle（\ delta {s}）^{2}}}$在兩個距離分開的事件之間${\ displaystyle \ delta {x}}}$在太空和${\ displaystyle \ delta {ct} = c \ delta t}$在裡面${\ displayStyle ct}$ - 坐標為：

${\ displayStyle（\ delta s）^{2} =（\ delta ct）^{2} - （\ delta x）^{2}，}，}$

或三個空間維度，

${\ displayStyle（\ delta s）^{2} =（\ delta ct）^{2} - （\ delta x）^{2} {2} - （\ delta y）^{2} {2} - （\ delta Z）^{{2}。}$^[31]

常數${\ displayStyle c，}$光速，將時間單元（如秒）轉換為太空單元（如米）。平方間隔${\ displaystyle \ delta s^{2}}}$是事件A和B之間分離的分離度量的度量，此外，由於有兩個單獨的對象，要么是由於事件發生的兩個單獨的對象，要么是因為空間中的一個對像在事件之間暫時移動。分隔間隔是通過將事件A與事件A分開的空間距離分開並從相同時間間隔從光信號傳播的空間距離的正方形來得出的。${\ displaystyle \ delta t}$。如果事件分離是由於光信號引起的，那麼這種差異就會消失，並且${\ displaystyle \ delta s = 0}$.

當考慮的事件在無限的彼此接近時，我們可能會寫

${\ displaystyle ds^{2} = c^{2} dt^{2} -dx^{2} -dy^{2} -dz^{2} {2}}。$

在不同的慣性框架中，用坐標說${\ displayStyle（t'，x'，y'，z'）}}$，時空間隔${\ displayStyle ds'}$可以以與上述相同的形式寫入。由於光速的穩定，所有慣性框架中的光事件屬於零間隔，${\ displayStyle ds = ds'= 0}$。對於任何其他無限事件${\ displayStyle ds \ neq 0}$，可以證明${\ displayStyle ds^{2} = ds'^{2}}}$反過來又導致了${\ displayStyle s = s'}$.^[32]：2所有參考間框架之間任何事件間隔的不變性是相對論特殊理論的基本結果之一。

儘管對於簡潔起見，人們經常看到沒有三角洲的間隔表達式，包括在以下大多數討論中，應該理解，一般而言，${\ displayStyle x}$方法${\ displaystyle \ delta {x}}}$等等。我們總是關心差異屬於兩個事件的空間或時間坐標值，並且由於沒有首選的來源，因此單個坐標值沒有必要的含義。

圖2–1。時空圖說明了兩個光子A和B，源自同一事件，而較慢的速度對象C

上面的方程與畢達哥拉斯定理相似，除了在${\ displayStyle（ct）^{2}}}$和${\ displaystyle x^{2}}}$術語。時空間隔是數量${\ displaystyle s^{2}，}，}$不是${\ displayStyle s}$本身。原因是，與歐幾里得幾何形狀的距離不同，Minkowski時空的間隔可能為負。物理學家通常不處理負數的正方形根源${\ displaystyle s^{2}}}$作為獨特的符號本身，而不是某物的正方形。^[24]：217

一般來說${\ displaystyle s^{2}}}$可以假設實際數字的任何值。如果${\ displaystyle s^{2}}}$是積極的，時空間隔稱為時機。由於任何大型物體橫走的空間距離始終小於相同的時間間隔傳播的距離，因此實際間隔始終是定時的。如果${\ displaystyle s^{2}}}$是負的，時空間隔據說是空間，時空間隔是虛構的。時空間隔等於零。${\ displayStyle x = \ pm ct。}$換句話說，世界上兩個事件之間以光速移動的事物之間的時空間隔為零。這樣的間隔被稱為淺色或者無效的。儘管（從我們的角度來看）花了數年的時間，但從遙遠的恆星中到達我們的眼睛的光子將不會老化。

時空圖通常僅使用單個空間和一個時間坐標繪製。圖2-1列出了一個時空圖，說明了世界線（即時空中的路徑）兩個光子A和B的a，源自同一事件並朝相反的方向發展。此外，C說明了一個比光速度較慢的對象的世界線。垂直時間坐標由${\ displayStyle c}$使其具有與水平空間坐標相同的單元（儀表）。由於光子以光速傳播，因此它們的世界線的斜率為±1。換句話說，光子向左或右行進的每個儀表都需要大約3.3納秒的時間。

相對論文獻中使用了兩個標誌約定：

${\ displaystyle s^{2} =（ct）^{2} -x^{2} -y^{2} -z^{2}}}$

和

${\ displaystyle s^{2} = - （ct）^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$

這些標誌約定與公制簽名（+----）和（ - +++）。一個較小的變化是將時間坐標放在最後而不是第一。這兩種約定都廣泛用於研究領域。

參考幀

圖2-2。標準配置中的兩個參考幀的伽利略圖

圖2–3。（a）標準配置中的兩個參考框

為了了解時空坐標如何由觀察者在不同的不同參考幀彼此相比，使用框架中的簡化設置工作很有用標準配置。謹慎地，這可以簡化數學，而在得出的結論中不會喪失一般性。在圖2-2中，兩個加利利參考幀（即常規3空間幀）以相對運動顯示。幀S屬於第一個觀察者O，框架S'（發音為“ S Prime”）屬於第二個觀察者O'。

• 這x，y，z框架軸的軸是平行於框架S'的各個啟動軸的定向。
• 框架S'移動x - 框架s的方向恆定速度v如在框架S中測量的。
• 框架S和S'的起源是一致的t= 0框架s和t框架S'= 0。^[4]：107

圖2-3a重新繪製了不同方向的2-2。圖2-3b從觀察者O的角度說明了時空圖。由於S和S'是標準配置，因此它們的起源有時重合t= 0框架s和t'= 0中的框架S'。這CT'軸通過框架S'中的事件x'= 0x'= 0正在移動x - 框架s的方向v，使他們與CT軸除零以外的任何其他時間。因此，CT''軸相對於CT軸θ給出

${\ displaystyle \ tan（\ theta）= v/c。}$

這x''軸也相對於x軸。為了確定這種傾斜的角度，我們回想起脈衝的世界線的斜率始終為±1。圖2-3C從觀察者O'的角度顯示了時空圖。事件p表示在x'= 0，CT'= - 一個。脈衝從距離的鏡子反射一個從光源（事件Q），然後返回到光源x'= 0，CT'=一個（事件R）。

相同的事件p，q，r在觀察者O框架中的圖2-3b中繪製。光路徑的斜率= 1和-1，因此△PQR在45度處形成右三角形，均為PQ和QR到x和CT軸。由於OP = OQ =或x' 和x也必須是θ.^{[4]：113–118}

雖然其休息框架的空間和時間軸以直角相交，但移動框架的軸是以急性角度相交的軸。這些幀實際上是等效的。不對稱是由於時空坐標如何映射到A笛卡爾飛機，應該被認為不陌生，而不是默卡托投影在地球上，相對於赤道附近的土地質量，極度誇大了兩極（格陵蘭和南極）附近的土地質量。

光錐

圖2–4。居中的光錐將空間的其餘部分分為未來，過去和“其他地方”

在圖2–4中，事件O位於時空圖的起源，並且兩個對角線表示所有相對於原點事件的空間間隔為零的事件。這兩條線形成了所謂的光錐事件o的o，因為添加第二個空間維度（圖2-5）使得兩個右圓錐與他們在O.的頂端會面。一個圓錐延伸到未來（t> 0），另一個進入過去的（t <0）。

圖2–5。2D空間中的輕錐和時間維度

光（雙重）錐將時空分為其頂端分為單獨的區域。未來光錐的內部由所有事件組成，這些事件與頂點分開。時間（時間距離）超過他們的跨越空間距離在Lightspeed；這些事件包括時尚未來事件o。同樣，過去的過去包括過去光錐的內部事件。所以定時間隔ΔCT大於δx，使時間表間隔為正。光錐的外部區域由與事件o分開的事件組成空間比給定的Lightspeed可以越過時間。這些事件包括所謂的空間事件o的區域，表示圖2-4中的“其他地方”。據說光錐本身上的事件是淺色（或者無效分開）由於空間間隔的不變性，所有觀察者都將把相同的光錐分配給任何給定事件，因此將同意此時空分配。^[24]：220

光錐在概念中具有至關重要的作用因果關係。比速度不高的信號從O的位置和時間傳播到d的位置和時間（圖2-4）。因此，事件O可能會對事件D產生因果影響D。未來的光錐包含所有可能受O的事件。從A的位置和時間到O的位置和時間。例如，例如B或C在間距區域（在其他地方）中，不能影響事件O，也不會受到使用此類信號的事件O的影響。在此假設下，不排除事件O與光錐形空間區域中的任何事件之間的任何因果關係。^[33]

同時性的相對論

圖2–6。動畫說明了同時性的相對論

所有觀察者都會同意，在任何給定的事件中，都會發生在給定事件的未來光錐中發生的事件後給定的事件。同樣，對於任何給定的事件，都會發生在給定事件的過去燈錐中的事件前給定的事件。觀察到時間表分隔事件的前 - 在關係之後，無論如何參考範圍觀察者，即無論觀察者如何移動。對於空距分離的事件而言，情況大不相同。圖2-4是從觀察者移動的參考框架中得出的v= 0。從該參考框架中，觀察到事件C發生後發生，並且觀察到事件B發生在事件O之前。從其他參考框架中，可以逆轉這些非因果關係事件的訂購。特別是，有人指出，如果兩個事件在特定的參考框架中同時是一定通過間隔間隔分離，因此是無關的。同時性不是絕對性的觀察，而是取決於觀察者的參考框架，稱為同時性的相對論.^[34]

圖2-6說明了時空圖在同時性相對論的分析中的使用。時空中的事件是不變的，但是坐標幀轉換如上圖2-3。三個事件（A，B，C）是從觀察者的參考框架同時移動的v= 0。從觀察者的參考框架移動v= 0.3c，事件似乎是按順序發生的C，B，A。從觀察者的參考框架移動v= -0.5c，事件似乎是按順序發生的a，b，c。白線代表同時的平面從觀察者的過去轉移到觀察者的未來，突出了居住在它上的事件。灰色區域是觀察者的光錐，它仍然不變。

空間般的時空間隔給出的距離與觀察者相同的距離，如果所測量的事件與觀察者同時。空間般的時空間隔因此提供了一定的量度適當的距離，即真實距離=${\ displaystyle {\ sqrt { - s^{2}}}}。}$同樣，及時的時空間隔給出了與沿特定世界線移動的時鐘的累積滴答相同的時間量度。及時的時空間隔，因此提供了衡量的量度恰當的時機=${\ displaystyle {\ sqrt {s^{2}}}}。}$^{[24]：220–221}

不變的雙曲線

圖2–7。（a）不變的雙曲線家族，（b）兩張床單和一張紙的雙曲線

在歐幾里得空間（僅具有空間尺寸）中，從某個點形成一個圓（以二維）或球體（三個維度）的圓（三個維度）等點（使用歐幾里德公制）。在（1+1） - 維Minkowski時空（具有一個時間和一個空間尺寸），遠離原點（使用Minkowski Metric）的恆定時空間隔的點形式曲線由兩個方程式給出

${\ displayStyle（ct）^{2} -x^{2} = \ pm s^{2}，}，}，}$

和${\ displaystyle s^{2}}}$一些積極的真實常數。這些方程式描述了兩個在x–CT時空圖，稱為不變的雙曲線.

在圖2-7a中，每個洋紅色雙曲線都連接了與原點有一些固定空間分離的所有事件，而綠色雙曲線則連接了相等的時型分離事件。

洋紅色的雙曲線x軸，是定時的曲線，也就是說，這些雙曲線代表時空中可以通過（不斷加速的）粒子遍歷的實際路徑：在一個雙曲線上的任何兩個事件之間，可能是可能的因果關係，因為斜率的倒數 - 呈現必要的速度 - 所有割線都小於${\ displayStyle c}$。另一方面，綠色的雙曲線CT軸，是空間曲線，因為所有間隔沿著這些雙曲線是間隔的間隔：在這些雙曲線之一上，任何兩個點之間都不可能因果關係，因為所有割線都代表大於比${\ displayStyle c}$.

