金錢的時間價值

貨幣的時間價值是被廣泛接受的猜想，即現在收到一筆錢有更大的好處，而不是以後獲得相同的金額。這可能被視為後來開發的時間偏好概念的含義。

貨幣的時間價值是權衡支出的機會成本而不是節省或投資錢時所考慮的因素之一。因此，這是支付或賺取利息的原因之一：利息，無論是銀行存款還是債務，賠償存款人或貸方損失其資金的使用。投資者願意僅當他們期望未來的投資淨回報良好的情況下，現在就可以放棄他們的錢，以便以後增加的價值足夠高，可以抵消對現在花錢的偏好和通貨膨脹（如果現在）；請參閱所需的回報率。

歷史

塔木德（公元500年）認識到金錢的時間價值。在Tractate Makkos第3A頁中，塔木德（Talmud）討論了一個證人錯誤地聲稱貸款期限為30天的案件，實際上是10年。虛假的證人必須支付貸款價值的差額。“在需要將錢還給他三十天之內的情況下，在他需要給他的情況下，這是相同的款項。回報了10年之內.. .差異是（假）證人試圖損失借款人的證詞的總和；因此，這是他們必須支付的總和。”

該概念後來由薩拉曼卡學院的馬丁·德·阿茲皮爾卡（MartínDeAzpilcueta ）（1491-1586）描述。

計算

貨幣問題的時間價值涉及不同時間點現金流量的淨值。

在典型情況下，變量可能是：餘額（債務單位的實際或名義價值或金融資產的貨幣單位），定期利率，期限和一系列現金流量。（就債務而言，現金流量是針對本金和利息的付款；對於金融資產，這些是對余額中或從餘額中提取的捐款。）更一般而言，現金流可能不是周期性的，但可以指定單獨。這些變量中的任何一個都可以是給定問題中的自變量（尋求答案）。例如，人們可能知道：利息為每期0.5％（每月，說）；週期數為60（月）；初始餘額（在這種情況下為債務）為25,000個單位；最終餘額是0單位。未知變量可能是藉款人必須支付的每月付款。

例如，一年賺取5％的利息100英鎊，一年後價值105英鎊；因此，現在支付了100英鎊，一年後恰好支付了105英鎊，兩者都有相同的價值對收件人的價值相同，後者預計5％的利息，假設通貨膨脹率為零。也就是說，在通貨膨脹率為零百分比的假設下，以5％的利息投資了一年的100英鎊的未來價值為105英鎊。

該原則允許將來可能的收入流進行評估，以使年收入打折然後加在一起，從而提供整個收入流的總“現值”；貨幣時間價值的所有標準計算均來自最基本的代數表達式的未來總和的現值，“折扣”以等於貨幣的時間價值。例如，未來價值總和 $\text{[math]}$ 一年內收到的利率折扣 $\text{[math]}$ 給出現在的價值總和 $\text{[math]}$ ：

PV = \frac{FV}{(1+r)}

基於貨幣時間值的一些標準計算是：

現值：鑑於指定的回報率，未來的金錢或現金流量流的當前價值。未來的現金流量按折現率“折現”；折現率越高，未來現金流量的現值越低。確定適當的折現率是正確評估未來現金流量的關鍵，無論是收益還是義務。
年金的現值：年金是一系列以均勻間隔的間隔發生的一系列同等付款或收據。租賃和租金付款就是例子。付款或收據在每個期間的結束時發生在每個期間開始時的普通年金，以付費。

永久性的現值是相同現金流的無限且恆定的流。

未來價值：根據目前的該資產的價值，將來的資產或現金價值或現金的價值。
年金的未來價值（FVA） ：假設付款以給定的利率投資，付款流（年金）的未來價值。

有幾個基本方程表示上述列出的平等性。可以使用（在大多數情況下）公式，財務計算器或電子表格找到解決方案。該公式被編程為大多數財務計算器和幾個電子表格功能（例如PV，FV，RATE，NPER和PMT）。

對於以下任何方程式，也可以重新排列該公式以確定其他未知數之一。在標準年金公式的情況下，利率沒有封閉形式的代數解決方案（儘管財務計算器和電子表格程序可以通過快速試用和錯誤算法輕鬆確定解決方案）。

