複雜分析
複雜的分析，傳統上稱為複雜變量的功能理論，是研究複數功能的數學分析分支。它在數學的許多分支中都有幫助，包括代數幾何學，數量理論，分析組合學和應用數學以及物理學，包括流體動力學，熱力學，量子力學和扭曲者理論的分支。通過擴展，複雜分析的使用還在工程領域中應用，例如核，航空航天，機械和電氣工程。
由於復雜變量的可區分函數等於其泰勒級數（即是分析性的），因此復雜分析特別關注複雜變量的分析函數，即Holomorthic函數。該概念可以擴展到幾個複雜變量的功能。
歷史
複雜的分析是數學的古典分支之一，其根源在18世紀，就在前。與復數相關的重要數學家包括Euler ， Gauss ， Riemann ， Cauchy ， GöstaMittag-Leffler ，Weierstrass， Weierstrass等20世紀。複雜的分析，特別是保形映射理論，具有許多物理應用，並且在整個分析數理論中也被使用。在現代，它通過複雜的動力學和迭代全態功能產生的分形圖片的新提升而變得非常流行。複雜分析的另一個重要應用是字符串理論，該理論研究了量子場理論中的保形不變。
複雜的功能
複雜的函數是從複數到復數數字的函數。換句話說，它是一個函數，其子集的子集作為域，而復數數字作為代碼域。通常認為複雜函數具有包含複雜平面非空的開放子集的域。
對於任何復雜的函數，域中的值及其在範圍內的圖像可以分為真實和虛構的部分：
所有人都在哪裡進行實現。
換句話說，複雜的功能可能被分解為
- 和
IE，分為兩個實際變量（，）的兩個實用值函數（，）。
同樣，任意集合x上的任何復雜值函數f（在這種意義上是同構的，因此，它是同構）是兩個實現的函數的有序對：（ re f，im f）或，另外，作為X到x向量值的函數
複雜值函數的某些屬性（例如連續性）不過是兩個真實變量的向量值函數的相應屬性。複雜分析的其他概念（例如不同的性能）是對實際功能的相似概念的直接概括，但可能具有截然不同的屬性。特別是，每個可區分的複雜函數都是分析性的（請參見下一節），在一個點的附近，在其域的交點上相等的兩個可區分函數（如果連接了域）。後一種屬性是分析延續原理的基礎，該原理允許以獨特的方式擴展每個真實的分析功能，以獲取複雜的分析函數，其域是整個複雜平面，並刪除了有限數量的曲線弧。以這種方式定義了許多基本和特殊的複雜函數，包括複雜的指數函數，複雜的對數函數和三角函數。
全態功能
在復合平面的一個開放子集的每個點上都可以區分的複雜函數據說是塑形的。在復雜分析的背景下，AT的導數定義為
從表面上講，該定義與真實函數的衍生物的定義正式類似。然而，與實際的同行相比，複雜的衍生物和可差異功能的行為具有顯著不同的方式。特別是，要使這個限制存在，差異商的值必須接近相同的複雜數字，而不管我們在復雜平面中接近的方式如何。因此，複雜的可不同性具有比實際的不同性具有更強的含義。例如，全態函數是無限的，而nth衍生物的存在並不意味著（n + 1）對於實際函數的存在（n + 1）。此外，所有全體形態函數都滿足了分析性的更強條件，這意味著該函數在其域中的每個點都由收斂功率序列局部給出。從本質上講，這意味著在每個點的某些社區中的多項式可以很好地近似於骨膜上的功能。這與可區分的實際功能形成了鮮明的對比。有無限可區分的真實功能無處可分析。請參閱非分析平滑函數§平滑函數，無處可去的真實分析。
大多數基本函數，包括指數函數，三角函數和所有多項式函數，適當地擴展到復雜參數作為函數，在整個複雜平面上都是全態的，使它們成為整個函數，而P postion p和p是多項式的，其中P和Q是多項式的功能在排除Q為零的點的域上是全體形態。除了一組孤立點以外，這些功能無處不在，被稱為meromormormormorphic函數。另一方面，功能，並且不是複雜平面上任何地方的全體形態，因為它們無法滿足Cauchy -Riemann條件，這表明了它們（見下文）。