圖2-7b反映了（1+2） - 維Minkowski時空（一個時間和兩個空間尺寸）具有相應的雙曲體。從原點產生的間隔間隔的間隔間隔的不變雙曲線肌動型一張紙，而不變的雙曲線因原點的時間表間隔而流動，會產生兩張片的雙曲線。

通過將倍曲底變回到光錐體中，組成的（1+2） - 空間和時型雙玻璃體之間的二維邊界是由形成零時段間隔的事件建立的。在（1+1） - 維度中，雙曲線脫成為圖2-7a中描述的兩個灰色45°線。

時間擴張和長度收縮

圖2–8。不變的雙曲線包括以不同速度行駛的時鐘在固定的適當時間中可以從原點達到的點

圖2-8說明了所有事件的不變雙曲線1.67×10^-8s）。不同的世界線表示時鐘以不同的速度移動。相對於觀察者靜止的時鐘具有垂直的世界線，並且觀察者測量的經過的時間與適當的時間相同。以0.3的時鐘行駛c，觀察者測得的經過的時間為5.24米（1.75×10^-8s），而在0.7的時鐘c，觀察者測得的經過的時間為7.00米（2.34×10^-8s）。這說明了被稱為時間擴張。行駛速度更快的時鐘需要更長的時間（在觀察者框架中）才能勾出相同數量的適當時間，並且它們在適當的時間內沿著X軸進一步行駛，而沒有時間擴張。^{[24]：220–221}在不同的慣性參考框架中，兩個觀察者對時間擴張的測量是相互的。如果觀察者o在框架中測量觀察者O'的時鐘速度較慢，則觀察者O'依次將測量觀察者O的時鐘o作為跑步速度較慢。

圖2–9。在此時空圖中，在底漆框架中測量的移動桿的1 m長度是預先距離的OC，當投影到未繪製的框架上時。

長度收縮，就像時間擴張一樣，是同時性相對論的體現。長度的測量需要測量兩個事件之間在一個人的參考框架中同時進行的空間間隔。但是，通常在一個參考框架中同時進行的事件通常不是在其他參考框架中同時進行的。

圖2-9說明了在0.5處行駛的1 m桿的運動c沿著x軸。藍色樂隊的邊緣代表了桿的兩個端點的世界線。不變的雙曲線說明了與原點分開的事件，其間隔為1 m。端點O和B時測量t′= 0是S'幀中同時事件。但是對於框架S中的觀察者來說，事件O和B不是同時發生的。為了測量長度，框架S中的觀察者測量了投影到該桿的端點x - 沿著世界線的軸。桿的投影世界表上x軸可產生預先理解的長度OC。^[4]：125

（未說明）通過一個繪製垂直線，以使其與x''軸證明，即使從觀察者O的角度預測OB，也從觀察者O'的角度預測了OA。就像每個觀察者都測量對方的時鐘速度緩慢一樣，每個觀察者都將對方的統治者測量為合同。

關於相互長度收縮，圖2-9說明底漆和未繪製的框架是相互的旋轉由雙曲角（類似於歐幾里得幾何形狀中的普通角）。^[注8]由於這種旋轉，底漆的儀表棒的投影在未爆發的x - 軸是預先進行的，而未備件的儀表在啟動X'-軸上的投影也是預先驗證的。

相互時間擴張和雙胞胎悖論

相互時間擴張

相互的時間擴張和長度收縮傾向於將初學者作為固有的自相矛盾的概念擊中。如果框架s中的觀察者在框架s'中的靜止狀態下測量時鐘，則跑步速度慢，而s'則以速度移動v在s中，相對論的原理要求框架s中的觀察者同樣測量框架的時鐘，以速度移動 - v在S'中，跑步速度比她的慢。兩個時鐘如何運行兩者都慢比另一個是一個重要的問題，即“理解特殊相對論的核心”。^[24]：198

這種明顯的矛盾源於未正確考慮必要的相關測量的不同設置。這些設置允許對只有顯而易見矛盾。這不是關於兩個相同時鐘的抽象滴答，而是關於如何在一個框架中測量移動時鐘的兩個滴答的時間距離。事實證明，在相互觀察時鐘壁蝨之間的持續時間時，每個框架都必須涉及不同的時鐘集。為了在框架中測量移動時鐘w'的刻度持續時間（在S'中靜止），一個人使用二其他同步時鐘W₁和w₂在空間距離的S中靜止兩個任意固定點d.

可以通過“兩個時鐘在一個地方同時同時在一個位置”，即W'通過每個w的情況來定義兩個事件。₁和w₂。對於這兩個事件，記錄了共處時鐘的兩個讀數。W的兩個讀數的差異₁和w₂是s中兩個事件的時間距離，它們的空間距離為d。W'的兩個讀數的差異是S'中兩個事件的時間距離。在S'中，這些事件僅在時間分開，它們發生在S'中的同一位置。由於這兩個事件跨越了時空間隔的不變性，而非零的空間分離d在s中，s'中的時間距離必須小於s中的時間距離：較小兩次事件之間的時間距離，由移動時鐘W'的讀數產生，屬於慢點運行時鐘w'。

相反，為了在框架s'中判斷兩個事件在移動時鐘W上的時間距離（在s的靜止時段）需要在s'中靜止的兩個時鐘。

在此比較中，時鐘w以速度 - 流動 - v。再次記錄事件的四個讀數，該讀數由“同時在一個位置同時進行”定義，從而導致兩個事件的類似時間距離，現在是在S'中的時間和空間分離的，並且僅在S'中分離，並且僅在S.保持時空間隔不變性，由於S'中事件的空間分離，S中的時間距離必須小於S'中的時間距離，現在觀察到時鐘w的運行速度較慢。

這兩個判斷的必要記錄，分別在s或s'中分別具有“一個移動時鐘”和“兩個靜止時鐘”，涉及兩個不同的集合，每個集合都帶有三個時鐘。由於測量中涉及不同的時鐘集，因此沒有必要的是，測量值是相互“一致”的，這樣，如果一個觀察者測量移動時鐘的速度慢，則另一個觀察者會測量一個時鐘的速度。^{[24]：198–199}

圖2-10。相互時間擴張

圖2-10說明了先前關於Minkowski圖的相互時間擴張的討論。上圖反映了從框架s“靜止”的測量值，帶有無矩形的矩形軸和框架s'的測量v> 0英寸，由底漆的斜軸進行協調，向右傾斜；下圖顯示了框架s'“靜止”，帶有尖端的矩形坐標，並用 - v<0”，帶有未裂化的斜軸，向左傾斜。

平行於空間軸平行繪製的每條線（x，x'）代表同步線。這樣一行的所有事件都具有相同的時間值（CT，CT'）。同樣，每條線平行於顳軸（CT，CT'）表示相等空間坐標值的線（x，x'）。

可以在兩張圖片中指定起源o（=o′）作為事件，在兩個比較中，各自的“移動時鐘”與“第一個時鐘”相互關聯。顯然，在此事件中，兩個比較中兩個時鐘上的讀數均為零。結果，移動時鐘的世界線是向右傾斜的CT' - 軸（上圖，時鐘W'），然後向左傾斜CT - 軸（下圖，時鐘w）。W的世界₁和w'₁是相應的垂直時間軸（CT在上圖中，CT在下圖中）。

在上面的圖片中₂被認為是一個_x> 0，因此該時鐘的世界線（未顯示）與移動時鐘的世界線相交（CT' - 軸）在標記的事件中一個，其中“兩個時鐘在一個地方同時”。在下圖中，w'的位置₂被認為是C_x′<0，因此在此測量中，移動時鐘w通過w'₂如果是這樣C.

在上圖中CT-協調一個_t活動一個（W的閱讀₂）標記B，從而給出兩個事件之間的經過的時間，用w測量₁和w₂， 作為ob。為了進行比較，時間間隔的長度OA，用W'測量，必須轉換為CT-軸。這是由不變的雙曲線完成的（另見圖2-8）一個，將所有事件與從原點相同的時空間隔連接起來一個。這使事件產生C在CT - 軸，顯然：OC<ob，“移動”時鐘w'的運行速度較慢。

為了立即顯示上圖中的相互時間擴張，事件d可以作為事件構建x'= 0（s'中時鐘w'的位置），同時與C（OC具有相等的時空間隔OA）在s'中。這表明時間間隔OD比OA，表明“移動”時鐘的運行速度較慢。^[4]：124

在下圖中，框架s以速度 - v在靜止的框架中。時鐘W的世界線是CT - 軸（向左傾斜），W'的世界線₁是垂直的CT' - 軸和W'的世界線₂是事件的垂直行業C， 和CT'-協調d。活動不變的雙曲線C縮放時間間隔OC至OA，比OD;還，B被構造（類似於d在上圖中）與一個在S中x= 0。結果ob>OC再次對應到上面。

“度量”一詞很重要。在古典物理學中，觀察者不能影響觀察到的對象，但是對象的運動狀態能夠影響觀察者的觀察對象。

雙胞胎悖論

對特殊相對論的許多介紹都通過提出一系列“悖論”來說明伽利略相對性和特殊相對性之間的差異。實際上，這些悖論是由於我們對光速可比的速度不熟悉而導致的。補救措施是解決特殊相對論的許多問題，並熟悉其所謂的違反直覺預測。研究時空的幾何方法被認為是開發現代直覺的最佳方法之一。^[35]

這雙胞胎悖論是一個思想實驗涉及相同的雙胞胎，其中一個在高速火箭上駛入太空，回到家，發現留在地球上的雙胞胎已經更加老化了。這個結果似乎令人困惑，因為每個雙胞胎都將另一雙雙胞胎視為移動，因此乍一看，似乎每個人都應該發現對方的老齡化較小。雙胞胎悖論避開了上述相互時間擴張的理由，避免了對第三鐘的要求。^[24]：207然而，雙胞胎悖論不是真正的悖論，因為它在特殊相對論的背景下很容易理解。

悖論存在的印像源於對特殊相對論的誤解。特殊相對論並不將所有參考框架聲明為等效，僅是慣性框架。在加速時期，旅行的雙胞胎框架並非慣性。此外，雙胞胎之間的區別在觀察上是可以檢測到的：旅行雙胞胎需要發射她的火箭才能返回家園，而全職雙胞胎則沒有。^[36][注9]

圖2-11。雙胞胎悖論的時空解釋

這些區別應導致雙胞胎年齡的差異。圖2-11的時空圖顯示了雙胞胎沿X軸直接伸出並立即向後移動的簡單情況。從全職雙胞胎的角度來看，雙胞胎悖論根本沒有任何困惑。從O到C的旅行雙胞胎世界線進行的適當時間，再加上從C到B的適當時間，小於從O到A的全職雙胞胎的適當時間。更複雜的軌跡需要集成沿曲線各自事件之間的正確時間（即路徑積分）計算旅行雙胞胎經歷的合適時間總數。^[36]

如果從旅行的雙胞胎的角度分析雙胞胎悖論，就會出現並發症。

以後使用了魏斯的命名法，將全職雙胞胎指定為Terence，而旅行雙胞胎為Stella。^[36]

斯特拉不在慣性框架中。鑑於這一事實，有時會錯誤地指出，雙胞胎悖論的完全分辨率需要一般相對論：^[36]

純SR分析將如下：在Stella的休息框架中進行分析，在整個旅程中，她一動不動。當她為周轉的火箭發射火箭時，她體驗了類似於引力力的偽力量。^[36]無花果。 2-6和2-11說明了同時行的線（平面）的概念：平行於觀察者的線x - 軸（xy - 平面）代表在觀察者框架中同時同時進行的事件集。在圖2-11中，藍線連接了特倫斯世界線上的事件，該事件是從斯特拉的角度來看，與她的世界線上的事件同時進行。（反過來，Terence會觀察到一組水平的同時線。）在Stella旅程的出站和入站腿上，她的跑步時間比自己的時鐘慢。但是在周轉期間（即在圖中的大膽藍線之間），在她的同時行為的角度發生了變化，對應於特倫斯世界線中的事件的快速跳過，斯特拉認為斯特拉認為與自己的事件同時發生。因此，在旅途結束時，斯特拉發現特倫斯已經比她更年邁了。^[36]

儘管不需要一般相對論來分析雙胞胎悖論，但應用等價原理一般相對論的確為該主題提供了一些額外的見解。斯特拉在慣性框架中不是靜止的。在Stella的休息框架中進行了分析，她在整個旅程中都一動不動。當她沿著她的休息框架海岸時，是慣性的，而Terence的時鐘似乎會緩慢。但是，當她為周轉射擊火箭時，她的休息框架是一個加速的框架，她經歷了一支力量，使她像在重力領域一樣推動她。特倫斯在該領域似乎會很高，因為重力時間擴張，他的時鐘看起來很快，以至於最終的結果將是特倫斯回到在一起時的年齡比Stella更高。^[36]預測引力時間擴張的理論論點並不是一般相對性的獨有性。如果重力理論尊重等效原理，包括牛頓的理論，則任何重力理論都將預測重力時間的擴張。^[24]：16

引力

該介紹性部分集中在特殊相對論的時空上，因為它是最容易描述的。Minkowski時空是平坦的，不考慮重力，始終是均勻的，無非是發生在其中發生的事件的靜態背景。重力的存在極大地使時空描述變得複雜。總體而言，時空不再是靜態背景，而是與包含的物理系統積極相互作用。在物質存在的情況下，時空曲線可以傳播波，彎曲光並表現出許多其他現象。^[24]：221在本文的後面部分中描述了其中的一些現象。

時空的基本數學

加利利的轉變

一個基本目標是能夠比較觀察者在相對運動中的測量值。如果在框架中有一個觀察者O測量事件的時間和空間坐標，則分配了此事件的三個笛卡爾坐標以及在其同步時鐘晶格上測量的時間（x，y，z，t）（看圖1-1）。在不同的幀S'中的第二個觀察者O'測量她的坐標系和同步時鐘的晶格中的同一事件（x′，y′，z′，t′）。使用慣性框架，觀察者都沒有加速，並且一組簡單的方程式使我們能夠將坐標聯繫起來（x，y，z，t）至（x′，y′，z′，t′）。鑑於兩個坐標系在標準配置中，這意味著它們與並行對齊（x，y，z）協調和那t= 0什麼時候t′= 0，坐標轉換如下：^[37][38]

${\ displaystyle x'= x-vt}$

${\ displaystyle y'= y}$

${\ displayStyle z'= z}$

${\ displayStyle t'= t。}$

圖3–1。加利利時空和速度的組成

圖3-1說明，在牛頓的理論中，時間是普遍的，而不是光的速度。^{[39]：36–37}考慮以下思想實驗：紅色箭頭說明了一條相對於平台在0.4 c移動的火車。在火車內，一名乘客在火車框架中以0.4°C的速度射擊子彈。藍色箭頭說明，站在火車軌跡上的一個人測量子彈的行駛時間為0.8 c。這符合我們的天真期望。

更普遍地，假設框架S'以速度移動v關於框架s，然後在幀S'中，觀察者O'測量以速度移動的物體u′。速度u關於框架s，因為x=UT，x′=x−VT， 和t=t′，可以寫成x′=UT−VT=（u−v）t=（u−v）t′。這將導致u′=x′/t′最終

${\ displayStyle u'= u-v}$或者${\ displaystyle u = u'+v，}$

這是常識加利利法律增加速度.

