正方形

正方形
正方形
	常規的四邊形
類型	常規多邊形
邊緣和頂點	4
Schläfli符號	{4}
Coxeter -dynkin圖	;
對稱組	二面體（D 4 ），訂單2×4
內角（度）	90°
特性	凸，循環，等邊，異代爾，異毒
雙多邊形	自己

在歐幾里得幾何形狀中，正方形是常規的四邊形，這意味著它具有四個相等的側面和四個相等角度（90度角，π/2 radian角或直角）。它也可以定義為具有兩個相等長度的矩形。它是唯一的常規多邊形，其內部角度，中央角度和外角都相等（90°），並且其對角線的長度均等於。帶有頂點ABCD的正方形將表示 A B C D 。

特徵

當且僅在以下任何一個時，四邊形是一個正方形：

一個矩形，有兩個相鄰的側面
具有右頂點角的菱形
所有角度相等的菱形
一個平行四邊形，一個右頂點角和兩個相鄰相等的側面
四個相等側和四個直角的四邊形
對角線相等的四邊形，是彼此的垂直雙分配器（即，具有相等對角線的菱形）
凸的四邊形，連續a ， b ， c ， d的面積為

特性

正方形是菱形的特殊情況（相等的側面，相反角度），風箏（兩對相鄰相等的側面），梯形（一對相對的一對平行），一個平行四邊形（整個相對側），A四邊形或四邊形（四邊多邊形）和矩形（相反的側面相等，右角），因此具有所有這些形狀的所有特性，即：

正方形的所有四個內部角度都相等（每個角度為360°/4 = 90°，直角）。
正方形的中心角等於90°（360°/4）。
正方形的外角等於90°。
正方形的對角線是相等的，彼此之間相等，在90°時相遇。
正方形的對角線是其內部角度，形成相鄰角度為45°。
正方形的所有四個側都相等。
正方形的相對側是平行的。
一個正方形的schläfli符號{4}。截斷的正方形T {4}是八角形，{8}。交替的正方形H {4}是Digon ，{2}。
正方形是N-高管和N-矯形器家族的N = 2情況。

周長和區域

正方形的周長，其四個側面長度是

和區域是

由於四個平方等於16，因此四乘四個正方形的面積等於其周長。唯一具有這種特性的四邊形的是三到六個矩形。

在古典時期，第二個功率是根據正方形的面積（如上述公式）描述的。這導致使用術語方面意味著提高到第二強度。

也可以根據對角線D計算該區域

就the繞的r而言，正方形的面積為

由於圓的區域是正方形填充它的限制圓圈。

就inradius r而言，廣場的面積為

因此，刻有圓圈的區域是廣場的。

因為它是常規多邊形，所以正方形是封閉給定區域的最小外圍的四邊形。雙重方形是四邊形，該四邊形包含給定周邊內最大的區域。實際上，如果A和P是四邊形包圍的區域和周邊，則以下等級不平等存在：

且僅當四邊形是正方形時，只有平等。

其他事實

正方形的對角線是（約1.414）倍於正方形的一側的長度。該值被稱為2或畢達哥拉斯常數的平方根，被證明是不合理的。
正方形也可以定義為具有相等的對角線的平行四邊形。
如果一個圖是矩形（直角）和菱形（相等的邊長），則是正方形。
正方形的面積比任何其他四邊形的面積都要大。
正方形瓷磚是平面的三個常規瓷磚之一（其他是等邊三角形和常規六角形）。
正方形在兩個維度的兩個多型家族中：超立方體和交叉聚型。正方形的schläfli符號為{4}。
廣場是一個高度對稱的對象。反射對稱性有四行，並具有4階的旋轉對稱性（至90°，180°和270°）。它的對稱組是二面體D組₄ 。
正方形可以銘刻在任何常規多邊形中。具有該特性的唯一其他多邊形是等邊三角形。
如果正方形ABCD的銘文圓在BC上的AB上具有相切點E，CD上的G和DA上的H ，則在銘刻的圓圈上的任何點P ，

如果是從平面任意點到正方形的i -th頂點的距離，是廣場的烏里拉迪烏斯，然後

如果和是從平面中的任意點到正方形及其四個頂點的距離，然後

和

在哪裡

是廣場的烏里拉迪烏斯。

坐標和方程

正方形的頂點的坐標，其垂直和水平側為中心，側長2為（±1，±1），而該正方形的內部由所有點（ x _I ， y _i ）組成， -1 < x _i <1和-1 < y _i <1 。方程式

指定該廣場的邊界。該方程是指“ x ²或y ² ，以較大者為等於1.”。這個正方形的圓環（通過正方形的頂點繪製的圓的半徑）是正方形的對角線的一半，等於然後包皮環具有方程式