這些方程經常用於特定用途。例如，使用這些方程式可以很容易地定價債券。典型的優惠券債券由兩種類型的付款組成：類似於年金的優惠券付款流，以及在債券成熟度結束時的資本回報率，即未來的付款。可以合併兩個公式以確定鍵的現值。

一個重要的說明是，利率I是相關期限的利率。對於每年付款一項付款的年金，我將是年度利率。對於具有不同付款時間表的收入或支付流，利率必須轉換為相關的定期利率。例如，帶有每月付款的抵押貸款每月利率要求將利率除以12（請參見下面的示例）。有關在不同的周期性利率之間轉換的詳細信息，請參見複合興趣。

計算中的回報率可以是解決的變量，也可以是測量折現利率，利率，通貨膨脹率，回報率，股本，債務成本，債務成本或任何其他類似概念的預定義變量。適當速率的選擇對於練習至關重要，使用不正確的折現率將使結果毫無意義。

對於涉及年金的計算，必須確定付款是在每個時期結束時（稱為普通年金）還是在每個時期開始（稱為年金）。使用財務計算器或電子表格時，通常可以將其設置為任何一種計算。以下公式用於普通年金。對於應付年金的現值的答案，普通年金的PV可以乘以（1 + i ）。

公式

以下公式使用這些常見變量：

PV是時間零（現在值）的值
FV是時間n （未來價值）的價值
a是每個複合期內單個付款的價值
n是周期數（不一定是整數）
我是每個時期金額化合物的利率
G是每個時間段的付款率不斷增長

當前金的未來價值

未來值（ FV ）公式相似，並使用相同的變量。

FV \ = \ PV \cdot (1+i)^n

未來總和的現值

現值公式是貨幣時間價值的核心公式；每個公式均來自該公式。例如，年金公式是一系列現值計算的總和。

現在值（ PV ）公式具有四個變量，每個變量都可以通過數值方法來求解：

PV \ = \ \frac{FV}{(1+i)^n}

未來現金流量的累積現值可以通過求和Fv _t的貢獻，即時間t的現金流量的貢獻：

PV\ =\ \sum _{{t=1}}^{{n}}{\frac {FV_{{t}}}{(1+i)^{t}}}

請注意，對於給定的n值，或n為∞時，可以將此序列求和。這是一個非常通用的公式，它導致下面給出幾個重要的特殊情況。

n付款期的年金的現值

在這種情況下，現金流量值在整個N期間保持不變。年金（PVA）公式的現值具有四個變量，每個變量都可以通過數值方法來求解：

PV(A) \,=\,\frac{A}{i} \cdot \left[ {1-\frac{1}{\left(1+i\right)^n}} \right]

要獲取應付年金的PV，請將上述方程式乘以（1 + i ）。

年金不斷增長的現值

在這種情況下，每個現金流量都會增長（1+ g ）。與年金的公式類似，增長年金（PVGA）的現值將相同的變量與添加G一起作為年金增長率（A是第一階段的年金支付）。這是一個很少在財務計算器上提供的計算。

i≠g的地方：

PV(A)\,=\,{A \over (i-g)}\left[1-\left({1+g \over 1+i}\right)^{n}\right]

其中i = g：

PV(A)\,=\,{A\times n \over 1+i}

為了使年金增長的PV乘以上述方程式乘以（1 + i ）。

永久性的現值

永久性是付款的付款，這些金額是常規發生的，並永遠持續下去。當n →∞時，永久性（永久年金）公式的PV變成一個簡單的劃分。

PV(P) \ = \ { A \over i }

永久性的現值

當永恆的年金付款以固定利率（ g ， g < i ）增長時，該值是根據以下公式確定的，通過將n設置為早期公式中的無窮大，以獲得越來越多的永久性：

PV(A)\,=\,{A \over i-g}

實際上，很少有具有精確特徵的證券，並且這種估值方法的應用受到各種資格和修改的約束。最重要的是，很少有固定的增長率和真實的現金流量產生固定的年金日益增長。儘管有這些資格，但一般方法仍可以用於估值房地產，股票和其他資產。

