金錢的時間價值

未來100年的現值$ 1,000。曲線代表2％，3％，5％和7％的恆定折現率。

這金錢的時間價值是被廣泛接受的猜想，即獲得一筆更大的好處錢現在，而不是以後的總和。這可能被視為後來開發的概念的含義時間偏好.

這時間貨幣價值是權衡時考慮的因素之一機會成本支出而不是保存或者投資錢。因此，這就是為什麼興趣被付款或賺取：利息，無論是在銀行存款或者債務，賠償存款人或貸方損失其資金的使用。投資者願意僅當他們期望獲得有利的網絡時，現在就放棄他們的錢返回關於他們未來的投資，使得增加價值以後可用足夠高，可以抵消現在花錢的偏好和通貨膨脹（如果存在）；看要求的回報率.

歷史

這塔木德（公元500年）認識到金錢的時間價值。在拖脈中麥科斯第3A頁塔木德（Talmud）討論了一個證人錯誤地聲稱貸款期限為30天的案件，實際上是10年。虛假的證人必須支付貸款價值的差額。“在需要將錢還給三十天之內的情況下，在他需要給予他的情況下，同樣的款項返還10年之內的錢...差異是（假）證人試圖損失借款人的證詞；因此，這是他們必須支付的總和。”^[1]

該概念後來用MartínDeAzpilcueta（1491–1586）薩拉曼卡學校.

計算

貨幣問題的時間價值涉及不同時間點現金流量的淨值。

在典型情況下，變量可能是：餘額（債務單位的實際或名義價值或金融資產的貨幣單位），定期利率，期限和一系列現金流量。（就債務而言，現金流量是針對本金和利息的付款；如果是金融資產，則這些是對余額中的捐款或提款的捐款。）更普遍的是，現金流可能不是周期性的，但可以指定單獨。這些變量中的任何一個都可以是給定問題中的自變量（尋求答案）。例如，人們可能會知道：利息為每期0.5％（每月，說）；週期數為60（月）；初始餘額（在這種情況下為債務）為25,000個單位；最終餘額是0單位。未知變量可能是藉款人必須支付的每月付款。

例如，一年的100英鎊投資，賺取5％的利息，一年後價值105英鎊；因此，現在付了100英鎊和一年後恰好付了105英鎊兩個都對於一個接受通貨膨脹率為零的收益的收件人，他的價值相同。也就是說，以5％的利息投資了一年100英鎊未來價值假設通貨膨脹率為零百分比，則為105英鎊。^[2]

該原則允許將來可能的收入流進行評估，以每年的收入為打折然後加在一起，從而提供整個收入流的總“現值”；貨幣時間價值的所有標準計算均來自最基本的代數表達式目前的價值未來的款項，“打折”到現在的金額等於貨幣的時間價值。例如，未來價值總和${\ displayStyle fv}$一年內收到的利率折現${\ displayStyle r}$給出現在的值和${\ DisplayStyle PV}$：

${\ displaystyle pv = {\ frac {fv} {（1+r）}}}}}}}$

基於貨幣時間價值的一些標準計算是：

• 目前的價值：未來金錢或流的當前價值現金流，給定一個指定的回報率。未來的現金流在折扣率;折現率越高，未來現金流量的現值越低。確定適當的折現率是正確評估未來現金流量的關鍵，無論是收益還是義務。^[3]
• 現值年金：年金是一系列以均勻間隔的間隔發生的一系列同等付款或收據。租賃和租金付款就是例子。付款或收據在每個期間結束時出現在普通年金開始時，在每個期間開始時為應付年金。^[4]

現值永久性是無限且恆定的相同現金流。^[5]

• 未來價值：基於當前資產的價值，將來的資產或現金價值。^[6]
• 年金的未來價值（FVA）：假設付款以給定的利率投資，付款流（年金）的未來價值。

有幾個基本方程表示上述列出的平等性。可以使用（在大多數情況下）發現解決方案，財務計算器或電子表格。該公式被編程為大多數財務計算器和幾個電子表格功能（例如PV，FV，RATE，NPER和PMT）。^[7]

