特殊相對論

在物理學中，相對論的特殊理論或簡短的相對論是時空之間關係的科學理論。在愛因斯坦（Albert Einstein）的1905年治療中，該理論僅基於兩個假設：

物理定律在所有慣性參考框架中都是不變的（相同）（即，沒有加速的參考框架）。
無論光源或觀察者的運動如何，所有觀察者的真空速度都是相同的。

起源和意義

阿爾伯特·愛因斯坦（Albert Einstein）在1905年9月26日發表的一篇論文中描述了特殊的相對論，標題為“移動身體的電動力學”。麥克斯韋（Maxwell）的電磁主義方程似乎與牛頓力學不兼容，而米歇爾森 - 莫利（Michelson -Morley）無效的結果未能檢測到針對假設的發光體的運動。這些導致了洛倫茲變換的發展，該轉換調整了移動對象的距離和時間。特殊的相對論糾正了迄今為止的機械定律，以處理涉及所有動作的情況，尤其是那些速度接近光的情況（稱為相對論速度）。如今，當重力和量子效應可忽略不計時，特殊相對論已被證明是任何速度下最精確的運動模型。即便如此，牛頓模型仍然有效，可以作為一個簡單準確的近似值（相對於光速速度），例如，地球上的日常運動。

特殊相對論具有廣泛的後果，這些後果已經過實驗驗證。它們包括同時性，長度收縮，時間擴張，相對論速度的加法公式，相對論多普勒效應，相對論質量，通用速度限制，質量能量等價，因果關係的速度和托馬斯預測。例如，它用取決於參考框架和空間位置的時間的概念取代了絕對通用時間的常規概念。而不是兩個事件之間不變的時間間隔，而是一個不變的空間間隔。與其他物理定律相結合，特殊相對論的兩個假設可以預測質量和能量的等效性，如質量 - 能量等效公式所表達的那樣，在真空中，光速是光速。它還解釋了電力和磁性現像是如何相關的。

特殊相對論的一個定義特徵是用洛倫茲變換替換了牛頓力學的瓦利亞變換。時間和空間不能彼此分開定義（以前認為是這種情況）。相反，空間和時間被交織成一個稱為“時空”的單個連續體。一個觀察者同時發生的事件可能會在另一個觀察者發生。

直到幾年後，愛因斯坦（Einstein）發展了一般的相對論，該相對性引入了彎曲的時空以融合重力時，不使用短語“特殊相對論”。有時使用的翻譯是“限制相對論”； “特殊”確實是指“特殊情況”。阿爾伯特·愛因斯坦（Albert Einstein）在特殊相對論中的一些作品建立在亨德里克·洛倫茨（Hendrik Lorentz）和亨利·龐卡（HenriPoincaré）的早期作品上。該理論在1907年實質上是完整的，赫爾曼·麥科夫斯基（Hermann Minkowski）關於時空的論文。

該理論是“特殊的”，因為它僅適用於時空是“平坦”的特殊情況，即時空的曲率（能量 - 巨型張量和代表重力的結果）可忽略不計。為了正確適應重力，愛因斯坦在1915年提出了一般相對論。與某些歷史描述相反，特殊的相對論確實適應加速度以及加速參考框架。

正如現在接受伽利略相對論是特殊相對論的近似值，對低速有效一樣，特殊相對論也被認為是對弱引力場有效的一般相對性的近似值，即在足夠小的規模上（例如，當，當，當潮汐力可以忽略不計），在自由下落的條件下。但是，總體相對論融合了非歐幾里得的幾何形狀，以表示重力效應作為時空的幾何曲率。特殊相對論僅限於稱為Minkowski空間的平坦時空。只要可以將宇宙建模為偽里曼尼亞人的歧管，就可以定義一個符合特殊相對論的洛倫茲 - 不變框架，該框架可以定義為這個彎曲的時空中每個點的足夠小的鄰域。

伽利略·伽利略（Galileo Galilei）已經假設，沒有絕對且定義明確的休息狀態（沒有特權參考框架），這一原則現在稱為伽利略的相對性原則。愛因斯坦擴展了這一原則，以便它解釋了光的恆定速度，這是米歇爾森 - 莫利實驗中觀察到的現象。他還假設，它適用於所有物理定律，包括力學定律和電動力學定律。

傳統的“兩種假設”的特殊相對論方法

“這種類型的反思對我很清楚，即1900年後不久，在普朗克開拓性的工作之後不久，機械和電動力學都無法（在限制案例中）要求確切的有效性。我逐漸地發現了發現的可能性通過基於已知事實的建設性努力的真實法律。我嘗試的越長，我越多地努力，我就越堅信，只有發現普遍的正式原則才能使我們獲得保證的結果……那麼如何，那麼，可以找到這樣的普遍原則嗎？”

阿爾伯特·愛因斯坦（Albert Einstein）：自傳筆記

愛因斯坦（Einstein）辨別了兩個基本命題，這些命題似乎是最保證的，無論力學或電動力學的（當時）已知定律的確切有效性如何。這些命題是真空中光速的穩定性和從慣性系統的選擇中的物理定律（尤其是光速的恆定）的獨立性。在1905年對特別相對論的最初介紹中，他將這些假設表示為：

相對性的原則- 物理系統發生變化狀態的定律不影響這些狀態的變化是否被稱為彼此統一譯動運動中的兩個系統中的一個或另一個變化。
不變速度的原理 - “ ...光總是在空的空間中傳播，其速度（速度] C非常獨立於發射體的運動狀態”（從序言中）。也就是說，在至少一個慣性坐標系統（“固定係統”）中，真空中的光在速度C （固定常數，獨立於方向）中傳播，無論光源的運動狀態如何。

光速的恆定是由麥克斯韋的電磁理論和缺乏發光醚的證據的動機。關於愛因斯坦在多大程度上受到米歇爾森 - 莫萊實驗的無效結果的影響程度，存在矛盾的證據。無論如何，米歇爾森 - 莫利實驗的無效結果有助於對光速度的穩定性概念廣泛和快速接受。

特殊相對論的推導不僅取決於這兩個明確的假設，還取決於幾個默認假設（幾乎所有物理學理論），包括空間的各向異性和同質性以及測量桿和時鐘與過去歷史的獨立性。

在愛因斯坦（Einstein）在1905年對特殊相對論的原始介紹之後，在各種替代派生中提出了許多不同的假設集。但是，最常見的假設仍然是愛因斯坦在他的原始論文中使用的。愛因斯坦後來提出的相對論原理的更數學陳述，介紹了上述簡單性的概念是：

相對論的特殊原則：如果選擇了坐標系統k的系統，以便與之相關的物理定律以最簡單的形式保持良好，則相同的定律與任何其他坐標系統K '相對均勻地均勻地移動相對均勻地移動。到K.

亨利·龐卡（HenriPoincaré）通過證明洛倫茲（Lorentz）的變換是他的龐加萊對稱轉換群體的子集，為相對論理論提供了數學框架。愛因斯坦後來從他的公理中得出了這些轉變。

愛因斯坦的許多論文基於這兩個原則提出了洛倫茲轉型的推導。

相對性原則

參考幀和相對運動

參考幀在相對論中起著至關重要的作用。此處使用的術語參考框架是空間中未經歷任何運動變化（加速度）的觀察視角，可以從3個空間軸（因此，在靜止或恆定速度下）從中測量位置。此外，參考框架具有使用“時鐘”（任何具有均勻週期性的參考設備）來確定事件時間的測量值。

事件是一個事件，可以分配一個相對於參考框架的空間中的單個唯一力矩和位置：這是時空中的“點”。由於光速在相對論中的速度是恆定的，無論參考框架如何，光的脈衝都可以用來明確測量距離並參考時鐘發生的時間，即使事件發生後光需要時間才能到達時鐘已經發生了。

例如，鞭炮的爆炸可能被認為是“事件”。我們可以通過其四個時空坐標來完全指定事件：出現時間及其3維空間位置定義了參考點。讓我們稱此參考框架s 。

在相對論中，我們經常想從不同的參考框架計算事件的坐標。與不同框架進行的測量相關的方程稱為轉換方程。

標準配置

為了深入了解不同參考幀中觀察者測量的時空坐標如何相比，使用標準配置中的框架的簡化設置使用，這很有用。謹慎地，這可以簡化數學，而在得出的結論中不會喪失一般性。在圖2-1中，以相對運動顯示了兩個伽利略參考幀（即傳統的3空間幀）。框架S屬於第一個觀察者O，框架S ' （發音為“ S Prime”或“ S Dash”）屬於第二個觀察者O ' 。

框架S的X ， Y ， Z軸是平行於框架S '的相應啟動軸的定向的。
幀s '移動，為簡單起見，沿單個方向： x方向s的x方向s，具有恆定速度v的x方向，如在框架S中測量。
當幀S '的幀S和T = 0的時間t = 0時，幀s和s '的起源是一致的。

由於相對論沒有絕對的參考框架，因此“移動”的概念並不嚴格存在，因為與其他參考框架相對於其他參考框架，一切都可能在移動。取而代之的是，據說以相同方向移動的任何兩個幀都在旋轉。因此， s和s '並不是共同的。

缺乏絕對參考框架

相對論的原則指出，物理定律在每個慣性參考框架中都具有相同的形式，可以追溯到伽利略，並被納入牛頓物理學。但是在19世紀後期，電磁波的存在使一些物理學家暗示宇宙充滿了一種稱為“以太”的物質，他們假設，這些物質將充當這些波或振動的介質（在許多方面，類似於聲音通過空氣傳播的方式）。以太被認為是可以測量所有速度的絕對參考框架，並且可以被認為是固定和一動不動的，相對於地球或其他一些固定參考點。以太應該足夠彈性以支撐電磁波，而這些波可以與物質相互作用，但對通過它的身體沒有抗性（其一種特性是它允許電磁波傳播）。各種實驗的結果，包括1887年的Michelson – Morley實驗（隨後通過更準確和創新的實驗進行了驗證），通過表明以太不存在，從而導致了特殊相對論的理論。愛因斯坦的解決方案是拋棄以太和絕對靜止狀態的概念。在相對論中，任何具有均勻運動的參考框架都將觀察到相同的物理定律。特別是，即使通過以不同（但恆定）速度移動的多個系統測量，真空中的光速始終是C。

相對論沒有第二個假設

從僅相對論的原理就沒有假設光速的穩定性（即使用空間的各向異性和特殊相對原理所隱含的對稱性）可以證明，慣性框架之間的時空變換是歐幾里得的，galilean， galilean ，或洛倫茲。在Lorentzian情況下，可以獲得相對論間隔保護和一定的有限限制速度。實驗表明，這種速度是真空中的光速。

洛倫茲不變作為特殊相對論的基本核心

特殊相對論的替代方法

愛因斯坦始終基於洛倫茲不變性（特殊相對論的基本核心）的推導，僅基於相對論和光速不變性的兩個基本原理。他寫了：

相對論的特殊理論的洞察力是：假設相對性和輕速不變性，如果新型的關係（“ Lorentz Transformation”）假定是用於坐標的轉換和事件的轉換時……通用原則相對論的特殊理論包含在假設中：相對於洛倫茲的轉化，物理定律是不變的（對於從一個慣性系統到任何其他任意選擇的慣性系統的過渡）。這是自然法律的限制原則...

