投影性幾何形狀
在數學中，投射幾何形狀是對投射轉換不變的幾何特性的研究。這意味著，與基本的歐幾里得幾何形狀相比，投射幾何形狀具有不同的設置，投影空間和一組基本的幾何概念。基本的直覺是，對於給定的維度來說，投影空間比歐幾里得空間更高，並且允許幾何變換將多餘的點（稱為“無窮大點”）轉換為歐幾里得點，反之亦然。
這種新的變換概念尊重了對投射幾何形狀有意義的屬性，而轉換矩陣和翻譯（仿射變換）所能表達的效果更為激進。幾何圖形的第一個問題是幾何形狀足以適應一種新的情況。不可能像在歐幾里得幾何形狀中那樣引用射影幾何形狀中的角度，因為角度是一個概念在投射轉換方面並非不變的示例，從變化的角度來看，從透視圖中可以看出。射影幾何形狀的一種來源確實是觀點理論。與基本幾何形狀的另一個區別是，一旦將概念轉化為投射幾何學的術語，可以說可以說平行線在無窮大的一點點相遇。同樣，這個概念具有直觀的基礎，例如在視角圖中在地平線上會議的鐵路跟踪。有關在二維中投影的幾何形狀的基礎知識，請參見投影平面。
雖然這些想法早些時候可用，但投射的幾何形狀主要是19世紀的發展。這包括複雜的投影空間理論，所使用的坐標（均勻坐標）是複數。幾種主要類型的抽像數學（包括不變理論，意大利代數幾何學學院和Felix Klein的Erlangen程序，導致對古典群體的研究）都是由投射幾何學的動機。它也是許多從業人員的主題，因為它自己是合成的幾何學。從公共幾何學研究中發展的另一個主題是有限的幾何形狀。
現在，投影性幾何形狀的主題本身分為許多研究子主題，其中兩個例子是投射代數幾何（投射品種的研究）和投射差異幾何學（投射變換的差異不變的研究）。
概述
投射幾何形狀是幾何學的基本非計量形式，這意味著它不是基於距離的概念。在二維中，它始於對點和線的配置的研究。在這種稀疏環境中確實存在一些幾何興趣，這是Desargues和其他人在探索視角藝術原理時建立的。在較高的維空間中，有被認為是二元性原理的超平面（總是滿足）和其他線性子空間。二元性的最簡單說明是在投影平面中，其中陳述“兩個不同的點決定了獨特的線”（即通過它們的線），“兩個不同的線決定了一個唯一的點”（即它們的交叉點）顯示了相同的結構作為命題。射影的幾何形狀也可以看作是單獨具有直邊的結構的幾何形狀。由於投影性的幾何形狀不包括指南針構造，因此沒有圓形，沒有角度，沒有測量，沒有相似之處，也沒有中間人的概念（或“融入”）。已經意識到，確實適用於投影幾何的定理是更簡單的陳述。例如，不同的圓錐部分在（複雜的）投影幾何形狀中都等效，並且有關圓的某些定理可以將其視為這些一般定理的特殊情況。
在19世紀初期，讓·維克特·潘塞萊特（Jean-Victor Poncelet） ，拉扎爾·卡諾（Lazare Carnot ）等人的工作確立了投射的幾何形狀，作為一個獨立的數學領域。卡爾·馮·斯塔特（Karl von Staudt）為其嚴格的基礎提供了解決，並在19世紀後期由意大利人Giuseppe Peano ， Mario Pieri ， Alessandro Padoa和Gino Fano完善。像仿射和歐幾里得幾何形狀一樣的投射幾何形狀也可以從Felix Klein的Erlangen程序開發。射影的幾何形狀的特徵是在投影組的轉換下不變。
因此，經過大量對主題定理的工作，因此，人們了解了投射幾何形狀的基礎知識。在投射轉換下，發病率結構和交叉比例是基本不變的。可以通過仿射平面（或仿射空間）加上“無窮大”線（超平面），然後將該線（或超平面）視為“普通”的線（超平面）來建模。均勻坐標給出了用於以分析幾何形式進行投影幾何形狀的代數模型。另一方面，公理研究揭示了存在非策略平面的存在，以表明可以通過無法通過均勻坐標系統推理的結構來對入射率進行建模（僅在兩個維度上）。
從基本的意義上講，投射的幾何形狀和有序的幾何形狀是基本的，因為它們涉及最小的公理，並且可以用作仿射和歐幾里得幾何形狀的基礎。投影性的幾何形狀不是“有序的”，因此它是幾何形狀的獨特基礎。
歷史