對於以下任何方程式，也可以重新排列該公式以確定其他未知數之一。在標準年金公式的情況下，利率沒有封閉形式的代數解決方案（儘管財務計算器和電子表格程序可以通過快速試用和錯誤算法輕鬆確定解決方案）。

這些方程經常用於特定用途。例如，債券可以使用這些方程式很容易定價。典型的優惠券保證金由兩種類型的付款組成：一系列類似於年金的優惠券付款和一次性付款資本回報在債券的盡頭到期 - 即未來的付款。可以合併兩個公式以確定鍵的現值。

一個重要的說明是利率i是相關時期的利率。對於年金每年付款的年金，i將是年利率。對於具有不同付款時間表的收入或付款流，利率必須轉換為相關的定期利率。例如，帶有每月付款的抵押貸款的每月利率要求將利率除以12（請參見下面的示例）。看複雜的興趣有關在不同的周期性利率之間轉換的詳細信息。

計算中的回報率可以是解決的變量，也可以是測量折現利率，利率，通貨膨脹率，回報率，股本，債務成本，債務成本或任何其他類似概念的預定義變量。適當率的選擇對於練習至關重要，使用不正確的折現率將使結果毫無意義。

對於涉及年金的計算，必須確定付款是在每個時期結束時（稱為普通年金）還是在每個時期開始（稱為年金）。使用財務計算器或電子表格，通常可以將其設置為任何一個計算。以下公式用於普通年金。對於應付年金現值的答案，普通年金的PV可以乘以（1 +i）。

公式

以下公式使用這些常見變量：

• PV是時間零（現在值）的值
• FV是時間的價值n（未來價值）
• 一個是每個複合期內單個付款的價值
• n是周期數（不一定是整數）
• i是個利率每個時期的金額化合物
• g是每個時間段的付款率不斷增長

當前金的未來價值

這未來價值（FV）公式相似，並使用相同的變量。

${\ displaystyle fv \ = \ pv \ cdot（1+i）^{n}}}$

未來總和的現值

現值公式是貨幣時間價值的核心公式；每個其他公式都是從此公式得出的。例如，年金公式是一系列現值計算的總和。

這目前的價值（PV）公式有四個變量，每個變量都可以通過數值方法：

${\ displaystyle pv \ = \ {\ frac {fv} {（1+i）^{n}}}}}}}}$

未來現金流量的累積現值可以通過總結的貢獻來計算FV_t，現金流量的價值t：

${\ displaystyle pv \ = \ \ sum _ {t = 1}^{n} {\ frac {fv_ {t}}} {（1+i）^{t}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

請注意，可以為給定值求和n，或者什麼時候n是∞。^[8]這是一個非常通用的公式，可導致下面給出的幾個重要案例。

n付款期的年金的現值

在這種情況下，現金流量值在整個過程中保持不變n時期。一個值的現值年金（PVA）公式具有四個變量，每個變量都可以通過數值方法求解：

${\ displayStyle pv（a）\，= \，{\ frac {a} {i}}} \ cdot \ left [{1 - {\ frac {1} {1} {\ left（1+i \ right）^{n} {n}}}}\正確的]}$

獲得一個年金到期，將上述方程式乘以（1 +i）。

年金增長的現值

在這種情況下，每個現金流量都會增長（1+g）。與年金的公式類似，增長年金（PVGA）的現值使用相同的變量並添加g作為年金增長率（A是第一階段的年金支付）。這是一個很少在財務計算器上提供的計算。

i≠g的地方：

${\ displayStyle pv（a）\，= \，{a \ over（i-g）} \ left [1- \ left（{1+g \ fover 1+i} \ right）^{n} \ right]}$

其中i = g：

${\ displaystyle pv（a）\，= \，{a \ times n \ over 1+i}}}$

獲得成長的PV年金到期，將上述方程式乘以（1 +i）。

永久性的現值

一個永久性是常規發生並永遠繼續下去的一定數量的付款。什麼時候n→∞，PV永久性（永久年金）公式成為一個簡單的劃分。

${\ displaystyle pv（p）\ = \ {a \ cover i}}}$

永久性的現值

當永久年金付款以固定利率增長時（g， 和g<i）該值是根據以下公式確定的，通過設置獲得n在較早的公式中無限的永久性：

${\ displaystyle pv（a）\，= \，{a \ vos i-g}}}$

實際上，很少有具有精確特徵的證券，並且這種估值方法的應用受到各種資格和修改的約束。最重要的是，很少有固定的增長率和真實的現金流量產生固定的年金日益增長。儘管有這些資格，但總體方法可以用於房地產，股票和其他資產的估值。

這是眾所周知的戈登增長模型用於股票估值.