因此，許多特殊相對論的現代處理基礎上是在普遍的洛倫茲協方差的單一假設上，或等效地，在Minkowski時空的單個假設上。

本文認為這是特殊相對論的基本假設，而不是將普遍的洛倫茲協方差視為衍生原則。傳統的兩組式的特殊相對論方法是在無數的大學教科書和流行演講中提出的。教科書以Minkowski時空的單一假設開頭，包括Taylor和Wheeler和Callahan的教科書。這也是Wikipedia文章時空和Minkowski圖的方法。

洛倫茲的轉變及其逆

在系統S和（ T ， X ， Y ， Z ）中定義一個事件，在系統S和（ T ' ， X ' ， Y ' ， Z ' ）中定義一個事件，以相對於該幀，在速度V處移動的參考幀中， S ' 。然後， Lorentz轉換指定這些坐標是通過以下方式相關的：

{\begin{aligned}t'&=\gamma \ (t-vx/c^{2})\\x'&=\gamma \ (x-vt)\\y'&=y\\z'&=z,\end{aligned}}

在哪裡

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}

是Lorentz因子， C是真空中的光速，而S '的速度V相對於S ，平行於X軸。為簡單起見， Y和Z坐標不受影響。只有X和T坐標會轉換。這些Lorentz轉換形成了一組線性映射的一組參數，該參數稱為速度。

求解上面的四個轉換方程的未置換坐標會產生逆洛倫茲的轉化：

{\begin{aligned}t&=\gamma (t'+vx'/c^{2})\\x&=\gamma (x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'.\end{aligned}}

這表明未繪製的框架正在以啟動框架中測量的速度-V移動。

X軸沒有什麼特別的。轉換可以應用於與運動平行的任何方向上（由γ因子扭曲）和垂直的任何方向；有關詳細信息，請參見Lorentz Transformation的文章。

洛倫茲轉化下的數量不變性被稱為洛倫茲標量。

在坐標差方面編寫Lorentz變換及其反向，其中一個事件具有坐標（ x ₁ ， t ₁ ）和（ x'1 ， _t'1 _），另一個事件具有坐標（ x ₂ ， t ₂ ）和（ x ） ' ₂ ， t'2 _），差異定義為

$\Delta x'=x'_{2}-x'_{1}\ ,\ \Delta t'=t'_{2}-t'_{1}\ .$
$\Delta x=x_{2}-x_{1}\ ,\ \ \Delta t=t_{2}-t_{1}\ .$

我們得到

$\Delta x'=\gamma \ (\Delta x-v\,\Delta t)\ ,\ \$ $\Delta t'=\gamma \ \left(\Delta t-v\ \Delta x/c^{2}\right)\ .$
$\Delta x=\gamma \ (\Delta x'+v\,\Delta t')\ ,\$ $\Delta t=\gamma \ \left(\Delta t'+v\ \Delta x'/c^{2}\right)\ .$

如果我們採取差異而不是差異，我們會得到

$dx'=\gamma \ (dx-v\,dt)\ ,\ \$ $dt'=\gamma \ \left(dt-v\ dx/c^{2}\right)\ .$
$dx=\gamma \ (dx'+v\,dt')\ ,\$ $dt=\gamma \ \left(dt'+v\ dx'/c^{2}\right)\ .$

洛倫茲轉化的圖形表示

圖3-1。繪製Minkowski時空圖來說明Lorentz的轉換。

時空圖（ Minkowski圖）是可視化坐標如何在不同的參考幀之間轉換的非常有用的幫助。儘管使用它們直接調用Lorentz變換並不那麼容易執行精確的計算，但它們的主要力量是它們能夠直觀地掌握相對論方案的結果。

要繪製時空圖，請首先以標準配置考慮兩個Galilean參考幀S和S'，如圖2-1所示。

圖3-1A。繪製框架S的和軸。軸的縮放為一個因子，以使兩個軸都具有長度的公共單位。在所示的圖中，網格線間隔間隔一個單位距離。 45°對角線代表了兩個光子在時間時通過原點的世界線，這些世界線的斜率為1，因為光子每單位時間單位的空間上方一個單位。兩個事件已在此圖上繪製，以便可以在S和S框架中比較它們的坐標。

圖3-1b。繪製框架s'的軸和軸。軸代表S坐標系的原點的世界線，如框架S所測量的。在該圖中，軸和軸都以一個角度從未繪製的軸傾斜，其中啟動和未備後的軸具有共同的起源，因為框架S和S'是在標準配置中設置的，因此

圖3-1C。啟動軸中的單元與未備件軸中的單位不同。從Lorentz的轉換中，我們觀察到啟動坐標系中的坐標轉換為未進行的坐標系中。同樣，啟動坐標系中的坐標轉換為未備後系統中的坐標。按照在未填充的框架中測量的軸與軸平行地繪製網格線，其中是一個整數。同樣，繪製與軸線平行的網格線在未繪製的框架中測量。使用畢達哥拉斯定理，我們觀察到單元之間的間距等於框架S之間的間距。該比率始終大於1，最終接近無窮大

圖3-1D。由於光速是一個不變的，因此在時間時通過原點的兩個光子的世界線仍然繪製為45°的對角線。通過Lorentz轉換的未備件坐標的啟動坐標，並且可以從圖表中大致測量（假設它已經足夠準確地繪製），但是Minkowski圖的真正優點是它賦予我們我們對我們的幾何視圖。場景。例如，在這個圖中，我們觀察到，在未繪製的幀中具有不同X坐標的兩個時間表分隔事件現在在空間中處於相同的位置。

雖然未繪製的框架是用成直角相交的空間和時軸繪製的，但啟動框架是用急性或鈍角相遇的軸繪製的。這種不對稱是由於時空坐標如何映射到笛卡爾平面上的不可避免的扭曲所致，但是框架實際上是等效的。

從洛倫茲轉化得出的後果

特殊相對論的後果可以從洛倫茲的變換方程中得出。這些轉換以及特殊的相對性與在所有相對速度下的物理預測相比導致了不同的物理預測，並且當相對速度與光速相當時，最明顯的是。光速比大多數人遇到的任何事物都要大得多，以至於相對性預測的某些影響最初是違反直覺的。

不變間隔

在Galilean相對論中，兩個事件（）之間的對象的長度（）和時間分離是獨立的不變式，當從不同的參考框架觀察到時，其值不會改變。

然而，在特殊的相對論中，空間和時間坐標的交織產生了不變間隔的概念，稱為：

\Delta s^{2}\;{\overset {\text{def}}{=}}\;c^{2}\Delta t^{2}-(\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2})

空間和時間的交織撤銷了在非啟發幀中絕對同步和同步的隱式假定的概念。

是平方時段和平方空間距離的差異的形式，表明歐幾里得和時空距離之間存在根本差異。此間隔的不變性是一般洛倫茲變換（也稱為龐加萊變換）的屬性，使其成為時空的等軸測圖。一般的Lorentz變換擴展了標準的Lorentz變換（涉及旋轉不旋轉的翻譯，即在X方向上的Lorentz提升），並具有所有其他翻譯，反射和旋轉的笛卡爾慣性框架之間的旋轉。

在簡化場景（例如時空圖）的分析中，經常採用不變間隔的降低形式：

\Delta s^{2}\,=\,c^{2}\Delta t^{2}-\Delta x^{2}

證明該間隔是不變的，對於降低的差異案例和標準配置中的框架很簡單：

{\begin{aligned}c^{2}\Delta t^{2}-\Delta x^{2}&=c^{2}\gamma ^{2}\left(\Delta t'+{\dfrac {v\Delta x'}{c^{2}}}\right)^{2}-\gamma ^{2}\ (\Delta x'+v\Delta t')^{2}\\&=\gamma ^{2}\left(c^{2}\Delta t'^{\,2}+2v\Delta x'\Delta t'+{\dfrac {v^{2}\Delta x'^{\,2}}{c^{2}}}\right)-\gamma ^{2}\ (\Delta x'^{\,2}+2v\Delta x'\Delta t'+v^{2}\Delta t'^{\,2})\\&=\gamma ^{2}c^{2}\Delta t'^{\,2}-\gamma ^{2}v^{2}\Delta t'^{\,2}-\gamma ^{2}\Delta x'^{\,2}+\gamma ^{2}{\dfrac {v^{2}\Delta x'^{\,2}}{c^{2}}}\\&=\gamma ^{2}c^{2}\Delta t'^{\,2}\left(1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}\right)-\gamma ^{2}\Delta x'^{\,2}\left(1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\\&=c^{2}\Delta t'^{\,2}-\Delta x'^{\,2}\end{aligned}}

