傳遞關係

傳遞關係

類型	二進制關係
場地	基本代數
陳述	關係在一組如果所有元素 ，，，， ，，，， 在 ，無論何時相關到和到 ， 然後也關聯到 。
符號陳述

在數學中，如果對於所有元素a ， b ， c in x中的所有元素b，c，當r將a至b和b與c與c相關聯，則r也將r與a相關聯，則x上的關係r是傳遞的。每個部分順序以及每個等價關係都需要傳遞。

定義

及時二進制關係
對稱 反對稱 連接的 有充分的基礎 有加入 已經見面了 反身 反射性 不對稱 總數，半納克斯 反對- 反身 等價關係 ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ 預訂（Quasiorder） ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ 部分順序 ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ 總預訂 ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ 總訂單 ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ 預上 ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ 良好的訂購 ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ 訂購良好 ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ 格子 ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Join-emilattice ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ 聚會 - 米拉門 ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ 嚴格的部分訂單 ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ 嚴格的弱點 ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ 嚴格的總訂單 ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ 對稱 反對稱 連接的 有充分的基礎 有加入 已經見面了 反身 反射性 不對稱 定義，所有和
指示該列的屬性始終是正確的（在左側），而✗表示不保證該屬性（可能或可能不保留）。例如，每個對等關係都是對稱的，但不一定是反對稱的，由在“對稱”列和“反對稱”柱中的✗中。 所有定義都需要統一關係及時要如果和然後 一個術語的定義可能需要此表中未列出的其他屬性。

集合X上的均勻關係r是一個傳遞關係，如果

對於所有a ， b ， c∈X ，如果a r b和b r c ，則是a r c 。

或以一階邏輯而言：

,

其中a r b是（ a ， b ） ∈R的infix符號。

例子

作為一個非數學示例，關係“是祖先”是及物的。例如，如果艾米（Amy）是貝基（Becky）的祖先，而貝基（Becky）是嘉莉（Carrie）的祖先，那麼艾米（Amy）也是嘉莉（Carrie）的祖先。

另一方面，“是”的生父母不是一種及時的關係，因為如果愛麗絲是布倫達的出生父母，而布倫達是克萊爾的出生父母，那麼這並不意味著愛麗絲是克萊爾的出生父母。更重要的是，它是抗坦率的：愛麗絲永遠不會成為克萊爾的出生父母。

非傳播的非抗侵犯關係包括運動固定裝置（季后賽時間表），“知道”和“與之交談”。

“比“更大”，至少和“等於”（平等）是各個集合上的傳遞關係，例如，一組實數或一組自然數：

每當x > y和y > z時，也是x > z

每當x≥y和y≥z時， x≥z也

每當x = y和y = z時， x = z 。

更多及時關係的例子：

• “是一個子集”（集合包含，集合的關係）
• “分裂”（分裂性，自然數的關係）
• “暗示”（暗示，以“⇒”為像徵，與命題的關係）

非傳播關係的例子：

• “是繼承人的繼任者”（關於自然數的關係）
• “是集合的成員”（象徵為“∈”）
• “垂直於”（歐幾里得幾何形狀的線上的關係）

任何集合的空白關係是傳遞的，因為沒有元素這樣和因此，透明度條件是真實的。僅包含一個有序對的關係r也是傳遞的：如果有序對是形式的對於一些唯一的元素是 ，確實在這種情況下 ，而如果訂購對不為形式那沒有這樣的元素因此是空虛的。

特性

閉合屬性

• 傳遞關係的相反（反向）始終是傳遞的。例如，知道“是“是傳遞”的子集，並且是“是它的超集”是它的相反，人們可以得出結論，後者也是及物的。
• 兩個轉移關係的交集始終是傳遞性的。例如，知道“誕生之前”和“具有與“是瞬時”相同的名字，可以得出結論，“誕生了”，並且具有與“同樣的名字”也是傳遞的。
• 兩個及時關係的結合不必是傳遞的。例如，“以前出生或具有與“與富蘭克林·皮爾斯（ Franklin Pierce）有關的富蘭克林·羅斯福（Franklin D. 。
• 及時關係的補充不必是傳遞性的。例如，雖然“等於”是傳遞的，但不等於“僅在集合上最多有一個元素。