這是用於庫存估值的眾所周知的戈登增長模型。

年金的未來價值

年金（FVA）公式的未來值（ n個週期之後）具有四個變量，每個變量都可以通過數值方法來求解：

FV(A) \,=\,A\cdot\frac{\left(1+i\right)^n-1}{i}

要獲得應付年金的FV，請將上述方程式乘以（1 + i）。

年金不斷增長的未來價值

增長年金（FVA）公式的未來值（ n個週期之後）具有五個變量，每個變量都可以通過數值方法來求解：

i≠g的地方：

FV(A) \,=\,A\cdot\frac{\left(1+i\right)^n-\left(1+g\right)^n}{i-g}

其中i = g：

FV(A) \,=\,A\cdot n(1+i)^{n-1}

公式表

下表總結了用於計算貨幣時間值的不同公式。這些值通常顯示在指定利率和時間的表中。

尋找	給出	公式
未來價值（f）	現值（P）	$F=P\cdot (1+i)^n$
現值（P）	未來價值（f）	$P=F\cdot (1+i)^{-n}$
重複付款（a）	未來價值（f）	$A=F\cdot \frac{i}{(1+i)^n-1}$
重複付款（a）	現值（P）	$A=P\cdot \frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}$
未來價值（f）	重複付款（a）	$F=A\cdot \frac{(1+i)^n-1}{i}$
現值（P）	重複付款（a）	$P=A\cdot \frac{(1+i)^n-1}{i(1+i)^n}$
未來價值（f）	初始梯度付款（G）	$F=G\cdot \frac{(1+i)^n-in-1}{i^2}$
現值（P）	初始梯度付款（G）	$P=G\cdot \frac{(1+i)^n-in-1}{i^2(1+i)^n}$
固定付款（a）	初始梯度付款（G）	$A=G\cdot \left[\frac{1}{i}-\frac{n}{(1+i)^n-1}\right]$
未來價值（f）	最初的指數增加付款（D）增加百分比（g）	$F=D\cdot \frac{(1+g)^n-(1+i)^n}{g-i}$ （對於i≠g） $F=D\cdot \frac{n(1+i)^n}{1+g}$ （對於i = g）
現值（P）	最初的指數增加付款（D）增加百分比（g）	$P=D\cdot \frac{\left({1+g \over 1+i}\right)^n-1}{g-i}$ （對於i≠g） $P=D\cdot \frac{n}{1+g}$ （對於i = g）

筆記：

A是固定付款金額，每個時期
g是付款金額增加的初始付款金額，該金額從G開始，在每個後期增加G。
d是指數（幾何）增加付款金額的初始付款金額，該金額從D開始，並增加了（1+ g ）的每個後期。

推導

年金推導

定期付款（年金）的現值的現值公式來自單個將來付款的未來價值的總和，如下所示，其中c是付款金額和期限。

將來M的單個付款C在將來的時間N中具有以下未來值：

FV \ = C(1+i)^{n-m}

從時間1到時間n總結所有付款，然後逆轉t

FVA \ = \sum_{m=1}^n C(1+i)^{n-m} \ = \sum_{k=0}^{n-1} C(1+i)^k

請注意，這是一個幾何序列，其初始值為a = c ，乘法因子為1 + i ，n項n術語。為幾何系列應用公式，我們得到

FVA \ = \frac{ C ( 1 - (1+i)^n )}{1 - (1+i)} \ = \frac{ C ( 1 - (1+i)^n )}{-i}

年金（PVA）的現值是通過簡單地除以 $\text{[math]}$ ：

PVA \ = \frac{FVA}{(1+i)^n} = \frac{C}{i} \left( 1 - \frac{1}{(1+i)^n} \right)

獲得年金的未來價值的另一種簡單直觀的方式是考慮一個捐贈，其利息是將年金支付的，並且其主體的原理仍然保持不變。該假設捐贈的原理可以計算為其利息等於年金付款金額：

\text{Principal} \times i = C

{\text{Principal}}={\frac {C}{i}}+{\text{goal}}

請注意，沒有資金進入或離開end賦本金 +累計年金付款的組合系統，因此可以通過未來的價值公式來計算該系統的未來價值：

FV = PV(1+i)^n

最初，在任何付款之前，系統的現值只是捐贈原理， $\text{[math]}$ 。最後，未來價值是end賦本金（相同）以及總年金付款的未來價值（ $\text{[math]}$ ）。將其插入方程式：

\frac{C}{i} + FVA = \frac{C}{i} (1+i)^n

FVA = \frac{C}{i} \left[ \left(1+i \right)^n - 1 \right]

永久推導

在此處未顯示形式推導的情況下，永久公式是從年金公式中得出的。具體而言，該術語：

\left({1 - {1 \over { (1+i)^n } }}\right)