因此，IS的值與測量框架的框架無關。

在考慮物理意義時，有三種情況需要注意：

ΔS2> 0：在這種情況下，這兩個事件的分離時間比空間更大，因此它們被認為是及時分離的。這意味著並鑑於洛倫茲的轉變很明顯，存在比（特別是）少的。換句話說，給定兩個及時分離的事件，可以找到兩個事件發生在同一位置的框架。在此框架中，及時的分離稱為正確的時間。
ΔS2<0：在這種情況下，這兩個事件的空間比時間更大，因此它們被據稱是空間類別的。這意味著並鑑於那裡的洛倫茲變換的情況少於（特別是）。換句話說，給定兩個間距分開的事件，可以找到兩個事件同時發生的框架。在此框架中，空間中的分離稱為適當的距離或適當的長度。對於更大且小於變化符號的值，這意味著根據觀察事件的框架，空距分隔事件的時間順序變化。但是，及時分隔事件的時間順序是絕對的，因為唯一比以前要大的方法
ΔS2= 0：在這種情況下，據說這兩個事件是淺色的。這意味著，由於此關係的不變性，這種關係獨立於框架，我們觀察到光速在每個慣性框架中。換句話說，從普遍洛倫茲協方差的假設開始，恆定的光速是派生的結果，而不是像特殊理論的兩層式表述中那樣的假設。

同時性的相對論

考慮在一個慣性觀察者的參考框架中同時發生的兩個不同位置發生的事件。它們可能是在另一個慣性觀察者的參考框架（缺乏絕對同時性）的參考框架中進行的。

從等式3 （根據坐標差異而轉換為前向Lorentz）

\Delta t'=\gamma \left(\Delta t-{\frac {v\,\Delta x}{c^{2}}}\right)

顯然，在幀s中同時同時發生的兩個事件（滿足δT = 0 ），不一定在另一個慣性框架S ' （滿足δt ' = 0 ）中同時同時進行。只有當這些事件在幀s中又是共局部（滿足δx = 0 ），才能同時在另一個幀S '中同時進行。

SAGNAC效應可以被認為是同時相對論的表現。由於同時性的相對性是一階效應，因此基於SAGNAC效應的儀器（例如環激光陀螺儀和光纖陀螺儀）能夠具有極高的敏感性。

時間擴張

兩個事件之間的時間段並不是一個觀察者到另一個觀察者的不變，而取決於觀察者參考幀的相對速度。

假設一個時鐘在未填充的系統中靜止。然後，時鐘在兩個不同的刻度上的位置以δx = 0為特徵。為了找到兩個系統中測量的這些刻度之間的時間之間的關係，方程3可用於查找：

對於令人滿意的事件

這表明在時鐘移動的框架（ s ' ）中看到的兩個刻度之間的時間（δt ' ）比在這些tick之間的時間（Δt）更長時鐘。時間擴張解釋了許多物理現象。例如，宇宙射線與地球外氣氛中粒子的碰撞和向表面移動所產生的高速μ子的壽命大於在實驗室中產生和衰減的緩慢移動的雄性的壽命。

每當聽到“移動時鐘運行緩慢”的效果的陳述時，就應該設想一個慣性參考框架，這些參考框架填充了相同的同步時鐘。當移動時鐘通過此數組傳播時，將其在任何特定點的讀數與同一時刻的固定時鐘進行了比較。

通常，如果我們實際看一個移動的時鐘，我們將獲得的測量通常不是同一件事，因為看到的時間會被有限的光速延遲，即我們看到的時間會延遲被多普勒效應扭曲。相對論效應的測量必須始終被理解為在有限的光速效應已被考慮後進行的。

Langevin的Light-Clock

保羅·蘭格文（Paul Langevin）是相對論理論的早期支持者，面對許多物理學家抵抗愛因斯坦（Einstein）的革命概念，這對理論進行了廣泛推廣。在他對特殊相對論基礎的眾多貢獻中，有關於質量能力關係的獨立工作，對雙胞胎悖論的徹底檢查以及對旋轉坐標系的研究。他的名字經常附著在一種稱為“ Light-Clock”（最初由Lewis and Tolman在1909年開發的）的假設構造，他用來對Lorentz轉換進行新穎的推導。

可以想像一個光鎖是一盒完美的反射牆，其中燈信號從相反的面部來回反射。時間擴張的概念經常使用一個燈鎖，該輕鎖垂直於連接兩個鏡子的線以均勻的慣性運動行進。（Langevin本人使用了與其運動線相似的燈鎖。）

考慮圖4-3A中說明的方案。觀察者A擁有一個長度的光鎖以及一個電子計時器，她可以測量脈搏在沿燈光上進行往返的脈衝花費多長時間。儘管觀察者A沿著火車迅速行駛，但從她的角度來看，脈衝的發射和接收在同一位置發生，並且她使用位於這兩個事件的精確位置的單個時鐘來測量間隔。對於這兩個事件之間的間隔，觀察者a發現使用單個時鐘測量的時間間隔，該時鐘在特定的參考框架中靜止不動，稱為適當的時間間隔。

圖4-3b從觀察者B的角度說明了這兩個事件，因為火車以火車的速度而不是直接進行上下動作，他被軌道停放鋸齒形線。然而，由於恆定的光速，沿這些對角線的脈衝的速度與觀察者a鋸的上下脈衝相同。 b測量這些脈衝的垂直成分的速度，以便脈衝的總往返時間注意到，對於觀察者B，在不同的位置發生了光脈衝的發射和接收，他使用兩個時間間隔測量了兩個間隔他的參考框架中位於兩個不同位置的固定和同步時鐘。因此，測量B的間隔不是適當的時間間隔，因為他沒有用單個休息時鐘測量它。

相互時間擴張

在上面對Langevin Light-clock的描述中，一個觀察者將一個觀察者的標記為固定，而另一個觀察者則完全是任意的。一個人也可以讓觀察者B攜帶光鎖並以左側的速度移動，在這種情況下，觀察者A會認為B的時鐘比本地時鐘慢。

這裡沒有悖論，因為沒有獨立的觀察者C同意A和B。觀察者C必須從他自己的參考框架中進行測量。如果該參考框架與A的參考框架一致，則C將同意A的時間測量。如果C的參考框架與B的參考框架一致，則C將同意B的時間測量。如果C的參考框架與A框架和B的框架都不一致，則C的時間測量將不同意A和B的時間測量。

雙胞胎悖論

在單獨的慣性框架中，兩個觀察者之間的時間擴張之間的互惠導致所謂的雙胞胎悖論，該悖論在1911年由蘭格文（Langevin）以目前的形式闡明。蘭格文（ Langevin）想像著一個希望探索地球未來的冒險家。該旅行者會板板的彈丸，能夠以光速的99.995％行駛。在經歷了自己一生中僅兩年的往返往返往返旅程之後，他返回了兩百歲的地球。

這個結果似乎令人困惑，因為旅行者和一個地球觀察者都將對方視為移動，因此，由於時間膨脹的互惠，一個人最初可能期望每個人都應該發現對方的年齡較小。實際上，根本沒有悖論，因為為了使兩個觀察者比較他們的適當時間，必須打破情況的對稱性：至少兩個觀察者中的至少一個必須改變他們的運動狀態，以匹配。其他。

但是，了解悖論的一般分辨率並不能立即產生計算正確定量結果的能力。文獻中已經提供了許多解決這個難題的解決方案，並在Twin Paradox文章中進行了審查。我們將在以下一個這樣的解決方案中檢查悖論。

我們的基本目的是證明，在旅途之後，兩個雙胞胎都完全同意誰的年齡，無論他們的經歷如何。圖4-4說明了一種場景，其中行進的雙胞胎在0.6 c往返3個遠處的恆星時蒼蠅。在旅行期間，每個雙胞胎都會向另一個發送年度信號（以自己的適當時間測量）。旅行後，比較累積計數。在旅行的外部階段，每個雙胞胎以最初的速度降低的速率接收信號，情況完全對稱：請注意，每個雙胞胎都以自己的時鐘衡量的兩年後對方的一年信號接收到對方的一年訊號.當旅行雙胞胎以她的時鐘衡量的四年標記轉過四年時，對稱性被打破了。在剩下的四年旅行中，她以固定的雙胞胎的速度收到的信號完全不同。由於光速延遲，直到八年過去了他的時鐘，他才看到姐姐轉身。因此，他僅在相對短暫的一段時間內收到了姐姐的增強信號。儘管雙胞胎在各自的總時間衡量標準中不同意，但我們在下表中看到了Minkowski圖的簡單觀察，每個雙胞胎都是完全一致的對另一個。因此沒有悖論。

物品	由呆在家裡	圖4-4	由旅行者	圖4-4
總旅行時間	$T={\frac {2L}{v}}$	10年	$T'={\frac {2L}{\gamma v}}$	8年
發送的脈衝總數	$fT={\frac {2fL}{v}}$	10	$fT'={\frac {2fL}{\gamma v}}$	8
檢測到旅行者周轉的時間	$t_{1}={\frac {L}{v}}+{\frac {L}{c}}$	8年	$t_{1}'={\frac {L}{\gamma v}}$	4年
以初始速度收到的脈衝數量	$f't_{1}$ $={\frac {fL}{v}}(1+\beta )\left({\frac {1-\beta }{1+\beta }}\right)^{1/2}$ $={\frac {fL}{v}}(1-\beta ^{2})^{1/2}$	4	$f't_{1}'$ $={\frac {fL}{v}}(1-\beta ^{2})^{1/2}\left({\frac {1-\beta }{1+\beta }}\right)^{1/2}$ $={\frac {fL}{v}}(1-\beta )$	2
剩餘旅行的時間	$t_{2}={\frac {L}{v}}-{\frac {L}{c}}$	2年	$t_{2}'={\frac {L}{\gamma v}}$	4年
最終收到的信號數量	$f''t_{2}$ $={\frac {fL}{v}}(1-\beta )\left({\frac {1+\beta }{1-\beta }}\right)^{1/2}$ $={\frac {fL}{v}}(1-\beta ^{2})^{1/2}$	4	$f''t_{2}'$ $={\frac {fL}{v}}(1-\beta ^{2})^{1/2}\left({\frac {1+\beta }{1-\beta }}\right)^{1/2}$ $={\frac {fL}{v}}(1+\beta )$	8
收到的脈衝總數	${\frac {2fL}{v}}(1-\beta ^{2})^{1/2}$ $={\frac {2fL}{\gamma v}}$	8	${\frac {2fL}{v}}$	10
雙胞胎對另一個雙胞胎應該老化多少的計算	$T'={\frac {2L}{\gamma v}}$	8年	$T={\frac {2L}{v}}$	10年