速度的相對論組成

圖3–2。速度的相對論組成

速度的組成在相對論時空有很大不同。為了稍微降低方程的複雜性，我們引入了一個共同的速記，以相對於光的速度與光相對於光的速度比率

${\ displaystyle \ beta = v/c}$

圖3-2A說明了一條紅色火車，該火車正在以由v/c=β=s/一個。從火車的底漆框架中，一名乘客以速度給予子彈u′/c=β′=n/m，沿著與紅色平行的線測量距離x′軸而不是平行於黑色x軸。什麼是複合速度u子彈相對於平台的子彈，如藍色箭頭所示嗎？指圖3-2b：

1. 從平台上，子彈的複合速度由u=c（s+r）/（一個+b）.
2. 兩個黃色三角形相似，因為它們是共同角度的正確三角形α。在大黃色三角形中，比率s/一個=v/c=β.
3. 兩個黃色三角形的相應邊的比率是恆定的，因此r/一個=b/s=n/m=β′。所以b=u′s/c和r=u′一個/c.
4. 代替表達b和r進入表達u在步驟1中，以產生愛因斯坦的添加速度公式：^{[39]：42–48}

${\ displaystyle u = {v+u'\ over 1+（vu'/c^{2}）}。}。}$

上面介紹的速度的相對論公式具有幾個重要特徵：

• 如果u′和v與光速相比，兩者都很小，然後是產品vu′/c²變得很小，總體結果與加利利配方（牛頓的配方奶）無法區分，以增加速度：u=u′+v。加利利公式是適用於低速度的相對論公式的特殊情況。
• 如果u′設置等於c，然後公式產生u=c不管起始價值v。所有觀察者的動作相對於發射源，光的速度均相同。^[39]：49

時間擴張和長度收縮重新審視

圖3-3。時空圖說明了時間擴張和長度收縮

獲得定量表達式以進行時間擴張和長度收縮是直接的。圖3-3是一個複合圖像，其中包含從前兩個動畫中獲取的單個幀，用於本節的目的簡化和重新標記。

為了稍微降低方程的複雜性，有多種不同的速記符號CT：

${\ displaystyle \ mathrm {t} = ct}$和${\ displayStyle w = ct}$是常見的。

人們還經常看到公約的使用${\ displayStyle c = 1。}$

圖3–4。洛倫茲因子作為速度的函數

在圖3-3a中，段OA和好的表示相等的時空間隔。時間擴張以比率表示ob/好的。不變的雙曲線具有方程式w=√x²+k²在哪裡k=好的，以及代表運動中粒子世界線的紅線具有方程式w=x/β=XC/v。一些代數操作產量${\ textstyle ob = ok/{\ sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}。}。}$

涉及平方根符號的表達非常頻繁地出現在相對論中，一個表達式稱為Lorentz因子，用希臘字母伽瑪表示${\ displayStyle \ gamma}$：^[40]

${\ displayStyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1-v^{2} {2}/c^{2}}}}}}} = {\ frac {1}}}}}}}}}$

如果v大於或等於c，表達${\ displayStyle \ gamma}$在身體上毫無意義，這意味著c是本質上可能的最大速度。任何v大於零，洛倫茲因子將大於一個，儘管曲線的形狀使得對於低速，洛倫茲因子非常接近一個。

在圖3-3B中，段OA和好的表示相等的時空間隔。長度收縮由比率表示ob/好的。不變的雙曲線具有方程式x=√w²+k²， 在哪裡k=好的，藍色帶的邊緣代表了運動桿的端點的世界線，具有斜率1/β=c/v。事件A有坐標（x，，，，w）=（（γk，，，，γβK）。由於通過A和B的切線具有方程式w=（（（x - ob）/β， 我們有γβK=（（（γk - ob）/β和

${\ displaystyle ob/ok = \ gamma（1- \ beta ^{2}）= {\ frac {1} {\ gamma}}}}}}}$

洛倫茲的變換

加利利的轉換及其隨之而來的常識性定律，即在我們普通的低速飛機，汽車和球世界中效果很好。然而，從1800年代中期開始，敏感的科學儀器開始發現異常，與普通速度不符。

Lorentz轉換用於在特殊相對論中將事件的坐標從一個框架轉換為另一幀。

Lorentz因子出現在Lorentz的轉化中：

${\ displayStyle {\ begin {aligned} t'＆= \ gamma \ left（t - {\ frac {vx} {c^{2}}}}}}}} \ right）vt \ right）\\ y'＆= y \\ z'＆= z \ end {aligned}}}}}}$

逆洛倫茲的轉換為：

${\ displayStyle {\ begin {aligned} t＆= \ gamma \ left（t'+{\ frac {\ frac {vx'} {c^{2}}}}}} \ right）'\ right）\\ y＆= y''\\ z＆= z'\ end {aligned}}}}}}}$

什麼時候v≪c和x足夠小，v²/c²和VX/c²術語接近零，洛倫茲的變換近似於伽利略變換。

${\ displaystyle t'= \ gamma（t-vx/c^{2}），}，}$${\ displaystyle x'= \ gamma（x-vt）}$等等，最常見的是${\ displaystyle \ delta t'= \ gamma（\ delta t-v \ delta x/c^{2}），}，}$${\ displaystyle \ delta x'= \ gamma（\ delta x-v \ delta t）}}$等等。儘管為了簡潔，洛倫茲轉換方程是沒有三角洲的，但x平均δx等等。通常，我們始終關注空間和時間差異事件之間。

稱為正常的洛倫茲變換，而另一個轉換是逆變換是誤導性的，因為幀之間沒有內在的差異。不同的作者將一組或另一組轉換稱為“逆”集。正向和反向轉換在彼此之間是微不足道的，因為s框架只能在s′。因此，反轉方程只是需要切換底漆和未填充的變量並更換v與 - v.^{[41]：71–79}

例子：特倫斯（Terence）和斯特拉（Stella）參加了地球與馬爾斯太空競賽。特倫斯（Terence）是起跑線的官員，而斯特拉（Stella）是參與者。時間t=t′= 0，斯特拉的飛船瞬間加速至0.5的速度c。從地球到火星的距離為300秒（大約90.0×10⁶公里）。Terence觀察Stella穿越終點時鐘t= 600.00 s。但是斯特拉觀察到她的船上計時儀表上的時間${\ displaystyle t^{\ prime} = \ gamma \ left（t-vx/c^{2} \ right）= 519.62 \ {\ text {s}}}}$當她通過終點線時，她計算出開始線和終點線之間的距離，如她在框架中的測量，即259.81光（大約77.9×10⁶公里）。1）。

得出洛倫茲的轉換

圖3–5。洛倫茲轉化的推導

有很多洛倫茲轉換的推導自從愛因斯坦（Einstein）於1905年的原始作品以來，每項作品都特別關注。儘管愛因斯坦的推導是基於光速的不變性，但還有其他物理原理可以用作起點。最終，這些替代起點可以視為基礎的不同表達當地原則，這表明一個粒子對另一個粒子施加的影響不能立即傳播。^[42]

圖3-5中給出的派生是基於Bais提出的推導^{[39]：64–66}並利用了先前的結果，從速度，時間擴張和長度收縮部分的相對論組成中使用。事件P有坐標（w，，，，x）在黑色的“休息系統”和坐標中（w′，，，，x′）在用速度參數移動的紅色框架中β=v/c。確定w′和x′按照w和x（或另一種方式）首先更容易得出逆洛倫茲的變換。

1. 在橫向方向上不可能有長度的擴展/收縮。y'必須等於y和z′必須等於z，否則，快速移動的1 m球是否可以通過1 m的圓形孔擬合將取決於觀察者。相對論的第一個假設指出，所有慣性框架都是等效的，橫向擴張/收縮將違反該法律。^{[41]：27–28}
2. 從圖紙中，w=一個+b和x=r+s
3. 從以前使用類似三角形的結果來看，我們知道s/一個=b/r=v/c=β.
4. 由於時間膨脹，一個=γW′
5. 將方程式（4）替換為s/一個=β產量s=γW′β.
6. 長度收縮和類似的三角形給我們r=γx′和b=βR=βγX′
7. 代替表達s，一個，r和b步驟2中的方程立即產生

   ${\ displaystyle w = \ gamma w'+\ beta \ gamma x'}$

   ${\ displaystyle x = \ gamma x'+\ beta \ gamma w'}$

以上方程是逆洛倫茲轉換的t和x方程的替代表達式，可以通過替換可以看出CT為了w，CT′為了w′， 和v/c為了β。從反向轉換中，可以通過求解前向轉換的方程來得出t′和x′.

洛倫茲轉化的線性

Lorentz轉換具有稱為線性的數學屬性，因為x′和t′作為線性組合獲得x和t，沒有更高的權力。轉換的線性性反映了時空的基本屬性，該屬性在推導中被默認假設，即，慣性參考框架的性質與位置和時間無關。在沒有重力的情況下，時空到處都一樣。^[39]：67所有慣性觀察者都將同意什麼構成加速和非加速運動。^{[41]：72–73}任何一個觀察者都可以使用自己的空間和時間測量，但是它們沒有什麼絕對的。另一個觀察者的慣例也會做得同樣。^[24]：190

線性性的結果是，如果順序應用了兩個洛倫茲變換，則結果也是洛倫茲的變換。

例子：特倫斯觀察斯特拉（Stella）以0.500的速度遠離他c，他可以使用Lorentz轉換β= 0.500將Stella的測量與他自己聯繫起來。斯特拉（Stella）在她的框架中觀察到厄休拉（Ursula）以0.250離開她c，她可以使用Lorentz轉換β= 0.250將Ursula的測量與她自己聯繫起來。由於轉換的線性和速度的相對論組成，Terence可以將Lorentz轉換與β= 0.666將Ursula的測量與他自己聯繫起來。

多普勒效應

這多普勒效應是接收器的波的頻率或波長的變化和相對運動中的源。為簡單起見，我們在這裡考慮了兩個基本情況：（1）源和/或接收器的運動完全沿著連接它們的線（縱向多普勒效應），並且（2）運動與該行的角度成直角（橫向多普勒效應）。我們忽略了它們沿著中間角度移動的場景。

縱向多普勒效應

經典的多普勒分析涉及在介質中傳播的波，例如聲波或水波紋，這些波是在朝向或彼此遠離的源和接收器之間傳播的波。對此類波的分析取決於源，接收器還是兩者都相對於介質移動。鑑於接收器相對於介質是靜止的情況，並且源正以速度直接遠離接收器v_s對於速度參數β_s，波長增加，觀察到的頻率f是（誰）給的