年金的未來價值

未來價值（之後n年金（FVA）公式的周期）具有四個變量，每個變量都可以通過數值方法來求解：

${\ displaystyle fv（a）\，= \，a \ cdot {\ frac {\ left（1+i \ right）^{n} -1} -1} {i}}}}}}}$

要獲得應付年金的FV，請將上述方程式乘以（1 + i）。

年金增長的未來價值

未來價值（之後n增長年金（FVA）公式的周期）具有五個變量，每個變量都可以通過數值方法來解決：

i≠g的地方：

${\ displayStyle fv（a）\，= \，a \ cdot {\ frac {\ left（1+i \ right）^{n} - \ lest（1+g \ right）^{n}}} {i-g} {i-g}}}}$

其中i = g：

${\ displaystyle fv（a）\，= \，a \ cdot n（1+i）^{n-1}}}}$

公式表

下表總結了用於計算貨幣時間價值的不同公式。^[9]這些值通常顯示在指定利率和時間的表中。

尋找	給出	公式
未來價值（f）	現值（P）	${\ displayStyle f = p \ cdot（1+i）^{n}}}$
現值（P）	未來價值（f）	${\ displayStyle p = f \ cdot（1+i）^{ - n}}$
重複付款（a）	未來價值（f）	${\ displaystyle a = f \ cdot {\ frac {i} {（1+i）^{n} -1}}}}}}}}$
重複付款（a）	現值（P）	${\ displaystyle a = p \ cdot {\ frac {i（1+i）^{n}}} {（1+i）^{n} -1}}}}}$
未來價值（f）	重複付款（a）	${\ displaystyle f = a \ cdot {\ frac {（1+i）^{n} -1} {i}}}}}}}}$
現值（P）	重複付款（a）	${\ displaystyle p = a \ cdot {\ frac {（1+i）^{n} -1} {i（1+i）^{n}}}}}$
未來價值（f）	初始梯度付款（G）	${\ displaystyle f = g \ cdot {\ frac {（1+i）^{n} -in-1} {i^{2}}}}}}$
現值（P）	初始梯度付款（G）	${\ displaystyle p = g \ cdot {\ frac {（1+i）^{n} -in-1} {i^{2}（1+i）^{n}}}}}}$
固定付款（a）	初始梯度付款（G）	${\ displayStyle a = g \ cdot \ left [{\ frac {1} {i}}}}} - {\ frac {n} {（1+i）$
未來價值（f）	最初的指數增加付款（D） 增加百分比（g）	${\ displaystyle f = d \ cdot {\ frac {（1+g）^{n} - （1+i）^{n}}} {g-i}}}}$（對於i≠g） ${\ displaystyle f = d \ cdot {\ frac {n（1+i）^{n}}} {1+g}}}}}}}}$（對於i = g）
現值（P）	最初的指數增加付款（D） 增加百分比（g）	${\ displayStyle p = d \ cdot {\ frac {\ left（{1+g \ voce of 1+i} \ right）^{n} -1} -1} {g-i}}}}}}}$（對於i≠g） ${\ displaystyle p = d \ cdot {\ frac {n} {1+g}}}}}}$（對於i = g）

筆記：

• 一個是固定付款金額，每個時期
• G是付款金額增加的初始付款金額，始於G並增加G對於每個後期。
• d是指數（幾何）增加付款金額的初始付款金額，始於d並增加一倍（1+g）每個後期。

推導

年金推導

定期付款（年金）的現值的現值公式來自單一未來付款的未來價值的總和，如下所示C是付款金額，n時期。

將來的一次付款cm將來有以下未來價值n：

${\ displaystyle fv \ = c（1+i）^{n-m}}}$

從時間1到時間n總結所有付款，然後逆轉t

${\ displaystyle fva \ = \ sum _ {m = 1}^{n} c（1+i）^{k}}$

請注意，這是一個幾何系列，初始值為一個=C，乘法因子為1 +i， 和n術語。為幾何系列應用公式，我們得到

${\ displaystyle fva \ = {\ frac {c（1-（1+i）^{n}）}} {1-（1+i）}}} \ = {\ frac {c（1-（1-（1+i））^{n}）} { - i}}}}}$