長度收縮

一個觀察者測量的物體的尺寸（例如，長度）可能小於另一個觀察者對同一對象的測量結果（例如，梯子悖論涉及一個長階梯子在光速附近傳播並包含。在較小的車庫內）。

同樣，假設測量桿處於靜止狀態，並沿未填充系統s中的x軸對準。在此系統中，該桿的長度寫為δx 。為了測量桿在移動的系統S '中該桿的長度，必須在該系統S '中同時測量桿到桿端的距離x ' 。換句話說，測量的特徵是δt ' = 0 ，可以與公式4結合，以找到長度δx和δx '的關係：

對於令人滿意的事件

這表明桿的長度（δx ' ）在其移動的框架（ s ' ）中測量的長度（ S '）在其自身的休息框架（ s ）中的長度（S'）短。

時間擴張和長度收縮不僅是外觀。時間擴張與我們測量在給定坐標系同一位置發生的事件之間的時間間隔明確相關（稱為“共局部”事件）。在另一個坐標系中，這些時間間隔（實際上是通過相關觀察者實驗測量的，實際上可以，並且實際上是通過相對於第一個移動的坐標係都不同的，除非事件除了共同本地，否則同時也是同時進行的。同樣，長度收縮與我們所選擇的坐標系統中分離但同時事件之間的測量距離有關。如果這些事件不是共同本地的，而是通過距離（空間）隔開，則在從另一個移動坐標系統中看到時，它們將不會在相同的空間距離上發生。

速度的洛倫茲轉變

在標準配置中考慮兩個幀S和S'。 s中的粒子以速度向量向X方向移動，框架s'中的速度是多少？

我們可以寫

\mathbf {|u|} =u=dx/dt\,.

()

\mathbf {|u'|} =u'=dx'/dt'\,.

()

將表達式替換為公式5到等式8，然後直接進行數學操作，而從等式7中替換了後替代，從而使速度的洛倫茲轉變為：

u'={\frac {dx'}{dt'}}={\frac {\gamma (dx-v\,dt)}{\gamma \left(dt-{\dfrac {v\,dx}{c^{2}}}\right)}}={\frac {{\dfrac {dx}{dt}}-v}{1-{\dfrac {v}{c^{2}}}\,{\dfrac {dx}{dt}}}}={\frac {u-v}{1-{\dfrac {uv}{c^{2}}}}}.

()

通過互換啟動和未刺激的符號並替換為

u={\frac {u'+v}{1+u'v/c^{2}}}.

()

由於不沿X軸對齊，我們寫道：

\mathbf {u} =(u_{1},\ u_{2},\ u_{3})=(dx/dt,\ dy/dt,\ dz/dt)\ .

()

\mathbf {u'} =(u_{1}',\ u_{2}',\ u_{3}')=(dx'/dt',\ dy'/dt',\ dz'/dt')\ .

()

這種情況的前進和反向轉換是：

u_{1}'={\frac {u_{1}-v}{1-u_{1}v/c^{2}}}\ ,\qquad u_{2}'={\frac {u_{2}}{\gamma \left(1-u_{1}v/c^{2}\right)}}\ ,\qquad u_{3}'={\frac {u_{3}}{\gamma \left(1-u_{1}v/c^{2}\right)}}\ .

()

u_{1}={\frac {u_{1}'+v}{1+u_{1}'v/c^{2}}}\ ,\qquad u_{2}={\frac {u_{2}'}{\gamma \left(1+u_{1}'v/c^{2}\right)}}\ ,\qquad u_{3}={\frac {u_{3}'}{\gamma \left(1+u_{1}'v/c^{2}\right)}}\ .

()

方程式10和方程14可以解釋為給出兩個速度的結果，並且它們取代了在加利利相對論中有效的公式。以這種方式解釋，它們通常被稱為相對論速度添加（或組成）公式，對S和S'的三個軸有效（儘管不一定在標準配置中）有效。

我們注意到以下幾點：

如果一個物體（例如，光子）以一個框架（即U =± c或u ' =± c ）在光速下移動，則它也將以任何其他框架的光速移動，移動| V | < c 。
幅度小於C的兩個速度的最終速度始終是尺寸小於C的速度。
如果兩個| u |和| V | （然後| u'|和| v'|）相對於光速很小（即，例如，|u / c | $≪1$ ），然後從轉換方程中恢復直觀的伽利亞轉換，以獲得特殊相對論
將框架連接到光子（像愛因斯坦這樣的光束騎行）需要對轉換的特殊處理。

標準配置中的X方向沒有什麼特別的。上述形式主義適用於任何方向；和三個正交方向允許通過將速度向量分解到這些方向上的組件來處理太空中的所有方向。有關詳細信息，請參見速度 - 附加公式。

托馬斯旋轉

圖4-5。托馬斯 - 王子旋轉

兩種非結合Lorentz的組成（即，兩個非結合的Lorentz轉換，都不涉及旋轉）會導致Lorentz的轉化，這不是純提升，而是增強和旋轉的組成。

托馬斯旋轉來自同時性的相對性。在圖4-5a中，其休息框架的長度（即，具有正確的長度）沿著地面框架的y軸垂直上升。

在圖4-5B中，從火箭框架以速度向右移動的火箭框架觀察到了相同的桿。如果我們想像兩個位於桿的左側和右端的兩個時鐘在桿框架框架中同步，同時性的相對性會導致火箭框架中的觀察者觀察（看不見）桿右端的時鐘隨著時間的流逝和桿的傾斜度，桿被相應地觀察到。

與二階相對論效應（例如長度收縮或時間擴張）不同，即使在相當低的速度下，這種效果也會變得非常重要。例如，這可以在移動顆粒的自旋中看到，其中托馬斯進動是一種相對論校正，適用於基本粒子的自旋或宏觀陀螺儀的旋轉，與遵循粒子旋轉的角速度遵循的角度相關。曲線軌道至軌道運動的角速度。

托馬斯旋轉為著名的“儀表和孔悖論”提供了分辨率。

因果關係和禁止運動速度比光快

在圖4-6中，事件a（“原因”）和b（“效應”）之間的時間間隔為'時間樣'；也就是說，有一個參考框架，事件A和B在空間的同一位置發生，僅通過在不同的時間出現。如果A在該框架中佔B，則A在所有幀中都可以通過Lorentz轉換訪問B。物質（或信息）可以從A開始時（從A開始）到B的位置到達B的位置（低於光速），因此可以存在因果關係（可以存在因果關係（與原因和b效果）。

該圖中的間隔AC為“太空狀”；也就是說，有一個參考框架，事件A和C同時出現，僅在空間中分離。在某些框架中，在其中c（如圖所示）和c先進的框架前。但是，lorentz變換無法訪問框架，其中事件a和c在同一位置發生。如果可能存在事件A和C之間存在因果關係的關係，則會導致因果關係的悖論。

例如，如果信號的發送速度比光快，則可以將信號發送到發件人的過去（圖中的觀察者B）。然後可以構建各種因果悖論。

圖4-7。通過使用虛構的因果關係違反因果關係
“瞬時溝通者”

考慮圖4-7中的時空圖。當高速火車經過時，A和B站在鐵軌旁邊，C乘坐火車的最後一輛汽車和D騎在領先的汽車中。 A和B的世界線是垂直的（ CT ），區分了這些觀察者在地面上的固定位置，而C和D的世界線是向前傾斜（ CT ' ），反映了觀察者C和D的快速運動從地面上觀察到的，在火車上靜止不動。

圖4-7A。當領先的汽車經過時，“ B將消息傳遞給D”的事件是D的起源。 D使用虛構的“瞬時通訊器”將沿火車的消息發送到後車的C。該消息的世界線是沿軸的脂紅色箭頭，這是C和D的啟動框架中的一行。在（未繪製的）接地框架中，信號比發送的信號更早到達。
圖4-7B。站在鐵軌上的“ C將信息傳遞給A”的事件是其框架的起源。現在A通過“瞬時通訊器”將沿軌道的消息發送到B。該消息的世界線是沿軸線的藍色脂肪箭頭，這是A和B的框架的同時行因果關係。

信號無需立即違反因果關係。即使從d到c的信號比軸線略淺（並且從a到b的信號比軸稍陡一些），B仍然有可能在他發送消息之前收到他的信息。通過將火車的速度提高到近光速，可以將軸和軸非常接近代表光速的虛線擠壓。通過這種修改後的設置，可以證明，即使信號僅比光速稍快，也會導致因果關係違規。

因此，如果要保留因果關係，那麼特殊相對論的後果之一是，沒有信息信號或材料對象可以比真空中的光快。

這並不是說所有比光速更快的速度是不可能的。可以描述各種瑣碎的情況，而某些“事物”（不是實際的物質或能量）的移動速度比光動作快。例如，當搜索燈撞到雲的底部時，當搜索燈迅速轉動時，雲的底部的位置可以比光快（儘管這不會違反因果關係或任何其他相對論現象）。

光學效果

拖動效果

1850年， Hippolyte Fizeau和LéonFoucault獨立地確定，在水中的傳播比在空氣中更慢，從而驗證了弗雷塞內爾的光理論的預測，並使牛頓的體積理論的相應預測無效。在靜水中測量了光速。流水中的光速是多少？

1851年，菲佐（Fizeau）進行了一個實驗來回答這個問題，圖5-1中說明了其簡化的表示。一束光束由光束拆分器分開，分裂梁通過一管流動的水以相反的方向傳遞。它們被重新組合以形成乾擾條紋，表明觀察者可以查看光路徑長度的差異。該實驗表明，流動的水拖動光引起了邊緣的位移，表明水的運動影響了光的速度。

根據當時盛行的理論，穿越移動介質的光將是其速度穿過介質加上介質的簡單總和。與預期相反，菲佐（Fizeau）發現，儘管光似乎被水拖動，但拖動的幅度遠低於預期。如果是在靜水中的光速，並且是水的速度，並且是實驗室框架中的水速，水的流量增加或從光速中添加

u_{\pm }={\frac {c}{n}}\pm v\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)\ .