亞歷山大的Pappus在3世紀發現了投射性質的第一個幾何特性。 Filippo Brunelleschi （1404–1472）開始研究1425年期間觀點的幾何形狀（請參閱觀點的歷史，以更徹底地討論了美術中的作品，這些作品激勵了投射幾何學的大部分發展）。約翰內斯·開普勒（Johannes Kepler ）（1571–1630）和吉拉德·德薩格斯（Girard Desargues ）（1591–1661）獨立開發了“無限點”的概念。 Desargues開發了一種替代方法來構建視角圖，通過推廣使用消失點以無限遠的情況包括情況。他將平行線真正平行的歐幾里得幾何形狀成為一個全面的幾何系統的特殊情況。 Desargues對圓錐形部分的研究引起了16歲的Blaise Pascal的注意，並幫助他制定了Pascal定理。加斯帕德·蒙格（Gaspard Monge）在18世紀末和19世紀初的作品對於隨後的投射幾何形狀的發展很重要。直到米歇爾·查斯爾斯（Michel Chasles）在1845年期間碰到手寫副本之前。與此同時，讓·維克特·潘塞雷特（Jean-Victor Poncelet通過將他的理論基於混凝土極和相對於一個圓的關係，建立了度量和投射屬性之間的關係。此後很快發現的非歐對陸幾何形狀最終被證明具有模型，例如與投射幾何形狀有關的雙曲空間的klein模型。
1855年，阿夫·莫比烏斯（AfMöbius）在複雜平面中撰寫了一篇有關置換的文章，現在稱為Möbius變換。這些轉換代表複雜投影線的項目活動。在對太空線路線的研究中，朱利葉斯·普呂克（ JuliusPlücker與投射想法。
投影性的幾何形狀通過提供雙曲機平面的模型來驗證Lobachevski和Bolyai關於雙曲線幾何形狀的投機驗證：例如， Poincaré盤模型，該模型垂直於單位圓對應於單位圓的廣義圓圈，以對應於“雙重圓線”（地形），以及（ GeoDesics ），以及（地理上），以及該模型的“翻譯”由Möbius變換描述，該轉換將單位光盤映射到本身。點之間的距離是由Cayley – Klein度量標準給出的，在翻譯下已知是不變的，因為它取決於Cross-Ratio ，這是一個關鍵的投影不變的。這些翻譯在度量空間理論中被描述為異構體，正式的線性分數變換，以及射影線性群的彈性線性變換，在這種情況下為SU（1，1） 。
Poncelet ， Jakob Steiner和其他人的工作並不是要擴展分析的幾何形狀。技術應該是合成的：實際上正如現在所理解的那樣，要公理地引入了投射空間。結果，重新制定了投射幾何形狀的早期工作，以便滿足當前的嚴格標準可能會有些困難。即使僅在投影平面的情況下，公理方法也可能導致模型無法通過線性代數描述。
Clebsch ， Riemann ， Max Noether等對一般代數曲線的研究取代了這一幾何時期，這些曲線擴展了現有技術，然後是不變理論。到本世紀末，意大利代數幾何學學院（ Enriques ， Segre ， Severi ）將傳統的主題闖入了需要更深入技術的領域。
在19世紀後期，儘管文獻是龐大的，但對投射幾何形狀的詳細研究變得不那麼時尚。舒伯特（Schubert）尤其是在枚舉幾何形狀中所做的一些重要工作，現在被認為是預期的chern階級理論，被視為代表格拉斯曼尼亞人的代數拓撲。
投影性的幾何形狀後來證明了保羅·迪拉克（Paul Dirac ）對量子力學的發明的關鍵。在基礎上，量子測量結果可能無法通勤的發現打擾和勸阻了海森堡，但是過去對非交通環的投射平面的研究很可能使DIRAC脫穎而出。在更高級的作品中，狄拉克（Dirac）在投影性的幾何形狀中使用了大量圖紙來了解他的方程式的直觀含義，然後才在獨家代數形式主義中寫下他的作品。
描述
射影的幾何形狀比歐幾里得幾何或仿射幾何形狀不太限制。它是一種本質上的非度量幾何形狀，這意味著事實與任何度量結構無關。在投影轉換下，保留了投射諧波共軛物的發病率結構和關係。投影範圍是一維的基礎。射影的幾何形狀正式化了透視藝術的中心原則之一：該平行線在無窮大處相遇，因此是這樣繪製的。從本質上講，可以將投射幾何形狀視為歐幾里得幾何形狀的延伸，其中每條線的“方向”在線中累積為一個額外的“點”，而方向對應於Coplanar線的“地平線”被視為“線”。因此，兩條平行線在地平線線上相交，憑藉其合併相同的方向。