年金（PVA）的現值是通過簡單地除以${\ displayStyle（1+i）^{n}}$：

${\ displayStyle pva \ = {\ frac {fva} {（1+i）i）^{n}}}} \ right）}$

獲得年金的未來價值的另一種簡單直觀的方式是考慮一個捐贈，其利益被支付為年金，並且其主體的原理仍然保持不變。該假設捐贈的原理可以計算為其利息等於年金付款金額：

${\ displaystyle {\ text {principal}} \ times i = c}$

${\ displayStyle {\ text {principal}} = {\ frac {c} {i}}}}}+{\ text {goal {goal}}}}$

請注意，沒有錢進入或離開end賦本金 +累計年金付款的組合系統，因此可以通過未來的價值公式來計算該系統的未來價值：

${\ displaystyle fv = pv（1+i）^{n}}$

最初，在任何付款之前，系統的現值只是捐贈原理，${\ displaystyle pv = {\ frac {c} {i}}}}}}$。最後，未來價值是捐贈原理（相同）以及總年金付款的未來價值（${\ displaystyle fv = {\ frac {c} {i}}}+fva}$）。將其插入方程式：

${\ displayStyle {\ frac {c} {i}}}+fva = {\ frac {c} {i}}}}}}（1+i）^{n}}}$

${\ displaystyle fva = {\ frac {c} {i}}} \ left [\ left（1+i \ right）^{n} -1 \ right]}$

永久推導

在此處未顯示形式推導的情況下，永久公式是從年金公式中得出的。具體而言，該術語：

${\ displaystyle \ left（{1- {1 \ over {（1+i）^{n}}}}}}}} \ right）}}$

可以看見將1的價值作為1n增長更大。在無窮大，等於1，離開${\ displayStyle {c \ voce i}}$作為剩下的唯一術語。

連續複合

費率有時會轉換為連續的複利速率等效，因為連續等效物更方便（例如，更容易區分）。上面的每個公式都可以在其連續等效物中重述。例如，未來付款時間0的現值t可以通過以下方式重述e是天然對數和r是連續複雜的速度：

${\ displaystyle {\ text {pv}} = {\ text {fv}}} \ cdot e^{ - rt}}$

這可以推廣到隨時間變化的折現率：而不是恆定的折現率r，一個人使用時間的函數r（t）。在這種情況下t由不可缺少的連續複合率的r（t）：

${\ displaystyle {\ text {pv}} = {\ text {fv}}} \ cdot \ exp \ exp \ exp \ left（ - \ int _ {0}^{t}^{t} r（t）\，dt \ right）}$

確實，使用連續複合的關鍵原因是簡化不同折現率的分析，並允許一個人使用微積分工具。此外，為了累計並大寫的興趣（因此每天復雜），連續複合是實際日常複合的近似值。更複雜的分析包括使用微分方程， 詳情如下。

例子

使用連續的複合可為各種儀器提供以下公式：

年金

${\ displayStyle \ pv \ = \ {a（1-e^{ - rt}）\ vose e^{r} -1}}}}$

永久性

${\ displaystyle \ pv \ = \ {a \ vose e^{r} -1}}}}$

年金增長

${\ displaystyle \ pv \ = \ {ae^{ - g}（1-e^{ - （r-g）t}）\ vose e^{（r-g）}}}$

越來越長

${\ displaystyle \ pv \ = \ {ae^{ - g} \ vose e^{（r-g）} - 1}}}}$

與連續付款的年金

${\ displaystyle \ pv \ = \ {1-e^{（ - rt）} \ vos r}}}}$

這些公式假定付款A是在第一個付款期內進行的，而年金在時間t結束。^[10]