Fizeau的結果雖然與菲涅爾（Fresnel）早期的部分拖動假設一致，但對當時的物理學家極為不安。除其他事項外，存在折射項索引的存在意味著，由於取決於波長，以太必須能夠同時維持不同的運動。提出了各種理論解釋來解釋菲涅爾的拖動係數，這些係數完全矛盾。甚至在邁克爾遜 - 莫利實驗之前，菲佐的實驗結果都是許多觀察結果之一，這些觀察結果在解釋移動物體的光學方面產生了關鍵的情況。

從特殊相對論的角度來看，Fizeau的結果不過是公式10的近似值，即速度組成的相對論公式。

u_{\pm }={\frac {u'\pm v}{1\pm u'v/c^{2}}}=

{\frac {c/n\pm v}{1\pm v/cn}}\approx

c\left({\frac {1}{n}}\pm {\frac {v}{c}}\right)\left(1\mp {\frac {v}{cn}}\right)\approx

{\frac {c}{n}}\pm v\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)

光的相對論畸變

由於光的有限速度，如果源和接收器的相對運動包括橫向組件，則光到達接收器的方向將從源相對於接收方的源空間中的幾何位置移動。位移的經典計算採用兩種形式，並取決於接收器，源或兩者在相對於培養基的運動。（1）如果接收器在運動中，則位移將是光的畸變的結果。梁相對於接收器的入射角可以從接收器運動的矢量和入射光速度中計算出來。（2）如果源在運動中，則位移將是輕度校正的結果。源從其幾何位置的明顯位置的位移將是源在到達接收器的光所需的源運動的結果。

經典解釋失敗了實驗測試。由於畸變角取決於接收器的速度與入射光速度之間的關係，因此入射光通過折射介質的傳遞應改變像差角。 1810年，阿拉戈（Arago）在測量光速的失敗嘗試中使用了這種預期現象，1870年，喬治·艾里（George Airy）使用充滿水的望遠鏡測試了該假設，發現與期望相同，測得的異常與測量的像差相同帶有空氣望遠鏡。解釋這些結果的一種“笨拙”的嘗試使用了部分以太拖網的假設，但與邁克爾遜 - 莫利實驗的結果不兼容，這顯然要求完全拖拉。

假設慣性框架，光線畸變的相對論表達適用於接收器移動和源移動案例。已經發布了各種三角等效公式。用圖5-2中的變量表示，其中包括

或或

相對論多普勒效應

相對論縱向多普勒效應

經典多普勒效應取決於源，接收器還是兩者都相對於培養基運動。相對論多普勒效應與任何培養基無關。然而，縱向案例的相對論多普勒偏移，源和接收器直接向彼此移動或彼此移動，就好像是經典現像一樣，但通過添加時間擴張術語進行了修改，那就是治療在這裡描述。

假設接收器和源以相對速度彼此移開，該相對速度是由觀察者在接收器或源源上測量的（此處採用的符號約定是負面的，如果接收器和源彼此朝向源）。假設源在介質中是靜止的。然後

f_{r}=\left(1-{\frac {v}{c_{s}}}\right)f_{s}

聲音速度在哪裡。

對於光線，並且接收器以相對論速度移動，接收器上的時鐘相對於源時鐘的時間擴張。接收器將測量接收頻率為

f_{r}=\gamma \left(1-\beta \right)f_{s}={\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,f_{s}.

在哪裡

$\beta =v/c$ 和
是洛倫茲因素。

用移動源在接收器的參考框架中執行分析時，可獲得相對論多普勒偏移的相同表達式。

橫向多普勒效應

橫向多普勒效應是相對論特殊理論的主要新穎預測之一。

通常，人們可能會期望，如果源和接收器相互橫向移動，而沒有縱向組件的相對運動，那麼到達接收器的光中不應有多普勒偏移。

特殊相對論可以預測。圖5-3說明了這種情況的兩個常見變體。可以使用簡單的時間擴張參數分析這兩個變體。在圖5-3a中，接收器從源中觀察到的光被藍色的因子。在圖5-3b中，光線被相同的因素進行紅移。

測量與視覺外觀

時間擴張和長度收縮不是光學幻想，而是真正的效果。這些效果的測量不是多普勒轉移的偽像，也不是忽視從事件到觀察者所花費的時間的結果。

一方面，科學家在測量或觀察之間做出了基本的區別，與視覺外觀相比或看到的東西。對象的測量形狀是所有物體在一個時刻存在的假設快照。但是，一個物體的視覺外觀受光從對像上的不同點傳播到眼睛的不同時間的影響。

多年以來，兩者之間的區別普遍不值得讚賞，人們普遍認為，通過觀察者經過的長度合同實際上會被視為長度合同。 1959年，詹姆斯·特雷爾（James Terrell）和羅傑·彭羅斯（Roger Penrose）獨立地指出，信號中的差異時間滯後效應從移動對象的不同部分到達觀察者，導致快速移動對象的視覺外觀與其測得的形狀完全不同。例如，一個向後的對象會出現收縮，接近的對象會顯得細長，並且傳遞的對象的外觀將比作旋轉。運動中的球體為所有速度，任何距離以及所有視角都保留了圓形輪廓，儘管球體的表面及其上的圖像會顯示出扭曲。

圖5-4和圖5-5都說明了橫向移動到視線的對象。在圖5-4中，從側面長度的四倍的距離觀察了一個立方體。在高速時，垂直於運動方向的立方體的側面看起來雙曲線。該立方體實際上沒有旋轉。相反，與前面的光相比，立方體後部的光需要更長的時間才能到達眼睛，在此期間，立方體向右移動。在高速的情況下，圖5-5中的球體呈現出扁平的磁盤的外觀，從視線傾斜到45°。如果對象的運動不是嚴格的橫向，而是包括一個縱向成分，則可以看到誇張的扭曲。這種幻覺已被稱為Terrell旋轉或Terrell -penrose效應。

視覺外觀與測量不一致的另一個示例來自各種射電星系， BL LAC對象，類星體和其他天文對象的明顯超閃光運動，這些物體在狹窄角度相對於觀看者，它們以狹窄的角度彈出相對論的速度。明顯的錯覺結果使外觀比輕行程更快。在圖5-6中，Galaxy M87幾乎直接直接向我們流出一個高速射流，但是Penrose-terrell旋轉導致射流似乎以與圖中的外觀相同的方式橫向移動。5-4已伸出。

動力學

從Lorentz轉化得出的部分後果嚴格涉及運動學，研究點，身體和體系的運動的研究，而無需考慮引起運動的力。本節討論了質量，力量，能量等，因此需要考慮物理效應，而不是洛倫茲轉變本身所包含的效果。

質量和能量的等效性

隨著對象的速度從觀察者的角度接近光的速度，其相對論質量增加，從而使其越來越困難地從觀察者的參考框架內加速它。

物體在靜止狀態下的能量含量等於MC 2 ^。能量的保護表明，在任何反應中，顆粒質量總和的減少必須伴隨著反應後顆粒的動能的增加。同樣，可以通過吸收動能來增加物體的質量。

除了上面引用的論文（給出洛倫茲轉型的推論並描述特殊相對論的基礎）外，Einstein還至少寫了四篇論文，以啟發式論證，以實現質量和能量的等效性（和傳播性），以e = mc ² 。

質量 - 能量等效是特殊相對論的結果。能量和動量在牛頓力學中是分開的，在相對論中形成了四個矢量，這將時間成分（能量）與空間成分（動量）聯繫起來，以非平凡的方式將其與空間成分（動量）聯繫起來。對於靜止的對象，能量– Momentum四矢量為（ E / C ，0，0，0）：它具有一個時間成分，即能量，三個空間組件為零。通過以x方向的lorentz轉換更改速度V的框架，速度V的值較小，能量動量四矢量變為（ E / C ， EV / C ^2、0、0 ）。動量等於能量乘以速度除以C ² 。因此，一個物體的牛頓質量是慢速速度的動量與速度的比率等於E / C ² 。

能量和動力是物質和輻射的特性，不可能推斷出它們僅僅是從兩個基本相對論的基本假設中形成四個矢量的，因為它們不談論物質或輻射，他們只談論空間和時間。因此，派生需要一些其他物理推理。愛因斯坦在他的1905年論文中使用了牛頓力學應保持緩慢速度的其他原理，因此在慢速速度下有一個能量標量和一個三載體動量，而能量和動量的保護法在相關性中是正確的。此外，他假設光的能量是由與頻率相同的多普勒移位因子轉化的，他以前根據麥克斯韋的方程式證明了光的頻率。愛因斯坦關於這一主題的第一篇論文中的第一篇是“人體的慣性是否取決於其能量含量？”在1905年。儘管本文中愛因斯坦的論點幾乎被物理學家普遍接受是正確的，即使是不言而喻的，但多年來的許多作者都表明這是錯誤的。其他作者認為，該論點只是尚無定論，因為它依賴於某些隱式假設。