或者方程

還可以用來描述具有中心坐標（ a ， b ）的正方形邊界，以及r的水平或垂直半徑。因此，根據L ₁距離度量，正方形是拓扑球的形狀。

建造

以下動畫展示瞭如何使用指南針和直角構造正方形。這可能是4 = 2 ² ，功率為兩個。

在給定的側長，
使用Thales的定理直角

在給定的對角線

對稱

正方形具有DIH ₄對稱性，順序8。有2個二面亞組：DIH ₂ ，DIH ₁和3個環狀亞組：z ₄ ，z ₂和z ₁ 。

正方形是許多較低對稱四邊形的特殊情況：

一個矩形，有兩個相鄰的側面
四個相等側和四個直角的四邊形
一個直角和兩個相鄰側面的平行四邊形
直角的菱形
所有角度相等的菱形
具有相等對角線的菱形

這6個對稱性在正方形上表達了8個不同的對稱性。約翰·康威（John Conway）通過字母和小組訂單標記這些標籤。

每個亞組對稱性允許一個或多個不規則四邊形的自由度。 R8是正方形的完全對稱性，而A1不是對稱性的。 D4是矩形的對稱性， P4是菱形的對稱性。這兩種形式是彼此的雙重形式，並且具有正方形的對稱順序一半。 d2是梯形梯形的對稱性， p2是風箏的對稱性。 G2定義了平行四邊形的幾何形狀。

只有G4子組沒有自由度，但可以被視為有向邊緣的正方形。

刻在三角形的正方形

每個急性三角形都有三個刻有的正方形（內部的正方形，使得正方形的所有四個頂點都位於三角形的一側，因此兩個正方形位於同一側，因此正方形的一側與一側的一側重合三角形）。在右三角形中，兩個正方形重合，並在三角形的直角上有一個頂點，因此右三角形只有兩個不同的刻有刻有的正方形。一個鈍的三角形只有一個刻有的正方形，一側與三角形最長的一側相吻合。

正方形填充的三角形區域的一部分不超過1/2。

平方圓

古代幾何圖形提出的平方圓是通過僅使用有限數量的帶有指南針和筆直的步驟來構建與給定圓相同區域的正方形的問題。

在1882年，由於Lindemann – Weierstrass定理，該任務被證明是不可能的，該定理證明PI （ $π$ ）是先驗數，而不是代數非理性數字。也就是說，它不是任何具有合理係數的多項式的根。

非歐幾里得幾何形狀

在非歐幾里得幾何形狀中，正方形是多邊形的，具有4個相等角度和相等角度。

在球形幾何形狀中，正方形是一個多邊形，其邊緣是具有相等距離的大圓弧，它們以相等的角度相交。與平面幾何形狀的平方不同，這種平方的角度大於直角。較大的球形正方形具有較大的角度。

在雙曲幾何形狀中，不存在直角的正方形。相反，雙曲幾何形狀的正方形的角度小於直角。較大的雙曲正方形具有較小的角度。

例子：

兩個正方形可以在每個頂點周圍和180度內角的兩個正方形上鋪平球體。每個正方形覆蓋了整個半球，其頂點沿著一個大圓圈。這被稱為球形二色。 Schläfli符號為{4,2}。	六個正方形可以在每個頂點周圍和120度內角周圍有3個正方形。這稱為球形立方體。 Schläfli符號為{4,3}。	正方形可以在每個頂點周圍用5個平面平面，每個正方形具有72度的內角。 Schläfli符號為{4,5} 。實際上，對於任何n≥5，每個頂點都有一個正方形的雙曲線瓷磚。

越過廣場

一個交叉的正方形是正方形的一個方面，這是一個自我截斷的多邊形，這是通過拆下正方形的兩個邊緣並通過其兩個對角線重新連接而產生的。它具有正方形的一半對稱性，dih ₂ ，順序4。它具有與正方形相同的頂點排列，並且具有頂點傳遞。它是帶有一個共同頂點的兩個45-45-90三角形，但幾何相交不被視為頂點。

有時將一個交叉的正方形比作弓形或蝴蝶。交叉的矩形是相關的，作為矩形的刻度，都是跨四邊形的特殊情況。

交叉正方形的內部可以在每個三角形中具有±1的多邊形密度，取決於順時針或逆時針的繞組方向。

正方形和一個交叉的正方形具有以下共同的特性：

相對的長度相等。
兩個對角線的長度相等。
它具有兩條反射對稱性和階2（至180°）的旋轉對稱性。

它存在於統一星Polyhedra ，四hexahedron的頂點圖中。

圖

k ₄完整的圖通常是作為正方形繪製的，並連接了所有6個可能的邊緣，因此作為平方出現，並繪製兩個對角線。該圖還代表了常規3-單純形（ Tetrahedron ）的4個頂點和6個邊緣的拼字圖投影。

正方形

特徵

特性