通用定量

通用定量
類型	量詞
場地	數學邏輯
陳述	對於所有值的真實值是正確的。
符號陳述

在數學邏輯中，通用量化是一種量詞，一種邏輯常數被解釋為“給定”，“所有”或“對於任何”。它表明，話語領域的每個成員都可以滿足謂詞。換句話說，它是屬性或與域中每個成員關係的鑑定。它斷言，通用量化器範圍內的謂詞對於謂詞變量的每個值都是正確的。

它通常用翻轉A （∀）邏輯運算符符號表示，當與謂詞變量一起使用時，它稱為通用量詞（“ $\forallx$ ”，“ x”，“ $x”（ x ）$ ，或有時由“ $（ x ）$ “ 獨自的）。通用量化與存在的定量不同（“存在”），這僅斷言該財產或關係至少存在該域的一個成員。

一般而言，量化的文章（邏輯）涵蓋。通用量詞編碼為u+2200∀對於unicode中的所有人，AS\forall在乳膠和相關公式編輯中。

基本

假設是

2·0 = 0 + 0，2·1 = 1 + 1，2 ·2 = 2 + 2 ，等。

由於“和”的一再使用，這似乎是邏輯上的連詞。但是，“等等”不能解釋為形式邏輯中的連詞。相反，該聲明必須改寫：

對於所有自然數n ，一個具有2· n = n + n 。

這是使用通用量化的單個語句。

可以說，這一說法比原始聲明更精確。而“等等”非正式地包括自然數字，僅此而已，這不是嚴格的。另一方面，在通用量化中，自然數是明確提到的。

這個特定的示例是正確的，因為任何自然數字都可以代替n ，而語句“ 2· n = n + n ”都是正確的。相比之下，

對於所有自然數n ，一個人具有2· n > 2 + n

是錯誤的，因為如果n被替換為1，則語句“ 2·1> 2 + 1”為false。對於大多數自然數n而言，“ 2· n > 2 + n ”是正確的，這並不重要：即使是單個反例的存在也足以證明通用量化錯誤。

另一方面，對於所有複合數字n ，一個具有2· n > 2 + n是正確的，因為沒有一個反面是複合數字。這表明了話語領域的重要性，該域指定值n可以採用哪些值。特別是請注意，如果話語領域僅限於僅由滿足某個謂詞的對象組成，那麼對於通用量化，這需要邏輯上的條件。例如，

對於所有復合數n ，一個都有2· n > 2 + n

在邏輯上等同於

對於所有自然數n ，如果n是複合材料，則為2· n > 2 + n 。

在這裡，“如果...然後”結構表示邏輯條件。

符號

在符號邏輯中，使用通用量詞符號（sans-serif字體中的“ A”，Unicode U+2200）用於指示通用量化。 Gerhard於1935年首次以這種方式使用它，類似於Giuseppe Peano（轉過E）的符號，以進行存在的量化和後來使用Bertrand Russell的Peano符號。

例如，如果p （ n ）是謂詞“ 2· n > 2 + n ”，而n是自然數的集合，則

\forall n\!\in\!\mathbb{N}\; P(n)

是（錯誤）語句

“對於所有自然數n ，一個都有2· n > 2 + n ”。

同樣，如果q （ n ）是謂詞“ n是複合材料”，則

\forall n\!\in\!\mathbb{N}\; \bigl( Q(n) \rightarrow P(n) \bigr)

是（真）語句

“對於所有自然數n ，如果n是複合材料，則為2· n > 2 + n ”。

量化表示法的幾種變化（適用於所有形式）可以在量詞文章中找到。

特性

否定

通過將通用量化器更改為存在量化器並否定量化公式，可以獲得普遍量化的函數的否定。那是，

\lnot \forall x\;P(x)\quad {\text{is equivalent to}}\quad \exists x\;\lnot P(x)

在其中表示否定。

例如，如果 $p （ x ）$ 是命題函數“ $x$ 已婚”，那麼，對於所有活著的人類的 $x$

鑑於任何活著的人 $X$ ，該人已婚

是寫的

\forall x\in X\,P(x)

此語句是錯誤的。說實話，有人說

鑑於任何活著的人 $X$ ，該人已婚並非如此

或者，象徵性：

\lnot \ \forall x\in X\,P(x)

.