${\ displaystyle f = {\ frac {1} {1+ \ beta _ {s}}}} f_ {0}}}$

另一方面，考慮到源靜止的情況，並且接收器以速度直接遠離源v_r對於速度參數β_r，波長為不是變化，但是波浪相對於接收器的傳輸速度降低，觀察到的頻率f是（誰）給的

${\ displayStyle f =（1- \ beta _ {r}）f_ {0}}$

圖3–6。相對論多普勒效應的時空圖

與聲音或水漣漪不同，光線不會通過介質傳播，並且源遠離接收器或接收器之間沒有區別。圖3-6說明了一個相對論時空圖，顯示了用速度參數與接收器分離的源β，使得源和接收器之間的分離時間w是βW。由於時間膨脹，${\ displaystyle w = yw^{\ prime}}}$。由於綠燈光線的斜率為-1，${\ displaystyle {t} = w+\ beta w = \ gamma w^{\ prime}（1+ \ beta）}$。因此，相對論多普勒效應是（誰）給的^{[39]：58–59}

${\ displaystyle f = {\ sqrt {\ frac {1- \ beta} {1+ \ beta}}}}}} \，f_ {0}。$

橫向多普勒效應

圖3–7。橫向多普勒效應方案

假設一個源和接收器均沿著非交流線以均勻的慣性運動彼此接近，這是他們最接近的方法。看來經典分析預測接收器未檢測到沒有多普勒的轉移。由於分析中的微妙之處，這種期望不一定是正確的。然而，當適當定義時，橫向多普勒移位是沒有經典類似物的相對論效應。細微之處是：^{[43]：541–543}

在方案（a）中，最接近的方法是無關的，代表距離與時間沒有變化的時刻（即dr/dt = 0其中r是接收器和源之間的距離），因此沒有縱向多普勒的偏移。來源觀察到接收器被頻率照明f′，但也將接收器視為具有時間耗時的時鐘。在框架s中，接收器被照亮布魯斯升頻率光

${\ displaystyle f = f'\ gamma = f'/{\ sqrt {1- \ beta ^{2}}}}}}}$

在方案（b）中，圖顯示了接收器被源最接近接收器的光照亮，即使源已經繼續前進。由於源的時鐘是按照框架s測量的時間擴張的，並且由於此時DR/DT等於零，因此從該最接近點發出的來自源的光為紅移頻率

${\ displaystyle f = f'/\ gamma = f'{\ sqrt {1- \ beta ^{2}}}}}}}$

可以通過簡單的時間擴張參數來分析場景（C）和（D）。在（c）中，接收器觀察到來自源的光，因為${\ displayStyle \ gamma}$，在（d）中，燈光被紅移。唯一的並發症是軌道對象正在加速運動。但是，如果慣性觀察者查看加速時鐘，則在計算時間擴張時只有時鐘的瞬時速度很重要。（但是，相反是不正確的。）^{[43]：541–543}大多數橫向多普勒偏移的報告都將效果稱為紅移，並在場景（b）或（d）方面分析效果。^[注11]

能量和動力

將動量擴展到四個維度

圖3–8。相對論時空動量矢量

在經典力學中，粒子的運動狀態的特徵是其質量及其速度。線性動量，粒子質量和速度的產物是向量數量，具有與速度相同的方向：p=mv。它是一個保守數量，這意味著如果一個封閉系統不受外部力的影響，其總線性動量不會改變。

在相對論力學中，動量矢量擴展到四個維度。添加到動量矢量是一個時間組件，它允許時空動量向量像時空位置向量一樣轉換${\ displayStyle（x，t）}$。在探索時空動量的特性時，我們在圖3-8a中開始檢查靜止的粒子外觀。在其餘框架中，動量的空間成分為零，即p= 0，但是時間組件等於MC.

我們可以通過使用Lorentz轉換在移動框架中獲得該向量的轉換組件，或者我們可以直接從圖中讀取它，因為我們知道${\ displayStyle（mc）^{\ prime} = \ gamma mc}$和${\ displaystyle p^{\ prime} = - \ beta \ gamma mc}$，由於紅色軸被伽瑪重新縮放。圖3-8b說明了在移動框架中出現的情況。顯然，隨著移動框架接近的速度，四彈藥的空間和時間成分轉到無窮大c.^{[39]：84–87}

我們將盡快使用此信息來獲得四彈藥.

光的動力

圖3–9。不同慣性框架中光的能量和動力

光顆粒或光子以速度傳播c，通常稱為光速。該陳述不是重言式，因為許多現代相對論並不能以恆定的光速為假設開始。因此，光子沿著光線般的世界線傳播，並且在適當的單位中，每個觀察者都具有相等的空間和時間組件。

結果麥克斯韋的理論電磁作帶有能量和動量的是，它們的比率是一個常數：${\ displayStyle e/p = c}$。重新安排，${\ displayStyle e/c = p}$，並且由於對於光子，空間和時間組件相等，E/c因此，必須等同於時空動量向量的時間成分。

光子以光速傳播，但具有有限的動量和能量。為此，質量術語γmc必須為零，這意味著光子是無質量的顆粒。無限次零是一個定義不明的數量，但E/c定義明確。

通過此分析，如果光子的能量等於e在其餘框架中，它等於${\ displaystyle e^{\ prime} =（1- \ beta）\ gamma e}$在移動框架中。該結果可以通過檢查圖3-9或通過應用Lorentz轉換來得出，並且與先前給出的多普勒效應的分析一致。^[39]：88

質量能力關係

考慮相對論動量矢量各個組成部分之間的相互關係導致愛因斯坦得出了幾個著名的結論。

• 在低速限制中β=v/c接近零，γ接近1，因此相對論動量的空間成分${\ displaystyle \ beta \ gamma mc = \ gamma mv}$方法MV，勢頭的經典術語。遵循這個觀點，γm可以解釋為相對論的概括m。愛因斯坦提出相對論質量根據公式，物體的速度增加${\ displaystyle m_ {rel} = \ gamma m}$.
• 同樣，將相對論動量的時間成分與光子的時間分量進行比較，${\ displaystyle \ gamma mc = m_ {rel} c = e/c}$，以便愛因斯坦到達關係${\ displaystyle e = m_ {rel} c^{2}}}$。簡化為零速度的情況，這是愛因斯坦著名的能量和質量方程。

查看質量和能量之間關係的另一種方法是考慮一系列擴展γmc²在低速下：

${\ displaystyle e = \ gamma mc^{2} = {\ frac {mc^{2}}} {\ sqrt {1- \ beta^{2}}}}}}}}}}}}}}}}}}$${\ displayStyle \ lot mc^{2}+{\ frac {1} {2}}}} mv^{2} ...}$

第二項只是粒子動能的表達。質量確實是另一種能量形式。^{[39]：90–92[41]：129–130，180}

愛因斯坦在1905年提出的相對論質量的概念，m_rel，儘管每天在全球粒子加速器中得到充分的驗證（或實際上在任何使用的儀器中，都取決於高速粒子，例如電子顯微鏡，但^[44]但是，老式的彩色電視機等）尚未被證明是卓有成效物理學的概念在某種意義上不是它是其他理論發展基礎的概念。例如，相對論質量在一般相對論中沒有任何作用。

因此，對於教學問題，大多數物理學家在指質量與能量之間的關係時目前更喜歡不同的術語。^[45]“相對論質量”是一個棄用的術語。“質量”本身是指剩下的質量或不變質量，並且等於相對論動量矢量的不變長度。以公式表示

${\ displayStyle e^{2} -p^{2} c^{2} = m_ {rest}^{2} c^{4}}}$

該公式適用於所有顆粒，包括無質量和巨大的顆粒。對於光子_休息等於零，它產生，${\ displayStyle e = \ pm pc}$.^{[39]：90–92}

四彈藥

由於質量與能量之間的密切關係，四彈藥（也稱為4摩托姆）也稱為能量–Momentum 4-vector。使用大寫p代表四摩托姆和小寫p為了表示空間勢頭，四彈藥可以寫為

${\ displaystyle p \ equiv（e/c，{\ vec {p}}）=（e/c，p_ {x}，p_ {y}，p_ {z}）}$或或者

${\ displaystyle p \ equiv（e，{\ vec {p}}）=（e，p_ {x}，p_ {y}，p_ {z {z}）}$使用公約${\ displayStyle c = 1。}$^{[41]：129–130，180}

保護法

在物理學中，保護法規定，隔離物理系統的某些特定可測量特性不會隨著時間的推移而變化。1915年艾米·諾瑟（Emmy Noether）發現每個保護法是自然的基本對稱性。^[46]身體過程不在乎的事實在哪裡在太空中發生（空間翻譯對稱性）產量勢頭保護，這樣的過程不在乎什麼時候他們發生（時間翻譯對稱性）產量能源保護， 等等。在本節中，我們從相對論的角度研究了牛頓對質量，動量和能量保護的看法。

總動量

圖3-10。勢頭相對論保護

為了了解如何在相對論的環境中修改牛頓保護動量的觀點，我們研究了兩個碰撞體的問題，僅限於單個維度。

在牛頓力學中，可能會區分這個問題的兩個極端情況，從而產生最低複雜性的數學：

（1）兩體在完全彈性的碰撞中彼此反彈。

（2）兩個身體粘在一起並繼續作為單個粒子移動。第二種情況是完全無彈性碰撞的情況。

對於（1）和（2）的情況，動量，質量和總能量都保存。然而，在非彈性碰撞的情況下，動能不能保守。初始動能的一定一部分被轉換為熱量。

在（2）中，有兩個具有動量的質量${\ displayStyle {\ boldsymbol {p}} _ {\ boldsymbol {1}}} = m _ {1} {\ boldsymbol {v}} _ {\ boldsymbol$和${\ displayStyle {\ boldsymbol {p}} _ {\ boldsymbol {2}}} = m _ {2} {\ boldsymbol {v}} _ {\ boldsymbol$碰撞以產生保守質量的單個粒子${\ displayStyle m = m_ {1}+m_ {2}}}$旅行質量中心原始系統的速度，${\ displayStyle {\ boldsymbol {v_ {cm}}}} = \ left（m_ {1} {\ boldsymbol {\ boldsymbol {v_ {1}}}}}}+m_ {2} {2} {\ boldsymbol\ left（m_ {1}+m_ {2} \ right）}$。總動量${\ displaystyle {\ boldsymbol {p = p_ {1}+p_ {2}}}}}}}}$是保守的。

圖3-10從相對論的角度說明了兩個粒子的無彈性碰撞。時間組件${\ displaystyle e_ {1}/c}$和${\ displayStyle e_ {2}/c}$總計E/c所得矢量的，這意味著能量是保守的。同樣，空間組件${\ displaystyle {\ boldsymbol {p_ {1}}}}}}}$和${\ displaystyle {\ boldsymbol {p_ {2}}}}}}}$加起來p最終的向量。正如預期的那樣，四彈藥是保守的數量。然而，熔融粒子的不變質量，由總動量的不變雙曲線與能量軸相交的點，不等於碰撞的單個顆粒的不變質量的總和。確實，它比單個群眾的總和還要大：${\ displayStyle m> m_ {1}+m_ {2}}}$.^{[39]：94–97}

以相反的順序查看這種情況的事件，我們看到質量不保守是一個常見的情況：當不穩定時基本粒子自發衰減兩個較輕的顆粒，總能量是保守的，但質量卻沒有。質量的一部分被轉化為動能。^{[41]：134–138}

參考幀的選擇

圖3-11。
（以上）實驗室框架.
（正確的）動量框架中心.