理想的方向稱為無窮大的點，而理想化的視野在無窮大處稱為線。反過來，所有這些線都位於無窮大的飛機上。但是，Infinity是一個公制的概念，因此在這方面，純粹的投射幾何形狀並沒有單擊任何要點，線條或飛機，而無限的幾何形狀也像其他任何人一樣對待。
因為歐幾里得幾何形狀包含在投影幾何形狀內（具有更簡單基礎的投影幾何形狀），而歐幾里得幾何形狀可能以更透明的方式得出歐幾里得幾何形狀，其中歐幾里得幾何學的分離定理可以在投影的框架內集體處理。幾何學。例如，平行線和非平行線無需將其視為單獨的情況。相反，任意射擊平面被選為理想的平面，並使用均勻的坐標位於“無窮大”。
基本重要性的其他屬性包括Desargues的定理和Pappus定理。在尺寸3或更高的射影空間中，有一種構造可以證明Desargues定理的結構。但是對於維度2，必須單獨假設。
使用desargues的定理，結合其他公理，可以通過幾何來定義算術的基本操作。所得的操作滿足了一個場的公理 - 除了乘法的換向性需要Pappus的Hexagon定理。結果，每條線的點與給定場的一對一對應， F ，由附加元素補充∞，使得r ·∞=∞ ， -∞=∞ ， r +∞=∞ ， r / 0 =∞ ， r /∞= 0 ， ∞- r = r -∞=∞ ，除了0 /0 ， ∞ /∞ /∞ ， ∞ +∞ ， ∞ -∞ -∞ ， 0·∞和∞Å0保持不確定。
投影性幾何形狀還包括一個完整的圓錐形部分理論，這一主題也在歐幾里得的幾何形狀中廣泛發展。能夠將雙曲線和橢圓形的視為僅通過雙曲線在無窮大的線上的方式而區別，這是有優勢的。拋物線僅通過與同一條線相切來區分。整個圈子家族可以被視為圓錐形在無窮大的線上通過兩個給定點的圓錐體，而構成了複雜的坐標。由於坐標不是“合成的”，因此通過固定一條線和兩個點來代替它們，並考慮所有圓錐形的線性系統通過這些點作為研究的基本對象。事實證明，這種方法對才華橫溢的幾何圖形非常有吸引力，並且對這個話題進行了徹底的研究。此方法的一個例子是HF Baker的多批論文。
有許多投影的幾何形狀，可以分為離散和連續：離散的幾何形狀包括一組點，這些點可能是有限的，而連續的幾何形狀無限地具有許多點，而兩者之間沒有間隙。
維度0的唯一投影幾何形狀是一個點。維度1的投影幾何形狀由一條至少3分的單線組成。在這兩種情況下，算術操作的幾何結構均不能進行。對於維度2，由於缺乏Desargues定理，因此存在豐富的結構。
最小的二維投影幾何形狀（最少的點）是Fano平面，每條線上都有3分，共7分和7行，具有以下共線：
- [ABC]
- [ADE]
- [AFG]
- [BDG]
- [BEF]
- [CDF]
- [CEG]
均勻坐標a =（0,0,1） ， b =（0,1,1） ， c =（0,1,0） ， d =（1,0,1） ， e =（1,0，1 ,0， 0） ， f =（1,1,1） ， g =（1,1,0） ，或在仿射坐標中， a =（0,0） ， b =（0,1） ， c =（∞） ， d =（1,0） ， e =（0） ， f =（1,1）和g =（1） 。仿射坐標在desarguesian平面中，指定為無窮大點的點（在此示例中：C，E和G）可以通過其他幾種方式定義。
在標準符號中，有限的投影幾何形狀寫為pg（ a ， b ），其中：
- a是投影（或幾何）維度，並且
- B比線上的點數少一個（稱為幾何的順序）。
因此，只有7個點的示例寫為pg（2，2） 。
“投影幾何”一詞有時用於指示廣義的潛在抽象幾何形狀，有時指示特定的廣泛興趣的幾何形狀，例如平坦空間的度量幾何形狀，我們通過使用均勻坐標來分析，歐幾里得在其中使用euclidean 。幾何形狀可以嵌入（因此其名稱，延伸的歐幾里得平面）。
挑出所有投射幾何形狀的基本屬性是橢圓發生屬性，該屬性屬性在射影平面中的任何兩個不同的線L和M恰好在一個點p上相交。平行線的分析幾何形狀的特殊情況以p所在的無窮大的線的平滑形式所包含。因此，無窮大的線與理論中的任何其他線一樣：它絕不是特殊或區分。 （以後來的精神，人們可以指出一組轉換可以將任何線路移至無限線的線路的方式）。