如果X的函數p（x）對於x的每個元素都不是正確的，則必須至少有一個元素為false。也就是說，否定在邏輯上等同於“存在未婚的活人X”，或者：

\exists x\in X\,\lnot P(x)

混淆“所有人尚未結婚”（即“沒有已婚的人”）與“並非所有人都結婚”（即“存在未婚的人））：：

\lnot \ \exists x\in X\,P(x)\equiv \ \forall x\in X\,\lnot P(x)\not \equiv \ \lnot \ \forall x\in X\,P(x)\equiv \ \exists x\in X\,\lnot P(x)

其他連接

只要另一個操作數不影響，通用（和存在的）量詞在邏輯連接器 ∧ ， ∨ ， →和↚上移動不變。那是：

{\begin{aligned}P(x)\land (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\land Q(y))\\P(x)\lor (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\lor Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\to (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\to Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\nleftarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nleftarrow Q(y))\\P(x)\land (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\land Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\lor (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\lor Q(y))\\P(x)\to (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\to Q(y))\\P(x)\nleftarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nleftarrow Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \end{aligned}}

相反，對於邏輯連接↑ ， ↓ ， ↛和←量詞翻轉：

{\begin{aligned}P(x)\uparrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\uparrow Q(y))\\P(x)\downarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\downarrow Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\nrightarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nrightarrow Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\gets (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\gets Q(y))\\P(x)\uparrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\uparrow Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\downarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\downarrow Q(y))\\P(x)\nrightarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nrightarrow Q(y))\\P(x)\gets (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\gets Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\\end{aligned}}

推理規則

推論規則是一條規則，證明從假設到結論的邏輯步驟是合理的。有幾種使用通用量詞的推理規則。

普遍的實例化得出的結論是，如果已知命題函數是普遍真實的，那麼對於話語宇宙的任何任意要素來說，它必須是正確的。象徵性地表示為

\forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\to P(c)

其中c是話語宇宙的完全任意要素。

普遍的概括得出的結論是，如果對話語宇宙的任何任意要素都是正確的，則必須普遍正確。象徵性地，對於任意C ，

P(c) \to\ \forall{x}{\in}\mathbf{X}\, P(x).

元素C必須是完全任意的；否則，邏輯不遵循：如果C不是任意的，而是話語宇宙的特定要素，則P（ C ）僅意味著對命題函數的存在量化。

空集

按照慣例，無論p（x）的公式如何，公式始終是真實的。見真實的真相。

通用封閉

公式φ的通用閉合是公式，沒有通過為φ中的每個自由變量添加通用量詞來獲得的自由變量。例如，普遍關閉

P(y) \land \exists x Q(x,z)

是

\forall y \forall z ( P(y) \land \exists x Q(x,z))

.

作為伴隨

在類別理論和基本拓撲理論中，通用量詞可以理解為函數集之間函數的正確伴隨，即集合之間函數的逆映像函數。同樣，存在量詞是左側的伴隨。

對於一套，讓我們表示其力量。對於集合之間的任何函數，powerset之間都有一個反圖像函數，將F返回f返回其域子集的子集的子集。該函子的左伴隨是存在量詞，右伴隨是通用量詞。

也就是說，對於每個子集，都給出了一個子集

\exists _{f}S=\{y\in Y\;|\;\exists x\in X.\ f(x)=y\quad \land \quad x\in S\},

那些以下圖像。同樣，通用量詞是一個函子，對於每個子集，給出了由

\forall _{f}S=\{y\in Y\;|\;\forall x\in X.\ f(x)=y\quad \implies \quad x\in S\},

那些預先映射的人都包含在內。

一階邏輯中使用的更熟悉的量化符形式是通過將函數f作為唯一函數而獲得的，因此它是具有True和false值的兩元素集，一個子集S是該子集謂詞保持，並且

{\begin{array}{rl}{\mathcal {P}}(!)\colon {\mathcal {P}}(1)&\to {\mathcal {P}}(X)\\T&\mapsto X\\F&\mapsto \{\}\end{array}}

\exists _{!}S=\exists x.S(x),

如果不是空的，這是正確的，並且

\forall _{!}S=\forall x.S(x),

如果S不是X，那是錯誤的。

上面給出的通用和存在的量化符概括為前膜類別。

通用定量

基本

符號

特性

否定

其他連接

推理規則

空集

通用封閉

作為伴隨

也可以看看