全態功能的重要特性是其真實和虛構成分的部分衍生物（稱為凱奇 - 里曼條件）之間的關係。如果在某個地區定義的是，在哪裡定義，那麼
就函數u和v的真實和虛構部分而言，這等同於一對方程，下標表示部分分化。然而，庫奇 - 里曼條件並未表徵所有屍體函數，沒有其他連續性條件（請參閱Looman – Mechoff Therorem）。
全態功能表現出一些顯著的特徵。例如，皮卡德（Picard）的定理斷言整個函數的範圍只能採用三種可能的形式：或某些形式。換句話說，如果兩個不同的複數數量不在整個函數的範圍內，則是一個恆定函數。此外，連接的開放集上的全態函數取決於其對任何非空的開放子集的限制。
共形圖
更正式的是，讓並成為開放子集。一個函數在某個點上稱為共形（或角度保持角度），如果它保留在定向曲線之間的角度以及保持方向。共形圖保留了無窮小圖的角度和形狀，但不一定是它們的大小或曲率。
可以用坐標轉換的雅各布衍生矩陣來描述保形性能。每當每個點的Jacobian都是正標量旋轉矩陣（正交矩陣帶有確定性的正交）時，轉換是共形的。一些作者定義了綜合性，以包括逆向映射，其雅各佈人可以寫成任何標量乘以任何正交矩陣的標量。
對於在兩個維度的映射中，（定向性）的共形映射恰恰是局部可逆的複雜分析函數。在三個和更高的維度中， Liouville的定理將共形映射限制在幾種類型中。
結合性的概念以一種自然的方式概括了Riemannian或Semiemannian歧管之間的地圖。主要結果
複雜分析中的中心工具之一是行積分。正如Cauchy積分定理所述，圍繞函數的封閉路徑的線積分始終為零。磁盤內部這種圓錐形函數的值可以通過磁盤邊界上的路徑積分計算（如凱奇（Cauchy）的積分公式所示）。複雜平面中的路徑積分通常用於確定複雜的實際積分，在這裡，殘基的理論是適用的（請參見Contour集成方法）。函數的“極點”（或孤立的奇異性）是函數值無限製或“炸毀”的點。如果一個函數具有這樣的極點，則可以計算該函數的殘基，該殘基可用於計算涉及函數的路徑積分。這是強大的殘留定理的內容。 Picard的定理描述了附近奇異性近乎奇異性的顯著行為。僅具有極點但沒有基本奇異性的功能稱為Meromorormorphic 。 Laurent系列是相當於泰勒系列的複雜值，但可用於通過無限理解的功能（例如多項式）的無限總和來研究奇點附近的功能的行為。
在整個複合平面中具有holomorthic的有界函數必須是恆定的。這是liouville的定理。它可用於為代數的基本定理提供自然和簡短的證明，該定理指出，複數領域是代數關閉的。
如果一個函數在整個連接的域中都是全體形態，則其值將由其在任何較小子域上的值完全確定。據說，較大域上的功能從其在較小域上的值進行了分析。這允許擴展函數的定義，例如Riemann Zeta函數，最初是根據無限總和來定義的，這些總和僅在有限域上收斂到幾乎整個複雜平面。有時，與自然對數一樣，在復雜平面中，不可能在分析上繼續進行全體形函數到非相互連接的結構域，但是可以將其擴展到密切相關的表面上的全態函數。黎曼表面。
所有這些都涉及一個變量中的複雜分析。在一個以上的複雜維度上，還有一個非常豐富的複雜分析理論，其中諸如功率系列膨脹之類的分析特性會超過一個複雜的範圍，而全體形函數的大多數幾何特性在一個複雜的維度（例如保密性）中不延伸。關於復雜平面中某些域的共形關係的Riemann映射定理，這可能是一維理論中最重要的結果，在較高的維度中急劇失敗。