選擇進行分析的任何框架的自由，使我們能夠選擇一個特別方便的框架。為了分析動量和能量問題，最方便的框架通常是“Momentum中心框架“（也稱為零摩托框架或com框架）。這是系統總動量的空間分量為零的框架。圖3-11說明了高速粒子分為兩個子粒子的分裂。在實驗室框架中，在沿原始粒子的軌跡方向上優先散發出子顆粒。但是，在COM框架中，兩個子粒子的質量和速度的幅度通常不是，但兩個子粒子的發射卻相反。相同。

節能

在對相互作用粒子的牛頓分析中，幀之間的轉換很簡單，因為所需的只是將伽利略轉換應用於所有速度。自從${\ displayStyle v'= v-u}$，動力${\ displayStyle p'= p-mu}$。如果觀察到顆粒相互作用系統的總動量在一個框架中是保守的，則同樣會在任何其他框架中觀察到它是保守的。^{[41]：241–245}

COM框架中動量的保護等於要求p= 0碰撞前後。在牛頓分析中，彌撒的保護規定${\ displayStyle m = m_ {1}+m_ {2}}}$。在我們一直在考慮的簡化的一維場景中，在確定顆粒的傳出動量之前，只需要一個附加的約束，即能量條件。在完全彈性碰撞而沒有動能的一維情況下，COM框架中反彈顆粒的傳出速度將完全相等，並且與它們的傳入速度相反。如果完全無彈性與動能的總損失，反彈顆粒的傳出速度將為零。^{[41]：241–245}

牛頓矩，計算為${\ displayStyle p = mv}$，在Lorentzian的轉型下無法正確行事。速度的線性變換${\ displayStyle v'= v-u}$被高度非線性取代${\ displaystyle v^{\ prime} =（v-u）{\ big /} \ left（1 - {\ frac {vu} {c^{2}}}}} \ right）}}$因此，在其他框架中，一個表明在一個幀中保存動量的計算將是無效的。愛因斯坦面臨必須放棄勢頭的保護，或者改變動量的定義。第二個選擇是他選擇的。^[39]：104

圖3-12A。帶電錐子衰減的能量 - 巨型圖。

圖3-12B。帶電液衰變的計算器分析。

能源和動量的相對論保護法取代了能量，動量和質量的三種經典保護法。質量不再是獨立保守的，因為它已被歸入總相對論。這使得對能源的相對論保守性比非宗派主義力學更簡單，因為總能量是沒有任何資格的。動能轉化為熱量或內部勢能顯示出質量增加。^[41]：127

超越基本知識

本節中的主題比前面部分的技術難度明顯更大，對於理解並不重要彎曲時空簡介。

速度

圖4-1A。通過單位圓x²+y²= 1在這個問題上（cos一個，罪一個）， 在哪裡一個是射線，圓和圓之間的兩倍x-軸。

圖4-1B。通過單位雙曲線x²−y²= 1在這個問題上（Cosh一個，辛一個）， 在哪裡一個是射線，雙曲線和兩倍的區域x-軸。

圖4–2。三個基本的情節雙曲線功能：雙曲線正弦（SINH），雙曲線餘弦（COSH）和雙曲線切線（TANH）。辛（Sinh）是紅色的，科甚（Cosh）是藍色的，坦著是綠色的。

Lorentz的轉換將一個參考框架中事件的坐標與另一個幀的坐標聯繫起來。速度的相對論組成用於將兩個速度添加在一起。執行後一種計算的公式是非線性的，使其比相應的Galilean公式更為複雜。

這種非線性是我們選擇參數的工件。^{[7]：47–59}我們以前已經註意到X – CT時空圖，來自原點的恆定時空間隔的點形成了不變的雙曲線。我們還指出，標準配置中兩個時空參考幀的坐標系相互旋轉。

表達這些關係的自然功能是三角函數的雙曲線類似物。圖4-1a顯示了單位圓犯罪（一個）和cos（一個），此圖和基本三角學的熟悉的單位圓之間的唯一區別是一個被解釋，而不是射線和射線之間的角度x-軸，但隨著該行業的面積的兩倍，從射線中掃除x-軸。 （從數值上看，角度和2×區域單位圓的度量相同。）圖4-1B顯示了單位雙曲線與辛（Sinh）（一個）和cosh（一個）， 在哪裡一個同樣被解釋為兩倍的有色區域。^[48]圖4-2列出了Sinh，Cosh和Tanh函數的圖。

對於單位圓，射線的斜率由

${\ displaystyle {\ text {slope}} = \ tan a = {\ frac {\ sin a} {\ cos a}}}。}。$

在笛卡爾平面，點旋轉（x，y）進入點（x'，y'）按角度θ是（誰）給的

${\ displayStyle {\ begin {pmatrix} x'\\ y''\\ end {pmatrix}}} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ cos \ theta＆\ sin \ sin \ sin \ thetatheta \\\ end {pmatrix}}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ end end {pmatrix}}}。}。$

在時空圖中，速度參數${\ displaystyle \ beta}$是斜坡的類似物。這速度，φ，由^{[41]：96–99}

${\ displaystyle \ beta \ equiv \ tanh \ phi \ equiv {\ frac {v} {c}}}，}，}$

在哪裡

${\ displaystyle \ tanh \ phi = {\ frac {\ sinh \ phi} {\ cosh \ phi}} = {\ frac {e^{\ phi} {\ phi} -e^{ - \ phi} { - \ phi}}}}+e^{ - \ phi}}}}。}。$

上面定義的快速性在特殊相對論中非常有用，因為以其表示，許多表達式以其表達方式更為簡單。例如，在共線速度添加公式中，速度僅是加性。^{[7]：47–59}

${\ displaystyle \ beta = {\ frac {\ beta _ {1}+\ beta _ {2}}} {1+ \ beta _ {1} \ beta _ {2}}}}}} =} =}$${\ displayStyle {\ frac {\ tanh \ phi _ {1}+\ tanh \ phi _ {2}}} {1+ \ tanh \ tanh \ phi _ {1}$${\ displaystyle \ tanh（\ phi _ {1}+\ phi _ {2}），}，}$

或換句話說，${\ displaystyle \ phi = \ phi _ {1}+\ phi _ {2}。}。}$

洛倫茲的轉換在速度方面表達時採用簡單的形式。這γ因素可以寫為

${\ displayStyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^{2}}}}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {\ sqrt {1- \ tanh ^{2}}}}$${\ displaystyle = \ cosh \ phi，}$

${\ displayStyle \ gamma \ beta = {\ frac {\ beta} {\ sqrt {\ sqrt {1- \ beta ^{2}}}}}} = {\ frac {\ tanh \ tanh \ phi}2} \ phi}}}}}}$${\ displaystyle = \ sinh \ phi。}$

描述以均勻速度和無空間坐標軸旋轉的相對運動的轉換稱為提升.

代替γ和γβ如前所述，以矩陣形式重寫，洛倫茲在x-方向可以寫為

${\ displayStyle {\ begin {pmatrix} ct'\\ x'\ end {pmatrix}}} = {\ begin {pmatrix} \ cosh \ phi＆\ phi＆ - \ sinh \ sinh \ phi \ phi \\ - \ end {pmatrix}}} {\ begin {pmatrix} ct \\ x \ end {pmatrix}}，}，}，}$

和逆洛倫茲在x-方向可以寫為

${\ displayStyle {\ begin {pmatrix} ct \\ x \ end {pmatrix}}} = {\ begin {pmatrix} \ cosh \ phi＆\ phi＆\ sinh \ sinh \ phi \ \\ \\ sinh \ sinh \ sinh \ phi＆phi＆\ phi＆\ phi＆\ phi \ phi \ pmatrix}} {\ begin {pmatrix} ct'\\ x'\ end {pmatrix}}}。}。}。$

換句話說，洛倫茲的提升代表雙曲線旋轉在Minkowski時空。^{[41]：96–99}

使用雙曲線功能的優點使得泰勒和惠勒的經典教科書在很早的階段介紹了它們的使用。^{[7][49][注12]}

4個向量

上面已經提到了四媒介4 -vector，但沒有任何強調。實際上，特殊相對論的基本推導都不需要它們。但是一旦理解4個向量，更普遍張量，極大地簡化了對特殊相對論的數學和概念理解。專門與此類對像一起工作會導致公式顯然相對不變，這在非平凡的情況下是一個可觀的優勢。例如，展示相對論的不變性麥克斯韋方程以通常的形式並不是微不足道的場力張量公式。另一方面，從一開始就一般相對論很大程度上依賴4個向量，並且更普遍地張張子，代表與身體相關的實體。通過不依賴特定坐標的方程式關聯這些方程，需要張量，能夠連接此類4個向量甚至在一個彎曲時空，不僅在平坦的一個與特殊相對論一樣。張量的研究超出了本文的範圍，該文章僅提供了時空的基本討論。

四個向量的定義

一個4元組，${\ displaystyle a = \ left（a_ {0}，a_ {1}，a_ {2}，a_ {3} \ right）}$如果其組件是“ 4-矢量”一個_i根據Lorentz轉換之間的轉換。

如果使用${\ displayStyle（ct，x，y，z）}$坐標，一個是一個4-矢量如果它變換（在x-方向） 根據

${\ displayStyle {\ begin {aligned} a_ {0}'＆= \ gamma \ left（a_ {0} - （v/c）a_ {1} \ right）\\ a_ {1}左（a_ {1} - （v/c）a_ {0} \ right）\\ a_ {2}'＆= a_ {2} \\ a_ {3}'＆= a_ = a_ {3}}}}$

僅由更換CT和一個₀和x和一個₁在較早的演講中洛倫茲的變換。

像往常一樣，當我們寫作x，t等等。我們通常的意思是ΔX，ΔT等等

最後三個組成部分4-矢量必須是三維空間中的標準向量。因此，4-矢量必須像一樣轉變${\ displayStyle（c \ delta t，\ delta x，\ delta y，\ delta z）}}$在Lorentz的轉化和旋轉下。^[35]：36-59

4個向量的特性

• 線性組合下的閉合：如果一個和B是4個向量， 然後${\ displayStyle c = aa+ab}$也是一個4-vector.
• 內部產品不變性：如果一個和B是4個向量，然後它們的內部產物（標量產物）是不變的，即它們的內部產物獨立於計算其框架。注意內部產品的計算與A內產物的計算有何不同3載體。在下面的，${\ displaystyle {\ vec {a}}}}$和${\ displaystyle {\ vec {b}}}}$是3向量：

${\ displaystyle a \ cdot b \ equiv}$${\ displayStyle a_ {0} b_ {0} -a_ {1} b_ {1} -a_ {2} b_ {2} b_ {2} -a__ {3} b_ {3} b_ {3} \ equiv}$${\ displaystyle a_ {0} b_ {0} - {\ vec {a}}} \ cdot {\ vec {b}}}}$

除了在Lorentz轉化下不變外，上述內部產品在旋轉中也不變3空間.

據說兩個向量是正交如果${\ displaystyle a \ cdot b = 0。}$與情況不同3向量，正交4個向量不一定是彼此直角的。規則是兩個4個向量如果是正交的，則是正交的，與45°線相等和相反的角度，這是光線的世界線。這意味著一個燈光4-vector與正交本身.

• 向量的大小的不變性：向量的大小是A的內部產物4-vector與本身，是獨立於框架的屬性。與間隔一樣，幅度可能為正，負或零，因此向量被稱為及時的，空位般的或無效的（Lightlike）。請注意，零向量與零向量不同。零向量是${\ displaystyle a \ cdot a = 0，}$零向量是其組件均為零的一個。說明規範不變的特殊案例包括不變間隔${\ displaystyle c^{2} t^{2} -x^{2}}}$以及相對論動量矢量的不變長度${\ displaystyle e^{2} -p^{2} c^{2}。}$^{[41]：178–181[35]：36-59}

4個向量的示例

• 位移4向量：否則稱為時空分離， 這是（ΔT，ΔX，Δy，Δz），或用於無限分離，（DT，DX，DY，DZ）.

${\ displayStyle ds \ equiv（dt，dx，dy，dz）}$

• 速度4-vector：當排量時，這會導致4-vector被分開${\ displayStyle d \ tau}$， 在哪裡${\ displayStyle d \ tau}$是兩個事件之間的適當時間DT，DX，DY， 和DZ.

${\ displaystyle v \ equiv {\ frac {ds} {d \ tau}}} = {\ frac {（dt，dx，dx，dy，dz）} {dt/\ gamma}} =} =}$${\ displayStyle \ gamma \ left（1，{\ frac {dx} {dt}}}，{\ frac {dy} {dt}}，{\ frac {dz}}$${\ displayStyle（\ gamma，\ gamma {\ vec {v}}}}}}$

圖4-3A。從固定框架觀察到的加速粒子的暫時合併參考幀。

圖4-3B。沿著加速觀察者（中心）的軌跡瞬間共處參考幀。

這4速度與粒子的世界線相切，在粒子框架中的長度等於一個時間單位。

加速的粒子沒有慣性框架，它始終處於靜止狀態。但是，總是可以找到一個慣性框架與粒子暫時共同。這個框架，暫時共同參考框架（MCRF），可以使特殊相對論應用於加速粒子的分析。

由於光子在無效線上移動，所以${\ displayStyle d \ tau = 0}$對於光子和一個4速度無法定義。沒有光子靜止的框架，也無法沿光子路徑建立MCRF。

• 能量 - 巨型4-vector：

${\ displaystyle p \ equiv（e/c，{\ vec {p}}）=（e/c，p_ {x}，p_ {y}，p_ {z}）}$

如前所述，對能量摩托車有不同的處理4-vector這樣一個人也可以看到它表達為${\ displayStyle（e，{\ vec {p}}）}$或者${\ displayStyle（e，{\ vec {p}} c）。}$第一個成分是給定框架中粒子（或顆粒系統）的總能量（包括質量），而其餘的組件是其空間動量。能量彈藥4-vector是保守數量。

• 加速4-vector：這是由於採用速度的導數而產生的4-vector關於${\ displayStyle \ tau。}$

${\ displaystyle a \ equiv {\ frac {dv} {d \ tau}}} =}$${\ displaystyle {\ frac {d} {d \ tau}}}（\ gamma，\ gamma {\ vec {v}}）=}$${\ displaystyle \ gamma \ left（{\ frac {d \ gamma} {dt}}}，{\ frac {d（\ gamma {\ vec {v}}}}}}}$