隨著n的增長，可以看見可以接近1的值。在無窮大，等於1，離開 $\text{[math]}$ 作為剩下的唯一術語。

連續複合

有時將速率轉換為連續的複合利率等效物，因為連續等效物更方便（例如，更容易區分）。上面的每個公式都可以在其連續等效物中重述。例如，可以通過以下方式重述未來付款的時間0的現值，其中e是自然對數的基礎， r是連續的複合率：

\text{PV} = \text{FV}\cdot e^{-rt}

可以將其推廣到隨時間變化的折現率：而不是恆定的折現率r，而是使用時間r （ t ）的函數。在這種情況下

\text{PV} = \text{FV}\cdot \exp\left(-\int_0^T r(t)\,dt\right)

確實，使用連續複合的關鍵原因是簡化不同折現率的分析，並允許一個人使用微積分工具。此外，為了累計並大寫的利息（因此每天復合），連續複合是實際日常複合的近似值。更複雜的分析包括使用微分方程，如下所述。

例子

使用連續的複合可為各種儀器提供以下公式：

年金: $\ PV \ = \ {A(1-e^{-rt}) \over e^r -1}$
永久性: $\ PV \ = \ {A \over e^r - 1}$
年金增長: $\ PV \ = \ {Ae^{-g}(1-e^{-(r-g)t}) \over e^{(r-g)} - 1}$
越來越長: $\ PV \ = \ {Ae^{-g} \over e^{(r-g)} - 1}$
與連續付款的年金: $\ PV \ = \ { 1 - e^{(-rt)} \over r }$

這些公式假定付款A是在第一個付款期內進行的，而年金在時間t結束。

微分方程

普通和部分微分方程（ODES和PDE） - 涉及衍生物和一個（分別是多個）變量的方程式在金融數學的更高級處理中無處不在。雖然可以在不使用微分方程框架的情況下理解貨幣的時間價值，但附加的複雜性為時間值提供了更多的啟示，並在考慮更複雜且不太熟悉的情況之前提供了簡單的介紹。該博覽會遵循（ Carr＆Flesaker 2006 ，第6-7頁）。

微分方程的觀點帶來的基本變化是，而不是計算一個數字（現在的現在值），而是計算一個函數（現在或將來的任何時刻）。然後可以分析此功能 - 它的價值會隨著時間而變化？ - 或與其他功能進行比較。

正式地，通過定義線性差分運算符給出了“隨時間降低”的陳述 $\text{[math]}$ 作為：

\mathcal{L} := -\partial_t + r(t).

這指出，隨著時間的推移（ R （ _t ）），值會隨時間降低（ - ）。應用於它產生的功能：

\mathcal{L} f = -\partial_t f(t) + r(t) f(t).

對於F （ t ）描述的付款流的儀器，值V （ t ）滿足不均勻的一階頌歌 $\text{[math]}$ （“不均勻”是因為一個人具有f而不是0，而“一階”是因為一個人具有第一衍生物，但沒有更高的衍生物） - 這是一個事實，即當發生任何現金流時，儀器的價值會隨現金流的價值而變化（如果您收到10英鎊的優惠券，剩餘的價值恰好減少了10英鎊）。

ODES分析的標準技術工具是Green的功能，可以從中構建其他解決方案。就貨幣的時間價值而言，綠色的功能（對於時間值ode ）是債券在單個時間點支付1英鎊的債券的價值 - 然後，可以通過組合此基本現金流來獲得任何其他現金流的價值。用數學術語來說，這種瞬時現金流被建模為Dirac Delta功能 $\text{[math]}$

綠色的功能在時間t的時間t上的價值u是u是

b(t;u) := H(u-t)\cdot \exp\left(-\int_t^u r(v)\,dv\right)

其中h是重型階段函數- 符號” $\text{[math]}$ “是要強調u是一個參數（在任何情況下都修復了 - 現金流將發生的時間），而T是變量（時間）。換句話說，未來的現金流量是按總數呈指數折疊（EXP）的（exp）（積分， $\text{[math]}$ ）未來折現率（ $\text{[math]}$ 對於將來， r （ v ）的折現率），而過去的現金流量為0（ $\text{[math]}$ ），因為它們已經發生了。請注意，現金流量時的價值不是很好的定義 - 那時存在不連續性，並且可以使用約定（假設現金流已經發生，或者沒有發生），或者根本不定義該值的值。