愛因斯坦在1907年有關特殊相對論的調查文件中承認了關於他的派生的爭議。他指出，依靠麥克斯韋的方程來啟發式質量 - 能源論點是有問題的。在1905年的論文中，可以通過發射任何無質量的粒子來執行該論點，但是麥克斯韋方程被隱式地用於使人們很明顯，特別是只能通過工作才能實現光的發射。要散發電磁波，您要做的就是搖動一個帶電的粒子，這顯然是在做工作，因此發射是能量的。

愛因斯坦（Einstein）1905年的E = MC ²演示

愛因斯坦在1905年的第四張Annus Mirabilis論文中，提出了關於質量和能量等效性的啟發式論點。儘管如上所述，隨後的獎學金已經確定他的論點未得到廣泛的證據，但他在本文中得出的結論已經接受了時間的考驗。

愛因斯坦（Einstein）作為開始假設，他最近發現的相對論多普勒轉移的公式，能量保護和勢頭保護定律以及麥克斯韋方程所暗示的光頻率與其能量之間的關係。

圖6-1。愛因斯坦（Einstein）1905年的E = MC ²推導

圖6-1（頂部）。考慮一個相對於參考框架的X軸行駛的光線的平面波系統。愛因斯坦（Einstein）在1905年關於特殊相對論的論文中發表的相對論多普勒轉移公式給出了：

{\frac {f'}{f}}={\frac {1-(v/c)\cos {\phi }}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}

圖6-1（底部）。考慮一個在參考框架中固定的任意物體。讓該身體在相對於X軸上以相反的方向發射一對相等的光脈衝。每個脈衝都有能量。由於動量的保護，兩種脈衝發射後的身體保持靜止。在兩種脈衝發射之前和發射後，讓人成為身體的能量。

接下來，考慮從框架S'觀察到的相同系統，該系統正在以相對於框架S沿X軸移動。在此框架中，從前部和反向脈衝的光相對地將在多普勒移位上進行。讓作為在兩種脈衝發射之前和發射後在參考幀S'中測量的身體的能量。我們獲得以下關係：

{\begin{aligned}E_{0}&=E_{1}+{\tfrac {1}{2}}L+{\tfrac {1}{2}}L=E_{1}+L\\[5mu]H_{0}&=H_{1}+{\tfrac {1}{2}}L{\frac {1-(v/c)\cos {\phi }}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}+{\tfrac {1}{2}}L{\frac {1+(v/c)\cos {\phi }}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}=H_{1}+{\frac {L}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\end{aligned}}

從上面的方程式中，我們獲得以下內容：

\quad \quad (H_{0}-E_{0})-(H_{1}-E_{1})=L\left({\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-1\right)

()

上方程中看到的兩個形式的兩個差異具有直接的物理解釋。由於並且是移動和固定幀中任意體的能量）。因此，

\quad \quad K_{0}-K_{1}=L\left({\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-1\right)

()

他獲得了泰勒系列的擴展並忽略了高階條款，他獲得了

\quad \quad K_{0}-K_{1}={\frac {1}{2}}{\frac {L}{c^{2}}}v^{2}

()

將上述表達與動能的經典表達進行比較， ke = 1 / 2 mV ² ，愛因斯坦隨後指出： “如果身體以輻射的形式散發出能量L，則其質量會減少L / C ^2。 ”

林德勒（Rindler）觀察到，愛因斯坦（Einstein）的啟發式論點僅表明能量有助於質量。在1905年，愛因斯坦對質量 - 能力關係的謹慎表達使可能存在“休眠”質量，而這些質量可能會在消除身體的所有能量後仍會留在後面。然而，到1907年，愛因斯坦已經準備好斷言所有慣性質量代表了能量儲備。 “要等於所有質量，都需要一種美學信仰的行為，這是愛因斯坦的特徵。”在他最初的提議之後的幾年中，愛因斯坦的大膽假設得到了充分的證實。

由於多種原因，愛因斯坦的原始推導目前很少被教授。除了對他原始推導的正式正確性的劇烈辯論之外，對特殊相對論的認識是愛因斯坦所說的“原理理論”，這導致了從對電磁現象的依賴轉變為純粹的動態動態方法證明。

彈性碰撞

對世界各地粒子加速器產生的碰撞產品的檢查為科學家提供了亞原子世界的結構及其管理的自然定律的證據。對碰撞產物的分析，其質量的總和可能大大超過入射粒子的質量，這需要特殊的相對論。

在牛頓力學中，對碰撞的分析涉及將保護定律用於質量，動量和能量。在相對論力學中，質量不是獨立保守的，因為它已歸入了總相對論。我們通過檢查兩個完全彈性的碰撞粒子的簡單情況，說明了牛頓碰撞的牛頓和相對論治療之間出現的差異。（在時空＃保護法律中討論了非彈性碰撞。放射性衰減可能被認為是一種時間倒轉的非彈性碰撞。）

由於產生了Bremsstrahlung輻射，帶電基本顆粒的彈性散射與理想性偏離。

牛頓分析

圖6-2提供了台球玩家熟悉的結果的證明，如果一個固定球被另一個相同質量撞擊（假設沒有側賓或“英語”），則在碰撞後，則有分歧的路徑在兩個球中，將尺寸為直角。（a）在靜止的框架中，一個以2 V的速度行駛的事件球擊中了一個固定球體。（b）在動量框架的中心，兩個球體在± v時對稱地相互接近。彈性碰撞後，兩個球以相等和相反的速度± U相互反彈。節能要求| u | = | V |。（c）恢復固定框架，反彈速度為v±u。點產物（ V + U ）•（ V -U ）= V ² -U ² = 0，表明向量是正交的。

相對論分析

考慮圖6-3中的彈性碰撞方案在與質量固定質量相等的移動粒子碰撞之間。與牛頓的情況不同，碰撞後兩個顆粒之間的角度小於90°，取決於散射角度，並且隨著入射粒子的速度接近光速：

粒子的相對論動量和總相對論能量由

\quad \quad {\vec {p}}=\gamma m{\vec {v}}\quad {\text{and}}\quad E=\gamma mc^{2}

()

動量的保護表明，傳入粒子的力量之和固定粒子（最初具有動量= 0）等於出現顆粒的力量之和：

\quad \quad \gamma _{1}m{\vec {v_{1}}}+0=\gamma _{2}m{\vec {v_{2}}}+\gamma _{3}m{\vec {v_{3}}}

()

同樣，輸入粒子的總相對論能量和固定粒子（最初具有總能量MC ² ）等於出現顆粒的總能量之和：

\quad \quad \gamma _{1}mc^{2}+mc^{2}=\gamma _{2}mc^{2}+\gamma _{3}mc^{2}

()

將（6-5）分解為其組成部分，替換為無量綱，並分解（6-5）和（6-6）的共同術語，產生以下內容：

\quad \quad \beta _{1}\gamma _{1}=\beta _{2}\gamma _{2}\cos {\theta }+\beta _{3}\gamma _{3}\cos {\phi }

()

\quad \quad \beta _{2}\gamma _{2}\sin {\theta }=\beta _{3}\gamma _{3}\sin {\phi }

()

\quad \quad \gamma _{1}+1=\gamma _{2}+\gamma _{3}

()

從這些中，我們獲得以下關係：

\quad \quad \beta _{2}={\frac {\beta _{1}\sin {\phi }}{\{\beta _{1}^{2}\sin ^{2}{\phi }+\sin ^{2}(\phi +\theta )/\gamma _{1}^{2}\}^{1/2}}}

()

\quad \quad \beta _{3}={\frac {\beta _{1}\sin {\theta }}{\{\beta _{1}^{2}\sin ^{2}{\theta }+\sin ^{2}(\phi +\theta )/\gamma _{1}^{2}\}^{1/2}}}

()

\quad \quad \cos {(\phi +\theta )}={\frac {(\gamma _{1}-1)\sin {\theta }\cos {\theta }}{\{(\gamma _{1}+1)^{2}\sin ^{2}\theta +4\cos ^{2}\theta \}^{1/2}}}

()

對於對稱的情況，其中（6-12）採用了更簡單的形式：

\quad \quad \cos {\theta }={\frac {\beta _{1}}{\{2/\gamma _{1}+3\beta _{1}^{2}-2\}^{1/2}}}

()

您可以離地球多遠？

由於沒有什麼比光更快的旅行速度，因此可以得出結論，一個人永遠不會遠離地球遠遠超過約100光年。您會很容易地認為，旅行者永遠無法超過距離地球100光年以內的少數太陽系。但是，由於時間擴張，假設的太空飛船可以在乘客一生中旅行數千年。如果可以建造以恆定1 g加速的太空飛船，那麼一年後，它將以幾乎從地球看到的光速行駛。這是由：

v(t)={\frac {at}{\sqrt {1+a^{2}t^{2}/c^{2}}}}

其中v （ t ）是一次t的速度， a是太空飛船的加速度， t是地球上人所測量的坐標時間。因此，在以9.81 m/s ²加速的一年後，與地球相對於地球，飛船將在V = 0.712 C和0.946 C下行駛0.946 C。經過三年的加速度，飛船的速度相對於地球的速度達到了94.6％的速度，時間擴張將導致在宇宙飛船上經歷的每一秒，對應於地球上的3.1秒。在旅途中，地球上的人們的時間比他們的時間要多 - 因為他們的時鐘（所有物理現象）的滴答速度確實比太空飛船快3.1倍。旅行者為期5年的往返旅行將需要6.5次地球年，並覆蓋超過6光年的距離。他們為他們進行了20年的往返（5年加速，5個減速，每次兩次）將使他們回到地球上335年的地球年，距離為331光年。 1 g的整整40年旅行將在地球上持續58，000年，並覆蓋了55,000光年的距離。 1.1 g的40年旅行將需要148,000年的地球年，並覆蓋約140,000光年。單向28年（用宇航員的時鐘進行14年，14年的減速）以1 g加速的行程可以達到2,000,000光年，到達仙女座銀河系。同一時間擴張是為什麼觀察到接近C的muOn的傳播能力比其半衰期（在休息時）的C倍。