• 部隊4-vector：這是動量的導數4-vector關於${\ displayStyle \ tau。}$

${\ displaystyle f \ equiv {\ frac {dp} {d \ tau}}} =} =}$${\ displayStyle \ gamma \ left（{\ frac {de} {dt}}}，{\ frac {d {\ vec {p}}}}} {dt}}} {dt}}} \ right）=}$${\ displaystyle \ gamma \ left（{\ frac {de} {dt}}}，{\ vec {f}}} \ right）}}$

不出所料，以上的最終組成部分4個向量都是標準的3向量對應於空間3 Momentum，3力量等等^{[41]：178–181[35]：36-59}

4個向量和物理法

特殊相對論的第一個假設宣布了所有慣性框架的等效性。在一個框架中保存的物理定律必須適用於所有框架，因為否則可以區分框架。在洛倫茲的轉型下，牛頓矩達無法正確地行事，愛因斯坦寧願將動量的定義更改為涉及的動量的定義4個向量而不是放棄勢頭的保護。

物理定律必須基於獨立框架的結構。這意味著物理定律可以採用連接標量的方程式的形式，這些方程始終是獨立的。但是，涉及的方程式4個向量需要使用具有適當等級的張量，可以將其視為從4個向量.^[41]：186

加速度

普遍的誤解是，特殊相對論僅適用於慣性框架，並且無法處理加速對像或加速參考幀。實際上，通常可以分析加速對象而無需處理加速幀。只有在引力很重要的情況下才需要一般相對論。^[50]

但是，正確處理加速幀確實需要注意。特殊相對性和一般相對性之間的差異是（1）在特殊相對論中，所有速度都是相對的，但加速度是絕對的。（2）在一般相對論中，所有運動都是相對的，無論是慣性，加速還是旋轉。為了適應這種差異，一般相對論使用彎曲的時空。^[50]

在本節中，我們分析了涉及加速參考幀的幾種方案。

Dewan – Beran – Bell宇宙飛船悖論

Dewan -Beran -Bell宇宙飛船悖論（貝爾的飛船悖論）是一個問題的一個很好的例子，即時空方法的幾何見解無助的直觀推理可能會導致問題。

圖4-4。Dewan – Beran – Bell宇宙飛船悖論

在圖4-4中，兩個相同的宇宙飛船漂浮在太空中，相對於彼此靜止。它們由一根弦連接，該弦僅在斷裂之前只能有限的拉伸。在我們框架中給定的瞬間，觀察者框架，兩個宇宙飛船沿著它們之間的界線沿相同的方向加速，並以相同的恆定適當加速度加速。^[注13]字符串會斷裂嗎？

當悖論是新的且相對未知的時候，即使是專業物理學家也很難解決該解決方案。兩條推理導致相反的結論。下面介紹的兩個論點都存在缺陷，即使其中一個產生了正確的答案。^{[41]：106，120–122}

1. 對於在其餘框架中的觀察者來說，飛船開始距離L在加速過程中與眾不同，並保持相同的距離。在加速期間，L是距離的長度合同距離L'=γl在加速飛船的框架中。經過足夠長的時間，γ將增加一個足夠大的因素，使弦必須斷裂。
2. 讓一個和B作為後宇宙飛船和前宇宙飛船。在太空飛船的框架中，每個太空船都看到另一個太空船做與正在做的相同的事情。一個這麼說B他的加速度與他的加速度相同，並且B看到了一個與她相匹配的一舉一動。因此，宇宙飛船的距離保持相同的距離，弦不會破裂。^{[41]：106，120–122}

第一個論點的問題是沒有“太空飛船的框架”。沒有，因為兩個宇宙飛船在兩者之間的距離越來越長。由於沒有宇宙飛船的共同框架，因此弦的長度不確定。然而，結論是正確的，論點主要是正確的。但是，第二個論點完全忽略了同時性的相對論。^{[41]：106，120–122}

圖4–5。彎曲線代表兩個觀察者A和B的世界線，他們以相同的恆定加速度在相同的方向上加速。在A“和B”，觀察者停止加速。虛線是在加速度開始之前和加速停止後的觀察者的同時線。

時空圖（圖4-5）幾乎立即明顯地對此悖論提供了正確的解決方案。Minkowski時空的兩個觀察者以恆定的幅度加速${\ displayStyle k}$適當的時間加速${\ displaystyle \ sigma}$（觀察者本身測量的加速度和經過的時間，而不是一些慣性觀察者）。他們在此階段之前和之後都在共同慣性。在Minkowski幾何形狀中，沿同時線的長度${\ displayStyle a'b''}$事實證明大於同時線的長度${\ displayStyle ab}$.

長度增加可以在洛倫茲轉換的幫助下計算。如圖4-5所示，加速度完成${\ displayStyle s'。}$如果${\ displayStyle x_ {a}}$和${\ displaystyle x_ {b} = x_ {a}+l}$是船隻的位置${\ displayStyle s，}$框架中的位置${\ displayStyle s'}$是：^[51]

${\ displayStyle {\ begin {aligned} x'_ {a}＆= \ gamma \ left（x_ {x_ {a} -vt \ right）\\ x'_ {b}+l-vt \ right）\\ l'＆= x'_ {b} -x'_ {a} = \ gamma l \ end {aligned}}}}}}$

正如貝爾構建他的榜樣的方式，“悖論”來自於此。在對Lorentz收縮的通常討論中，剩餘的長度是固定的，運動長度縮短如框架中測量${\ displayStyle s}$。如圖4-5所示，貝爾的示例斷言了移動長度${\ displayStyle ab}$和${\ displayStyle a'b'}$用框架測量${\ displayStyle s}$要固定，從而迫使其餘框架長度${\ displayStyle a'b''}$在框架中${\ displayStyle s'}$增加。

地平線加速觀察者

某些特殊的相對性問題設置可能會導致有關通常與一般相對性相關的現象的見解，例如事件視野。在隨附的文字中圖2-7，洋紅色肢體代表了空間中不斷加速的旅行者跟踪的實際路徑。在積極加速的時期，旅行者的速度僅方法光速，而在我們的框架中測量的，旅行者的加速度不斷降低。

圖4–6。地平線加速相對論觀察者。可能會查看同一主題的另一個繪畫插圖這裡.

圖4-6詳細介紹了旅行者動作的各種功能，具有更特異性。在任何給定的時刻，她的空間軸都是通過穿過原點和當前位置在雙曲線的線形成的，而她的時間軸則是與雙曲線的切線。速度參數${\ displaystyle \ beta}$接近一個限制${\ displayStyle ct}$增加。同樣地，${\ displayStyle \ gamma}$接近無限。

不變的雙曲線的形狀對應於恆定正確加速的路徑。這是可以證明的，如下所示：

1. 我們記得這一點${\ displaystyle \ beta = ct/x。}$
2. 自從${\ displaystyle c^{2} t^{2} -x^{2} = s^{2}，}，}$我們得出結論${\ displayStyle \ beta（ct）= ct/{\ sqrt {c^{2} t^{2} -s^{2}}}}。$
3. ${\ displaystyle \ gamma = 1/{\ sqrt {1- \ beta ^{2}}}} =} =}$${\ displaystyle {\ sqrt {c^{2} t^{2} -s^{2}}}}}/s}$
4. 從相對論力法，${\ displayStyle f = dp/dt =}$${\ displayStyle dpc/d（ct）= d（\ beta \ gamma mc^{2}）/d（ct）。}。}$
5. 代替${\ displaystyle \ beta（ct）}$從步驟2和表達式${\ displayStyle \ gamma}$從步驟3產量${\ displayStyle f = mc^{2}/s，}$這是一個恆定的表達。^{[39]：110–113}

圖4-6說明了特定的計算情況。Terence（a）和Stella（b）最初從起源中站立100個光小時。Stella在時間0時抬起，她的航天器以每小時0.01 C的速度加速。每二十小時，Terence收音機會對Stella更新有關在家情況的情況（實心綠線）。斯特拉（Stella）接受了這些常規的傳輸，但距離的增加（部分偏移逐漸擴張）使她接受了Terence的通信，以後的時間後期按照時鐘進行測量，她絕不在他的時鐘上100小時後，從Terence接收任何通訊（虛線）。^{[39]：110–113}

根據Terence的時鐘100小時後，Stella進入了一個黑暗的區域。她曾在特倫斯（Terence）的臨時未來之外旅行。另一方面，特倫斯可以繼續收到斯特拉向他無限期地給他留言。他只需要等待足夠長的時間。時空已分為不同的區域顯而易見事件視野。只要斯特拉繼續加速，她就永遠不知道這個地平線後面發生了什麼。^{[39]：110–113}

彎曲時空入門

基本命題

牛頓的理論認為，運動是在僵化的歐幾里得參考框架的背景下進行的，該框架遍及整個空間和所有時間。重力是由神秘力量介導的，它立即在遠處起作用，其動作獨立於中間空間。^[注14]相比之下，愛因斯坦否認有任何背景歐幾里得參考框架遍及整個空間。也沒有任何吸引力的東西，只有時空本身的結構。^{[7]：175–190}

圖5–1。潮汐效應。^{[單擊此處以獲取其他詳細信息1]}

在時空的術語中，繞地球繞地球的衛星的路徑不取決於地球，月亮和太陽的遙遠影響。取而代之的是，衛星僅在響應當地條件下穿過空間。由於時空在足夠小的規模上考慮時到處都是本地平坦的，因此衛星始終遵循其本地慣性框架的直線。我們說衛星總是沿著大地。與單個粒子的運動一起，沒有發現引力的證據。^{[7]：175–190}

在任何時空分析中，引力的證據都要求觀察到相對加速度的相對加速度二身體或兩個分離的顆粒。在圖5-1中，兩個分離的顆粒，在地球的重力場中自由垂直，由於重力場中的局部不均勻性而導致潮汐加速，因此每個粒子在時空中都遵循不同的路徑。這些顆粒相對於彼此表現出的潮汐加速度並不需要其解釋力。相反，愛因斯坦用時空的幾何形狀，即時空的曲率描述了它們。這些潮汐加速度嚴格是本地的。許多曲率局部表現的累積總效應導致外貌從地球長期作用的引力。^{[7]：175–190}

兩個核心命題是一般相對論的基礎。

• 第一個關鍵概念是坐標獨立性：物理定律不能取決於人們使用的坐標系統。這是從特殊相對論中使用的版本的相對性原理的主要擴展，該版本指出，對於以非加速（慣性）參考框架移動的每個觀察者，物理定律必須相同。總的來說，使用愛因斯坦自己的（翻譯）詞，“物理定律必須具有這種性質，以至於它們以任何類型的運動都適用於參考系統。”^[52]：113這導致了一個直接的問題：在加速的框架中，人們感到似乎可以使人們從絕對意義上評估一個人的加速狀態。愛因斯坦通過等價原則解決了這個問題。^{[53]：137–149}

圖5–2。等價原理

• 這等價原理指出，在任何足夠小的空間區域，引力的影響與加速度相同。

在圖5-2中，a在宇宙飛船中，遠離任何巨大物體，都經歷了統一的加速度g。B人在地球上放置的盒子裡。只要太空船足夠小，因此潮汐效應是不可估量的（鑑於當前重力測量儀器的敏感性，A和B可能應該是利利普特人），沒有A和B可以執行的實驗，這將使他們能夠分辨出它們在哪種設置。^{[53]：141–149}

等價原則的另一種表達方式是指出，在牛頓的普遍重力定律中，f = gmm_g/r²=m_gg在牛頓的第二定律中f = m_i一個，沒有先驗原因重力質量m_g應該等於慣性質量m_i。等效原則指出，這兩個群眾是相同的。^{[53]：141–149}

要從上面的彎曲時空的基本描述到重力的完整描述，需要張量計算和差異幾何形狀，主題都需要大量研究。沒有這些數學工具，可以寫關於一般相對論，但不可能證明任何非平凡的推導。

時間的曲率

圖5–3。愛因斯坦的論點暗示重力紅移

在討論特殊相對論時，力量發揮了背景作用。特殊相對論假定能夠定義填充所有時空的慣性幀的能力，其所有時鐘都以與原點時鐘相同的速率運行。這真的有可能嗎？在一個不均勻的引力場中，實驗表明答案是否。引力領域使得無法構建全球的慣性框架。在足夠小的時空區域中當地的慣性框架仍然是可能的。一般相對論將這些局部框架的系統縫合在一起成一個時空的更一般圖像。^{[35]：118–126}

在1916年發表一般理論的幾年之前，愛因斯坦使用對等原則預測引力紅移的存在。思想實驗：（i）假設高度塔h（圖5-3）已構建。（ii）掉下靜止質量的粒子m從塔頂。它隨著加速而自由跌落g，以速度到達地面v=（2GH）^1/2，使其總能量e，如地面上的觀察者所測量的${\ displayStyle m+{\ frac {{{\ frac {1} {2}}}} mv^{2}}} {c^{2}}} = m+{\ frac {mgh {mgh} {c^{2}}}}}$（iii）質量能轉化器將粒子的總能量轉換為單個高能光子，並將其引入向上。（iv）在塔的頂部，能量質量轉換器會改變光子的能量e'回到休息質量的粒子m'.^{[35]：118–126}

