頂點圖
在幾何形狀中，從幾何形狀上說，當多面體或多層人士切開時，一個頂點是暴露的。
定義
沿多面體的一些角或頂點。在每個連接的邊緣上標記一個點。在連接的面上劃清線，並在面部周圍連接相鄰點。完成後，這些線形成一個完整的電路，即在頂點周圍的多邊形。該多邊形是頂點圖。
根據情況，更精確的形式定義可能會差異很大。例如， Coxeter （例如1948年，1954年）將其定義變化為當前討論領域的方便。頂點圖的以下大多數定義同樣適用於無限的瓷磚，或者通過延伸，用於使用多層細胞和其他高維多面體進行空間填充鑲嵌。
作為平坦的切片
穿過多面體的角落，切開連接到頂點的所有邊緣。切割表面是頂點圖。這也許是最常見的方法，也許是最容易理解的方法。不同的作者在不同地方進行切片。 Wenninger（2003）與Coxeter（1948）一樣，將每個邊緣距離距離頂點距離距離。對於統一的多面體， Dorman Luke的結構切割了每個連接的邊緣。其他作者在每個邊緣的另一端都通過頂點切割。
對於不規則的多面體，將所有入射到給定頂點的邊緣距離頂點相等，可能會產生不位於平面中的圖形。對任意凸多面體有效的一種更通用的方法是沿著將給定頂點與所有其他頂點分開但卻是任意的任何平面進行切割。該結構決定了頂點圖的組合結構，類似於一組連接的頂點（見下文），但不是其精確的幾何形狀。可以將其推廣到任何維度的凸層。但是，對於非凸多面體，可能沒有在頂點附近的平面切割到頂點的所有面。
作為球形多邊形
克倫威爾（Cromwell，1999）通過將多面體與以頂點為中心的球體相交，形成了頂點圖，足夠小，以至於它僅相交的邊緣和麵向頂點的臉部。可以看到這是製作以頂點為中心的球形切割或勺子。因此，切割表面或頂點圖是該球體上標記的球形多邊形。該方法的一個優點是，固定頂點圖的形狀（直至球體的比例），而與平面相交的方法可以根據平面的角度產生不同的形狀。此外，該方法適用於非凸多面體。
作為連接的頂點集
許多組合和計算方法（例如Skilling，1975）將頂點圖視為所有相鄰（通過邊緣連接）到給定頂點的有序（或部分有序）的點集。
抽象定義
在抽像多面體的理論中，給定頂點V處的頂點圖包括入射在頂點上的所有元素。邊緣，臉等。更正式的是（ n -1） - 部分f n / v ，其中f n是最大的面孔。
這組元素在其他地方被稱為頂點恆星。幾何頂點圖和頂點恆星可以理解為對同一抽象部分的不同實現。
一般特性
n-聚座的頂點圖是（ n -1） - polytope。例如，多面體的頂點圖是多邊形，而4個聚體的頂點圖是多面體。
通常，頂點數字不必是平面。
對於非convex polyhedra，頂點圖也可能是非convex。例如，統一的多面體可以具有針對臉部和/或頂點圖的星形多邊形。
異教體數字
頂點數字對於統一和其他異緣式（頂點傳播）的多面有尤其重要，因為一個頂點圖可以定義整個多面體。
對於帶有常規面的Polyhedra，可以通過在頂點周圍的順序列出面孔來表示頂點圖。例如，3.4.4.4是一個帶有一個三角形和三個正方形的頂點，它定義了統一的菱形cont骨。
如果多層層是異族式的，則頂點圖將存在於N空間的超平面表面。
構造
從相鄰的頂點
通過考慮這些相鄰頂點的連接性，可以為多元頂點的每個頂點構建一個頂點圖：
- 頂點圖的每個頂點與原始多層的頂點一致。
- 頂點圖的每個邊緣都存在於原始多層臉部或內部，它們從原始臉部連接兩個替代頂點。
- 頂點圖的每個面都存在於原始n- polytope的單元格上或內部（ n > 3）。
- ...等等，以更高階段的元素到高階元素。
Dorman Luke Construction
對於均勻的多面體，可以使用“ Dorman Luke ”結構從原始的多面體頂點圖中找到雙重多面體的面。
常規的多面體
如果多層室是常規的，則可以用schläfli符號表示，並且可以從該符號中瑣碎地提取單元格和頂點圖。
通常，帶有schläfli符號{ a ， b ， c ，...， y ， z }的常規polytope的單元格為{ a ， b ， c ，...， y }，而頂點形象為{ b ， c ，。 ..， Y ， Z }。
- 對於常規的多面體{ p ， q }，頂點圖是{ q }， q -gon。
- 例如，Cube {4,3}的頂點圖是三角形{3}。
- 對於常規的4-Polytope或空間填充鑲嵌{ P ， Q ， R }，頂點圖是{ Q ， r }。
- 示例，對於超立方體{4,3,3}的頂點圖，頂點圖是常規的四面體{3,3}。
- 同樣， Cubic Honeycomb {4,3,4}的頂點圖是一個常規的八面體{3,4}。
由於常規多層室的二元多主體也是規則的，並由Schläfli符號索引逆轉表示，因此很容易看到頂點圖的雙重偶數是雙重多層的單元格。對於普通的Polyhedra，這是Dorman Luke Construction的特殊情況。
蜂窩的示例頂點圖
截短的立方蜂窩狀的頂點圖是不均勻的方形金字塔。一個八面體和四個截斷的立方體在每個頂點相遇，形成一個空間填充的鑲嵌。
| 頂點圖：不均勻的方形金字塔 |
 Schlegel圖 |
 看法 |
| 由八面體創建為正方形 |
 (3.3.3.3) |
|
| 和四個等質三角形的側面三角形的側面 |
 (3.8.8) |
邊緣圖
與頂點圖相關，邊緣圖是頂點圖的頂點圖。邊緣數字可用於表達常規和均勻多型元素之間的關係。
邊緣圖將是一個（ n -2） - 聚體，代表給定邊緣周圍的刻面佈置。常規和單式的Coxeter圖均勻的多面將具有單個邊緣類型。通常，均勻的多層可以具有與結構中的活性鏡一樣多的邊緣類型，因為每個活動鏡在基本域中都會產生一個邊緣。
常規的多面體（和蜂窩）具有單一邊緣的圖形，這也是規則的。對於常規的polytope { p ， q ， r ， s ，...， z }，邊緣圖是{ r ， s ，...， z }。
在四個維度中， 4個聚型或3-蜂巢的邊緣圖是一個多邊形，代表邊緣周圍的一組面的佈置。例如，常規立方蜂窩{4,3,4}的邊緣圖是一個正方形，而對於常規的4-Polytope { p ， q ， r }的邊緣是多邊形{ r }。
較不動的，截短的立方蜂窩t 0,1 {4,3,4}具有正方形的金字塔頂點圖，帶有截短的立方體和八面體細胞。這裡有兩種類型的邊緣數字。一個是金字塔頂點處的方形邊緣圖。這表示邊緣周圍的四個截斷立方體。其他四個邊緣圖是金字塔基礎頂點上的同步三角形。這些代表了兩個截短的立方體和另一個邊緣周圍的一個八面體的排列。