相對論和統一的電磁

經典電磁學的理論研究導致了波傳播的發現。概括電磁效應的方程發現， E和B場的有限傳播速度需要對帶電顆粒的某些行為。移動費用的一般研究構成了Liénard -Wiechert潛力，這是邁向特殊相對論的一步。

移動電荷向非移動觀察者的參考框架的電場的洛倫茲轉換導致通常稱為磁場的數學術語的出現。相反，通過移動電荷產生的磁場消失，並成為共同參考框架中純靜電場。因此，麥克斯韋的方程僅僅是對宇宙經典模型中特殊效應的經驗擬合。由於電場和磁場是參考框架的依賴性，因此交織在一起，一個人說電磁場。特殊相對論為一個慣性框架中的電磁場如何出現在另一個慣性框架中。

麥克斯韋的方程式以3D形式的方程式已經與特殊相對論的物理內容一致，儘管它們易於以明顯的協變形式操縱，即用張量計算的語言來操縱。

相對論和量子力學理論

特殊相對論可以與量子力學結合使用，形成相對論量子力學和量子電動力學。一般相對論和量子力學如何統一是物理學中未解決的問題之一。量子引力和“一切理論”也需要統一，包括一般相對論，在理論研究中都是積極且持續的領域。

早期的Bohr – Sommerfeld原子模型使用特殊相對論和當時量子力學的初步知識來解釋了鹼金屬原子的精細結構。

1928年，保羅·迪拉克（Paul Dirac）構建了一個有影響力的相對論波動方程，現在被稱為dirac方程式，以特殊的相對性以及1926年以後存在的量子理論的最終版本完全兼容。電子的動量稱為自旋，這也導致了電子的反粒子（正電子）的預測，並且只能以特殊的相對性來充分解釋精細的結構。這是相對論量子力學的第一個基礎。

另一方面，反粒子的存在得出的結論是，相對論量子力學不足以實現粒子相互作用的更準確和完整的理論。取而代之的是，被解釋為量化場的粒子理論是必要的。在整個時空和時間上可以創建和破壞粒子。

地位

僅當引力電位的絕對值遠小於感興趣區域的C ²時，其Minkowski時空的特殊相對性才能準確。在強烈的引力場中，必須使用一般相對論。在弱場的極限上，總體相對性成為特殊的相對論。在很小的尺度上，例如在普朗克長度及以下，必須考慮量子效應，從而導致量子重力。但是，在宏觀尺度上，在沒有強力引力場的情況下，特殊的相對論經過實驗性測試至極高的準確性（10 ^-20 ），因此被物理學界接受了。似乎與之相矛盾的實驗結果是不可再現的，因此被廣泛認為是由於實驗誤差所致。

特殊相對論在數學上是自洽的，它是所有現代物理理論的有機部分，最著名的是量子場理論，弦理論和一般相對論（在限制性重力領域的限制案例中）。

牛頓力學在數學上遵循小速度的特殊相對論（與光速相比） - 因此，牛頓力學可以將其視為緩慢移動的身體的特殊相對論。有關更詳細的討論，請參見古典力學。

現在，愛因斯坦（Einstein）1905年論文之前的幾項實驗被解釋為相對論的證據。其中眾所周知，愛因斯坦（Einstein）在1905年之前就意識到了菲佐（Fizeau）實驗，歷史學家得出結論，愛因斯坦（Einstein）至少在1899年就意識到米歇爾森- 莫利（Michelson -Morley）的實驗，儘管他聲稱他在後來的幾年中發揮了作用，他在他的幾年中沒有任何作用。理論的發展。

Fizeau實驗（1851年，由Michelson和Morley在1886年重複）測量了移動培養基中的光速，結果與相對論添加Colinear速度相一致。
著名的米歇爾森 - 莫利實驗（1881，1887）進一步支持了假設，即檢測絕對參考速度是無法實現的。應該在這裡說，與許多其他主張相反，它幾乎沒有關於光速相對於來源和觀察者的速度的不變性，因為源和觀察者始終以相同的速度一起行駛。
Trouton -Noble實驗（1903）表明，電容器上的扭矩與位置和慣性參考框架無關。
Rayleigh and Brace（1902，1904）的實驗表明，根據相對論原理，長度收縮並不會導致共同移動觀察者的雙折射。

粒子加速器通常會加速並測量粒子以接近光速移動的粒子的性能，在該速度上，它們的行為與相對論理論完全一致，並且與較早的牛頓力學不一致。如果這些機器不根據相對論原則進行設計，則根本不起作用。此外，已經進行了相當多的現代實驗來測試特殊相對論。一些例子：

相對論能量和動量的測試- 測試顆粒的限制速度
IVES-史蒂威爾實驗- 測試相對論多普勒效應和時間擴張
時間擴張的實驗測試- 對快速移動粒子半衰期的相對論效應
肯尼迪 - thorndike實驗- 按照洛倫茲的轉化時間擴張
Hughes -Drever實驗- 測試空間和質量的各向同性
現代搜索違反洛倫茲- 各種現代測試
測試發射理論的實驗表明，光速與發射極速度無關。
測試以太拖動假設的實驗- 無“以太流阻塞”。

時空的技術討論

時空的幾何形狀

平坦的歐幾里得空間與Minkowski空間之間的比較

特殊相對論使用“平坦” 4維Minkowski空間 -時空的一個示例。 Minkowski時空似乎與標準的3維歐幾里得空間非常相似，但是關於時間的差異至關重要。

在3D空間中，距離（線元素）的差異由DS定義

ds^{2}=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} =dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2},

其中d x =（ dx ₁ ， dx ₂ ， dx ₃ ）是三個空間維度的差異。在Minkowski幾何形狀中，有一個額外的尺寸，坐標x ⁰從時間派生，以使距離差異滿足

ds^{2}=-dX_{0}^{2}+dX_{1}^{2}+dX_{2}^{2}+dX_{3}^{2},

其中d x =（ dx ₀ ， dx ₁ ， dx ₂ ， dx ₃ ）是四個時空維度的差異。這表明了一個深度的理論見解：特殊相對性只是我們時空的旋轉對稱性，類似於歐幾里得空間的旋轉對稱性（見圖10-1）。正如歐幾里得空間使用歐幾里得公制一樣，時空使用Minkowski度量。基本上，從任何慣性參考框架查看時，都可以將特殊相對論表示為任何時空間隔的不變性（這是任何兩個事件之間的4D距離）。特殊相對論的所有方程式和效果都可以從Minkowski時空的旋轉對稱性（ Poincaré群）中得出。

上述DS的實際形式取決於度量和x ⁰坐標的選擇。為了使時間坐標看起來像空間坐標，可以將其視為虛構： x ₀ = ICT （這稱為燈芯旋轉）。根據Misner的說法，Thorne和Wheeler （1971，§2.3）最終將對特殊和一般相對性的更深入的理解來自對Minkowski Metric的研究（如下所述），並以X ⁰ = CT為例，而不是“偽裝的” “使用ICT作為時間坐標的歐幾里得公制。

一些作者使用x ⁰ = t ，在其他地方的C因素進行補償。例如，空間坐標除以C或C ^±2因子包括在度量張量中。這些眾多約定可以通過使用c = 1的天然單元來取代。然後，空間和時間具有等效單位，並且C的任何因素都沒有出現在任何地方。

3D時空

如果我們將空間尺寸降低到2，以便我們可以在3D空間中表示物理

ds^{2}=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}-c^{2}dt^{2},

我們看到，無效的測量學位於公式定義的雙錐（見圖10-2）上。

ds^{2}=0=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}-c^{2}dt^{2}

或簡單

dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}=c^{2}dt^{2},

這是半徑c dt圓的方程。

4D時空

如果我們將其擴展到三個空間維度，則無效的測量學是4維錐體：

ds^{2}=0=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}-c^{2}dt^{2}

所以

dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}=c^{2}dt^{2}.

如圖10-3所示，無效的測量學可以看到為一組具有半徑= C dt的連續同心球。

這個無效的雙鍵代表了空間點的“視線”。也就是說，當我們看著星星並說“我收到的那顆恆星的光已經有X歲”時，我們正在看著這條視線：無效的大地測量。過去，我們正在尋找一個距離的事件和過去的時間D/C。因此，空雙錐也被稱為“光錐”。（圖10-2的左下角的點代表恆星，原點代表觀察者，線表示無效的“視線”。）

-t區域中的錐體是該點“接收”的信息，而 + t部分中的錐是該點“發送”的信息。

可以使用Minkowski圖表描繪Minkowski空間的幾何形狀，這些圖也可用於理解特殊相對論中的許多思想實驗。

時空中的物理學

參考幀之間物理數量的轉換

上面，時間坐標的洛倫茲變換和三個空間坐標說明了它們是交織在一起的。更廣泛地說：某些對“時光型”和“空間類”的量自然在同一洛倫茲變換下相等地相等地結合。

上述標準配置中的洛倫茲轉換，也就是說，對於x方向的提升，可以被重新鑄造到矩陣形式中：如下：

{\begin{pmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma &-\beta \gamma &0&0\\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma ct-\gamma \beta x\\\gamma x-\beta \gamma ct\\y\\z\end{pmatrix}}.

在牛頓力學中，具有大小和方向的數量在數學上被描述為歐幾里得空間中的3D載體，通常它們是按時間參數化的。在特殊的相對論中，通過將適當的時間表數量添加到空格矢量數量中，並且在Minkowski SpaceTime中具有4D矢量或“四個向量”。向量的組件使用張量索引符號編寫，因為這具有許多優勢。該符號明確了方程在龐加萊組下顯然是協變量的，因此繞過乏味的計算以檢查這一事實。在構建此類方程式時，我們經常發現，實際上，以前認為是無關的方程是緊密連接的，是同一張量方程的一部分。識別其他物理量為張量可以簡化其轉型定律。在整個過程中，上指數（上標）是違反指標，而不是指數，除非它們指示一個正方形（從上下文中可以清楚地清楚），而較低的索引（下標）是協變量指數。為了簡單和與早期方程式的一致性，將使用笛卡爾坐標。

四矢量的最簡單示例是事件在時空中的位置，該事件構成了及時的組件CT和空間型組件x =（ x ， y ， z ），在具有組件的逆向位置四矢量中：

X^{\nu }=(X^{0},X^{1},X^{2},X^{3})=(ct,x,y,z)=(ct,\mathbf {x} ).