橢圓形，歐幾里得和雙曲線幾何形狀的平行特性對比如下：
橢圓形幾何形狀的平行性能是導致投影二元性原理的關鍵思想，這可能是所有投射幾何形狀具有共同點的最重要屬性。
雙重性
在1825年，約瑟夫·傑角（Joseph Gergonne）指出了表徵射擊平面幾何形狀的二元性原理：給定該幾何的任何定理或定義，替代線路的替換點，躺在路上，通過，通過並發，交叉，與聯合的交叉，或者viceves，或viceve for Join ，viceve，另一個結果，結果是另一個結果。定理或有效定義，第一個的“雙重”。同樣，在3個維度中，二元性關係在點和平面之間存在，允許通過交換點和平面轉換任何定理，並包含並包含。更一般而言，對於尺寸n的投影空間，維數R的子空間與尺寸n -r -1之間存在雙重性。對於n = 2 ，這專門針對最常見的偶性形式，即點和線之間。二元性原理也由讓·維克特·潘塞萊特（Jean-Victor Poncelet）獨立發現。
要確定二元性，只需要建立定理，即所討論的維度是公理的雙重版本。因此，對於三維空間，需要證明（1*）每個點都在3個不同的平面中，（2*）每兩個平面在唯一線路中相交，而雙重版本的（3*）的雙版本：如果平面P和Q的交點與平面R和S的交點是共面，那麼平面P和R，Q和S的相應相互作用也是如此（假設平面P和S與Q和R不同）。
在實踐中，二元性原理使我們能夠在兩個幾何構造之間建立雙重對應。其中最著名的是圓錐曲線（以2個維度）或二次表面（以3個維度為單位）中兩個數字的極性或互惠性。在同心球中的對稱多面體的往復中發現了一個常見的例子，以獲得雙重多面體。
另一個例子是Brianchon的定理，這是帕斯卡（Pascal）定理的雙重偶，其證明只是將二元性原則應用於帕斯卡（Pascal）的偶然性。以下是這兩個定理的比較陳述（在兩種情況下，在投影平面的框架內）：
- 帕斯卡爾（Pascal）：如果六角形的所有六個頂點都位於圓錐上，則其相對側的交叉點（被視為完整線，因為在投射平面上沒有“線段”之類的東西）是三個共線點。然後，加入它們的線被稱為六角形的帕斯卡線。
- Brianchon：如果六角形的所有六個側面都與圓錐形相切，則其對角線（即與頂點相對的線路）是三個並發線。然後，他們的交叉點被稱為六角形的布蘭奇點。
- （如果圓錐體分為兩條直線，帕斯卡的帕斯卡（Pascal）變成了帕普斯（Pappus）的定理，它沒有有趣的雙重二線，因為brianchon點瑣碎地變成了兩條線的相交點。 ）
射影幾何形狀的公理
任何給定的幾何形狀都可以從適當的公理集中推導。射影的幾何形狀的特徵是“橢圓平行”的公理，任何兩個平面總是以一條線相交，或者在平面上，任何兩條線總是在一個點上遇到。換句話說，在投射幾何形狀中沒有平行線或平面之類的東西。
已經提出了許多用於投影幾何形狀的公理集（例如，參見Coxeter 2003，Hilbert＆Cohn-Vossen 1999，Greenberg 1980）。
懷特海的公理
這些公理是基於“射影幾何的公理”的Whitehead 。點和線之間有兩種類型，點和線，以及一個“發生率”的關係。這三個公理是：
- G1：每行都至少包含3分
- G2：每兩個不同的點A和B，都在獨特的線上，AB。
- G3：如果線AB和CD相交，則線AC和BD也是如此（假定A和D與B和C不同）。
假定每行至少包含3分的原因是消除一些退化的情況。滿足這三個公理的空間最多具有一條線，或者是在劃分環上的某個維度的投影空間，或者是非desarguesian平面。
附加公理
可以添加進一步的公理限制尺寸或坐標環。例如，Coxeter的投射幾何形狀，在上面的三個公理中引用了Veblen，以及另外的5個公理，使尺寸3和坐標環成為特徵性的交換場而不是2。
公理使用三元關係
一個人可以通過假設三元關係來追求公理化，[ABC]表示何時三個點（並非一定都不同）是共線。也可以根據這種關係寫下公理化：
