方波

方波
正弦，正方形，三角形和鋸齒波形
一般信息
一般定義	$x(t)=4\left\lfloor t\right\rfloor -2\left\lfloor 2t\right\rfloor +1,2t\notin \mathbb {Z}$
應用領域	電子，合成器
域，代號和圖像
領域	$\mathbb {R} \setminus \left\{{\tfrac {n}{2}}\right\},n\in \mathbb {Z}$
CODOMAIN	$\left\{-1,1\right\}$
基本功能
平價	奇怪的
時期	1
抗動力	三角波
傅立葉系列	$x(t)={\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2k-1}}\sin \left(2\pi \left(2k-1\right)t\right)$

方波是一種非螺旋週期波形，其中振幅在固定最小值和最大值之間以穩定的頻率交替，最小值和最大持續時間相同。在理想的方波中，最小值和最大值之間的過渡是瞬時的。

方波是脈搏波的特殊情況，它允許以最小和最大幅度任意持續時間。高時期與脈衝波總週期的比率稱為佔空比。真方波的佔空比50％（相等的高時期和低時期）。

在電子和信號處理中，通常會遇到方波，尤其是數字電子和數字信號處理。它的隨機對應物是兩態軌跡。

起源和用途

方波在數字開關電路中普遍遇到，並且由二進制（兩級）邏輯設備自然產生。它們被用作定時引用或“時鐘信號”，因為它們的快速過渡適用於以精確確定的間隔觸發同步邏輯電路。但是，如頻域圖所示，方波包含各種諧波。這些可以產生電磁輻射或電流的脈衝，從而乾擾附近的電路，從而導致噪聲或誤差。為了避免在非常敏感的電路（例如精確的類似物到數字轉換器）中，使用正弦波而不是方波作為定時引用。

用音樂術語來說，它們通常被描述為聲音空心，因此被用作使用減法合成創建的風樂器的基礎。此外，對電吉他使用的失真效果將波形的最外層區域夾住，導致它越來越類似於方波，隨著更多的變形。

簡單的兩級Rademacher函數是方波。

定義

數學中的方波有許多定義，除了不連續性外，它們是等效的：

它可以簡單地定義為正弦的符號函數：

{\begin{aligned}x(t)&=\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {2\pi t}{T}}\right)=\operatorname {sgn}(\sin 2\pi ft)\\v(t)&=\operatorname {sgn} \left(\cos {\frac {2\pi t}{T}}\right)=\operatorname {sgn}(\cos 2\pi ft),\end{aligned}}

正弦曲線為正時為1，正弦曲線為陰性時-1，而在不連續的情況下為0。在這裡， t是方波和f的週期是其頻率，它與等式f = 1/ t相關。

也可以針對Heaviside步驟函數u （ t ）或矩形函數π（ t ）來定義方波。

{\begin{aligned}x(t)&=2\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }\Pi \left({\frac {2(t-nT)}{T}}-{\frac {1}{2}}\right)\right]-1\\&=2\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[u\left({\frac {t}{T}}-n\right)-u\left({\frac {t}{T}}-n-{\frac {1}{2}}\right)\right]-1.\end{aligned}}

也可以直接使用地板函數生成方波：

x(t)=2\left(2\lfloor ft\rfloor -\lfloor 2ft\rfloor \right)+1

並間接：

x(t)=\left(-1\right)^{\lfloor 2ft\rfloor }.

使用傅立葉系列（下圖）可以表明地板功能可以以三角學形式編寫

{\frac {2}{\pi }}\arctan \left(\tan \left({\frac {\pi ft}{2}}\right)\right)+{\frac {2}{\pi }}\arctan \left(\cot \left({\frac {\pi ft}{2}}\right)\right)

傅立葉分析

六個箭頭代表了方波的傅立葉系列的前六個術語。底部的兩個圓表示精確的方波（藍色）及其傅立葉系列近似（紫色）。

（奇數）1000 Hz方波的諧波

圖顯示了方波的傅立葉系列的前3個術語

使用與時間 $t$ 循環頻率 $F的$ 傅立葉膨脹，振幅為1的理想方波可以表示為無限的正弦波總和：

{\begin{aligned}x(t)&={\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin \left(2\pi (2k-1)ft\right)}{2k-1}}\\&={\frac {4}{\pi }}\left(\sin(\omega t)+{\frac {1}{3}}\sin(3\omega t)+{\frac {1}{5}}\sin(5\omega t)+\ldots \right),&{\text{where }}\omega =2\pi f.\end{aligned}}

理想的方波僅包含奇數諧波頻率（ $2π（2 K -1） F$ ）的組件。

方波的傅立葉序列表示的好奇心是吉布斯現象。在非理想方波中的響起偽影可以證明與這種現像有關。吉布斯現象可以通過使用σ-呼吸症來預防，後者使用lanczos sigma因子來幫助序列更平穩地收斂。

理想的數學方波在高狀態和低狀態之間發生變化，而沒有射擊不足或過度射擊。這在物理系統中是不可能實現的，因為這需要無限的帶寬。

與諧波數量越來越多的方波的加性合成的動畫

物理系統中的方波僅具有有限的帶寬，並且經常表現出類似於吉布斯現像或連鎖反應的響聲效果，類似於σ-及態的效應。

為了合理地近似平方波形狀，至少需要存在基本和第三個諧波，因此需要第五個諧波。這些帶寬要求在數字電子中很重要，其中使用有限的帶寬類似物近似與方波樣波形的近似值。（響鈴瞬變是這裡重要的電子考慮，因為它們可能超出電路的電等級限制，或導致多次越過的位置不良的閾值。

不完美的方波的特徵

如前所述，理想的方波在高水平和低水平之間具有瞬時過渡。實際上，由於產生波形的系統的物理局限性，這從未實現。信號從低水平上升到高水平和返回的時間分別稱為上升時間和秋季時間。

如果系統受阻尼，那麼波形可能實際上永遠不會達到理論高和低級別，並且如果系統不足，它將在沉降之前在高水平和低水平上振盪。在這些情況下，上升和下降時間是在指定的中間水平（例如5％和95％）或10％和90％之間測量的。系統的帶寬與波形的過渡時間有關。有一些公式允許一個公式從另一個公式確定。

也可以看看

週期功能列表
矩形功能
脈搏波
正弦波
三角波
鋸齒波
波形
聲音
多振動器
Ronchi統治，一種用於成像的方波條目標。
跨海
單簧管是一種產生近似方波的奇數泛音的樂器。