在哪裡定義x ⁰ = ct ，以便時間坐標具有與其他空間尺寸相同的距離尺寸；因此，該空間和時間得到平等對待。現在，第4載體的違反組件的轉換可以按照：

X^{\mu '}=\Lambda ^{\mu '}{}_{\nu }X^{\nu }

如果在0到3上有隱含的求和，則是矩陣。

更普遍地，四矢量的所有逆向組件都通過洛倫茲轉換從一個框架轉換為另一幀：

T^{\mu '}=\Lambda ^{\mu '}{}_{\nu }T^{\nu }

其他4個向量的示例包括定義為相對於適當時間的位置4-vector的衍生物的四速度。

U^{\mu }={\frac {dX^{\mu }}{d\tau }}=\gamma (v)(c,v_{x},v_{y},v_{z})=\gamma (v)(c,\mathbf {v} ).

洛倫茲因素在哪裡：

\gamma (v)={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\qquad v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}.

對象的相對論能量和相對論動量分別是逆轉四摩梅載體的時態和間距分量：

P^{\mu }=mU^{\mu }=m\gamma (v)(c,v_{x},v_{y},v_{z})=\left({\frac {E}{c}},p_{x},p_{y},p_{z}\right)=\left({\frac {E}{c}},\mathbf {p} \right).

其中m是不變的質量。

四個加速度是4個速度的適當時間派生：

A^{\mu }={\frac {dU^{\mu }}{d\tau }}.

三維速度和加速度的轉換規則非常尷尬。即使在標準配置中，由於其非線性，速度方程也很複雜。另一方面，通過Lorentz Transformation矩陣，四個速度和四個加速的轉換更為簡單。

標量場φ的四級畢業生會轉變而不是違反：

{\begin{pmatrix}{\dfrac {1}{c}}{\dfrac {\partial \phi }{\partial t'}}&{\dfrac {\partial \phi }{\partial x'}}&{\dfrac {\partial \phi }{\partial y'}}&{\dfrac {\partial \phi }{\partial z'}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\dfrac {1}{c}}{\dfrac {\partial \phi }{\partial t}}&{\dfrac {\partial \phi }{\partial x}}&{\dfrac {\partial \phi }{\partial y}}&{\dfrac {\partial \phi }{\partial z}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\gamma &+\beta \gamma &0&0\\+\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}.

這是：

(\partial _{\mu '}\phi )=\Lambda _{\mu '}{}^{\nu }(\partial _{\nu }\phi )\qquad \partial _{\mu }\equiv {\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}.

僅在笛卡爾坐標中。這是在笛卡爾坐標中轉變在明顯協方差的協變量，這恰好減少了部分衍生物，而不是在其他坐標中。

更一般地，根據Lorentz的反向轉換，4矢量轉換的CO變體成分：

T_{\mu '}=\Lambda _{\mu '}{}^{\nu }T_{\nu },

在哪裡的倒數矩陣。

特殊相對論的假設限制了洛倫茲轉化矩陣所採用的確切形式。

更一般而言，大多數物理量最好被描述為張量的（組件）。因此，要從一個框架轉換為另一幀，我們使用眾所周知的張量轉換定律

T_{\theta '\iota '\cdots \kappa '}^{\alpha '\beta '\cdots \zeta '}=\Lambda ^{\alpha '}{}_{\mu }\Lambda ^{\beta '}{}_{\nu }\cdots \Lambda ^{\zeta '}{}_{\rho }\Lambda _{\theta '}{}^{\sigma }\Lambda _{\iota '}{}^{\upsilon }\cdots \Lambda _{\kappa '}{}^{\phi }T_{\sigma \upsilon \cdots \phi }^{\mu \nu \cdots \rho }

在哪裡的倒數矩陣。所有張量根據此規則轉換。

相對論的角動量是四維二階反對稱張量的一個例子，該張量具有六個組成部分：三個是經典的角動量，而其他三個則與系統質量中心的提升有關。相對論角動量相對於適當時間的衍生物是相對論扭矩，也是二階反對稱張量。

電磁場張量是另一個二階反對稱張量場，其中有六個組件：三個用於電場，另外三個用於磁場。還有電磁場的應力 - 能量張量，即電磁應力 - 能量張量。

公制

度量張量允許一個人定義兩個向量的內部乘積，這又允許一個向量分配一個幅度。鑑於時空的四維性質，Minkowski度量η具有組件（有效，具有適當選擇的坐標），可以在4×4矩陣中排列：

\eta _{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}

在這些框架中等於其倒數。在整個過程中，我們使用上述標誌，不同的作者使用不同的慣例 - 請參閱Minkowski公制替代標誌。

龐加萊集團是保留Minkowski指標的最普遍的轉型群體：

\eta _{\alpha \beta }=\eta _{\mu '\nu '}\Lambda ^{\mu '}{}_{\alpha }\Lambda ^{\nu '}{}_{\beta }

這是物理對稱性的特殊相對論。

該指標可用於抬高和降低矢量和張量的指數。可以使用度量標準構建不變性，這是4個矢量t的內部產物與另一個4矢量s是：

T^{\alpha }S_{\alpha }=T^{\alpha }\eta _{\alpha \beta }S^{\beta }=T_{\alpha }\eta ^{\alpha \beta }S_{\beta }={\text{invariant scalar}}

不變意味著它在所有慣性幀中都具有相同的值，因為它是標量（0級張量），因此在其瑣碎的轉換中沒有 $λ$ 出現。 4矢量t的大小是內部產物的正平方根：

|\mathbf {T} |={\sqrt {T^{\alpha }T_{\alpha }}}

一個人可以將此想法擴展到高階的張量，對於二階張量，我們可以形成不變性：

T^{\alpha }{}_{\alpha },T^{\alpha }{}_{\beta }T^{\beta }{}_{\alpha },T^{\alpha }{}_{\beta }T^{\beta }{}_{\gamma }T^{\gamma }{}_{\alpha }={\text{invariant scalars}},

同樣，對於高階張量。不變的表達式，特別是4個向量與自己的內部產物，提供了對計算有用的方程式，因為人們不需要執行Lorentz轉換來確定不變性。

相對論運動學和不變性

坐標差的變換也違反：

dX^{\mu '}=\Lambda ^{\mu '}{}_{\nu }dX^{\nu }

因此，位置差的平方長度四四載體^DXμ

d\mathbf {X} ^{2}=dX^{\mu }\,dX_{\mu }=\eta _{\mu \nu }\,dX^{\mu }\,dX^{\nu }=-(c\,dt)^{2}+(dx)^{2}+(dy)^{2}+(dz)^{2}

是不變的。請注意，當線元素d x ²為負時，

\sqrt -d x 2

是適當時間的差異，而當d x ²為正時

， \sqrtdx 2

是正確距離的差異。

4速度Uμ具有不變形式^：

\mathbf {U} ^{2}=\eta _{\nu \mu }U^{\nu }U^{\mu }=-c^{2}\,,

這意味著所有速度四個向量的大小為c 。這是一個事實的表達：沒有坐在坐標中的相對論：至少，您總是在段落中前進。通過τ區分上述方程式：

2\eta _{\mu \nu }A^{\mu }U^{\nu }=0.

因此，在特殊的相對論中，加速四載體和速度四載體是正交的。

相對論動態和不變性

動量4-vector的不變大小會產生能量 - 巨頭關係：

\mathbf {P} ^{2}=\eta ^{\mu \nu }P_{\mu }P_{\nu }=-\left({\frac {E}{c}}\right)^{2}+p^{2}.

我們可以通過首先爭論，因為它是標量，因此我們計算出哪個參考框架，然後將總動量為零的框架進行計算，這是無關緊要的。

\mathbf {P} ^{2}=-\left({\frac {E_{\text{rest}}}{c}}\right)^{2}=-(mc)^{2}.

我們看到，其餘能量是一個獨立的不變。通過轉化為動量為零的框架，即使對於運動中的粒子和系統，也可以計算出REST能量。

根據上述著名方程式，其餘能量與質量有關：

E_{\text{rest}}=mc^{2}.

在該框架中系統的總能量給出了在動量框架中心（其中總動量為零）中測得的系統的質量。它可能不等於其他框架中測量的單個系統質量的總和。

要使用牛頓的第三運動定律，必須將兩種力定義為相對於同一時間坐標的動量變化率。也就是說，它需要上面定義的3D力。不幸的是，4D中沒有張量，它包含其成分之間3D力矢量的組件。

如果粒子不是在C上行駛的，則可以將3D力從粒子的共同移動框架轉換為觀察者的參考框架。這產生了一個稱為四力的4載體。相對於適當的時間，這是上述能量動量四載體的變化速率。四力的協變量版本是：

F_{\nu }={\frac {dP_{\nu }}{d\tau }}=mA_{\nu }

在對象的其餘框架中，除非對象的“不變質量”在變化（這需要一個非關閉的系統，在該系統中直接添加能量/質量或從該物體直接添加或從在這種情況下，它是質量變化率的負數，時間為c 。但是，通常，四力的成分不等於三力的成分，因為三力是由動量變化率相對於坐標時間而定義的，即DP / DT時四力是由相對於適當時間的動量變化率（即DP / Dτ）來定義的。

在連續的介質中，力的3D密度與形成協變量4矢量的功率密度結合在一起。空間部分是將小單元上的力除以該單元的體積的結果。時間分量為-1/ c乘以傳遞到該單元的功率除以單元的體積。這將在下面的電磁作用部分中使用。