- C0：[ABA]
- C1：如果A和B是兩個點，則[ABC]和[ABD]則[BDC]
- C2：如果A和B是兩個點，則有第三點C，因此[ABC]
- C3：如果A和C是兩個點B和D，則使用[BCE]，[ADE]，但[ABE]，則有一個f，因此[ACF]和[BDF]。
對於兩個不同的點A和B，線AB定義為由[ABC]的所有點C組成。然後，公理C0和C1提供了G2的形式化。 C2用於G1，G3的C3。
線的概念將平面和高維子空間推廣。因此，可以根據子空間ab ... x遞歸定義一個子空間，xy可以作為包含所有線Yz的所有點的子空間定義，因為z在ab ... x上範圍範圍。然後，共線性概括為“獨立”的關係。一個點{a，b，...，z}的點是獨立的，[ab ... z]如果{a，b，...，z，z}是一個最小的子空間生成子集. .. z z z z 。
可以通過進一步的公理假定空間維度的限制來補充投影公理。最小尺寸是由存在所需尺寸的獨立集確定的。對於最低的維度，相關條件可以以等效形式說明。一個投影空間是：
- （l1）至少尺寸0至少有1分，
- （l2）至少尺寸1至少具有2個不同的點（因此有一個線），
- （l3）至少尺寸2至少具有3個非結算點（或兩條線，或一條線和一個不在線上的點），則
- （L4）至少尺寸3至少具有4個非穩定點。
最大維度也可以以類似的方式確定。對於最低維度，它們採用以下形式。一個投影空間是：
- （M1）在大多數維度0中，如果其不超過1點，
- （M2）在大多數維度1處，如果它不超過1行，
- （M3）在大多數維度2上，如果它的平面不超過1個平面，
等等。所有共麵條線相交是一個通用定理（公理（3）的結果） - 原理射傳最初旨在體現。因此，屬性（M3）可以等效地指出所有線相互相交。
通常認為，投影空間至少是維度2。在某些情況下，如果重點是投射平面，則可以假定M3的變體。例如，（Eves 1997：111）的公理包括（1），（2），（L3）和（M3）。在（M3）下，公理（3）變得真實，因此在這種情況下不需要。
公理的投射平面
在發病率的幾何形狀中，大多數作者給予一種治療方法，將Fano平面PG（2，2）作為最小的有限投影平面。實現這一目標的公理系統如下：
- （p1）任何兩個不同的點都在獨特的線上。
- （P2）任何兩條不同的線路都在獨特的位置相遇。
- （P3）至少存在四個點，其中三個是共線。
Coxeter的幾何介紹給出了五個公理的列表，以更嚴格地概念歸因於Bachmann，並將Pappus的定理添加到上面的公理列表中（消除了非脫甲基的平面）並排除了特徵性的投影平面2（那些不滿足Fano公理的人）。以這種方式給出的限制平面更像是真實的投影平面。
觀點和投影率
給定三個非共線點，有三個連接它們的線，但是有四個點，沒有三個顏色，有六個連接線和由它們的相交確定的另外三個“對角點”。投影幾何學的科學捕獲了通過第四紀關係和保留完整四邊形配置的項目的四個點確定的盈餘。
當有一個完整的四邊形兩個兩個位置在四核的第一和第三位時，就會在一條線上的諧波四倍點，而其他兩個位置是線上連接兩個四邊形點的點上的點。 。
一個平面中投影配置的空間透視圖在另一種平面中產生這種配置，這適用於完整四邊形的配置。因此，諧波四元素是通過透視保留的。如果一個觀點遵循另一個觀點，則配置隨之而來。兩種觀點的組成不再是一種觀點，而是投影性。
雖然視角的相應點都在某個點融合，但對於不是觀點的投影率而言，這種收斂並不是正確的。在射影幾何形狀中，平面中的投影率相應點形成的線的相交是特別感興趣的。這種交叉點的集合稱為投影錐，在承認雅各布·斯坦納（Jakob Steiner）的工作中，它被稱為施泰納錐。
假設通過兩個觀點以A和B點為中心形成了投影率，將X與X與中介P ：X相關。
那是投影率
給定一個圓錐C和一個點p不在其上，通過P相交C的兩個不同的割線線分為四個點。這四個點決定了一個四邊形，其中p是對角點。穿過其他兩個對角點的線稱為P和P的極性是該線的極點。另外， P的極線是通過P和C的可變速度線上的P型諧波共軛物的集合。