一定是m=m'，因為否則就可以構建永動機設備。因此，我們預測e'=m， 以便

${\ displayStyle {\ frac {e'} {e}} = {\ frac {h \ nu \，'} {h \ nu}} = {\ frac {m}{2}}}}}} = 1 - {\ frac {gh} {c^{2}}}}}}}}}$

地球引力場的光子攀爬會失去能量，並進行紅移。通過天文觀測來衡量這种红移的早期嘗試尚無定論，但是確定的實驗室觀察是通過龐德和雷德卡（1959）後來由Pound＆Snider（1964）。^[54]

光具有相關的頻率，並且該頻率可用於驅動時鐘的工作。重力紅移導致有關時間本身的重要結論：重力使時間運行較慢。假設我們構建了兩個相同的時鐘，它們的速率由一些穩定的原子過渡控制。將一個時鐘放在塔頂上，而另一個時鐘放在地面上。塔頂上的一個實驗者觀察到，地面時鐘的信號的頻率低於塔上她旁邊的時鐘的信號。朝塔上的光線只是一波，波峰在途中不可能消失。與底部發出的那樣，許多光振盪到達塔的頂部。實驗者得出的結論是，地面時鐘的運行緩慢，可以通過將塔的時鐘向下放置與地面時鐘並排比較來確認這一點。^[24]：16-18對於1公里的塔樓，差異每天約為9.4納秒，可以通過現代儀器易於測量。

重力場中的時鐘並不以相同的速率運行。諸如磅 - 雷布卡實驗之類的實驗已經牢固地確定了時空時間成分的曲率。磅 - 雷巴實驗沒有說明空間時空的組成部分。但是預測重力時間擴張的理論論點完全不取決於一般相對論的細節。任何如果重力理論尊重等效原理，則將預測重力時間擴張。^[24]：16這包括牛頓的引力。一般相對論中的標準演示是如何在“牛頓極限“（即顆粒的移動緩慢，引力場是弱的，並且場是靜態的），僅時間的曲率就足以得出牛頓的重力定律。^{[55]：101–106}

牛頓引力是彎曲時間的理論。一般相對論是彎曲時間的理論和彎曲空間。給出G作為重力常數，m作為牛頓恆星的質量和距離無關緊要的軌道的軌道體r從恆星中，牛頓引力的時空間隔是一個時間係數可變的一個：^{[24]：229–232}

${\ displayStyle \ delta s^{2} = \ left（1 - {\ frac {2gm} {c^{2} r}}}}} \ right）（c \ delta t）x）^{2} - （\ delta y）^{2} - （\ delta z）^{2}}}}$

空間的曲率

這${\ displayStyle（1-2gm/（c^{2} r））}$係數${\ displaystyle（c \ delta t）^{2}}}$描述了牛頓重力的時間的曲率，這種曲率完全解釋了牛頓的所有引力效應。正如預期的那樣，該校正因子與${\ displayStyle g}$和${\ displayStyle m}$，因為${\ displayStyle r}$在分母中，校正因子隨著引力體的接近而增加，這意味著時間是彎曲的。

但是一般相對論是彎曲空間的理論和彎曲的時間，因此，如果有一些術語修改上面介紹的時空間隔的空間成分，那麼由於曲率校正因子應用於空間術語而導致的行星和衛星軌道，是否應該看到它們的效果？

答案是他們是看到，但是影響很小。原因是，與光速相比，行星速度非常小，因此對於太陽系的行星和衛星，${\ displaystyle（c \ delta t）^{2}}}$術語相形見war。^{[24]：234–238}

儘管空間術語是詳細的，但第一個跡象表明，牛頓引力出了問題，這是一個半個世紀以前。1859年Urbain le Verrier在分析可用的定時觀察中汞從1697年到1848年的太陽磁盤上，據報導，已知的物理學無法解釋汞的軌道，除非可能存在汞軌道內的行星或小行星帶。水星軌道的圍欄表現出超額進步率可以用其他行星的拖船來解釋的。^[56]檢測和準確測量此異常進動的微小值的能力（只有43個弧秒每熱帶世紀）證明了19世紀的複雜性天文學.

圖5–4。一般相對論是彎曲時間的理論和彎曲空間。單擊此處進行動畫。

作為著名的天文學家，他早些時候通過分析天王星軌道上的搖擺來發現海王星“在他的筆尖”中存在，勒維里爾的宣布觸發了長期的“ vulcan-mania”，這是專業和業餘愛好者的長時間。天文學家都追捕了假設的新星球。這次搜索包括對Vulcan的幾個錯誤目擊。最終確定不存在這種行星或小行星帶。^[57]

1916年，愛因斯坦（Einstein）表明，這種異常的汞動物是通過時空曲率中的空間術語來解釋的。在時間術語中，曲率僅僅是牛頓引力的一種表達，沒有任何部分解釋這種異常的進動。他計算的成功是愛因斯坦同齡人的一個有力的跡象，即相對論的一般理論可能是正確的。

愛因斯坦（Einstein）的預測中最壯觀的是他的計算，即可以在巨大的身體周圍的光線彎曲中測量時空間隔的空間成分中的曲率項。光線上的斜率為±1。它在太空中的運動等於其及時的運動。對於不變間隔的弱場表達，愛因斯坦在其空間成分中計算出完全相等但相反的符號曲率。^{[24]：234–238}

${\ displayStyle \ delta s^{2} = \ left（1 - {\ frac {2gm} {c^{2} r}}}}} \ right）（c \ delta t）^{2}}}}$${\ displayStyle- \，\ left（1+{\ frac {2gm} {c^{2} r}}}}}} \ right）\ left [（\ delta x）^{2} {2}+（\ delta y）^{2}+（\ delta z）^{2} \ right]}$

在牛頓的引力中${\ displayStyle（1-2gm/（c^{2} r））}$係數${\ displaystyle（c \ delta t）^{2}}}$預測恆星周圍的光線彎曲。總體而言，${\ displayStyle（1+2gm/（c^{2} r））}}$係數${\ displaystyle \ left [（\ delta x）^{2}+（\ delta y）^{2}+（\ delta z）^{2} \ right]}$預測加倍總彎曲。^{[24]：234–238}

故事1919年Eddington Eclipse Expedition愛因斯坦在其他地方得到了很好的說法。^[58]

時空曲率的來源

圖5-5。應力 - 能量張量的違反組件

在牛頓的引力理論，引力的唯一來源是大量的.

相反，一般相對論還鑑定了除質量外的幾個時空曲率來源。在裡面愛因斯坦場方程，重力來源在右側呈現${\ displaystyle t _ {\ mu \ nu}，}，}$這應力 - 能量張量.

圖5-5分類了應力 - 能量張量中的各種重力來源：

• ${\ displaystyle t^{00}}$（紅色）：總質量 - 能量密度，包括顆粒之間力的勢能以及隨機熱運動的動能的任何貢獻。
• ${\ displaystyle t^{0i}}$和${\ displaystyle t^{i0}}$（橙色）：這些是動量密度項。即使沒有散裝運動，也可以通過熱傳導傳輸能量，並且所進行的能量也會帶有動力。
• ${\ displaystyle t^{ij}}}$是流動率i-零件每單位區域的動量j-方向。即使沒有散裝運動，顆粒的隨機熱運動也會引起動量流動，因此i=j術語（綠色）代表各向同性壓力，而i≠j術語（藍色）代表剪切應力。^[59]

從方程式得出的一個重要結論是，俗語地說，重力本身會產生重力.^[注15]能量具有質量。即使在牛頓重力中，重力場也與能量有關${\ displayStyle e = mgh，}$叫做重力勢能。總體而言，重力場的能量反饋到引力場的創造中。這使得方程非線性，並且在弱場案例以外的任何其他事物中都難以解決。^[24]：240數值相對論是使用數值方法來解決和分析問題的一般相對論的一個分支，通常使用超級計算機來研究黑洞，引力波，中子星以及強大的田野制度中的其他現象。

能量摩托車

圖5-6。（左）質量能經過時空。（右）旋轉質量 - 能量分佈角動量J產生引力磁場H.

在特殊相對論中，質量能量與勢頭。就像空間和時間是一個更全面的實體的不同方面，稱為時空一樣，質量 - 能量和動量只是統一的四維數量的不同方面四彈藥。因此，如果質量 - 能力是重力的來源，則動量也必須是一種來源。將動量作為重力來源的包含導致預測，移動或旋轉質量可以產生類似於移動電荷產生的磁場的場，這是一種稱為現象引力磁學.^[60]

圖5–7。引力磁性的起源

眾所周知，可以通過將特殊相對論規則應用於移動費用來推論磁性力。（Feynman在第二卷中提出了對此的雄辯，第13-6章他的關於物理學的講座，在線可用。^[61]）類似邏輯可用於證明引力磁性的起源。在圖5-7a中，兩個平行的，無限長的巨粒子流具有相等而相反的速度 - v和 +v相對於靜止的測試粒子，並以兩者為中心。由於設置的對稱性，中央粒子上的淨力為零。認為${\ displayStyle v \ ll c}$因此，速度只是加性。圖5-7b顯示了完全相同的設置，但在上流流的框架中。測試粒子的速度為 +v，底流的速度為+2v。由於物理狀況沒有改變，只有觀察到的框架，因此不應將測試粒子吸引到任何一條流。但是，尚不清楚測試粒子上施加的力是相等的。（1）由於底流的移動速度比頂部的速度快，因此底部流中的每個粒子的質量能量都比頂部的粒子更大。（2）由於洛倫茲的收縮，底部流的每單位長度的顆粒比頂流的顆粒多。（3）對底流的活動重力質量的另一個貢獻來自一個額外的壓力項，在這一點上，我們沒有足夠的背景來討論。所有這些效果似乎都要求將測試粒子朝向底流。

由於速度依賴性的力來驅除粒子這是沿與底流相同的方向移動。這種依賴速度的引力效應是引力磁性。^{[24]：245–253}

因此，通過引力磁場運動的物質受到所謂框架拖拉效果類似於電磁感應。有人提出，這種引力力是產生的基礎相對論噴氣機（圖5-8）通過一些旋轉彈出超大的黑洞.^[62][63]

壓力和壓力

與能量和動量直接相關的數量也應該是重力來源，即內部壓力和壓力。在一起，質量能量，動量，壓力和壓力均充當重力來源：總的來說，它們是說出時空如何彎曲的原因。

一般相對論預測，壓力充當具有與質量 - 能量密度完全相同的引力源。將壓力作為重力來源的包含導致一般相對論與牛頓重力的預測之間的巨大差異。例如，壓力項設定了質量的最大限制中子之星。中子恆星越龐大，支撐重力的重量所需的壓力就越大。然而，增加的壓力增加了作用在恆星質量上的重力。高於一定質量由Tolman – Oppenheimer – Volkoff限制，該過程變成失控，中子星崩潰了黑洞.^{[24]：243，280}

進行計算時，應力項變得非常重要，例如對核心折疊超新星的流體動力模擬。^[64]

這些預測壓力，動量和壓力作為時空曲率來源的作用是優雅的，在理論中起著重要作用。關於壓力，早期的宇宙是輻射的主導，^[65]任何相關的宇宙學數據都極不可能（例如核合成如果壓力不導致重力，或者它與重力來源不如質量 - 能源相同，則可以再現了豐度等。同樣，如果應力項不作為重力來源，愛因斯坦場方程的數學一致性也會被打破。

時空曲率來源的實驗測試

定義：主動，被動和慣性質量

邦迪區分不同類型的質量：（1）主動質量（${\ displayStyle m_ {a}}$）是充當的質量資源引力場； （2）被動質量（${\ displayStyle m_ {p}}}$）是質量反應重力場； （3）慣性質量（${\ displayStyle m_ {i}}$）是對加速度反應的質量。^[66]

• ${\ displayStyle m_ {p}}}$是相同的重力質量（${\ displaystyle m_ {g}}}$）在裡面討論對等原則.