其他屬性

且僅當它具有反射性時，及其關係是不對稱的。

傳遞關係不必反身。當它被稱為預訂時。例如，集合x = {1,2,3}：

• r = {（1,1），（2,2），（3,3），（1,3），（3,2）}是反射性的，但不是及物的，因為這對（1, 2）不存在，，，，
• r = {（1,1），（2,2），（3,3），（1,3）}是反身的，並且是瞬時的，因此它是預訂
• r = {（1,1），（2,2），（3,3）}是反身的，並且是及時的，另一種預訂。

及時擴展和及時閉合

令R為集合X上的二進制關係。 r的傳遞擴展為r ₁ ，是x上最小的二進制關係，使得r ₁包含r ，如果（ a ， b ） ∈R和（ b ， c ） ∈R然後_（ a ， c ） ∈R1 。例如，假設X是一組城鎮，其中一些是通過道路連接的。如果有一條直接連接城鎮A和b的道路，請讓R為城鎮的關係（ a ， b ）∈R 。這種關係不必是傳遞的。如果您可以在最多兩條道路上使用，則可以通過（ a ， c _） ∈R1來定義此關係的及傳遞擴展。

如果關係是傳遞的，則其傳遞擴展為本身，也就是說，如果r是一種橫向關係，則r ₁ = r 。

r ₁的傳遞擴展將以r ₂表示，並以這種方式繼續，通常， r _i的及傳遞延伸將為r _{i + 1} 。 r *或^r∞表示的R的傳遞閉合是r ， r ₁ ， r ₂ ，...的集合結合。

關係的及時封閉是一種橫向關係。

關係“是一組人的育生父母”不是一種傳遞關係。但是，在生物學中，經常需要考慮在任意數量的世代上考慮出生的生產：關係“是“出生的祖先”是一種及物關係，這是關係的及時封閉，是關係的出生父母”。

如果您可以使用任何數量的道路在城鎮A和C之間旅行，則（ a ， c ）∈R *的示例（a，c）∈R *。

需要傳遞性的關係類型

• 預訂-反身和及時的關係
• 部分秩序-反對稱預訂
• 總預訂-連接的（以前稱為總的）預訂
• 等價關係-對稱的預訂
• 嚴格的弱排序- 嚴格的部分秩序，無與倫比是等效關係
• 總排序- 連接（總），反對稱和及時關係

計算及時關係

尚不知道有限集合（ OEIS中的序列A006905 ）上的傳遞關係數量的一般公式。但是，有一個公式用於查找同時反身，對稱和及時的關係數量 - 換句話說，等效關係- （ OEI中的序列A000110 ），那些是對稱和及時的，那些是對稱的，具有對稱性的，是對稱性的， ，抗對稱，以及總，及時和反對稱的。 Pfeiffer在這個方向上取得了一些進展，以彼此的方式表達了與這些屬性的組合的關係，但仍然很難計算任何一個。另請參見Brinkmann和McKay（2005）。 MALA表明，沒有具有整數係數的多項式可以代表集合上傳遞關係數量的公式，並找到了為該數字提供下限的某些遞歸關係。他還表明，如果該集合完全包含兩個有序對，則該數字是第二度的多項式。

請注意， s （ n ， k ）是指第二種的stirling數字。

相關屬性

如果不是傳奇，則稱為不及物關係，即對於某些x ， y ， z ，即xry和yrz而不是xrz 。相比之下，如果Xry和Yrz總是暗示XRZ不成立，則關係R稱為抗坦率。例如，如果xy為偶數數字，則Xry定義的關係是不及物的，但不是抗坦率的。如果x是均勻而y是奇數，則由Xry定義的關係既具有及物且抗授精。如果x是y的連續數，則由Xry定義的關係既不傳染又抗坦率。在政治問題或團體偏好等情況下，出現了不突出性的意外例子。

對隨機版本（隨機傳遞性）的概括，對傳播性的研究發現了在決策理論，心理計量學和實用程序模型中的應用。

準授精關係是另一個概括。它僅在其非對稱部分上是傳遞的。這種關係用於社會選擇理論或微觀經濟學。

命題：如果r是一個單價，則r; r ^t是及傳遞的。

證明：假設然後有a和b 由於r是無數的，因此yrb和ar ^t y表示a = b 。因此， x r a r ^t z ，因此x r; r ^t z和r; r ^t是傳遞的。

推論：如果r是無數的，則r; r ^t是r的域上的等效關係。

證明：r; r ^t在其域上是對稱的和反身的。在R的單位上，滿足了等效性的及時要求。

也可以看看

• 傳遞降低
• 不及物骰子
• 理性選擇理論
• 假設的三段論- 材料條件的傳遞性