微分方程

普通的和部分的微分方程（ODES和PDE） - 涉及導數和一個（分別為多個）變量的方程式在更高級的處理中無處不在金融數學。雖然可以在不使用微分方程的框架的情況下理解貨幣的時間價值，但附加的複雜性為時間值提供了更多的啟示，並在考慮更複雜且不太熟悉的情況之前提供了簡單的介紹。該博覽會遵循（Carr＆Flesaker 2006，第6–7頁）。

微分方程觀點帶來的根本變化是，而不是計算一個數字（現值現在），一個計算功能（現在或在任何時刻的現值未來）。然後，可以分析此功能 - 與其他功能相比，其價值會隨時間變化如何變化。

正式地，通過定義來給出“隨時間降低價值”的陳述線性差分運算符${\ displayStyle {\ Mathcal {l}}}}$作為：

${\ displayStyle {\ Mathcal {l}}}：= - \ partial _ {t}+r（t）。}$

這指出值隨時間降低（ - ）（∂_t）以折現率（r（t）。應用於它產生的功能：

${\ displayStyle {\ Mathcal {l}} f = - \ partial _ {t} f（t）+r（t）f（t）f（t）。}$

對於付款流的儀器f（t）， 價值v（t）滿足不均勻一階頌歌${\ displayStyle {\ Mathcal {l}} v = f}$（“不均勻”是因為f而不是0，“一階”是因為一個人具有第一衍生物，但沒有更高的衍生品） - 這編碼以下事實：當發生任何現金流時，儀器的價值會隨現金流量的價值而變化（如果您收到一張10英鎊的優惠券，剩餘的價值恰好減少了10英鎊）。

ODE分析中的標準技術工具是格林的功能，可以從中構建其他解決方案。就貨幣的時間價值而言，綠色的功能（對於時間值ode）是債券在一個時間點支付1英鎊的債券的價值u - 然後可以通過組合此基本現金流來獲得任何其他現金流的價值。用數學術語來說，這種瞬時現金流被建模為Dirac Delta功能${\ displaystyle \ delta _ {u}（t）：= \ delta（t-u）。}$

綠色的功能在時間時值t時間1英鎊的現金流量u是

${\ displayStyle b（t; u）：= h（u-t）\ cdot \ exp \ left（ - \ int _ {t}^{u}^{u} r（v）\，dv \ right）}$

在哪裡H是個Heaviside步驟功能 - 符號”${\ displaystyle; u}$“是要強調u是一個範圍（在任何情況下都修復了現金流的時間），而t是一個多變的（時間）。換句話說，未來的現金流量是按總數呈指數折扣（EXP）的（積分，不可或缺的）${\ displaystyle \ textstyle {\ int}}}$）未來折現率（${\ displaystyle \ textstyle {\ int _ {t}^{u}}}}}$為了未來，r（v）折扣率），雖然過去的現金流量價值0（${\ displaystyle h（u-t）= 1 {\ text {if}} t <u，0 {\ text {if}} t> u}$），因為它們已經發生了。請注意值在現金流量的時刻不是明確的 - 當時存在不連續性，並且可以使用約定（假設現金流已經發生，或者還沒有發生），或者根本沒有在此時定義該值。

如果折現率是恆定的，${\ displayStyle r（v）\ equiv r，}$這簡化了

${\ displayStyle b（t; u）= h（u-t）\ cdot e^{ - （u-t）r} = {\ begin\ end {cases}}}$

在哪裡${\ displayStyle（u-t）}$是“剩下的時間直到現金流”。

因此，用於現金流f（u）按時間結尾t（可以設置為${\ displayStyle t =+\ infty}$無時間的時間範圍）時間的值t，${\ displayStyle v（t; t）}$通過結合這些單個現金流的價值來給出：

${\ displaystyle v（t; t）= \ int _ {t}^{t} f（u）b（t; u）\，du。}$

這將貨幣的時間價值正式為以不同的折現率的現金流量的未來價值，是金融數學中許多公式的基礎黑色 - choles公式和不同的利率.

也可以看看

• 精算科學

• 現金流折現

• 收入增長

• 指數增長

• 財務管理

• 雙曲線折扣

• 內部收益率

• 淨現值

• 選項時間值

• 真實價值與名義價值（經濟學）

• 雪球效果

筆記

參考

外部鏈接

• 亞利桑那大學主持的錢的時間價值
• 金錢的時間價值電子書