在牛頓理論​​中

• 行動和反應的第三定律決定了${\ displayStyle m_ {a}}$和${\ displayStyle m_ {p}}}$必須相同。
• 另一方面，是否${\ displayStyle m_ {p}}}$和${\ displayStyle m_ {i}}$相等是經驗結果。

一般相對論，

• 平等${\ displayStyle m_ {p}}}$和${\ displayStyle m_ {i}}$由等價原則決定。
• 沒有“行動和反應”原則決定之間的任何必要關係${\ displayStyle m_ {a}}$和${\ displayStyle m_ {p}}}$.^[66]

壓力作為引力來源

圖5–9。（a）Cavendish實驗，（b）Kreuzer實驗

測量重力源強度（即其活性質量）的經典實驗首次於1797年通過亨利·卡文迪許（圖5-9A）。兩個小但密集的球被懸掛在細線上，使扭轉平衡。將兩個大型測試量帶到球附近，引入了可檢測到的扭矩。鑑於設備的尺寸和扭轉線的可測量彈簧常數，重力常數G可以確定。

通過壓縮測試質量來研究壓力效應是沒有希望的，因為與該實驗室相比，可達到的實驗室壓力微不足道質量能量金屬球。

然而，原子核內部緊密擠壓質子引起的排斥電磁壓力通常在10處²⁸atm≈10³³pa≈10³³kg·s^-2m^-1。這相當於約1％的核質量密度約為10¹⁸kg/m³（在C中考慮²≈9×10¹⁶m²s^-2）。^[67]

圖5-10。月球激光範圍實驗。（左）這個逆轉錄器被宇航員留在月球上阿波羅11使命。（右）世界各地的天文學家都彈出了激光從阿波羅宇航員和俄羅斯月球漫遊者留下的逆轉錄器上彈起，以精確地測量地球距離。

如果壓力不充當引力來源，則比率${\ displaystyle m_ {a}/m_ {p}}}$對於具有較高原子數的核應該較低z，其中靜電壓力更高。L. B. Kreuzer（1968年）進行了一項cavendish實驗，使用懸浮在三氯乙烯和二溴甲烷的混合物中的特氟龍質量與特氟龍具有相同的浮力密度（圖5-9b）。氟具有原子數z= 9，而溴具有z= 35。Kreuzer發現，重新定位Teflon質量沒有引起扭轉桿的差異偏轉，因此建立主動質量和被動質量等於5×10的精度^-5.^[68]

儘管克魯澤最初認為該實驗只是對活性質量與被動質量比率的測試，但克利福德·威爾（Clifford Will，1976）將實驗重新解釋為對源與重力場偶聯的基本測試。^[69]

1986年，巴特利特（Bartlett）和範布倫（Van Buren）指出月球激光射程在月球中心及其質量中心之間發現了2公里的偏移。這表明Fe分佈（在月球的核心中豐富）和Al（其外殼和地幔中豐富）的分佈中存在不對稱性。如果壓力不像質量 - 能量那樣對時空曲率同樣貢獻，那麼月亮就不會在經典力學預測的軌道上。他們使用測量來收緊主動質量和被動質量之間的任何差異的限制至約10^-12.^[70]

引力磁學

圖5-11。重力探針B證實了引力的存在

引力的存在得到了證明重力探針b（GP-B），一項基於衛星的任務，於2004年4月20日啟動。^[71]太空飛行階段一直持續到2005。任務目的是測量地球附近的時空曲率，特別強調引力磁學.

初始結果證實了相對較大的結果大地效應（這是由於簡單的時空曲率引起的，也稱為De Sitter進動）的精度約為1％。小得多框架拖拉效應（這是由於引力磁性而引起的，也稱為晶狀體 - 促進性）由於電荷效應的意外電荷效應導致陀螺儀中的變化，因此難以測量。儘管如此，2008年8月，已確認框架拖拉效應在預期結果的15％以內，^[72]雖然測量效應已確認高於0.5％。^[73][74]

隨後通過激光範圍觀察對框架拖動的測量值拉雷斯，lageos-1和Lageos-2衛星在GP-B測量結果，結果（截至2016年）證明了其理論價值的5％以內的效果，^[75]儘管對此結果的準確性存在分歧。^[76]

另一項努力是一般相對論（Ginger）實驗中的陀螺儀，試圖使用三個6 m環激光器與地面表面以下1400 m的彼此成直角安裝，以測量這種效果。^[77][78]

技術主題

時空真的彎曲了嗎？

在龐加萊的傳統主義者觀點，根據要選擇歐幾里得與非歐國人的幾何形狀的基本標準將是經濟和簡單性。一個現實主義者會說愛因斯坦發現時空是非歐幾里得人。傳統主義者會說愛因斯坦只是發現了更方便使用非歐盟幾何形狀。傳統主義者將堅持認為愛因斯坦的分析沒有說明時空的幾何形狀真的是。^[79]

這樣說，

1.是否可以在平坦的時空中表示一般相對論？

2.是否有任何情況下，平坦的時空解釋可能是一般相對論更方便比通常的彎曲時空解釋？

為了回答第一個問題，包括Deser，Grishchuk，Rosen，Weinberg等在內的許多作者提供了各種引力的表述，作為平坦的歧管中的田地。這些理論被稱為“雙重重力“，“一般相對論的現場理論方法”，等等。^{[80][81][82][83]}基普·索恩（Kip Thorne）對這些理論進行了流行評論。^{[84]：397–403}

平坦的時空範式提出，物質會產生一個引力場，從而導致統治者從圓周取向轉變為徑向，這會導致時鐘的滴答速率擴張。平坦的時空範式完全等同於彎曲的時空範式，因為它們都代表相同的物理現象。但是，它們的數學配方完全不同。工作物理學家通常在使用彎曲和平坦的時空技術之間根據問題的要求進行切換。在弱場中執行近似計算時，平坦的時空範式尤其方便。因此，在解決重力波問題時將使用平坦的時空技術，而彎曲的時空技術將用於黑洞的分析。^{[84]：397–403}

漸近對稱性

時空對稱組特殊相對論是個龐加萊集團這是一個十維組，包括三個洛倫茲的提升，三個旋轉和四個時空翻譯。詢問哪些對稱性是否適用是合乎邏輯的一般相對論。一個可行的情況可能是考慮到遠離引力場所有來源的時空的對稱性。對漸近時空對稱性的幼稚期望可能只是為了擴展和再現特殊相對論平坦的時空的對稱性，即，龐加萊集團。

1962年赫爾曼·邦迪，M。G。van der Burg，A。W。Metzner^[85]和Rainer K. Sachs^[86]解決這個問題漸近對稱性問題以研究由於傳播而引起的無窮大的能量流引力波。他們的第一步是決定某些物理上明智的邊界條件，以將輕度無限的重力場放在重力場上，以表徵說公制的含義是漸近的先驗關於漸近對稱群體的性質的假設，甚至沒有這樣一個群體存在的假設。然後，在設計了他們認為是最明智的邊界條件之後，他們研究了所得的漸近對稱性變換的性質，這些變換使不變的邊界條件的形式適合於漸近平坦的重力場。他們發現的是，漸近的對稱轉換實際上確實形成了一個群體，並且該組的結構不取決於恰好存在的特定引力場。這意味著，正如預期的那樣，人們可以至少在空間無窮大至少在引力場的動力學上將時空的運動學與引力場的動力學分開。1962年，令人困惑的驚喜是他們發現了一個豐富的無限二維群體（所謂的BMS集團）是漸近對稱群體，而不是有限的龐貝拉群體，該小組是BMS組的一個子組。洛倫茲變換漸近對稱性不僅是勞倫斯的變換，而且還有其他的轉化不是洛倫茲的變換，而是漸近的對稱性轉換。實際上，他們發現了一個額外的轉換發生器的無窮大。超級翻譯。這意味著一個總體相對論（gr）的結論不是在長距離弱場的情況下，將特殊相對論降低。^[87]：35

里曼尼亞的幾何形狀

彎曲的歧管

由於物理原因，時空連續體在數學上定義為四維，平滑，連接洛倫茲歧管${\ displayStyle（m，g）}$。這意味著光滑洛倫茲公制${\ displayStyle g}$有簽名${\ displayStyle（3,1）}$。指標決定了時空的幾何形狀，以及確定測量學顆粒和光束。大約在此歧管上的每個點（事件），坐標圖用於在參考幀中代表觀察者。通常，笛卡爾坐標${\ displayStyle（x，y，z，t）}$被使用。此外，為簡單起見，通常選擇測量單位以使光速${\ displayStyle c}$等於1。^[89]

可以用這些坐標圖之一來識別參考框架（觀察者）；任何這樣的觀察者都可以描述任何事件${\ displayStyle p}$。另一個參考框可以通過第二個坐標圖來識別有關${\ displayStyle p}$。兩個觀察者（每個參考框架中一個）可以描述同一事件${\ displayStyle p}$但要獲得不同的描述。^[89]

通常，需要許多重疊的坐標圖來覆蓋歧管。給定兩個坐標圖，一個包含${\ displayStyle p}$（代表一個觀察者）和另一個包含${\ DisplayStyle Q}$（代表另一個觀察者），圖表的交點代表時空區域，在該區域中，兩個觀察者都可以測量物理量，從而比較結果。兩組測量之間的關係由A給出非單星在此交叉路口的坐標轉換。作為可以在附近進行測量的本地觀察員坐標圖表的想法也很有意義，因為這是人們實際收集物理數據的方式。^[89]

例如，兩個觀察員，其中一名在地球上，但另一個正在快速火箭到木星的觀察員，可能會觀察到一顆彗星撞向木星（這是事件${\ displayStyle p}$）。通常，他們將不同意這種影響的確切位置和時機${\ displayStyle（x，y，z，t）}$（因為他們使用不同的坐標系）。儘管它們的運動學描述會有所不同，但動態（物理）定律（例如動量保護和熱力學的第一定律）仍將存在。實際上，相對論理論在規定這些（以及所有其他物理）定律必須在所有坐標系統中採取相同形式的意義上的相對論理論需要更多。這引入了張量相對論，所有物理量的代表。

如果分區向量到大地測量的一點點是這種性質，則據說大地測量是時機的，無效的或空的。時空中顆粒和光束的路徑分別由時機和零（輕（Light）的測量學表示。^[89]

3+1個時空的特權性格

本節是摘錄人類原則§時空的維度.

屬性n+m - 維空間

有兩種維度：空間（雙向）和顳（單向）。^[90]讓空間維度的數量為n時間尺寸為t。那n= 3和t= 1，擱置了由弦理論並且迄今為止無法檢測到的，可以通過吸引放任的身體後果來解釋n不同於3和t與1的不同。該論點通常是人類特徵，也可能是同類人物中的第一個，儘管在完整的概念變成時尚之前。

隱含的觀念是，宇宙的維度是特殊的，首先歸因於Gottfried Wilhelm Leibniz，誰關於形而上學的論述建議世界“同時是假設中最簡單的，而現像中最富有的世界”。^[91]伊曼紐爾·康德認為三維空間是反平方的結果普遍重力定律。儘管康德的論點在歷史上很重要，但約翰·巴羅（John D. Barrow）說“這是“將拳頭重新回到最前面：正是空間的三維性解釋了為什麼我們看到自然界中的逆方法律，而不是反之亦然”（Barrow 2002：204）。^[注16]

1920年Paul Ehrenfest表明，如果只有一個時間維度和大於三個空間維度，則軌道一個行星關於它的太陽不能保持穩定。星星圍繞其中心的恆星軌道也是如此星系.^[92]eHrenfest還表明，如果存在均勻數量的空間維度，那麼A的不同部分海浪衝動將以不同的速度行駛。如果有${\ displayStyle 5+2k}$空間維度，其中k是一個正數，然後波動脈衝會變形。1922年，赫爾曼·韋爾（Hermann Weyl）證明了這一點麥克斯韋的理論電磁學僅適用於三個維度的空間和一個時間。^[93]最後，Tangherlini在1963年表明，當有三個以上的空間維度時，電子軌道核周圍不可能穩定；電子要么落入核或分散。^[94]

Max Tegmark以以下人類方式擴展前面的論點。^[95]如果t與1不同，物理系統的行為不能可靠地從相關的知識中可靠地預測部分微分方程。在這樣的宇宙中，能夠操縱技術的聰明生活無法出現。而且，如果t> 1，Tegmark堅持認為質子和電子將是不穩定的，可能會腐爛成比自己具有更大質量的顆粒。（如果顆粒的溫度足夠低，這不是問題。）^[95]最後，如果n< 3, gravitation of any kind becomes problematic, and the universe is probably too simple to contain observers. For example, whenn< 3,神經不能沒有相交。^[95]因此，人類和其他論點排除了所有案件除外n= 3和t= 1，恰好描述了我們周圍的世界。

另一方面，鑑於創建黑洞來自理想單一氣體在其自我重力下，魏西安馮表明（3+1） - 維時時期是邊緣維度。而且，這是獨特的維度可以負擔得起“穩定”的氣球，並具有“正”宇宙常數。但是，如果質量球體大於〜10，則自我磨碎的氣體不能穩定地結合²¹太陽能由於較小的積極性宇宙常數觀察到的。^[96]

在2019年，詹姆斯·斯卡吉爾（James Scargill）認為，有兩個空間維度可能會出現複雜的生活。根據Scargill的說法，純粹的標量重力理論可以使局部重力能力，而2D網絡可能足以容納複雜的神經網絡。^[97][98]

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筆記

額外細節

參考